2020高中數(shù)學(xué) 第三章 不等式 2.1 簡單的線性規(guī)劃問題練習(xí)（含解析）5

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE14-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第24課時簡單的線性規(guī)劃問題知識點(diǎn)一求線性目標(biāo)函數(shù)的最值1．若實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋3y－3≥0，,2x－y－3≤0，，x－y＋1≥0,）)則x＋y的最大值為（)A．9B．eq\f(15,7）C．1D．eq\f（7,15)答案A解析畫出可行域如圖．令z＝x＋y，則當(dāng)直線y＝－x＋z過點(diǎn)A時，z最大．由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（2x－y－3＝0，，x－y＋1＝0）)得A(4，5)，∴zmax＝4＋5＝9．2．設(shè)變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x－y＋2≥0,，x－5y＋10≤0,，x＋y－8≤0，）)則目標(biāo)函數(shù)z＝3x－4y的最大值和最小值分別為（)A．3，－11B．－3，－11C．11,－3D．11，3答案A解析作出可行域如圖陰影部分所示，由圖可知z＝3x－4y經(jīng)過點(diǎn)A時z有最小值,經(jīng)過點(diǎn)B時z有最大值．易求A(3，5)，B(5，3)．∴z最大＝3×5－4×3＝3，z最小＝3×3－4×5＝－11．3．設(shè)變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥3,,x－y≥－1，，2x－y≤3.))則目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋3y的最小值為________．答案7解析作出可行域如圖所示．由圖可知，z＝2x＋3y經(jīng)過點(diǎn)A(2，1)時,z有最小值，z的最小值為7．4．線性約束條件eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＋3y≥12，,x＋y≤10，，3x＋y≥12））下,求z＝2x－y的最大值和最小值．解如圖作出線性約束條件eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋3y≥12,，x＋y≤10，，3x＋y≥12））下的可行域,包含邊界：其中三條直線中x＋3y＝12與3x＋y＝12交于點(diǎn)A(3，3），x＋y＝10與x＋3y＝12交于點(diǎn)B(9，1)，x＋y＝10與3x＋y＝12交于點(diǎn)C（1，9）,作一組與直線2x－y＝0平行的直線l：2x－y＝z，即y＝2x－z，然后平行移動直線l，直線l在y軸上的截距為－z，當(dāng)l經(jīng)過點(diǎn)B時，－z取最小值，此時z最大,即zmax＝2×9－1＝17；當(dāng)l經(jīng)過點(diǎn)C時，－z取最大值，此時z最小，即zmin＝2×1－9＝－7．∴zmax＝17，zmin＝－7．知識點(diǎn)二求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值5．已知點(diǎn)P（x，y)的坐標(biāo)滿足條件eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＋y≤4，，y≥x，，x≥1，)）則x2＋y2的最大值為（)A．eq\r(10）B．8C．16D．10答案D解析畫出不等式組對應(yīng)的可行域如圖所示：易得A（1，1），｜OA｜＝eq\r（2),B(2，2），｜OB|＝2eq\r(2），C（1，3），|OC|＝eq\r(10）．則(x2＋y2)max＝｜OC｜2＝（eq\r（10））2＝10．6．已知實(shí)數(shù)x，y滿足eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋2y－5≤0，,x≥1，,y≥0，,x＋2y－3≥0,))則eq\f(y,x)的最大值為________．答案2解析畫出不等式組eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＋2y－5≤0，，x≥1，，y≥0，,x＋2y－3≥0）)對應(yīng)的平面區(qū)域Ω，eq\f（y，x）＝eq\f（y－0，x－0)表示平面區(qū)域Ω上的點(diǎn)P（x，y)與原點(diǎn)的連線的斜率．則點(diǎn)A(1，2），B(3，0),∴0≤eq\f(y，x)≤2．7．已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－5≥0，,3x－y－5≤0,，x－2y＋5≥0，））求x2＋y2的最小值和最大值．解作出不等式組eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（2x＋y－5≥0，,3x－y－5≤0，,x－2y＋5≥0))的可行域如圖所示，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x－2y＋5＝0，,2x＋y－5＝0，））得A(1,3），由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x－2y＋5＝0，，3x－y－5＝0，）)得B(3，4），由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（3x－y－5＝0，,2x＋y－5＝0，))得C（2，1),設(shè)z＝x2＋y2，則它表示可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方,結(jié)合圖形知，原點(diǎn)到點(diǎn)B的距離最大,注意到OC⊥AC，∴原點(diǎn)到點(diǎn)C的距離最?。