NeumannMorgensern期望效用函數(shù)貨幣金融學(xué)

第六講vonNeumann-Morgenstern期望效用函數(shù)

1金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第六講2金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第六講3金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第六講4金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第六講

6.1“圣彼德堡悖論”的討論5金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第六講概率論的早期歷史JacobBernoulli(1654-1705)1713年發(fā)表《猜度術(shù)(ArsConjectandi)》。這是當(dāng)時(shí)最重要、最有原創(chuàng)性的概率論著作。由此引起所謂“圣彼德堡悖論”問題。6金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第六講“圣彼德堡悖論”問題有這樣一場(chǎng)賭博：第一次贏得1元，第一次輸?shù)诙乌A得2元，前兩次輸?shù)谌乌A得4元，……一般情形為前n-1次輸，第n次贏得元。問：應(yīng)先付多少錢，才能使這場(chǎng)賭博是“公平”的？如果用數(shù)學(xué)期望來定價(jià)，答案將是無窮！7金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第六講8金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第六講“圣彼德堡悖論”的金融學(xué)含義“倍賭策略”是一種“套利策略”。在一個(gè)有等價(jià)概率鞅測(cè)度的“二叉樹”“存貸－賭博”市場(chǎng)上，采用“倍賭策略”，如果允許無限借貸和無限次賭博，那么其“贏錢概率”為1。它可以作為某些股票在一定時(shí)期內(nèi)會(huì)“瘋漲”的理由。9金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第六講“圣彼德堡悖論”1738年發(fā)表《對(duì)機(jī)遇性賭博的分析》提出解決“圣彼德堡悖論”的“風(fēng)險(xiǎn)度量新理論”。指出用“錢的數(shù)學(xué)期望”來作為決策函數(shù)不妥。應(yīng)該用“錢的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望”。DanielBernoulli（1700-1782)10金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第六講11金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第第六講6.2vonNeumann--Morgenstern期望效用函數(shù)數(shù)的公理化陳陳述12金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第第六講13金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第第六講期望效用函數(shù)數(shù)1944年在巨著《對(duì)對(duì)策論與經(jīng)濟(jì)濟(jì)行為》中用用數(shù)學(xué)公理化化方法提出期期望效用函數(shù)數(shù)。這是經(jīng)濟(jì)濟(jì)學(xué)中首次嚴(yán)嚴(yán)格定義風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)。JohnvonNeumann(1903-1957)OskarMorgenstern(1902-1977)14金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第第六講用期望效用函函數(shù)來刻劃風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)所謂期望效用用函數(shù)是定義義在一個(gè)隨機(jī)機(jī)變量集合上上的函數(shù)，它它在一個(gè)隨機(jī)機(jī)變量上的取取值等于它作作為數(shù)值函數(shù)數(shù)在該隨機(jī)變變量上取值的的數(shù)學(xué)期望。。用它來判斷斷有風(fēng)險(xiǎn)的利利益，那就是是比較“錢的的函數(shù)的數(shù)學(xué)學(xué)期望”。