2021-2022學(xué)年上海市寶山中學(xué)高二年級下冊學(xué)期線上期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年上海市寶山中學(xué)高二下學(xué)期線上期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．“直線與平行”是“直線與的斜率相等”的（

）條件A．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既非充分又非必要B【分析】根據(jù)直線平行與斜率之間的關(guān)系，逐個選項進(jìn)行判斷即可.【詳解】充分性：直線與平行，但是和都沒有斜率，即當(dāng)和都垂直于軸時，與仍然平行，但是，此時不滿足直線與的斜率相等，故充分性不成立；必要性：直線與的斜率相等，則必有直線與平行，故必要性成立；綜上，“直線與平行”是“直線與的斜率相等”的必要非充分條件.故選：B2．設(shè)是兩定點，，動點P滿足，則動點P的軌跡是（

）A．雙曲線 B．直線 C．線段 D．射線D【分析】由條件可得，即可得答案．【詳解】因為，所以動點M的軌跡是射線．故選：D3．若圓和圓沒有公共點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．D【分析】求出兩圓的圓心坐標(biāo)與半徑，再由圓心距與半徑間的關(guān)系列式求解．【詳解】化圓C2：x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0為（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25+k，則k＞﹣25，圓心坐標(biāo)為（3，4），半徑為，圓C1：x2+y2＝1的圓心坐標(biāo)為（0，0），半徑為1．要使圓C1：x2+y2＝1和圓C2：x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0沒有公共點，則|C1C2|或|C1C2|，即5或5，解得﹣25＜k＜﹣9或k＞11．∴實數(shù)k的取值范圍是（﹣25，﹣9）∪（11，+∞）．故選：D．本題考查圓與圓位置關(guān)系的判定及應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查計算能力，是基礎(chǔ)題．4．已知拋物線的焦點為F，直線的斜率為且經(jīng)過點F，直線l與拋物線C交于點A、B兩點（點A在第一象限），與拋物線的準(zhǔn)線交于點D，若，則以下結(jié)論不正確的是（

）A． B．F為的中點C． D．D【分析】設(shè)出直線的方程，并與拋物線方程聯(lián)立，求得兩點的坐標(biāo)，根據(jù)求得，求得點的坐標(biāo)，從而確定正確選項.【詳解】依題意，設(shè)直線的方程為，由消去并化簡得，解得，所以，所以，A選項正確.直線的方程為，令，則，故，由于，，所以是的中點，B選項正確，，，，C選項正確，D選項錯誤.故選：D二、填空題5．直線x+y+1=0的傾斜角是_____．135°【詳解】試題分析：先求出直線的斜率，再求直線的傾斜角．解：直線x+y+1=0的斜率k=﹣1，∴直線x+y+1=0的傾斜角α=135°．故答案為135°．直線的一般式方程．6．若雙曲線的一個焦點坐標(biāo)為，實軸長為6，則它的標(biāo)準(zhǔn)方程是_______.【分析】求得，由此求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】由于雙曲線的一個焦點坐標(biāo)為，所以雙曲線的焦點在軸上，，實軸長，，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故7．已知方程表示焦點在y軸上的橢圓，則實數(shù)m的取值范圍是_______；【分析】根據(jù)橢圓的焦點在軸上列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】由于方程表示焦點在y軸上的橢圓，所以，解得.故8．直線與圓相交于A，B兩點，則______．6【分析】利用弦心距、半徑與弦長的幾何關(guān)系，結(jié)合點線距離公式即可求弦長.【詳解】由題設(shè)，圓心為，則圓心到直線距離為，又圓的半徑為，故.