蕑max＝｜OB｜2＝25，zmin＝|OC|2＝5．8．若x≥0，y≥0,且x＋y≤1，則（1）z＝eq\f（y,x＋1）的最大值；(2)z＝（x＋1）2＋y2的最小值．解(1）eq\f（y，x＋1)即過點(diǎn)（x，y)與點(diǎn)（－1，0）的直線斜率．由圖可知z＝eq\f(y，x＋1)的最大值為點(diǎn)（0，1）與點(diǎn)（－1,0)的直線斜率，此時z＝eq\f(1－0,0＋1)＝1．(2)z＝(x＋1)2＋y2為點(diǎn)（－1，0)與點(diǎn)（x,y）距離的平方．z最小值為點(diǎn)(－1,0）與點(diǎn)（0，0)距離的平方．此時z＝1．知識點(diǎn)三線性規(guī)劃中的參數(shù)問題9．已知點(diǎn)P（x，y)的坐標(biāo)滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x－y≤0，，x＋y－1≥0，，x－2y＋2≥0，））若z＝x＋3y＋m的最小值為6，則m＝（）A．1B．2C．3D．4答案D解析根據(jù)題意，作出可行域(如下圖)，由圖可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,2)，\f(1,2)))處取得最小值6,從而m＝6－eq\f(1,2)－eq\f（3,2）＝4．故選D．易錯點(diǎn)忽略最值與直線截距之間的關(guān)系10．如果實(shí)數(shù)x，y滿足條件eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,y＋1≥0，,x＋y＋1≤0，)）那么z＝2x－y的最大值為________．易錯分析本題目標(biāo)函數(shù)整理得y＝2x－z,當(dāng)縱截距最大時z最大，易錯得zmax＝－3．答案1解析作出約束條件表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，由圖易知，平移直線2x－y＝0，當(dāng)其經(jīng)過直線y＋1＝0與直線x＋y＋1＝0的交點(diǎn)（0，－1)時目標(biāo)函數(shù)取得最大值，即zmax＝2×0－（－1）＝1．一、選擇題1．設(shè)變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＋y≤3,,x－y≥－1，,y≥1，))則目標(biāo)函數(shù)z＝4x＋2y的最大值為（)A．12B．10C．8D．2答案B解析如圖，不等式組表示的區(qū)域如圖中的陰影部分所示,當(dāng)直線z＝4x＋2y經(jīng)過點(diǎn)A時，z的值最大，因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)是（2,1),故z的最大值是4×2＋2×1＝10．選B．2．設(shè)x,y滿足eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(2x＋y≥4,，x－y≥－1，,x－2y≤2，)）則z＝x＋y（）A．有最小值2，最大值3B．有最小值2,無最大值C．有最大值3，無最小值D．既無最小值，也無最大值答案B解析作出不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y≥4，,x－y≥－1，，x－2y≤2)）表示的可行域如下圖所示：z＝x＋y表示直線過可行域時，在y軸上的截距,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)平移至過可行域A點(diǎn)時，z有最小值．聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝4，，x－2y＝2，)）解得A(2，0）．z最小值＝2，z無最大值．3．如圖所示的坐標(biāo)平面的可行域內(nèi)(包括邊界)，若使目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋y（a〉0）取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個，則a的值為（）A．eq\f(1，4)B．eq\f（3,5）C．4D．eq\f(5，3)答案B解析∵z＝ax＋y，∴y＝－ax＋z，∴當(dāng)－a＝kAC時，最優(yōu)解有無窮多個．∵kAC＝－eq\f（3,5），∴a＝eq\f（3,5）．故選B．4．在平面直角坐標(biāo)系中，動點(diǎn)M（x,y）滿足條件eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x－y＋2≤0,，x＋y－2≤0，,y－1≥0，))動點(diǎn)Q在曲線（x－1）2＋y2＝eq\f（1,2)上，則｜MQ｜的最小值為（)A．eq\r（2)B．eq\f(3\r（2)，2）C．1－eq\f（\r（2），2）D．eq\r（5)－eq\f（1,2)答案A解析圓（x－1)2＋y2＝eq\f(1，2)的圓心坐標(biāo)為（1,0),半徑r＝eq\f(\r(2），2），則圓心到可行域的最小距離為到直線x－y＋2＝0的距離，即d＝eq\f(｜1－0＋2|，\r(2））＝eq\f(3\r(2）,2），所以|MQ|的最小值為d－r＝eq\r(2)．