方向?qū)?shù)與梯度重要例題

設(shè)求f沿e=(cosθ

,sinθ)在點(0,0)的方向?qū)?shù).當(dāng)cosθ≠0時,

當(dāng)cosθ=0時,因為

f(

cosθ,

sinθ)=0用定義計算方向?qū)?shù)解例1方向?qū)?shù)與梯度重要例題共17頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁!用定理計算方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)與梯度重要例題共17頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁!解方向?qū)?shù)與梯度重要例題共17頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁!例3.

設(shè)z=3x4+xy+y3,求z在M(1,2)點處沿方向角為=135°的方向的方向?qū)?shù)。解方向?qū)?shù)與梯度重要例題共17頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁!由點到坐標(biāo)原點的距離定義的函數(shù)在坐標(biāo)原點處向?qū)?shù)值都等于1:的兩個偏導(dǎo)數(shù)均不存在,但它在該點沿任何方向的方向?qū)?shù)均存在,且方此例說明:1.方向?qū)?shù)存在時,偏導(dǎo)數(shù)不一定存在.2.可微是方向?qū)?shù)存在的充分條件,而不是必要條件P80-2,7.例方向?qū)?shù)與梯度重要例題共17頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁!解由梯度計算公式得故方向?qū)?shù)與梯度重要例題共17頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁!指向B(3,－2,2)方向的方向?qū)?shù)是

.在點A(1,0,1)處沿點A2.函數(shù)提示:則方向?qū)?shù)與梯度重要例題共17頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁!故方向?qū)?shù)與梯度重要例題共17頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁!例5.

設(shè)u=xy+ez,M0(1,-1,0),P(3,-3,1),求(1)在M0沿M0P的方向?qū)?shù);(2)在M0沿曲線x=t,y=t2-2,z=t–t3的切線方向的方向?qū)?shù)(本節(jié)不講);(3)在M0的最大方向?qū)?shù)與梯度。解：(1)方向?qū)?shù)與梯度重要例題共17頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁!(3)在M0的最大方向?qū)?shù)與梯度:方向?qū)?shù)與梯度重要例題共17頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁!例4.求函數(shù)

在點

P(1,1,1)沿向量3)的方向?qū)?shù).解:

向量

l

的方向余弦為方向?qū)?shù)與梯度重要例題共17頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁!∵∴從而解方向?qū)?shù)與梯度重要例題共17頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁!備用題

1.函數(shù)在點處的梯度解:則注意x,y,z

具有輪換對稱性方向?qū)?shù)與梯度重要例題共17頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁!例解方向?qū)?shù)與梯度重要例題共17頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁!例3.設(shè)是曲面在點P(1,1,1)處指向外側(cè)的法向量,解:

方向余弦為而同理得方向的方向?qū)?shù).在點P處沿求函數(shù)方向?qū)?shù)與梯度重要例題共17頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁!方向?qū)?shù)與梯度重要例題共17頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁!設(shè)點電荷q位于坐標(biāo)原點,在點處的電位為其中,為介電系數(shù),求電位v的梯度.其中,負(fù)號說明離點電荷越遠(yuǎn),