2022-2023學(xué)年重慶市江津中學(xué)高二年級上冊學(xué)期10月階段性考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年重慶市江津中學(xué)高二上學(xué)期10月階段性數(shù)學(xué)試題一、單選題1．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．B【分析】根據(jù)空間中點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的知識求得正確答案.【詳解】空間中，點(diǎn)關(guān)于軸對稱，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)和豎坐標(biāo)相反.所以點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：B2．已知方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是A． B． C． D．C【詳解】解：因?yàn)榉匠瘫硎窘裹c(diǎn)在y軸上的橢圓，因此2k-1>0,2-k>0,同時2k-1>2-k,這樣解得為選項(xiàng)C3．在三棱錐中，，N為中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．B【分析】連接，得，，所以可得答案.【詳解】連接，所以，因?yàn)?，所以，所?故選：B.4．王老師在課堂上與學(xué)生探究直線時，有四位同學(xué)分別給出了一個結(jié)論.甲：直線經(jīng)過點(diǎn).乙：直線經(jīng)過點(diǎn).丙：直線經(jīng)過點(diǎn).丁：直線的斜率為整數(shù).如果只有一位同學(xué)的結(jié)論是錯誤的，那么這位同學(xué)是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁B【分析】設(shè)，，，求出三條直線的斜率即得解.【詳解】設(shè)，，，則，，，易知，，三點(diǎn)不共線，所以甲乙丙不可能都正確，至少有一個是錯誤的，由于只有一位同學(xué)的結(jié)論是錯誤的，所以丁同學(xué)的結(jié)論是正確的；而，，，丁同學(xué)的結(jié)論是正確的，所以只有可能是在這條直線上，不在這條直線上.故乙同學(xué)的結(jié)論是錯誤的.故選：B5．點(diǎn)在圓的外部，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．D【分析】根據(jù)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】由于方程表示圓，所以，由于點(diǎn)在圓的外部，所以.綜上所述，的取值范圍是.故選：D6．唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句為“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，其中隱含了一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”，即將軍在白天觀望烽火臺之后黃昏時從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，已知軍營所在的位置為，若將軍從山腳下的點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

）A． B．5 C． D．A【分析】先找出B關(guān)于直線的對稱點(diǎn)C再連接AC即為“將軍飲馬”的最短路程.【詳解】如圖所示，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，在直線上取點(diǎn)P，連接PC，則．由題意可得，解得，即點(diǎn)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)A，P，C三點(diǎn)共線時等號成立，所以“將軍飲馬”的最短總路程為．故選：A．7．已知直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作x軸的垂線，垂足分別為C，D兩點(diǎn)，若，則m為（

）A． B． C． D．C【分析】求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用求得的值.【詳解】直線，即，不妨設(shè)直線過定點(diǎn)，直線的斜率為.滿足圓的方程，所以在圓上，，所以過的圓的切線的斜率為，故（同時依題意），由消去并化簡得，，所以，，兩邊平方并化簡得，，①，對于，，所以方程①的解為.故選：C本題研究直線和圓的位置關(guān)系，聯(lián)立直線的方程和圓的方程后，列出根與系數(shù)關(guān)系，利用方程的思想建立與的關(guān)系式，對次方程因式分解，考慮分組分解法，也可以用代入選項(xiàng)法確定的值.8．設(shè)F是橢圓上的右焦點(diǎn)，P是橢圓上的動點(diǎn)，A是直線上的動點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．5 C． D．4C【分析】設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為，則.，后利用點(diǎn)到直線垂線段最短得答案.【詳解】由題可知，，.設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為，則.由橢圓定義有，則又將橢圓方程與直線方程聯(lián)立有，其，故直線與橢圓相離.如圖，要使最小，只需保證與直線垂直即可.此時三點(diǎn)共線，則，故.由上可知A，B，D錯誤，C正確.故選：C.二、多選題9．下列利用方向向量、法向量判斷線、面位置關(guān)系的結(jié)論中，正確的是（

）A．兩條不重合直線l1，l2的方向向量分別是，則B．直線l的方向向量，平面的法向量是，則C．兩個不同的平面的法向量分別是，則D．直線的方向向量，平面的法向量是，則AC【分析】根據(jù)條件結(jié)合空間向量的平行和垂直，對各選項(xiàng)逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】對于A，兩條不重合直線l1，l2的方向向量分別是，且，所以，選項(xiàng)A正確∶對于B，直線l的方向向量，平面的法向量是且，所以或，選項(xiàng)B錯誤；對于C，兩個不同的平面的法向量分別是，且，所以，選項(xiàng)C正確；對于D，直線l的方向向量，平面a的法向量是且，所以，選項(xiàng)D錯誤．故選∶AC10．已知直線與圓，則（

）A．直線與圓C相離B．直線與圓C相交C．圓C上到直線的距離為1的點(diǎn)共有2個D．圓C上到直線的距離為1的點(diǎn)共有3個BD【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可判斷.【詳解】由圓，可知其圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓心到直線的距離，所以可知選項(xiàng)B，D正確，選項(xiàng)A，C錯誤.故選：BD11．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，長軸長為4，點(diǎn)在橢圓外，點(diǎn)在橢圓上，則（

