高一數(shù)學：《5-4 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)》優(yōu)秀教案教學設計

【新教材】5.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)教學設計（人教A版）本節(jié)課是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖像的繼續(xù)，本課是正弦曲線、余弦曲線這兩種曲線的特點得出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì).課程目標1.了解周期函數(shù)與最小正周期的意義;2.了解三角函數(shù)的周期性和奇偶性;3.會利用周期性定義和誘導公式求簡單三角函數(shù)的周期;4.借助圖象直觀理解正、余弦函數(shù)在[0,2π]上的性質(zhì)(單調(diào)性、最值、圖象與x軸的交點等);5.能利用性質(zhì)解決一些簡單問題.數(shù)學學科素養(yǎng)1.數(shù)學抽象：理解周期函數(shù)、周期、最小正周期等的含義；2.邏輯推理：求正弦、余弦形函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；3.數(shù)學運算：利用性質(zhì)求周期、比較大小、最值、值域及判斷奇偶性.4.數(shù)學建模：讓學生借助數(shù)形結合的思想，通過圖像探究正、余弦函數(shù)的性質(zhì).重點：通過正弦曲線、余弦曲線這兩種曲線探究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)；難點：應用正、余弦函數(shù)的性質(zhì)來求含有cosx,sinx的函數(shù)的單調(diào)性、最值、值域及對稱性.教學方法：以學生為主體，小組為單位，采用誘思探究式教學，精講多練。教學工具：多媒體。情景導入研究一個函數(shù)的性質(zhì)從哪幾個方面考慮？我們知道從定義域、值域、單調(diào)性、周期性、奇偶性、稱性等考慮，那么正余弦函數(shù)有哪些性質(zhì)呢？要求：讓學生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導學生進一步觀察.研探.二、預習課本，引入新課閱讀課本201-205頁，思考并完成以下問題1.周期函數(shù)、周期、最小正周期等的含義？2.怎樣判斷三角函數(shù)的周期性和奇偶性？3.通過正弦曲線和余弦曲線得到正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的哪些性質(zhì)？要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。三、新知探究1.定義域正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域都是實數(shù)集(或).2.值域(1)值域：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域都是.(2)最值正弦函數(shù)①當且僅當時,取得最大值②當且僅當時,取得最小值余弦函數(shù)①當且僅當時,取得最大值②當且僅當時,取得最小值3.周期性定義：對于函數(shù),如果存在一個非零常數(shù),使得當取定義域內(nèi)的每一個值時,都有,那么函數(shù)就叫做周期函數(shù),非零常數(shù)叫做這個函數(shù)的周期.由此可知,都是這兩個函數(shù)的周期.對于一個周期函數(shù),如果在它所有的周期中存在一個最小的正數(shù),那么這個最小正數(shù)就叫做的最小正周期.根據(jù)上述定義,可知：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)都是周期函數(shù),都是它的周期,最小正周期是.4.奇偶性()為奇函數(shù),其圖象關于原點對稱()為偶函數(shù),其圖象關于軸對稱5.對稱性正弦函數(shù)的對稱中心是,對稱軸是直線;余弦函數(shù)的對稱中心是,對稱軸是直線(正(余)弦型函數(shù)的對稱軸為過最高點或最低點且垂直于軸的直線，對稱中心為圖象與軸(中軸線)的交點).6.單調(diào)性正弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間上都是增函數(shù),其值從增大到;在每一個閉區(qū)間上都是減函數(shù),其值從減小到.余弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間上都是增函數(shù),其值從增加到;余弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間上都是減函數(shù),其值從減小到.四、典例分析、舉一反三題型一正、余弦函數(shù)的周期性例1求下列三角函數(shù)的最小正周期:(1)y=3cosx,x∈R;(2)y=sin2x,x∈R;(3)y=2sin(QUOTE13),x∈R;(4)y=|cosx|,x∈R.【答案】(1)2π；(2)π；(3)4π；(4)π.【解析】:(1)因為3cos(x+2π)=3cosx,所以由周期函數(shù)的定義知,y=3cosx的最小正周期為2π.(2)因為sin2(x+π)=sin(2x+2π)=sin2x,所以由周期函數(shù)的定義知,y=sin2x的最小正周期為π.(3)因為,所以由周期函數(shù)的定義知,的最小正周期為4π.(4)y=|cosx|的圖象如圖(實線部分)所示.由圖象可知,y=|cosx|的最小正周期為π.解題技巧：（求函數(shù)最小正周期的常用方法）(1)定義法，即利用周期函數(shù)的定義求解．(2)公式法，對形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常數(shù)，A≠0，ω≠0)的函數(shù)，T＝eq\f(2π,|ω|).(3)圖象法，即通過畫出函數(shù)圖象，通過圖象直接觀察即可．三種方法各有所長，要根據(jù)函數(shù)式的結構特征，選擇適當?shù)姆椒ㄇ蠼猓櫽柧氁?.（1）函數(shù)y=2sin(3x+QUOTEπ6),x∈R的最小正周期是()(A)QUOTEπ3 (B)QUOTE2π3 (C)QUOTE3π2 (D)π(2)函數(shù)y=|sin2x|(x∈R)的最小正周期為.

