2022年河南省豫西南部分示范性高中數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末考試試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．小明有3本作業(yè)本，小波有4本作業(yè)本，將這7本作業(yè)本混放在-起，小明從中任取兩本.則他取到的均是自己的作業(yè)本的概率為()A． B． C． D．2．已知，，且是的充分不必要條件，則的取值范圍是（）A． B． C． D．3．已知集合，，若，則（）A．4 B．－4 C．8 D．－84．已知底面是等腰直角三角形的三棱錐P-ABC的三視圖如圖所示，俯視圖中的兩個小三角形全等，則（）A．PA，PB，PC兩兩垂直 B．三棱錐P-ABC的體積為C． D．三棱錐P-ABC的側(cè)面積為5．已知三棱錐的外接球半徑為2，且球心為線段的中點(diǎn)，則三棱錐的體積的最大值為（）A． B． C． D．6．設(shè)，，，則，，三數(shù)的大小關(guān)系是A． B．C． D．7．已知是第二象限的角，，則()A． B． C． D．8．已知雙曲線的焦距為，過左焦點(diǎn)作斜率為1的直線交雙曲線的右支于點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)在圓上，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．9．正三棱柱中，，是的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角為（）A． B． C． D．10．設(shè)函數(shù)在定義城內(nèi)可導(dǎo)，的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)的圖象可能為（）A． B．C． D．11．已知函數(shù)f(x)＝,若關(guān)于x的方程f(x)＝kx－恰有4個不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A． B．C． D．12．如圖所示程序框圖，若判斷框內(nèi)為“”，則輸出（）A．2 B．10 C．34 D．98二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)名著，其中《方田》一章給出了弧田面積的計(jì)算公式．如圖所示，弧田是由圓弧AB和其所對弦AB圍成的圖形，若弧田的弧AB長為4π，弧所在的圓的半徑為6，則弧田的弦AB長是__________，弧田的面積是__________．14．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為．15．已知函數(shù)，若對于任意正實(shí)數(shù)，均存在以為三邊邊長的三角形，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_______.16．已知雙曲線的一條漸近線方程為，則________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱.（為自然對數(shù)的底數(shù)）（1）若的圖象在點(diǎn)處的切線經(jīng)過點(diǎn)，求的值；（2）若不等式恒成立，求正整數(shù)的最小值.18．（12分）過點(diǎn)作傾斜角為的直線與曲線（為參數(shù)）相交于M、N兩點(diǎn)．（1）寫出曲線C的一般方程；（2）求的最小值．19．（12分）已知在ΔABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且cosB（1）求b的值；（2）若cosB+3sin20．（12分）在直角坐標(biāo)系xOy中，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為．（l）求直線的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程：（2）若直線與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，且．求直線的方程．21．（12分）某企業(yè)現(xiàn)有A．B兩套設(shè)備生產(chǎn)某種產(chǎn)品，現(xiàn)從A，B兩套設(shè)備生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了100件產(chǎn)品作為樣本，檢測某一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，若該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值落在內(nèi)的產(chǎn)品視為合格品，否則為不合格品.圖1是從A設(shè)備抽取的樣本頻率分布直方圖，表1是從B設(shè)備抽取的樣本頻數(shù)分布表.圖1：A設(shè)備生產(chǎn)的樣本頻率分布直方圖表1：B設(shè)備生產(chǎn)的樣本頻數(shù)分布表質(zhì)量指標(biāo)值頻數(shù)2184814162（1）請估計(jì)A．B設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)的平均值；（2）企業(yè)將不合格品全部銷毀后，并對合格品進(jìn)行等級細(xì)分，質(zhì)量指標(biāo)值落在內(nèi)的定為一等品，每件利潤240元；質(zhì)量指標(biāo)值落在或內(nèi)的定為二等品，每件利潤180元；其它的合格品定為三等品，每件利潤120元.根據(jù)圖1、表1的數(shù)據(jù)，用該組樣本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的頻率代替從所有產(chǎn)品中抽到一件相應(yīng)等級產(chǎn)品的概率.企業(yè)由于投入資金的限制，需要根據(jù)A，B兩套設(shè)備生產(chǎn)的同一種產(chǎn)品每件獲得利潤的期望值調(diào)整生產(chǎn)規(guī)模，請根據(jù)以上數(shù)據(jù)，從經(jīng)濟(jì)效益的角度考慮企業(yè)應(yīng)該對哪一套設(shè)備加大生產(chǎn)規(guī)模？22．（10分）班主任為了對本班學(xué)生的考試成績進(jìn)行分析，決定從本班24名女同學(xué)，18名男同學(xué)中隨機(jī)抽取一個容量為7的樣本進(jìn)行分析.（1）如果按照性別比例分層抽樣，可以得到多少個不同的樣本？（寫出算式即可，不必計(jì)算出結(jié)果）（2）如果隨機(jī)抽取的7名同學(xué)的數(shù)學(xué)，物理成績（單位：分）對應(yīng)如下表：學(xué)生序號1234567數(shù)學(xué)成績60657075858790物理成績70778085908693①若規(guī)定85分以上（包括85分）為優(yōu)秀，從這7名同學(xué)中抽取3名同學(xué)，記3名同學(xué)中數(shù)學(xué)和物理成績均為優(yōu)秀的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；②根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求物理成績關(guān)于數(shù)學(xué)成績的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；若班上某位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績?yōu)?6分，預(yù)測該同學(xué)的物理成績?yōu)槎嗌俜?？附：線性回歸方程，其中，.7683812526

