晶體學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)導(dǎo)論(x衍射)

材料：你們最關(guān)心的是什么？

性能：你認(rèn)為與哪些因素有關(guān)？

結(jié)構(gòu)：有哪些檢測(cè)分析技術(shù)？緒論第一頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。物質(zhì)的性質(zhì)、材料的性能決定于它們的組成和微觀結(jié)構(gòu)。如果你有一雙X射線的眼睛，就能把物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)看個(gè)清清楚楚明明白白！X射線衍射將會(huì)有助于你探究為何成份相同的材料，其性能有時(shí)會(huì)差異極大.X射線衍射將會(huì)有助于你找到獲得預(yù)想性能的途徑。第二頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。X-射線衍射測(cè)定晶體結(jié)構(gòu)第三頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。提綱點(diǎn)陣、晶胞對(duì)稱操作、對(duì)稱性、對(duì)稱元素特征方向、特征對(duì)稱性、Bravais格點(diǎn)點(diǎn)群螺旋軸、滑移面、空間群國(guó)際晶體學(xué)表：等效點(diǎn)、普通點(diǎn)、特殊點(diǎn)倒易點(diǎn)陣、倒易晶胞及與實(shí)空間晶胞的關(guān)系X-射線衍射原理，Brag方程，Ewald球，衍射角與衍射指標(biāo)間的關(guān)系第四頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。晶體學(xué)是研究晶體的自然科學(xué)。主要研究包括5個(gè)部分：晶體生長(zhǎng)、晶體的幾何結(jié)構(gòu)、晶體結(jié)構(gòu)分析、晶體化學(xué)及晶體物理。1.1晶體學(xué)◆晶體生長(zhǎng)是研究人工培育晶體的方法和規(guī)律◆晶體的幾何結(jié)構(gòu)是研究晶體外形的幾何理論及內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)的排列規(guī)律◆晶體結(jié)構(gòu)分析是收集大量與晶體結(jié)構(gòu)有關(guān)的衍射數(shù)據(jù)◆晶體化學(xué)主要研究化學(xué)成分與晶體結(jié)構(gòu)及性質(zhì)之間的關(guān)系◆晶體物理是研究晶體物理性質(zhì)，如光學(xué)性質(zhì)、電學(xué)性質(zhì)、磁學(xué)性質(zhì)、力學(xué)性質(zhì)、聲光性質(zhì)和熱學(xué)性質(zhì)等第五頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。1.1.1經(jīng)典晶體學(xué)1669年丹麥學(xué)者斯蒂諾，發(fā)現(xiàn)了晶面角守恒定律。1801年法國(guó)結(jié)晶學(xué)家赫羽依，發(fā)表了有理指數(shù)定律。1809年烏拉斯頓設(shè)計(jì)了第一臺(tái)反射測(cè)角儀。1805–1809年間德國(guó)學(xué)者外斯總結(jié)出晶體對(duì)稱定律。隨后又提出了晶帶定律。1818–1839年間外斯和英國(guó)學(xué)者密勒先后創(chuàng)立了用以表示晶面空間方位的晶面符號(hào)。第六頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。1885–1890俄國(guó)晶體學(xué)家費(fèi)道羅夫首先推導(dǎo)出描述晶體結(jié)構(gòu)對(duì)稱性的230種空間群。隨后，德國(guó)數(shù)學(xué)家熊夫利斯和英國(guó)的巴羅相繼以不同的途徑推導(dǎo)出所有的空間群。到19世紀(jì)末，晶體結(jié)構(gòu)的點(diǎn)陣?yán)碚撘鸦境墒臁＝?jīng)典晶體學(xué)還包括了晶體的發(fā)生與成長(zhǎng)的啟蒙工作。經(jīng)典晶體學(xué)還包括了對(duì)天然礦物物理性質(zhì)的研究。1830年德國(guó)學(xué)者赫塞爾推導(dǎo)出描述晶體外形的32種點(diǎn)群。第七頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。1.2.2近代晶體學(xué)1912年德國(guó)科學(xué)家勞埃成功發(fā)現(xiàn)了X射線對(duì)晶體的衍射現(xiàn)象，具體地證實(shí)了晶體結(jié)構(gòu)點(diǎn)陣?yán)碚摰恼_性。1913年英國(guó)晶體學(xué)家布拉格父子和俄國(guó)晶體學(xué)家吳里弗分別獨(dú)立地推導(dǎo)出X射線衍射基本公式。20世紀(jì)20年代，完成了收集X射線衍射圖譜和推引空間群方法等工作。40年代著重應(yīng)用了X射線衍射強(qiáng)度數(shù)據(jù)，將數(shù)學(xué)上的Patterson函數(shù)和Fourier級(jí)數(shù)應(yīng)用到結(jié)構(gòu)分析上來，在這個(gè)時(shí)期中，各類有代表性的無機(jī)物和不太復(fù)雜的有機(jī)物的晶體結(jié)構(gòu)，大多數(shù)已得到了測(cè)定，并總結(jié)出原子間的鍵長(zhǎng)、鍵角和分子構(gòu)型等重要科學(xué)資料。第八頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。60年代，人們已成功地測(cè)定了蛋白質(zhì)大分子的晶體結(jié)構(gòu)，它標(biāo)志著X射線晶體結(jié)構(gòu)分析工作已達(dá)到了相當(dāng)高的水平。近20多年來，采用了電子學(xué)和計(jì)算數(shù)學(xué)的新技術(shù)與新成就，使晶體結(jié)構(gòu)分析測(cè)定的精度、速度和廣度得到了更進(jìn)一步的提高。近代晶體學(xué)是一門邊緣科學(xué)，它與固體物理學(xué)、化學(xué)、礦物學(xué)、冶金學(xué)和近代分子生物學(xué)等科學(xué)的關(guān)系極為密切。第九頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。在古代，無論中外，都把具有幾何多面體形態(tài)的水晶稱為晶體。后來，這一名詞推廣了，凡是天然具有(非人工琢磨而成)幾何多面體形態(tài)的固體，所示的石鹽等，都稱為晶體。1.2晶體方解石石鹽第十頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。顯然，這種認(rèn)識(shí)還并不全面。例如，同樣是一種物質(zhì)石英，它既可以呈多面體形態(tài)的水晶而存在，也可以呈外形不規(guī)則的顆粒而生成于巖石之中。這兩種形態(tài)的石英，從本質(zhì)上來說是一樣的。由此可見，自發(fā)形成幾何多面體形態(tài)，只是晶體在一定條件下的一種外在表現(xiàn)。晶體的本質(zhì)必須從它的內(nèi)部去尋找。QuartzRock-crystal第十一頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。第十二頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。晶體是原子、分子或離子規(guī)則排布的固體；晶體是微觀結(jié)構(gòu)具有周期性和一定對(duì)稱性的固體；晶體是可以抽象出點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的固體。微觀結(jié)構(gòu)可抽象為單一點(diǎn)陣描寫的晶體稱為單晶單晶無規(guī)則排布組成的晶體稱為多晶第十三頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。1．自范性自范性是指晶體在適當(dāng)條件下可以自發(fā)地形成幾何多面體的性質(zhì)。2．確定的熔點(diǎn)

3．各向異性和對(duì)稱性晶體的性質(zhì)隨方向的不同而有所差異，這就是晶體的異向性（許多晶體的解理等）。在晶體的外形上，也常有相等的晶面、晶棱和角頂重復(fù)出現(xiàn)。這種相同的性質(zhì)在不同的方向或位置上作有規(guī)律地重復(fù)，就是對(duì)稱性。晶體的格子構(gòu)造本身就是質(zhì)點(diǎn)重復(fù)規(guī)律的體現(xiàn)。4．對(duì)X射線的衍射效應(yīng)