故9．拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離是_____．【詳解】雙曲線的漸近線為的焦點到漸近線距離為.10．已知直線與，若，則實數(shù)a的值為______．【分析】由可得，從而可求出實數(shù)a的值【詳解】因為直線與，且，所以，解得，故11．與直線平行且與它的距離為的直線方程是______；或【分析】設(shè)所求直線方程為，根據(jù)平行直線間的距離公式列方程，化簡求得的值，從而求得正確答案.【詳解】設(shè)直線平行的直線方程為，依題意，解得或，所以所求直線方程為：或.故或12．已知斜率為2且與圓相切的直線方程是_______；或【分析】設(shè)所求直線方程為，根據(jù)直線和圓相切列方程，化簡求得，進(jìn)而求得所求直線方程.【詳解】圓，即，所以圓心為，半徑為.設(shè)所求直線方程為，即，由于直線和圓相切，所以，解得或，所以所求直線方程為或.故或13．橢圓的焦點為為橢圓上一點,若,則_________.根據(jù)橢圓定義可得:,,在三角形中由余弦定理,即可求得答案.【詳解】橢圓可得:,,.根據(jù)橢圓定義可得:,,可得解得:.在三角形中由余弦定理:,故答案為:.本題主要考查了由余弦定理解三角形,解題關(guān)鍵是掌握橢圓基礎(chǔ)知識和余弦定理,考查了分析能力和計算能力,屬于中檔題.14．已知定點，是圓上的動點，則當(dāng)取到最大值時，點的坐標(biāo)為______.【分析】連接和圓心，交圓于點，作出圖像.求得直線的方程，聯(lián)立直線的方程和圓的方程，求得交點的坐標(biāo).【詳解】連接和圓心，交圓于點，作出圖像如下圖所示.此時取得最大值.圓心坐標(biāo)為，故直線的方程為，即.由解得，（點舍去）.故填.本小題主要考查點和圓的位置關(guān)系，考查直線和圓的交點坐標(biāo)的求法，考查圓的幾何性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.15．一輛卡車要通過跨度為8米、拱高為4米的拋物線形隧道，為了保證安全，車頂上方與拋物線的鉛垂距離至少0.5米．隧道有兩條車道，車輛在其中一條車道行駛，卡車寬為2.2米，車廂視為長方體，則卡車的限高為_____米（精確到0.01米）.【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求得拋物線的方程，根據(jù)題意求得限高.【詳解】建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程為，依題意拋物線過點，則，所以拋物線的方程為，車的截面為矩形，設(shè)，則，所以米，即限高為米.故16．如圖，F(xiàn)1、F2分別是雙曲線C：y2＝1的左、右焦點，過F2的直線與雙曲線C的兩條漸近線分別交于A、B兩點，若，?0，則雙曲線C的焦距|F1F2|為_____．【分析】由漸近線方程設(shè)A（m，）（m＞0）,根據(jù)可得B為（2m﹣c，）,代入漸近線方程可得m,由?0,代入可得,從而求出焦距【詳解】由題,漸近線方程為,設(shè)A（m，）（m＞0）,F2（c，0）,,因為,所以為的中點,由中點坐標(biāo)公式可得B為（2m﹣c，）,代入漸近線方程y,得,解得m,因為,,由?0,則,將m代入,得,解得,所以故本題考查雙曲線漸近線方程的應(yīng)用,考查雙曲線焦距,考查運算能力三、解答題17．求解下列問題：(1)已知兩點，求線段的中垂線所在直線方程；(2)已知直線與直線平行，直線與兩坐標(biāo)軸所構(gòu)成的三角形的面積為12，求直線的方程．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)中點和斜率求得線段的中垂線所在直線方程.（2）設(shè)，根據(jù)直線與兩坐標(biāo)軸所構(gòu)成的三角形的面積求得，從而求得直線的方程.【詳解】(1)線段中點的坐標(biāo)為，線段所在直線的斜率為，所以線段的中垂線所在直線的斜率為，所以線段的中垂線所在直線方程為，即.(2)設(shè)，則直線過點，所以，所以直線的方程為.18．已知離心率的橢圓：的一個焦點為.（1）求橢圓的方程；（2）若斜率為的直線交橢圓于，兩點，且，求直線的方程.（1）；（2）或.