【答案】(1)B；(2)．【解析】(2)作出y=|sin2x|(x∈R)的圖象(如圖所示).由圖象可知,函數(shù)y=|sin2x|(x∈R)的最小正周期為QUOTEπ2.題型二化簡、求值例2判斷下列函數(shù)的奇偶性:(1)f(x)=QUOTE2sin2x;(2)f(x)=sin(QUOTE3x4+QUOTE3π2);(3)f(x)=sin|x|;(4)f(x)=QUOTE1-cosx+QUOTEcosx-1.【答案】(1)奇函數(shù);(2)偶函數(shù);(3)偶函數(shù);(4)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).【解析】(1)顯然x∈R,f(-x)=QUOTE2sin(-2x)=-QUOTE2sin2x=-f(x),所以f(x)=QUOTE2sin2x是奇函數(shù).(2)因為x∈R,f(x)=sin(QUOTE3x4+QUOTE3π2)=-cosQUOTE3x4,所以f(-x)=-cos(-QUOTE3x4)=-cosQUOTE3x4=f(x),所以函數(shù)f(x)=sin(QUOTE3x4+QUOTE3π2)是偶函數(shù).(3)顯然x∈R,f(-x)=sin|-x|=sin|x|=f(x),所以函數(shù)f(x)=sin|x|是偶函數(shù).(4)由QUOTE1-cosx≥0,cosx-1≥0,得cosx=1,所以x=2kπ(k∈Z),關于原點對稱,此時解題技巧：(判斷函數(shù)奇偶性的方法)判斷函數(shù)奇偶性的方法(1)利用定義判斷一個函數(shù)f(x)的奇偶性,要考慮兩方面:①函數(shù)的定義域是否關于原點對稱;②f(-x)與f(x)的關系;(2)判斷函數(shù)的奇偶性常用方法是:①定義法;②圖象法.跟蹤訓練二1.下列函數(shù)中,最小正周期為π的奇函數(shù)是()(A)y=sin(2x+QUOTEπ2) (B)y=cos(2x+QUOTEπ2)(C)y=sin(2x+QUOTEπ4) (D)y=QUOTE2sin(x+QUOTEπ4)【答案】B【解析】A中,y=sin(2x+QUOTEπ2),即y=cos2x,為偶函數(shù);C,D中,函數(shù)為非奇非偶函數(shù);B中,y=cos(2x+QUOTEπ2)=-sin2x,是奇函數(shù),T=QUOTE2π2=π,故選B.2.定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)，又是周期函數(shù)，若f(x)的最小正周期為π，且當x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時，f(x)＝sinx，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)))等于 ()A．－eq\f(1,2)B．1C．－eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(3),2)【答案】D【解析】因為f(x)的最小正周期為T＝π，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)－2π))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))，又y＝f(x)是偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)．所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2).題型三正、余弦函數(shù)的單調(diào)性例3求函數(shù)y=sin(x+QUOTEπ3)的單調(diào)區(qū)間.【答案】略.【解析】當-QUOTEπ2+2kπ≤x+QUOTEπ3≤QUOTEπ2+2kπ(k∈Z)時函數(shù)單調(diào)遞增,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[-QUOTE5π24+QUOTEkπ2,QUOTEπ24+](k∈Z).當QUOTEπ2+2kπ≤x+QUOTEπ3≤QUOTE3π2+2kπ(k∈Z)時函數(shù)單調(diào)遞減,所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[QUOTEπ24+QUOTEkπ2,QUOTE7π24+](k∈Z).解題技巧：（求單調(diào)區(qū)間的步驟）(1)用“基本函數(shù)法”求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)或y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的單調(diào)區(qū)間的步驟：第一步：寫出基本函數(shù)y＝sinx(或y＝cosx)的相應單調(diào)區(qū)間；第二步：將“ωx＋φ”視為整體替換基本函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(用不等式表示)中的“x”；第三步：解關于x的不等式．(2)對于形如y＝Asin(ωx＋φ)的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問題，當ω＜0時，可先用誘導公式轉化為y＝－Asin(－ωx－φ)，則y＝Asin(－ωx－φ)的單調(diào)遞增區(qū)間即為原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，單調(diào)遞減區(qū)間即為原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．余弦函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)的單調(diào)性討論同上．另外，值得注意的是k∈Z這一條件不能省略．跟蹤訓練三1．求函數(shù)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))的單調(diào)增區(qū)間．