5．最小內(nèi)能和穩(wěn)定性在相同的熱力學(xué)條件下晶體與同種物質(zhì)的非晶質(zhì)體、液體、氣體相比較，其內(nèi)能最小。晶體由于有最小內(nèi)能，因而結(jié)晶狀態(tài)是一個(gè)相對(duì)穩(wěn)定的狀態(tài)。1.3.1晶體的基本特性第十四頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。與晶體情況相反，有些狀似固體的物質(zhì)如玻璃、琥珀、松香等，它們的內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)不作規(guī)則排列，不具格子構(gòu)造，稱為非晶質(zhì)或非晶質(zhì)體。從內(nèi)部結(jié)構(gòu)的角度來看，非晶質(zhì)體中質(zhì)點(diǎn)的分布頗類似于液體。

石英晶體結(jié)構(gòu)示意圖石英玻璃結(jié)構(gòu)示意圖1.3.2非晶質(zhì)體第十五頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。1.3.3準(zhǔn)晶體

1985年在電子顯微鏡研究中，發(fā)現(xiàn)了一種新的物態(tài)，其內(nèi)部結(jié)構(gòu)的具體形式雖然仍在探索之中，但從其對(duì)稱性可知，其質(zhì)點(diǎn)的排列應(yīng)是長(zhǎng)程有序，但不體現(xiàn)周期重復(fù)，即不存在格子構(gòu)造，人們把它稱為準(zhǔn)晶體。

第十六頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。二晶體點(diǎn)陣晶體結(jié)構(gòu)最突出的特點(diǎn)是其結(jié)構(gòu)基元(原子、離子、分子或絡(luò)合離子）在晶體所占有的空間中作周期性的排列，構(gòu)成了晶體點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)圖案。點(diǎn)陣總是由為數(shù)無限和周圍相同點(diǎn)組成。第十七頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。Cs+Cl-CsCl的晶胞圖第十八頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。CsCl晶體結(jié)構(gòu)示意圖第十九頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。CsCl的晶體結(jié)構(gòu)示意圖第二十頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。CsCl的晶胞圖Cs+Cl–Cs+Cl–第二十一頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。Na+Cl-NaCl晶體結(jié)構(gòu)示意圖第二十二頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。Cl-Na+氯化鈉晶體中Na+、Cl-的離子個(gè)數(shù)比為1∶1NaCl的晶體結(jié)構(gòu)示意圖第二十三頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。NaCl的晶胞圖Na+Cl–第二十四頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。

我們?cè)谘芯烤w結(jié)構(gòu)中各類物質(zhì)點(diǎn)排列的規(guī)律性時(shí)，為了得出一個(gè)能概括各類等同點(diǎn)排列的一般規(guī)律，也就是說為了更好地、形象而簡(jiǎn)單地描述晶體內(nèi)部物質(zhì)點(diǎn)排列的周期性，把晶體中按周期重復(fù)的那一部分物質(zhì)點(diǎn)抽象成一些幾何點(diǎn)，而不考慮重復(fù)周期中她所包含的具體內(nèi)容（指原子、離子或分子），從而集中反映周期重復(fù)的方式。這種幾何點(diǎn)，稱為結(jié)點(diǎn)（點(diǎn)陣點(diǎn)）。由結(jié)點(diǎn)排列成的三維點(diǎn)陣就概括地表明各種等同點(diǎn)在晶體結(jié)構(gòu)空間中的排列規(guī)律。稱之為晶體結(jié)構(gòu)的空間點(diǎn)陣。第二十五頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。2.1點(diǎn)陣與結(jié)構(gòu)基元1一維圖案與直線點(diǎn)陣a點(diǎn)陣點(diǎn)聚乙烯第二十六頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。a點(diǎn)陣點(diǎn)Tm=ma(m=0，±1，…±∞)經(jīng)過平移基矢ma的平移操作，點(diǎn)陣點(diǎn)可以完全不可分辨，因此點(diǎn)陣具有平移對(duì)稱性點(diǎn)陣點(diǎn)所代表的具體物質(zhì)結(jié)構(gòu)內(nèi)容稱為結(jié)構(gòu)基元（structuralmotil)晶體中規(guī)則排列的微粒抽象為幾何學(xué)中的點(diǎn)稱為點(diǎn)陣點(diǎn)或結(jié)點(diǎn)點(diǎn)陣直線第二十七頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。2二維圖案與平面點(diǎn)陣石墨第二十八頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。平面點(diǎn)陣可分解為一系列平行的點(diǎn)陣直線，在每一組平行的點(diǎn)陣直線中，其間距（di）相等。平面點(diǎn)陣也可劃分為無限個(gè)相互連接的平行四邊形（網(wǎng)格），而任何陣點(diǎn)周圍的幾何環(huán)境均完全相同。第二十九頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。基矢座標(biāo)系平面格子(平面晶格)平面點(diǎn)陣格點(diǎn)陣點(diǎn)矢量(格點(diǎn)矢量)Rl=l1a1+l2a2初基矢量陣點(diǎn)指數(shù)[[l1l2]]初基晶胞第三十頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。在點(diǎn)陣中a，b決定的平行四邊形稱為晶胞。基矢a，b以及夾角g稱為晶胞參數(shù)。只含有一個(gè)點(diǎn)陣點(diǎn)的晶胞稱為初基胞。含有一個(gè)以上點(diǎn)陣點(diǎn)的晶胞稱為非初基胞或慣用胞。相應(yīng)的基矢稱為非初基或晶體學(xué)慣用基(簡(jiǎn)稱慣用基)。Tm，n=ma+nb(m，n=0，±1，…±∞)平移矢量第三十一頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。五種不同排列的平面點(diǎn)陣aaaaabbbbbg第三十二頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。從下面一組二維周期性重復(fù)的平面圖案中抽象出點(diǎn)陣來，并指出結(jié)構(gòu)基元。同時(shí)請(qǐng)指出屬于五種平面格子的哪一種？第三十三頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。3晶體結(jié)構(gòu)與空間點(diǎn)陣第三十四頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。在空間點(diǎn)陣中，可以劃分出無限多個(gè)陣點(diǎn)直線族，在每一個(gè)陣點(diǎn)直線族中的陣點(diǎn)直線均為互相平行，而且重復(fù)周期相同。陣點(diǎn)直線在晶體結(jié)構(gòu)中為晶列，在晶體外形上可表現(xiàn)為晶棱?？臻g點(diǎn)陣可以劃分成無限多個(gè)陣點(diǎn)平面族，陣點(diǎn)平面族中的陣點(diǎn)平面互相平行。陣點(diǎn)平面族有兩個(gè)重要特征：1、空間方向，陣點(diǎn)平面的法線方向代表該陣點(diǎn)平面族的方向；2、陣點(diǎn)平面族中相鄰平面間距相等。陣點(diǎn)平面在晶體結(jié)構(gòu)中稱為網(wǎng)面，表現(xiàn)在晶體外形上稱為晶面。晶體結(jié)構(gòu)=點(diǎn)陣*結(jié)構(gòu)基元第三十五頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。點(diǎn)陣點(diǎn)或結(jié)點(diǎn)總和稱為點(diǎn)陣(lattice)，具有平移對(duì)稱性。晶胞(unitcell)是晶體中能代表晶格一切特征的最小部分，必為平行六面體。用a,b,c和a,b,g表示晶胞特征，稱為晶胞參數(shù)。沿著一定方向按某種規(guī)則把結(jié)點(diǎn)聯(lián)結(jié)起來，則可以得到描述各種晶體結(jié)構(gòu)的幾何圖象----晶體的空間格子(簡(jiǎn)稱為晶格)Tm，n，p=ma+nb+pc(m，n，p=0，±1，…±∞)平移矢量第三十六頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。晶胞的大小與形狀：由晶胞參數(shù)a,b,c,a,b,g