故選A．5．已知變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＋y≤1,，x－y≤1，,x≥a，））若x＋2y≥－5恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（)A．（－∞,－1]B．［－1,＋∞)C．[－1，1］D．［－1,1)答案C解析由題意作出可行域，如圖所示,由圖易知a≤1．x＋2y≥－5恒成立可化為圖中的陰影部分恒在直線x＋2y＝－5的右上方，即點(diǎn)A在直線x＋2y＝－5上或其右上方．易知A點(diǎn)坐標(biāo)為（a，a－1）,所以a＋2(a－1)≥－5,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為［－1，1]．故選C．二、填空題6．設(shè)變量x,y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（y≥x，,x＋2y≤2,,x≥－2，）)則z＝x－3y的最小值為________．答案－8解析在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出不等式組eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(y≥x,,x＋2y≤2,,x≥－2)）所表示的平面區(qū)域，作出直線x－3y＝0,平移該直線，再結(jié)合圖形不難得出當(dāng)直線平移到經(jīng)過該平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(－2，2)時，z＝x－3y取得最小值等于－2－3×2＝－8．7．已知點(diǎn)P(x，y）滿足eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x－4y＋3≤0，,3x＋5y≤25，,x－1≥0，)）點(diǎn)A(2，0），則｜eq\o（OP，\s\up6(→）)|sin∠AOP(O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的最大值為________．答案eq\f(22，5)解析由于|eq\o(OP,\s\up6（→））｜sin∠AOP＝｜eq\o（OP,\s\up6（→))｜×eq\f（yP,|\o(OP，\s\up6(→)）|）＝y(tǒng)P，故將不等式組表示的可行域作出如下圖所示,如圖易知直線3x＋5y＝25與直線x＝1的交點(diǎn)P的縱坐標(biāo)取得最大值,解得yP＝eq\f（22，5）．8．已知變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（1≤x＋y≤4，,－2≤x－y≤2。））若目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋y(其中a＞0）僅在點(diǎn)(3，1)處取得最大值,則a的取值范圍是________．答案(1,＋∞)解析由變量x，y滿足約束條件1≤x＋y≤4，－2≤x－y≤2，在坐標(biāo)系中畫出可行域，如圖中的陰影部分所示，為四邊形ABCD,其中A（3，1)，kAD＝1,kAB＝－1．目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋y（其中a＞0）中的z表示斜率為－a的一族平行直線在y軸上的截距的大小，若僅在點(diǎn)(3，1)處取得最大值,則斜率應(yīng)小于kAB＝－1,即－a＜－1，所以a的取值范圍是(1,＋∞）．三、解答題9．畫出不等式組eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x－y＋3≥0,,x＋y≥0，,x≤2））表示的平面區(qū)域，并回答下列問題：（1）指出x，y的取值范圍；(2)平面區(qū)域內(nèi)有多少個整點(diǎn)？解（1)畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示(包括邊界)，結(jié)合圖形可知x∈eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，2）），y∈［－2，5]．（2)由題意知eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（－x≤y≤x＋3，，－\f(3，2）≤x≤2，,x∈Z，y∈Z，))當(dāng)x＝－1時,1≤y≤2，有2個整點(diǎn)；當(dāng)x＝0時,0≤y≤3，有4個整點(diǎn)；當(dāng)x＝1時，－1≤y≤4，有6個整點(diǎn)；當(dāng)x＝2時，－2≤y≤5，有8個整點(diǎn)．所以平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)共有2＋4＋6＋8＝20個．10．已知eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x－y＋2≥0，,x＋y－4≥0,,2x－y－5≤0，)）求：（1）z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；(2）z＝eq\f（2y＋1,x＋1）的取值范圍．解(1）作出可行域如下圖，計算得點(diǎn)A(1，3），B(3,1),C（7,9）．z＝x2＋(y－5）2表示可行域內(nèi)