）A．橢圓的離心率的取值范圍是B．當(dāng)橢圓的離心率為時，的取值范圍是C．存在點(diǎn)使得D．的最小值為1BCD【分析】根據(jù)點(diǎn)在橢圓外，即可求出的取值范圍，即可求出離心率的取值范圍，從而判斷A，根據(jù)離心率求出，則，即可判斷B，設(shè)上頂點(diǎn)，得到，即可判斷C，利用基本不等式判斷D.【詳解】解：由題意得，又點(diǎn)在橢圓外，則，解得，所以橢圓的離心率，即橢圓的離心率的取值范圍是，故A不正確；當(dāng)時，，，所以的取值范圍是，即，故B正確；設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為，，，由于，所以存在點(diǎn)使得，故C正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，又，所以，故D正確．故選：BCD12．在正方體中，，點(diǎn)P滿足，其中，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)平面時，可能垂直B．若與平面所成角為，則點(diǎn)P的軌跡長度為C．當(dāng)時，的最小值為D．當(dāng)時，正方體經(jīng)過點(diǎn)?P?C的截面面積的取值范圍為[，]ABD【分析】依題意畫出圖形，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計算A、D，連接，則即為與平面所成角，根據(jù)銳角三角函數(shù)得到的軌跡，即可判斷B，將平面與平面沿展成平面圖形，化曲為直，利用余弦定理計算即可判斷C；【詳解】解：對于A選項(xiàng)：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，所以，，則，，設(shè)平面的一個法向量為，所以，令，則，即平面的一個法向量為，若平面，則，即，則當(dāng)時，，即P為中點(diǎn)時，有平面，且，故A正確；B選項(xiàng)：因?yàn)槠矫妫B接，則即為與平面所成角，若與平面所成角為，則，所以，即點(diǎn)P的軌跡是以為圓心，以1為半徑的個圓，于是點(diǎn)P的軌跡長度為，故B正確；C選項(xiàng)：如圖，將平面與平面沿展成平面圖形，線段即為的最小值，利用余弦定理可知所以，故C錯誤；D選項(xiàng)：正方體經(jīng)過點(diǎn)?P?C的截面為平行四邊形，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，，，所以點(diǎn)P到直線的距離為，于是當(dāng)時，的面積取最小值，此時截面面積為；當(dāng)或1時，的面積取最大值，此時截面面積為，故D正確.故選：ABD三、填空題13．已知橢圓的兩焦點(diǎn)為，，離心率.則此橢圓的方程為______.【分析】根據(jù)已知條件求得，由此求得橢圓的方程.【詳解】依題意可知，，且橢圓焦點(diǎn)在軸上，所以，解得，所以橢圓方程為.故14．從圓外一點(diǎn)向圓引切線，則此切線的長為______．2【分析】作圖，利用圓心到定點(diǎn)的距離、半徑、切線長滿足勾股定理可得.【詳解】將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，則圓心，半徑1，如圖，設(shè)，，切線長．故215．如圖，兩條異面直線a，b所成角為，在直線上a，b分別取點(diǎn)，E和點(diǎn)A，F(xiàn)，使且.已知，，.則線段______.或【分析】根據(jù)空間向量的加法，利用向量數(shù)量積的性質(zhì)計算模長，建立方程，可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，由于，，則，，又因?yàn)閮蓷l異面直線a，b所成角為，所以或，故，可得或.故或16．參加數(shù)學(xué)興趣小組的小何同學(xué)在打籃球時，發(fā)現(xiàn)當(dāng)籃球放在地面上時，籃球的斜上方燈泡照過來的光線使得籃球在地面上留下的影子有點(diǎn)像數(shù)學(xué)課堂上學(xué)過的橢圓，但他自己還是不太確定這個想法，于是回到家里翻閱了很多參考資料，終于明白自己的猜想是沒有問題的，而且通過學(xué)習(xí)，他還確定地面和籃球的接觸點(diǎn)（切點(diǎn)）就是影子橢圓的焦點(diǎn).他在家里做了個探究實(shí)驗(yàn)：如圖所示，桌面上有一個籃球，若籃球的半徑為個單位長度，在球的右上方有一個燈泡（當(dāng)成質(zhì)點(diǎn)），燈泡與桌面的距離為個單位長度，燈泡垂直照射在平面的點(diǎn)為，影子橢圓的右頂點(diǎn)到點(diǎn)的距離為個單位長度，則這個影子橢圓的離心率______.【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，解得圖中N、Q的橫坐標(biāo)，列方程組即可求得橢圓的a、c，進(jìn)而求得橢圓的離心率.【詳解】以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則，，直線PR的方程為設(shè),由到直線PR的距離為1，得，解之得或（舍）則，又設(shè)直線PN的方程為由到直線PN的距離為1，得，整理得則，又，故則直線PN的方程為，故，由，解得，故橢圓的離心率故數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷。四、解答題17．已知橢圓C：1（a＞b＞0）的離心率為，短軸一個端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為3．（1）求橢圓C的方程；（2）若直線y＝x﹣1與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B，求|AB|．