表示，a,b,c為六面體邊長(zhǎng)，a,b,g

分別是bc,ca,ab

所組成的夾角。晶胞的內(nèi)容：粒子的種類，數(shù)目及它在晶胞中的相對(duì)位置。按晶胞參數(shù)的差異將晶體分成七種晶系晶胞的兩個(gè)要素abc第三十七頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。七大晶系第三十八頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。第三十九頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。根據(jù)晶胞特征，可以劃分成七個(gè)晶系(crystalsystem)晶系邊長(zhǎng)角度三斜(triclinic)a≠b≠ca≠b≠g

≠90°單斜(monoclinic)a≠b≠ca=b=90°,g

≠90°正交(orthorhombic)a≠b≠ca=b=g=90°四方(tetragonal)a=b≠ca=b=g=90°菱形(rhombohedral)a=b=ca=b=g

≠90°六方(hexagonal)a=b≠ca=b=90°,g=120°立方(cubic)a=b=ca=b=g=90°2.2晶系和14種Bravais格子第四十頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。根據(jù)點(diǎn)陣點(diǎn)在平行六面體單位中分布的數(shù)目和位置不同，可分為四種情況初基(簡(jiǎn)單)點(diǎn)陣P

一個(gè)陣點(diǎn)底心點(diǎn)陣C,A或B

兩個(gè)陣點(diǎn)體心點(diǎn)陣I兩個(gè)陣點(diǎn)(4)面心點(diǎn)陣F四個(gè)陣點(diǎn)第四十一頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。晶系原始格子（P）底心格子（C）體心格子（I）面心格子（F）三斜C=II=FF=P單斜I=FF=P正交四方C=IF=P14種Bravais格子第四十二頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。晶系原始格子（P）底心格子（C）體心格子（I）面心格子（F）六方與本晶系對(duì)稱不符I=FF=P菱形與本晶系對(duì)稱不符I=FF=P立方與本晶系對(duì)稱不符第四十三頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。若平面周期性圖案是由下圖所示的單位重復(fù)堆砌而成,試問哪些單位是最小的重復(fù)單位,哪些不是?對(duì)不是者,其最小單位是什么樣的形狀?第四十四頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。123正交P第四十五頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。單斜第四十六頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。三圖象法3.1理想晶體與實(shí)際晶體理想晶體：與點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)完全一致，尺度無限大不存在原因：(1)實(shí)際晶體大小有限，處于晶體表面的質(zhì)點(diǎn)和內(nèi)部的質(zhì)點(diǎn)不能平移復(fù)原。(2)晶體中的質(zhì)點(diǎn)在其平衡位置作振動(dòng)，即使在0K也不停止。(3)晶體中存在位錯(cuò)、裂縫、雜質(zhì)包藏等缺陷。第四十七頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。3.2晶體幾何的經(jīng)驗(yàn)規(guī)律(1)晶面角守恒定律石英晶體的各種外形∠ab=141°47′∠bc=120°00′∠ac=113°08′晶面角守恒定律：在不同條件條件下生長(zhǎng)的同一成分的同種晶體之間，其對(duì)應(yīng)晶面間的夾角恒等。-------第一晶體學(xué)定理宏觀晶體的典型外貌特征是一組面平棱直的晶面所圍成的凸多面體第四十八頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。(2)有理指數(shù)(整數(shù))定律選三個(gè)不共面、相交于一點(diǎn)的晶棱OI、OII、OIII，再在這個(gè)晶體上取兩個(gè)不平行的晶面A1B1C1和A2B2C2。這兩個(gè)晶面在晶棱上的截距分別為OA1、OB1、OC1、OA2、OB2、OC2。OA2OA1OB2OB1OC2OC1::=:qrs:整數(shù)第四十九頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。3.3宏觀晶體的幾何表征(1)坐標(biāo)系結(jié)晶學(xué)坐標(biāo)系第五十頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。六方和三方晶系H坐標(biāo)d=－a－b第五十一頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。(2)晶面的標(biāo)記：Miller指數(shù)(hkl)定義：設(shè)與一晶面平行的某二維點(diǎn)陣平面在晶軸a軸、b軸、c軸上的截距分別為(ox，oy，oz)，則r1p1q1::=::hlkh:k:l為互質(zhì)整數(shù)比，h，k，l稱為該晶面的Miller指數(shù)，通常稱為晶面指數(shù)(face-indices)。晶面用(hkl)表示cozaoxboy::=::prq截距系數(shù)第五十二頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。注：(1)當(dāng)陣點(diǎn)平面平行于X軸時(shí)，其截距為無窮大，則(hkl)=∞1q1r1::=0:k:l=(0kl)同樣可得：(h0l)，(hk0)，(00l)，(0k0)等晶面指數(shù)；(2)晶體結(jié)構(gòu)中，凡屬于同一陣點(diǎn)平面族的平面指數(shù)相同，皆為(hkl)；(3)在六方晶系中，晶面指數(shù)為(hkil)。第五十三頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。定理：若晶體結(jié)構(gòu)的空間格子是簡(jiǎn)單格子，則格點(diǎn)平面族(hkl)將基矢a，b，c分別截成h、k、l個(gè)等分；也即是晶體中最靠近原點(diǎn)的那個(gè)格點(diǎn)平面(hkl)在a，b，c上的截距分別為，，。ahbkcl第五十四頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。指出各晶面指數(shù)，并說明晶面指數(shù)與平面點(diǎn)陣點(diǎn)密度的關(guān)系(110)(100)(010)(210)(120)第五十五頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。實(shí)際應(yīng)用上，就一般情況來說，不在于如何去具體測(cè)量晶面符號(hào)，而是看到一個(gè)晶面符號(hào)后能夠明白它的含義，想象出它在晶體上的方位。（1）米勒符號(hào)中某個(gè)數(shù)為0時(shí)，表示該晶面與相應(yīng)的結(jié)晶軸平行：第一個(gè)指數(shù)為0，表示晶面平行于a軸；第二個(gè)指數(shù)為0，表示平行b軸；最后一個(gè)指數(shù)為0，則表示平行c軸。（2）同一米勒符號(hào)中，指數(shù)的絕對(duì)值越大，表示晶面在相應(yīng)結(jié)晶軸上的截距系數(shù)（絕對(duì)值）越?。辉谳S單位相等的情況下，還表示相應(yīng)截距的絕對(duì)長(zhǎng)度也越短，而晶面本身與該結(jié)晶軸之間的夾角則越大。（3）在同一晶體中，如有兩個(gè)晶面，它們對(duì)應(yīng)的三組米勒指數(shù)的絕對(duì)值全都相等，而正負(fù)號(hào)恰好全部相反，則此二晶面必互相平行。例如（130）與（130）就代表一對(duì)相互平行的晶面。第五十六頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。面網(wǎng)密度小的晶面優(yōu)先生長(zhǎng)生長(zhǎng)速度快的晶面在生長(zhǎng)過程中被淹沒ab第五十七頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。(3)晶棱的符號(hào)(x2-x1):(y2-y1):(z2-z1)=u:v:w=x0:y0:z0x0:y0:z0=u:v:wu，v，w互質(zhì)整數(shù)，u:v:w記作[uvw]成為晶向指數(shù)[100][010][001]第五十八頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。立方簡(jiǎn)單晶胞的一些重要陣點(diǎn)平面第五十九頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。xzy(111)(111)or[111][111]or第六十頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。3.4單形和晶帶單形----一個(gè)晶體中，彼此間能對(duì)稱重復(fù)的一組晶面的組合，也就是能借助于對(duì)稱要素作用而相互聯(lián)系起來的一組晶面的組合。不考慮左右形，有47種幾何單形，146種結(jié)晶學(xué)單形由普通晶面構(gòu)成的單形稱為一般單形由特殊晶面構(gòu)成的單形稱為特殊單形第六十一頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。晶帶----彼此間交棱相互平行的一組晶面組合。晶帶定律：任一屬于[uvw]晶帶的晶面(hkl)，必定有