假定(x,y,p)表示以概概率p獲得x,以概率(1-p)獲得y的機(jī)會(huì)，那么么其期望效用用函數(shù)值為u((x,y,p))=pu(x)+(1-p)u(y).15金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第第六講一個(gè)簡(jiǎn)化的公公理體系公理1“不確定利益益”是隨機(jī)變變量所構(gòu)成的的一個(gè)集合L，并且對(duì)于任何何兩個(gè)“不確確定利益”x,y來說，“以概概率p獲得x,以概率1-p獲得y”也是“不不確定利益””。這一“不不確定利益””可稱為x以概率p與y的“平均”，，并記為(x,y;p).公理2任何兩兩個(gè)““不確確定利利益””都可可比較較好壞壞。公理3“不確確定利利益””中有有一個(gè)個(gè)最好好的以以及一一個(gè)最最差的的。16金融經(jīng)經(jīng)濟(jì)學(xué)學(xué)第六六講一個(gè)簡(jiǎn)簡(jiǎn)化的的公理理體系系(續(xù))公理4如果有有三個(gè)個(gè)“不不確定定利益益”一一個(gè)比比一個(gè)個(gè)好，，那么么處于于中間間的““不不確定定利益益”相相當(dāng)于于另外外兩個(gè)個(gè)“不不確定定利益益”的的對(duì)某某個(gè)概概率的的“平平均””。。反之之，兩兩個(gè)““不確確定利利益””的對(duì)對(duì)某個(gè)個(gè)概率率的““平均均”的的好好壞必必處于于兩者者之間間。假定b“最好好”，，w“最壞壞”。。那么么任何何x一定相相當(dāng)于于b關(guān)于概概率p與w的“平平均””。取取u(x)=p,即得所所求期期望效效用函函數(shù)。。17金融經(jīng)經(jīng)濟(jì)學(xué)學(xué)第六六講18金融經(jīng)經(jīng)濟(jì)學(xué)學(xué)第六六講19金融經(jīng)經(jīng)濟(jì)學(xué)學(xué)第六六講20金融經(jīng)經(jīng)濟(jì)學(xué)學(xué)第六六講21金融經(jīng)經(jīng)濟(jì)學(xué)學(xué)第六六講22金融經(jīng)經(jīng)濟(jì)學(xué)學(xué)第六六講23金融經(jīng)經(jīng)濟(jì)學(xué)學(xué)第六六講24金融經(jīng)經(jīng)濟(jì)學(xué)學(xué)第六六講期望效效用函函數(shù)的的爭(zhēng)論論期望效效用函函數(shù)似似乎是是相當(dāng)當(dāng)人為為、相相當(dāng)主主觀的的概念念。一一開始始就受受到許許多批批評(píng)。。其中中最著著名的的是““Allais悖悖論論”(1953)。由此引引起許許多非非期望望效用用函數(shù)數(shù)的研研究，，涉及及許多多古怪怪的數(shù)數(shù)學(xué)。。但都都不很很成功功。MauriceAllais(1911-)1986年諾貝貝爾經(jīng)經(jīng)濟(jì)獎(jiǎng)獎(jiǎng)獲得得者。。25金融融經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)學(xué)學(xué)第第六六講講6.3Allais悖論論和和Kahneman-Tversky的研研究究26金融融經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)學(xué)學(xué)第第六六講講27金融融經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)學(xué)學(xué)第第六六講講28金融經(jīng)濟(jì)濟(jì)學(xué)第六六講29金融經(jīng)濟(jì)濟(jì)學(xué)第六六講30金融經(jīng)濟(jì)濟(jì)學(xué)第六六講31金融經(jīng)濟(jì)濟(jì)學(xué)第六六講Kahneman-Tversky理論DanielKahneman,(1934-)2002年年諾貝爾爾經(jīng)濟(jì)學(xué)學(xué)獎(jiǎng)獲得得者Kahneman與AmosTversky,(1937-1996)兩位心理理學(xué)家于于1979年年發(fā)表表的論文文“展望望理論(ProspectTheory)””已成為為《計(jì)量量經(jīng)濟(jì)學(xué)學(xué)(Econometrica)》有史史以來被被引證最最多的經(jīng)經(jīng)典。他他們企圖圖改變期期望效用用函數(shù)理理論框架架。32金融經(jīng)濟(jì)濟(jì)學(xué)第六六講Kahneman諾貝爾演演說的問問題問題1.