(1)；(2)．【分析】（1）由題意得離心率及短軸一個端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離即為a的值，和a，b，c之間的關(guān)系求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與橢圓聯(lián)立得兩根之和與兩根之積，由弦長公式求出弦長．【詳解】（1）由題意：e，a＝3，a2＝b2+c2，∴a2＝18，b2＝9，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：；（2）設(shè)A（x，y），B（x'，y'），與橢圓的方程聯(lián)立整理：3x2﹣4x﹣16＝0，∴x+x'，xx'，所以弦長|AB|?|x﹣x'|??，所以弦長|AB|的值：．考查直線與橢圓相交弦長的公式的應(yīng)用，屬于中檔題．18．已知圓，直線是圓E與圓C的公共弦AB所在直線方程，且圓E的圓心在直線.(1)求公共弦AB的長度；(2)求圓E的方程.(1)(2)【分析】（1）利用配方法，整理圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，明確圓心與半徑，根據(jù)弦長公式，利用點(diǎn)到直線距離求弦心距，可得答案；（2）利用兩圓相交弦的性質(zhì)，利用直線垂直求直線的方程，根據(jù)弦長公式，求得半徑，可得答案.【詳解】（1）依題意，圓的圓心，半徑，則點(diǎn)C到直線的距離，即有，所以公共弦AB的長度是.（2）依題意，直線CE垂直平分公共弦AB，由直線，可設(shè)直線，將圓心代入上式，于是得直線CE的方程為：，聯(lián)立可得：，解得，即點(diǎn)，點(diǎn)E到直線AB的距離為，因此圓E的半徑，所以圓E的方程是.19．如圖，在正四棱柱中，已知，，E、F分別為、上的點(diǎn)，且．(1)求證：平面ACF；(2)求點(diǎn)E到平面ACF的距離．(1)證明見解析(2)【分析】（1）以為原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫出要用的點(diǎn)的坐標(biāo)，要證明線與面垂直，只要證明這條直線與平面上的兩條直線垂直．（2）為平面的一個法向量，向量在上的射影長即為到平面的距離，根據(jù)點(diǎn)到面的距離公式得到結(jié)果．【詳解】（1）解：如圖，以為原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，，0，，，2，，，2，，，2，，，，，，0，．，，，，且，平面，平面（2）解：由（1）知，為平面的一個法向量，，，向量在上的射影長即為到平面的距離設(shè)為，于是，故點(diǎn)到平面的距離；20．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知的頂點(diǎn)，AB邊上中線CD所在直線方程為，AC邊上的高BH所在直線方程為，求：(1)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)求的面積.(1)(2)【分析】（1）根據(jù)設(shè)出直線的方程，利用的坐標(biāo)求得直線的方程，通過聯(lián)立的方程求得點(diǎn)的坐標(biāo).（2）求得點(diǎn)坐標(biāo)，然后求得到直線的距離，利用兩點(diǎn)間的距離公式求得，進(jìn)而求得的面積.【詳解】（1）∵，BH的方程為，不妨設(shè)直線AC的方程為，將代入得，解得，∴直線AC的方程為，聯(lián)立直線AC，CD的方程，即，解得點(diǎn)C的坐標(biāo)為；（2）設(shè)，則，∵點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，所以，解得，直線的方程為，則到直線的距離為，又，，則，21．如圖，四棱錐中，為等邊三角形，，，.(1)證明：；(2)若平面平面ABCD，且，求平面AMD與平面PAB夾角的余弦值.(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)，通過證明平面來證得.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得平面AMD與平面PAB夾角的余弦值.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，，為等邊三角形，.又，，.平行且等于.四邊形為平行四邊形..，，.，、平面，平面，平面..（2）平面平面，，平面平面，平面，平面，，平面.分別以，，所在直線為，，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè).則，，，，.則有，.由，得，，又，設(shè)平面的法向量為，則，即令，得平面的一個法向量為.而平面的一個法向量為.則，所以平面AMD與平面PAB夾角的余弦值為.22．已知橢圓（），點(diǎn)為橢圓短軸的上端點(diǎn)，為橢圓上異于點(diǎn)的任一點(diǎn)，若點(diǎn)到點(diǎn)距離的最大值僅在點(diǎn)為短軸的另一端點(diǎn)時取到，則稱此橢圓為“圓橢圓”，已知.（1）若，判斷橢圓是否為“圓橢圓”；（2）若橢圓是“圓橢圓”，求的取值范圍；（3）若橢圓是“圓橢圓”，且取最大值，為關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，也異于點(diǎn)，直線、分別與軸交于、兩點(diǎn)，試問以線段為直徑的圓是否過定點(diǎn)？證明你的結(jié)論.（1）是；（2）；（3）是，證明見解析.【分析】（1）直接判斷即可，（2）由（1）的方法判斷，可得y＝