uh+vk+wl=0第六十二頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。3.5晶體的投影(1)晶體的球面投影以晶體的質(zhì)心為球心，任意半徑作參考球面，稱為投影球面；過球心作某晶面的外法線，它與球面的交點(diǎn)即該晶面的球面投影點(diǎn)，稱為晶面的極點(diǎn)(facepole)。極點(diǎn)間的圓弧=晶面之間二面角第六十三頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。(2)晶體的極射赤平投影以球的赤道面為投影面Q，與Q垂直的直徑為投影軸，投影軸與球面交于上投影N和下投影S。將上半球面上的極點(diǎn)P與S極直線相連，交于投影面于P’點(diǎn)，P’即P的極射赤平投影。水平晶面的極射赤平投影點(diǎn)必定位于基圓的中心，垂直晶面的極射赤平投影在基圓。第六十四頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。不僅可以對(duì)晶體的晶面作極射赤平投影，亦可對(duì)晶體的對(duì)稱元素作極射赤平投影。對(duì)稱元素是它本身投影晶面是晶面的法線投影3.4對(duì)稱元素的極射赤平投影第六十五頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。對(duì)稱點(diǎn)球面投影點(diǎn)點(diǎn)極射赤平投影對(duì)稱面球面投影圓極射赤平投影圓(平行)極射赤平投影極射赤平投影直線(垂直)圓弧(斜交)對(duì)稱軸球面投影點(diǎn)本身(與投影面重合)極射赤平投影點(diǎn)極射赤平投影第六十六頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。兩種平面的極射赤平投影第六十七頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。微觀對(duì)稱元素符號(hào)第六十八頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。點(diǎn)群為4的晶體；彩鉬鉛礦PbMoO44重對(duì)稱軸及由4重對(duì)稱旋轉(zhuǎn)相聯(lián)系的4個(gè)面的極射投影例：第六十九頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。3.7吳氏網(wǎng)赤式極射赤平投影網(wǎng)第七十頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。它的投影系以赤道上的某點(diǎn)作為視點(diǎn)，投影平面則為通過球心而且垂直于視點(diǎn)與球心連線的平面，與赤道面正好垂直。第七十一頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。四對(duì)稱原理

對(duì)稱性是晶體的基本性質(zhì)之一，一切晶體都是對(duì)稱的；但不同晶體的對(duì)稱性往往又是互有差異的：因此，可以根據(jù)晶體對(duì)稱特點(diǎn)上差異來對(duì)晶體進(jìn)行科學(xué)的分類。此外，晶體的對(duì)稱性不僅包含幾何意義上對(duì)稱，而且也包含物理意義上的對(duì)稱。它們對(duì)于我們理解晶體的一系列性質(zhì)和識(shí)別晶體，以至對(duì)晶體的利用都具有重要的意義。

晶體的對(duì)稱性首先最直觀地表現(xiàn)在它們的幾何多面體外形上，以及其他方面的宏觀性質(zhì)上。第七十二頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。石英晶體明礬晶體重鉻酸鉀晶體第七十三頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。第七十四頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。第七十五頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。旋轉(zhuǎn)對(duì)稱對(duì)物體的作用第七十六頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。鏡面對(duì)稱對(duì)物體的作用反演對(duì)稱對(duì)物體的作用第七十七頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。對(duì)稱（symmetry）就是物體相同部分有規(guī)律的重復(fù)。

對(duì)稱變換（symmetryconversion）亦稱對(duì)稱操作（symmetryoperation），它是指：能夠使對(duì)稱物體（或圖形）中的各個(gè)相同部分，作有規(guī)律重復(fù)的變換動(dòng)作。

對(duì)稱要素（symmetryelement）則是指：在進(jìn)行對(duì)稱變換時(shí)所憑借的幾何要素——點(diǎn)、線、面等。第七十八頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。NH3分子結(jié)構(gòu)第七十九頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。第八十頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。對(duì)稱操作的集合構(gòu)成的群稱為對(duì)稱操作群3重旋轉(zhuǎn)構(gòu)成的群C3第八十一頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。群論基礎(chǔ)定義：在元素的集合G上定義一種結(jié)合法（稱為乘法），若G對(duì)于給定的乘法滿足下述四條公設(shè)，則集合G稱為一個(gè)群(group)：1.滿足封閉性。G中任何兩個(gè)(不同的或相同的)元素a和b，它們的乘積ab仍是G中元素。2.結(jié)合律成立。G中任何元素a，b，c有(ab)c=a(bc)。3.單位元e存在。對(duì)于G中任何元素a，有ea=ae=a。單位元e也稱為恒等元，也記為1。4.逆元素存在。對(duì)于G中每一元素a，都有G中的一個(gè)元素b=a-1，稱為a的逆元，使得ab=ba=1。第八十二頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。例2：群G={1，-1，i，-i}的乘法表1111iiii第八十三頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。有限群中互不相同的元素的個(gè)數(shù)稱為該群的階例2中的{1,-1}的乘法也構(gòu)成一個(gè)群，則稱為是群G的子群，G則稱為母群。例1是對(duì)稱操作群，對(duì)稱群中兩個(gè)元素的乘積定義為順次進(jìn)行兩個(gè)操作，乘積a2a1表示先操作a1，后操作a2，即先右邊的操作。群的乘積不一定是算術(shù)中的乘法，而是代表了一種操作。例1群中任何元素都可以看作是3+生成的

3–=(3+)21=(3+)3

這樣的群稱為循環(huán)群，3+稱為生成元。第八十四頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。4.1第I類點(diǎn)對(duì)稱操作：n重旋轉(zhuǎn)軸點(diǎn)對(duì)稱操作是客體所相關(guān)的空間中至少有一點(diǎn)不發(fā)生位移的對(duì)稱操作。nCn晶體中旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸必定平行于某一點(diǎn)列。直角坐標(biāo)系下，繞X軸，Y軸，Z軸的n重旋轉(zhuǎn)的矩陣分別為：Wa=1000cosan-sinan0sinancosan