假假設(shè)有有一場(chǎng)這這樣的賭賭博：你你贏150元元的概概率是50%,而而你輸100元的的概率也也是50%.你能能接受這這樣的賭賭博嗎？？如果你你身邊的的錢少于于100元元，你是是否會(huì)改改變你的的決定？？調(diào)查結(jié)果果是：除除非把所所贏的錢錢提高到到200元元以上，，絕大多多數(shù)的人人都不接接受這樣樣的賭博博，只有少數(shù)數(shù)人接受受這樣的的賭博。。但對(duì)于后后一種情情況，所所有人都都不接受受。33金融經(jīng)濟(jì)濟(jì)學(xué)第六六講Kahneman諾貝爾演演說的問問題問題2.現(xiàn)在有這這樣兩種種情況：：一種情情況是肯肯定損失失100元元；另一一種情況況是參加加這樣的的賭博：：你贏50元元的概概率是50%,而而你輸200元的的概率也也是50%.對(duì)于于這樣的的兩種情情況你選選擇哪一一種？如如果你身身邊的錢錢多于100元，，你是否否會(huì)改變變你的決決定？調(diào)查結(jié)果果是絕大大多數(shù)的的人選擇擇賭博，，即使身身邊有多多于100元元的錢錢也并沒沒有多大大影響。。34金融經(jīng)經(jīng)濟(jì)學(xué)學(xué)第六六講35金融經(jīng)經(jīng)濟(jì)學(xué)學(xué)第六六講36金融經(jīng)經(jīng)濟(jì)學(xué)學(xué)第六六講37金融經(jīng)經(jīng)濟(jì)學(xué)學(xué)第六六講38金融經(jīng)經(jīng)濟(jì)學(xué)學(xué)第六六講39金融經(jīng)經(jīng)濟(jì)學(xué)學(xué)第六六講40金融經(jīng)經(jīng)濟(jì)學(xué)學(xué)第六六講41金融經(jīng)經(jīng)濟(jì)學(xué)學(xué)第六六講6.4Arrow--Pratt風(fēng)險(xiǎn)厭厭惡度度量42金融經(jīng)經(jīng)濟(jì)學(xué)學(xué)第六六講有風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)與無無風(fēng)險(xiǎn)之之間的的比較較機(jī)會(huì)(x,y,p)與與肯定定得到到px+(1-p)y之間的的利益益比較較就是是比較較u((x,y,p))=pu(x)+(1-p)u(y)與與u(px+(1-p)y)之間的的大小小。如如果它它們相相等，，表示示對(duì)風(fēng)險(xiǎn)中中性(不在在乎)；一一般取取<，表示示對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭厭惡。取>表表示示對(duì)風(fēng)險(xiǎn)愛愛好。。把u理解為為“定定價(jià)””，這這就是是“非非線性性定價(jià)價(jià)”與與“P-F線線性定定價(jià)””之間間的比比較。。43金融經(jīng)經(jīng)濟(jì)學(xué)學(xué)第六六講44金融經(jīng)經(jīng)濟(jì)學(xué)學(xué)第六六講Arrow-Pratt風(fēng)險(xiǎn)厭厭惡度度量這就歸歸結(jié)為為函數(shù)數(shù)u的凸性性的比比較。。它的的程度度可用用––u’’/u’來度量。。它由Arrow(1965)和Pratt(1964)所提出。。45金融經(jīng)濟(jì)濟(jì)學(xué)第六六講46金融經(jīng)濟(jì)濟(jì)學(xué)第六六講47金融經(jīng)濟(jì)濟(jì)學(xué)第六六講48金融經(jīng)濟(jì)濟(jì)學(xué)第六六講49金融經(jīng)濟(jì)濟(jì)學(xué)第六六講50金融經(jīng)濟(jì)濟(jì)學(xué)第六六講51金融經(jīng)濟(jì)濟(jì)學(xué)第六六講52金融經(jīng)濟(jì)濟(jì)學(xué)第六六講6.5若干典型型期望效效用函數(shù)數(shù)53金融經(jīng)濟(jì)濟(jì)學(xué)第六六講54金融經(jīng)濟(jì)濟(jì)學(xué)第六六講55金融經(jīng)濟(jì)濟(jì)學(xué)第六六講6.6隨機(jī)占優(yōu)優(yōu)的概念念56金融經(jīng)濟(jì)濟(jì)學(xué)第六六講57金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第第六講58金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第第六講59金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第第六講60金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第第六講