【答案】略.【解析】y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))，令z＝x－eq\f(π,4)，則y＝－2sinz，求y＝－2sinz的增區(qū)間，即求y＝sinz的減區(qū)間，所以eq\f(π,2)＋2kπ≤z≤eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)，即eq\f(π,2)＋2kπ≤x－eq\f(π,4)≤eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)，解得eq\f(3π,4)＋2kπ≤x≤eq\f(7π,4)＋2kπ(k∈Z)，所以y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))的單調(diào)增區(qū)間是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋2kπ，\f(7π,4)＋2kπ))(k∈Z)．題型四正弦函數(shù)、余弦函數(shù)單調(diào)性的應用例4比較下列各組中函數(shù)值的大?。海?）coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,5)))與coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17π,4)))；(2)sin194°與cos160°.【答案】（1）coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,5)))＜coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17π,4)))；（2）sin194°＞cos160°.【解析】（1）coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,5)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6π＋\f(7π,5)))＝coseq\f(7π,5)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17π,4)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6π＋\f(7π,4)))＝coseq\f(7π,4)，∵π＜eq\f(7π,5)＜eq\f(7π,4)＜2π，且函數(shù)y＝cosx在[π，2π]上單調(diào)遞增，∴coseq\f(7π,5)＜coseq\f(7π,4)，即coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,5)))＜coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17π,4))).(2)sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°，cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝－sin70°.∵0°＜14°＜70°＜90°，且函數(shù)y＝sinx在0°＜x＜90°時單調(diào)遞增，∴sin14°＜sin70°.從而－sin14°＞－sin70°，即sin194°＞cos160°.解題方法（比較兩個三角函數(shù)值的大?。?1)比較兩個同名三角函數(shù)值的大小，先利用誘導公式把兩個角化為同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的角，再利用函數(shù)的單調(diào)性比較．(2)比較兩個不同名的三角函數(shù)值的大小，一般應先化為同名的三角函數(shù)，后面步驟同上．(3)已知正(余)弦函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍，多用數(shù)形結合思想及轉化思想求解．跟蹤訓練四1．下列結論正確的是 ()A．sin400°>sin50° B．sin220°<sin310°C．cos130°>cos200° D．cos(－40°)<cos310°【答案】C.【解析】由cos130°＝cos(180°－50°)＝－cos50°，cos200°＝cos(180°＋20°)＝－cos20°，因為當0°<x<90°時，函數(shù)y＝cosx是減函數(shù)，所以cos50°<cos20°，所以－cos50°>－cos20°，即cos130°>cos200°.題型五正、余弦函數(shù)的值域與最值問題例5求下列函數(shù)的值域:(1)y=cos(x+QUOTEπ6),x∈[0,QUOTEπ2];(2)y=cos2x-4cosx+5.【答案】（1）[-QUOTE12,QUOTE32]；（2）[2,10].【解析】(1)由x∈[0,QUOTEπ2]可得x+QUOTEπ6∈[QUOTEπ6,QUOTE2π3],函數(shù)y=cosx在區(qū)間[QUOTEπ6,QUOTE2π3]上單調(diào)遞減,所以函數(shù)的值域為[-QUOTE12,QUOTE32].(2)y=cos2x-4cosx+5,令t=cosx,則-1≤t≤1.y=t2-4t+5=(,當t=-1時,函數(shù)取得t-2)2+1最大值10;t=1時,函數(shù)取得最小值2,所以函數(shù)的值域為[2,10].解題方法（三角函數(shù)的值域問題解題思路）三角函數(shù)的值域問題的兩種類型,一是化為y=Asin(ωx+)+B的形式,這種類型的值域問題解決方法是利用區(qū)間上的單調(diào)性;二是與其他函數(shù)相復合,最為常見的是與二次函數(shù)復合,利用的是三角函數(shù)的有界性和二次函數(shù)區(qū)間的最值.其方法是換元法,把問題轉化為二次函數(shù)求值域問題.跟蹤訓練五1.函數(shù)y=2cos2x+5sinx-4的值域為