Wb=010cosan0sinan-sinan0cosan

第八十五頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。(1)1重旋轉(zhuǎn)相當(dāng)于沒有進(jìn)行任何操作即全同操作?？瓷先ト僮鳑]有意義，但它是旋轉(zhuǎn)群中不可少的單位元素。Wc=001cosan-sinan0sinancosan0第八十六頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。(2)2重旋轉(zhuǎn)2一對(duì)互為對(duì)映異構(gòu)體的點(diǎn)群為2的酒石酸第八十七頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。對(duì)于唯一最高對(duì)稱軸為2的宏觀晶體或微觀點(diǎn)陣，大部分文獻(xiàn)定義該2重軸方向的宏觀晶軸Y，微觀點(diǎn)陣基矢b。b軸為2重軸c軸為2重軸{1,2}第八十八頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。(3)3重旋轉(zhuǎn)3{3+，3－，1}點(diǎn)群為3的過碘酸鈉晶體3重旋轉(zhuǎn)對(duì)稱第八十九頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。(4)4重旋轉(zhuǎn)4{4+，2，4－，1}第九十頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。(5)5重對(duì)稱軸不存在晶體學(xué)對(duì)稱軸的軸次定理：晶體中只可能存在1，2，3，4，6重對(duì)稱軸，5重和6重以上對(duì)稱軸不存在。定理證明的前提是晶體具有點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)。第九十一頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。設(shè)A和B是相距為一個(gè)平移周期s的兩點(diǎn)(AB=d)，在A和B點(diǎn)皆有旋轉(zhuǎn)α=2π/q角度的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸。繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)α角后，AB變成了AC，繞B點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)α角后，BA變成了BD。為了保證平移對(duì)稱性不破壞，CD的長(zhǎng)度必須是d的整數(shù)倍,即CD=md，其中m為正整數(shù)。由圖可知第九十二頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。CD=md=d+2dsin[α-π/2]于是有cosα=(1-m)/2，滿足上式的m只能取五個(gè)值m=3,2,1,0,-1，轉(zhuǎn)動(dòng)角度α可能的取值為α=π，2π/3，π/2，π/3，2π第九十三頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。(6)6重旋轉(zhuǎn)6{6+，3+，2+，3－，6－，1}第九十四頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。4.2第II類點(diǎn)對(duì)稱操作：反映與反演(1)反映m{m，1}Cs反映面平行于某一點(diǎn)陣平面第九十五頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。1=mhC2{1，1}(2)反演1反演對(duì)稱對(duì)物體的作用Ci第九十六頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。第I類點(diǎn)操作的乘積仍為第I類點(diǎn)操作，即旋轉(zhuǎn)之間的乘積仍為旋轉(zhuǎn)。奇數(shù)個(gè)第II類點(diǎn)操作-------反演的乘積為反演，偶數(shù)個(gè)反演的乘積為恒等操作。奇數(shù)個(gè)第II類點(diǎn)操作------反映的乘積為反映，偶數(shù)個(gè)反映的乘積為恒等操作。第九十七頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。1=mhC2=C2mh也可將1，C2，mh和1構(gòu)成一個(gè)對(duì)稱操作群兩個(gè)非對(duì)稱操作的組合可構(gòu)成對(duì)稱操作mh表示的是與對(duì)稱旋轉(zhuǎn)軸垂直的反映面第九十八頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。C2h{1，C2，mh，1}第九十九頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。12mh1112mh12211mhmhmh11211mh21C2h{1，C2，mh，1}=交換群第一百頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。4.3第I類點(diǎn)操作與第II類點(diǎn)操作的組合(1)旋轉(zhuǎn)----反演n旋轉(zhuǎn)與反演是可交換的。旋轉(zhuǎn)---反演的對(duì)稱要素為n重軸(不一定是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸)在加上一點(diǎn)作為反演心(不一定是對(duì)稱心)，合稱為反演軸(n)。第一百零一頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。1：即反演。2：即mh，不是新的對(duì)稱操作。例：硫酸鉀晶體有對(duì)稱心即1，反演是對(duì)稱操作。盡管它沒有2重對(duì)稱軸和對(duì)稱面，我們總可以為它指定一個(gè)2重軸和一個(gè)相應(yīng)的mh反映面，相應(yīng)的操作2和mh不是對(duì)稱操作，但乘積C2mh=1卻為對(duì)稱操作。第一百零二頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。3：即3重旋轉(zhuǎn)軸和反演的組合，不是獨(dú)立的對(duì)稱操作。第一百零三頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。3={3，(3)2=3–，(3)3=1，(3)4=3+，(3)5=(3)–，(3)6=1}兩個(gè)子群：H1={3+，3–，1}，H2={1，1}第一百零四頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。4：是新的獨(dú)立的對(duì)稱操作。4={4，(4)2=2，(4)3=(4)–，(4)4=1}第一百零五頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。6：既可以看作兩個(gè)非對(duì)稱操作6+，1的組合，也可以看作兩個(gè)對(duì)稱操作3和mh的組合。6={6，(6)2=3+，(6)3=2=mh，(6)4=3–，(6)5=(6)–，(6)6=1}C3h群第一百零六頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。第一百零七頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。(2)旋轉(zhuǎn)----反映n～~1：即反映，與操作2等價(jià)。相應(yīng)對(duì)稱要素為n重軸(不一定是對(duì)稱軸)和一個(gè)與之垂直的反映面(不一定是對(duì)稱面)，合稱為反映軸。~~2：即反演，2=1。第一百零八頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。3：與6完全等同。~3={3，(3)2=3–，(3)3=mh，(3)4=3+，(3)5=(3)–，(3)6=1}~~~~~~~~3群包含子群3和子群mh。

3=(6)–，即：3=C3mh=C3C21=6–1=(6)–

將3=(6)兩邊取逆，得(3)=6–~~~~~4：與4群完全相同。~6：與3群完全相同。~第一百零九頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。對(duì)稱操作1，2，3，4，6中，1和2=mh不是復(fù)合操作，3，4，6是復(fù)合操作。其中4是獨(dú)立對(duì)稱操作。1=2，2=1，3=6，4=4，6=3~~~~~第一百一十頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。n旋轉(zhuǎn)n1反演mv反映mh反映2n’2n~mv’第一百一十一頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。m1m3m2C3v群第一百一十二頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。13+3–m1m2m3113+3–m1m2m33+3+3–1m3m1m23–3–13+m2m3m1m1m1m2m313+3–m2m2m3m13–13+m3m3m1m23+3–1C3v={1，3+，3–，m1，m2，m3}第一百一十三頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。第一百一十四頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。第一百一十五頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。判斷下列命題的真?zhèn)危?.具有3重反演軸3的客體，必同時(shí)具有3重軸和對(duì)稱心12.4重反演軸4是無法用別的對(duì)稱要素替代的獨(dú)立對(duì)稱要素3.不可能用正五邊形不留空隙地鋪滿平面4.具有6重反演軸6的客體，必包含6重軸和對(duì)稱面5.具有4重反映軸4的客體，必包含4重旋轉(zhuǎn)對(duì)稱操作6.兩個(gè)第II類對(duì)稱操作的乘積為第I類對(duì)稱操作。第一百一十六頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。8.三維點(diǎn)陣中的對(duì)稱軸必須與該點(diǎn)陣中的某一維點(diǎn)陣平行，與該點(diǎn)陣中的某二維點(diǎn)陣垂直9.循環(huán)群為交換群10.旋轉(zhuǎn)，反演兩步操作總是可以交換順序11.旋轉(zhuǎn)，反映兩步操作總是可以交換順序12.圍繞同一軸進(jìn)行若干次旋轉(zhuǎn)的總結(jié)果與各次旋轉(zhuǎn)的順序無關(guān)7.兩個(gè)非對(duì)稱操作的乘積不可能是對(duì)稱操作第一百一十七頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。4.4第I類空間操作：第I類點(diǎn)操作與平移的組合(1)旋轉(zhuǎn)與垂直平移的組合：轉(zhuǎn)軸的位移第一百一十八頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。(2)旋轉(zhuǎn)與平行平移的組合：螺旋nm第I類操作的普遍形式第一百一十九頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。兩個(gè)非對(duì)稱操作組合的螺旋設(shè)螺旋軸方向上的點(diǎn)陣周期為d，該方向的平行平移t可以超過點(diǎn)陣平移kd(k為整數(shù))的取值范圍，

t=kd+t

t為點(diǎn)陣周期d的分?jǐn)?shù)倍，稱為螺旋操作中的內(nèi)稟平移或螺距?？紤]n重旋轉(zhuǎn)與平行平移t的組合

(kd+t)·n

平移kd是對(duì)稱操作，可以去掉第一百二十頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。螺旋和螺旋軸的HM符號(hào)為nm，其中n的含義與n重旋轉(zhuǎn)軸的含義相同，m表示內(nèi)稟平移。