（1）由離心率求出，再求出，可得橢圓方程；（2）設(shè)直線的方程為，點，，直線方程代入橢圓方程整理后應(yīng)用韋達(dá)定理得，然后代入弦長公式可求得參數(shù)值得直線方程．【詳解】（1）由題意知，，，∴，，∴橢圓的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，點，，聯(lián)立方程組，化簡，得.由已知得，，即，∴，且，.∴，解得，符合題意，∴直線的方程為或.方法點睛：本題考查直線與橢圓相交弦長問題．解題方法是設(shè)而不求的思想方法，即設(shè)交點坐標(biāo)，設(shè)出直線方程，代入橢圓方程后應(yīng)用韋達(dá)定理得，代入弦長公式求解．19．已知過拋物線的焦點，斜率為的直線交拋物線于和兩點，且．（1）求該拋物線的方程；（2）O為坐標(biāo)原點，C為拋物線上一點，若，求的值．（1）；（2）或．（1）由題意求得焦點坐標(biāo)，得到直線方程，和拋物線方程聯(lián)立，利用弦長公式求得，則拋物線方程可求；（2）由（1）求出，的坐標(biāo)結(jié)合，求出的坐標(biāo)，代入拋物線方程求得值．【詳解】解：（1）依題意可知拋物線的焦點坐標(biāo)為，，故直線的方程為，聯(lián)立，可得．，，△，解得，．經(jīng)過拋物線焦點的弦，解得．拋物線方程為；（2）由（1）知，，，代入直線，可求得，，即，，，，，，，，，點在拋物線上，故，解得：或．本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，訓(xùn)練了向量在求解圓錐曲線問題中的應(yīng)用，屬于中檔題．20．如圖:雙曲線:的左、右焦點分別為,,過作直線交軸于點.(1)當(dāng)直線平行于的一條漸近線時,求點到直線的距離;(2)當(dāng)直線的斜率為時,在的右支上是否存在點,滿足？若存在,求出點的坐標(biāo);若不存在,說明理由;(3)若直線與交于不同兩點、,且上存在一點,滿足(其中為坐標(biāo)原點),求直線的方程.（1）（2）在雙曲線的右支上不存在點，滿足，詳見解析（3）【分析】(1)雙曲線:的左、右焦點分別為,,,,的漸近線方程為,由對稱性可知:,根據(jù)點到直線的距離公式,即可求得答案;(2)直線的斜率為時,的方程為,設(shè)右支上的點的坐標(biāo)為,則,由,得,結(jié)合已知,即可求得答案;(3)設(shè):,聯(lián)立與的方程,得,根據(jù)韋達(dá)定理,結(jié)合已知,即可求得答案.【詳解】(1)雙曲線:的左、右焦點分別為,,,的漸近線方程為,由對稱性可知：,即,到的距離.（2）當(dāng)直線的斜率為時,的方程為,故,又,故,設(shè)右支上的點的坐標(biāo)為,則,由,得,即:由消去得,由根與系數(shù)的關(guān)系知,此方程無正根在雙曲線的右支上不存在點,滿足.（3）設(shè),,則,由點在曲線上,故①設(shè):.聯(lián)立與的方程,得,由于與交于不同兩點,,,從而①即為,解得.即直線的方程為.本題的解題關(guān)鍵是掌握圓錐曲線的基礎(chǔ)知識,考查了分析能力和計算能力.探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種:從特殊入手,先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出定值,再證明這個值與變量無關(guān);直接推理、計算,并在計算推理的過程中消去變量,從而得到定值.21．已知二次曲線的方程：．（1）分別求出方程表示橢圓和雙曲線的條件；（2）若雙曲線與直線有公共點且實軸最長，求雙曲線方程；（3）為正整數(shù)，且，是否存在兩條曲線，其交點P與點滿足，若存在，求的值；若不存在，說明理由．（1）時，方程表示橢圓，時，方程表示雙曲線；（2）；（3）存在，且或或.【分析】（1）當(dāng)且僅當(dāng)分母都為正，且不相等時，方程表示橢圓；當(dāng)且僅當(dāng)分母異號時，方程表示雙曲線．（2）將直線與曲線聯(lián)立化簡得：，利用雙曲線與直線有公共點，可確定的范圍，從而可求雙曲線的實軸，進(jìn)而可得雙曲線方程；（3）由（1）知，，是橢圓，，，，是雙曲線，結(jié)合圖象的幾何性質(zhì)，任意兩橢圓之間無公共點，任意兩雙曲線之間無公共點，從而可求．【詳解】（1）當(dāng)且僅當(dāng)時，方程