螺旋對(duì)稱操作nm定義為

nm=t·nnm操作n次，即(nm)n=(t·n)n=(nt)·(n)nnt=md

t=(m/n)d(m=1，2，···，n–1)(nm)n為對(duì)稱操作，(n)n亦為對(duì)稱操作，所以(nt)也是對(duì)稱操作?？傻茫旱谝话俣豁?yè)，共二百二十一頁(yè)。t=(m/n)d(m=1，2，···，n–1)螺旋nm中的內(nèi)稟平移為平移方向上點(diǎn)陣周期d的m/n倍晶體學(xué)中的所有螺旋對(duì)稱軸為：

21；

31，32；

41，42，43；

61，62，63，64，65微觀晶體的所有對(duì)稱操作構(gòu)成的群稱為空間對(duì)稱群，簡(jiǎn)稱空間群第一百二十二頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。dtdtdt第一百二十三頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。dttt第一百二十四頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。dt第一百二十五頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。dtdtt=1/3dt=2/3dd第一百二十六頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。一般地，具有螺旋nm對(duì)稱性的空間群中，m＜n/2時(shí)為右螺旋；m＞n/2等效于左螺旋nn–m；m=n/2時(shí)沒有左右螺旋之分。分別具有nm對(duì)稱性和nn–m對(duì)稱性的同一化學(xué)式的兩個(gè)客體互為對(duì)映異構(gòu)體。第一百二十七頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。較高的對(duì)稱性包含著較低的對(duì)稱性。例如4重對(duì)稱旋轉(zhuǎn)包含2重對(duì)稱旋轉(zhuǎn)；6重對(duì)稱軸同時(shí)也是3重和2中對(duì)稱軸；螺旋對(duì)稱軸也有同樣的情況。41，43螺旋軸包含21軸，42軸包含著旋轉(zhuǎn)軸2；

61螺旋軸包含螺旋軸21和31

62螺旋軸包含螺旋軸32和旋轉(zhuǎn)軸2

63螺旋軸包含旋轉(zhuǎn)軸3

64螺旋軸包含螺旋軸31和旋轉(zhuǎn)軸2

65螺旋軸包含螺旋軸21和32第一百二十八頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。4.5第II類空間操作：第II類點(diǎn)操作與平移的組合(1)反映與垂直平移的組合：反映面的位移tt/2m1m1’122’第一百二十九頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。(2)反映與平行平移的組合：滑移第一百三十頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。反映與內(nèi)稟平移的組合，構(gòu)成滑移?；浦袃?nèi)稟平移t的取量唯一，為滑移方向上點(diǎn)陣周期的t的1/2?；茖?duì)稱操作定義為g=tm滑移的內(nèi)稟平移量的可取方向多樣。第一百三十一頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。軸向滑移：a=a/2，b=b/2，c=c/2對(duì)角滑移n：(a+b)/2，(a+c)/2，(b+c)/2，(a+b+c)/2金剛石滑移d：(a+b)/4，(a+c)/4，(b+c)/4，(a+b+c)/4第一百三十二頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。第一百三十三頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。第一百三十四頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。五點(diǎn)群5.1平面晶體學(xué)點(diǎn)群對(duì)稱要素系指點(diǎn)群中的各對(duì)稱操作所據(jù)以進(jìn)行的，采取一定空間布局的一組對(duì)稱要素，簡(jiǎn)稱對(duì)稱系。與該點(diǎn)群的一組對(duì)稱操作相聯(lián)系的一組對(duì)稱等效點(diǎn)，即對(duì)稱等效點(diǎn)系，簡(jiǎn)稱對(duì)稱點(diǎn)系。點(diǎn)操作的集合構(gòu)成的群為點(diǎn)群第一百三十五頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。點(diǎn)群(1)：1={1}(1)第I類點(diǎn)操作(旋轉(zhuǎn))構(gòu)成的點(diǎn)群點(diǎn)群(2)：2={1，2}點(diǎn)群(3)：3={1，3+，3－}點(diǎn)群(4)：4={1，4+，(4+)2=2，(4+)3=4－}點(diǎn)群(5)：6={1，6+，(6+)2=3+，(6+)3=2，(6+)4=3－，(6+)5=6－}平面中的對(duì)稱旋轉(zhuǎn)軸只能與平面垂直。第一百三十六頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。第一百三十七頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。(2)包含第II類點(diǎn)操作(反映)的點(diǎn)群點(diǎn)群(6)：m={1，m}，這是與單一反映面相應(yīng)的點(diǎn)群平面中的反演等價(jià)于2重旋轉(zhuǎn)，二維空間的反演成為第I類操作。反映面只能與二維平面垂直第一百三十八頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。萬(wàn)花筒原理：由一個(gè)n重對(duì)稱軸和一個(gè)mv型對(duì)稱面出發(fā)，所派生出的新對(duì)稱面不止一個(gè)，而是n-1個(gè)。或兩個(gè)夾角為p/n的對(duì)稱面的交線是n重旋轉(zhuǎn)軸第一百三十九頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。點(diǎn)群(7)：2mm(C2v)={1，mv1，mv2=md，2}，兩個(gè)垂直于二維平面的反映面相交2mm12mvmd112mvmd221mdmvmvmvmd12mdmdmv21第一百四十頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。點(diǎn)群(8)：3m(C3v)={1，3+，3－；m1，m3，m2}m1，m2，m3在群3m中屬同一共軛類第一百四十一頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。點(diǎn)群(9)：4mm(C4v)={1，4+，2，4－；m[100]，m[110]，m[010]，m[110]}－第一百四十二頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。點(diǎn)群(10)：6mm(C6v)第一百四十三頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。第一百四十四頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。第一百四十五頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。點(diǎn)陣點(diǎn)群：指點(diǎn)陣所屬的點(diǎn)群。例：四方點(diǎn)陣－4mm(C4v)={1，4+，2，4－；m[100]，m[110]，m[010]，m[110]}子群：4，2mm，2，m，1(3)平面點(diǎn)陣分類，點(diǎn)陣點(diǎn)群點(diǎn)陣點(diǎn)的位置群：描述每一點(diǎn)陣點(diǎn)所代表的對(duì)稱性的某種有限群。第一百四十六頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。aaaaabbbbbg第一百四十七頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。晶系點(diǎn)陣點(diǎn)群點(diǎn)陣類型單斜（斜交）2mp正交（矩形）2mmop，oc四方（正方）4mmtp六方6mmhp第一百四十八頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。二維點(diǎn)群各點(diǎn)陣3個(gè)號(hào)位各個(gè)方向的定義點(diǎn)陣及其點(diǎn)陣點(diǎn)群第1號(hào)位方向第2號(hào)位方向第3號(hào)位方向mp(2)[001](c)op(2mm)oc(2mm)[001](c)[100](a)[010](b)tp(4mm)[001](c)[100](a)[010](b)[110](a–b)[110](a+b)hp(6mm)[001](c)[100](a)[010](b)[110](–a–b)[110](a–b)[120](a+2b)[210](–2a–b)第一百四十九頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。5.2晶體學(xué)點(diǎn)群(1)第I類操作的點(diǎn)群：純旋轉(zhuǎn)點(diǎn)群三維空間的單軸旋轉(zhuǎn)點(diǎn)群的對(duì)稱性特點(diǎn)是：對(duì)稱軸具有極性，其正負(fù)方向不等價(jià)。A三維空間的單一對(duì)稱軸的5個(gè)旋轉(zhuǎn)點(diǎn)群1、2、3、4、6與二維平面相應(yīng)5個(gè)旋轉(zhuǎn)點(diǎn)群完全一致。第一百五十頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。B具有一個(gè)n重軸和n個(gè)與之垂直的2重軸的點(diǎn)群：雙面點(diǎn)群雙面群定理：若點(diǎn)群中有一2重軸與唯一n重軸垂直相交，則：(1)總共有n個(gè)2重軸與該n重軸垂直相交；(2)相鄰兩個(gè)2重軸的夾角為p/n。第一百五十一頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。①點(diǎn)群222(D2)：唯一的多軸可交換旋轉(zhuǎn)軸2重主軸與其它兩個(gè)2重軸是對(duì)稱性等價(jià)的，無主次之分。D2={1，2x，2y，2z}2x2y2z第一百五十二頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。點(diǎn)群222第一百五十三頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。②點(diǎn)群32(D3)：所有2重軸都為同一共軛類的雙面群D3={1，3+[001]，3－[001]；2[100]，2[110]，2[010]}第一百五十四頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。③點(diǎn)群422(D4)，622(D6)422雙面群Dn的n重主軸無極性。第一百五十五頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。C具有一個(gè)以上高重軸點(diǎn)群：立方旋轉(zhuǎn)點(diǎn)群①點(diǎn)群23(T)第一百五十六頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。點(diǎn)群23(T)第一百五十七頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。②點(diǎn)群432(O)第一百五十八頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。點(diǎn)群432(O)第一百五十九頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。小結(jié)：11個(gè)純旋轉(zhuǎn)點(diǎn)群，其中5個(gè)單軸群：1，2，3，4，6；4個(gè)雙面群：222，32，422，622；2個(gè)立方旋轉(zhuǎn)群：23，432。單軸旋轉(zhuǎn)點(diǎn)群n(Cn)的特點(diǎn)是有極性；雙面群n22(Dn)的特點(diǎn)是主軸無極性；立方旋轉(zhuǎn)點(diǎn)群的特點(diǎn)是高對(duì)稱性。純旋轉(zhuǎn)點(diǎn)群的共同特點(diǎn)是：具有手性，相應(yīng)的客體(晶體，分子等)可能具有對(duì)映異構(gòu)現(xiàn)象。第一百六十頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。(2)含第II類操作的中心對(duì)稱點(diǎn)群點(diǎn)群1(Ci)－A單軸旋轉(zhuǎn)群n與反演群{1，1}的組合第一百六十一頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。點(diǎn)群2/m(C2h)第一百六十二頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。點(diǎn)群3(C3i)－第一百六十三頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。點(diǎn)群4/m(C4h)點(diǎn)群6/m(C6h)點(diǎn)群4/m第一百六十四頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。B雙面群Dn與反演群的組合當(dāng)n為2，4，6時(shí)，結(jié)果為Dnh型點(diǎn)群D2h，D4h，D6h的HM符號(hào)分別為，，，簡(jiǎn)記為mmm，4/mmm，6/mmm。222－m－－mm22m－－－m4m2mmm－－－26主軸n的軸次的奇偶性所導(dǎo)致的點(diǎn)群有明顯的對(duì)稱性差別。第一百六十五頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。點(diǎn)群mmm第一百六十六頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。4/mmm第一百六十七頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。點(diǎn)群6/mmm第一百六十八頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。當(dāng)n為3時(shí)，結(jié)果為D3d型點(diǎn)群，HM符號(hào)為3－2m－簡(jiǎn)記為3m－第一百六十九頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。C立方旋轉(zhuǎn)點(diǎn)群

與反演群的組合點(diǎn)群23i23m－－－(Th)(簡(jiǎn)記為)m3第一百七十頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。點(diǎn)群432i23m－－4m－(簡(jiǎn)記為)(Oh)－m3m第一百七十一頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。小結(jié)：(1)5個(gè)旋轉(zhuǎn)群的對(duì)稱軸上分別加入對(duì)稱心，得到對(duì)稱中心點(diǎn)群：當(dāng)n=2，4，6時(shí)，是Cnh群，對(duì)稱系除n重軸，對(duì)稱心外，還有一個(gè)mh對(duì)稱面，HM符號(hào)為n/m。n=3時(shí)，得到群3，無對(duì)稱面。－(2)4個(gè)雙面群的對(duì)稱軸系中分別加入對(duì)稱心，得到中心對(duì)稱點(diǎn)群：n=2，4，6時(shí)，是(Dnh)型點(diǎn)群，每個(gè)軸上垂直穿過一個(gè)mh對(duì)稱面。n=3時(shí)，得到3m(D3d)主軸方向上無對(duì)稱面。2n2－m－－mm－(3)立方晶系的點(diǎn)群m3m(Oh)具有最高的晶體學(xué)對(duì)稱性。－第一百七十二頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。(3)含第II類操作的非中心對(duì)稱點(diǎn)群A單軸旋轉(zhuǎn)群n與反映群的組合①旋轉(zhuǎn)群n與反映群mv的組合：Cnv點(diǎn)群m(Cs)，mm2(C2v)，3m(C3v)，4mm(C4v)，6mm(C6v)對(duì)稱面貼在對(duì)稱軸上的對(duì)稱面稱為mv第一百七十三頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。點(diǎn)群mm2第一百七十四頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。點(diǎn)群4mm點(diǎn)群3m第一百七十五頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。點(diǎn)群6mm第一百七十六頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。5個(gè)Cnv型點(diǎn)群和5個(gè)單軸旋轉(zhuǎn)群（1，2，3，4，6，m，mm2，3m，4mm，6mm），這10個(gè)點(diǎn)群的晶體的對(duì)稱軸不能借助于點(diǎn)群中的對(duì)稱操作翻轉(zhuǎn)方向，因而其對(duì)稱軸具有極性，稱為異極對(duì)稱性點(diǎn)群，相應(yīng)的晶體稱為極性晶體。第一百七十七頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。②旋轉(zhuǎn)群3與反映群mh的組合：交換群6(C3h)－第一百七十八頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。B雙面群Dn與反映群的組合：42m群和62m群－－42m－①D2群和反映群的組合第一百七十九頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。4m2－第一百八十頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。定理：在Dn點(diǎn)群的兩個(gè)相鄰2重軸之間的角平分線上放置一個(gè)對(duì)稱面m，使相對(duì)于這兩個(gè)2重軸為md，相對(duì)于主軸為mv，則n重主軸被升格為2n重反映軸。第一百八十一頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。－62m6m2－②D3群和反映群的組合第一百八十二頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。C立方旋轉(zhuǎn)點(diǎn)群與反映群的組合：43m群－第一百八十三頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。D點(diǎn)群4(S4)－第一百八十四頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。第一百八十五頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。32個(gè)晶體學(xué)點(diǎn)群按7個(gè)晶系和對(duì)稱型分類晶系中心對(duì)稱型(Laue對(duì)稱型)非中心對(duì)稱型對(duì)映對(duì)稱型非中心對(duì)稱非對(duì)映對(duì)稱型三斜1(Ci)1(C1)*單斜2/m(C2h)2(C2)*m(Cs)*正交mmm(D2h)222(D2)mm2(C2v)*四方4/m(C4h)4(C4)*4(S4)4/mmm(D4h)422(D2)4mm(C4v)*42m(D2d)三方3(C3i)3(C3)*3m(D3d)32(D3)3m(C3v)*六方6/m(C6h)6(C6)*6(C3h)6/mmm(D6h)622(D6)6mm(C6v)*62m(D3h)立方m3(Th)23(T)m3m(Oh)432(O)43m(Td)第一百八十六頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。在點(diǎn)陣基礎(chǔ)上的三維點(diǎn)群的3個(gè)號(hào)位的方向點(diǎn)陣第1號(hào)位方向第2號(hào)位方向第3號(hào)位方向三斜[100](a)單斜[010](b)或[001](c)正交[100](a)[010](b)[001](c)四方[001](c)[100](a)[110](a+b)六方[001](c)[100](a)[210](2a+b)三方[001](c)[100](a)[210](2a+b)立方[001](c)[111](a+b+c)[110](a+b)第一百八十七頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。5.3分子對(duì)稱性和晶體對(duì)稱性晶體的宏觀對(duì)稱性與有限分子的對(duì)稱性最本質(zhì)的區(qū)別是晶體的點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)使晶體的宏觀對(duì)稱性受到了限制.這種限制有兩方面的含義：1.在晶體的空間點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)中，任何對(duì)稱軸(包括旋轉(zhuǎn)軸、反軸以及螺旋軸)都必與一組直線點(diǎn)陣平行，除一重軸外，任何對(duì)稱軸還必與一組平面點(diǎn)陣垂直；任何對(duì)稱面(包括鏡面和滑移面)都必與一組平面點(diǎn)陣平行，面與一組直線點(diǎn)陣垂直。2.晶體中對(duì)稱軸均遵循軸次定律，只有1，2，3，4，6重軸。分子結(jié)構(gòu)中可以有5重軸，如二茂鐵。第一百八十八頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。注：晶體的宏觀對(duì)稱性和組成該晶體的分子對(duì)稱性是兩個(gè)不同層次的對(duì)稱性問題，兩者不一定必須一致。例如:晶態(tài)苯的正交結(jié)構(gòu)為D2h群，而苯分子的正六邊形結(jié)構(gòu)則為D6h群。第一百八十九頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。苯晶體第一百九十頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。1.對(duì)稱操作可以構(gòu)成操作群，請(qǐng)問構(gòu)成群的條件。舉例說明循環(huán)群、交換群。2.我們所講的晶體學(xué)中對(duì)稱操作有哪些？并請(qǐng)指出HM符號(hào)。3.11種純旋轉(zhuǎn)點(diǎn)群的國(guó)際符號(hào)及熊夫利斯符號(hào)。4.指出10種極性點(diǎn)群。5.11種中心對(duì)稱點(diǎn)群（即Laue群）。第一百九十一頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。6.指出mmm點(diǎn)群屬哪個(gè)晶系，每個(gè)字母所代表的含義和方向。7.指出4/mmm點(diǎn)群屬哪個(gè)晶系，每個(gè)字母所代表的含義和方向。8.請(qǐng)寫出C2h群和C2v的乘法表，畫出極射赤平投影圖。9.有幾種滑移形式，螺旋操作又有哪些。第一百九十二頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。六空間群晶體學(xué)空間群(簡(jiǎn)稱空間群)是微觀晶體對(duì)稱操作的集合。點(diǎn)陣具有平移對(duì)稱性，由平移群T描述；點(diǎn)陣還具有一定的點(diǎn)操作對(duì)稱性，由點(diǎn)陣點(diǎn)群P描述。G=T∧PP中的點(diǎn)操作，T中的平移，以及這些點(diǎn)操作與平移的所有組合構(gòu)成點(diǎn)陣這一特殊晶體的空間群。第一百九十三頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。晶體空間群G也可表為平移T與某中有限群P的半直積G=T∧P，其中，平移群T與相應(yīng)晶體之點(diǎn)陣的平移群完全相同，但P的含義不是點(diǎn)陣點(diǎn)群，而是描述每一點(diǎn)陣點(diǎn)所代表的對(duì)稱性的某種有限群，稱為點(diǎn)陣點(diǎn)的位置群?？臻g群G依照G=T∧P中的直積因子群P的類型分為兩類：點(diǎn)式空間群和非點(diǎn)式空間群。點(diǎn)陣點(diǎn)的位置點(diǎn)群的對(duì)稱性小于等于點(diǎn)陣點(diǎn)群。第一百九十四頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。六方晶系的點(diǎn)陣點(diǎn)群為6mm位置點(diǎn)群分別為3和6在平面晶體學(xué)中第一百九十五頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。6.1平面空間群I：點(diǎn)式空間群6.1.1點(diǎn)式空間群的構(gòu)成，13個(gè)點(diǎn)式空間群◆2重旋轉(zhuǎn)與點(diǎn)陣平移的組合：新的2重旋轉(zhuǎn)P2第一百九十六頁(yè)，共二百二十一頁(yè)?！?重旋轉(zhuǎn)與點(diǎn)陣平移的組合：新的4重旋轉(zhuǎn)和2重旋轉(zhuǎn)P4第一百九十七頁(yè)，共二百二十一頁(yè)?！?重旋轉(zhuǎn)與點(diǎn)陣平移的組合：新的3重旋轉(zhuǎn)P3第一百九十八頁(yè)，共二百二十一頁(yè)?！?重旋轉(zhuǎn)與點(diǎn)陣平移的組合：新的3重旋轉(zhuǎn)和2重旋轉(zhuǎn)P6第一百九十九頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。例：P2mm和Pm的形成◆反映和平移的組合第二百頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。例：空間群C2mm反映和平移的結(jié)果出現(xiàn)了新的滑移面第二百零一頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。點(diǎn)式空間群的HM符號(hào)空間群的符號(hào)是在其點(diǎn)陣點(diǎn)的位置群的符號(hào)前冠以P或C，分別表示初基點(diǎn)陣和c心非初基點(diǎn)陣。位置點(diǎn)群P的3個(gè)號(hào)位方向定義取決于點(diǎn)陣點(diǎn)群。P4mmc方向a或b方向a–b或a+b方向初基點(diǎn)陣第二百零二頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。二維點(diǎn)式空間群：?由斜交點(diǎn)陣mp的平移群出發(fā)可得：P1=Tmp∧1P2=Tmp∧2?由簡(jiǎn)單矩形點(diǎn)陣op的平移群出發(fā)可得：Pm=Top∧mP2mm=Top∧2mmCm=Tcp∧m?由c心矩形點(diǎn)陣oc的平移群出發(fā)可得：C2mm=Tcp∧2mm第二百零三頁(yè)，共二百二十一頁(yè)。?由正方點(diǎn)陣tp的平移群出發(fā)可得：P4=Ttp∧4P4mm=Ttp∧4mm?由六角點(diǎn)陣hp的平移群