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

利用計(jì)算即可，其中表示事件A所包含的基本事件個數(shù)，為基本事件總數(shù).【詳解】從7本作業(yè)本中任取兩本共有種不同的結(jié)果，其中，小明取到的均是自己的作業(yè)本有種不同結(jié)果，由古典概型的概率計(jì)算公式，小明取到的均是自己的作業(yè)本的概率為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率計(jì)算問題，考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題.2、D【解析】

“是的充分不必要條件”等價于“是的充分不必要條件”，即中變量取值的集合是中變量取值集合的真子集.【詳解】由題意知：可化簡為，，所以中變量取值的集合是中變量取值集合的真子集，所以.【點(diǎn)睛】利用原命題與其逆否命題的等價性，對是的充分不必要條件進(jìn)行命題轉(zhuǎn)換，使問題易于求解.3、B【解析】

根據(jù)交集的定義，，可知，代入計(jì)算即可求出.【詳解】由，可知，又因?yàn)?，所以時，，解得.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查交集的概念，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

根據(jù)三視圖，可得三棱錐P-ABC的直觀圖，然后再計(jì)算可得.【詳解】解：根據(jù)三視圖，可得三棱錐P-ABC的直觀圖如圖所示，其中D為AB的中點(diǎn)，底面ABC.所以三棱錐P-ABC的體積為，，，，，、不可能垂直，即不可能兩兩垂直，，.三棱錐P-ABC的側(cè)面積為.故正確的為C.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖還原直觀圖，以及三棱錐的表面積、體積的計(jì)算問題，屬于中檔題.5、C【解析】

由題可推斷出和都是直角三角形，設(shè)球心為，要使三棱錐的體積最大，則需滿足，結(jié)合幾何關(guān)系和圖形即可求解【詳解】先畫出圖形，由球心到各點(diǎn)距離相等可得，，故是直角三角形，設(shè)，則有，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取最大值4，要使三棱錐體積最大，則需使高，此時，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查由三棱錐外接球半徑，半徑與球心位置求解錐體體積最值問題，屬于基礎(chǔ)題6、C【解析】

利用對數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)以及正弦函數(shù)的性質(zhì)和計(jì)算公式，將a，b，c與，比較即可.【詳解】由，，，所以有.選C.【點(diǎn)睛】本題考查對數(shù)值，指數(shù)值和正弦值大小的比較，是基礎(chǔ)題，解題時選擇合適的中間值比較是關(guān)鍵，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化.7、D【解析】

利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出,再利用二倍角的正弦公式代入求解即可.【詳解】因?yàn)?由誘導(dǎo)公式可得,,即,因?yàn)?所以,由二倍角的正弦公式可得,,所以.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二倍角的正弦公式;考查運(yùn)算求解能力和知識的綜合運(yùn)用能力;屬于中檔題.8、C【解析】

設(shè)線段的中點(diǎn)為，判斷出點(diǎn)的位置，結(jié)合雙曲線的定義，求得雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)線段的中點(diǎn)為，由于直線的斜率是，而圓，所以.由于是線段的中點(diǎn)，所以，而，根據(jù)雙曲線的定義可知，即，即.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線的定義和離心率的求法，考查直線和圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.9、C【解析】

取中點(diǎn)，連接，，根據(jù)正棱柱的結(jié)構(gòu)性質(zhì)，得出//，則即為異面直線與所成角，求出，即可得出結(jié)果.【詳解】解：如圖，取中點(diǎn)，連接，，由于正三棱柱，則底面，而底面，所以，由正三棱柱的性質(zhì)可知，為等邊三角形，所以，且,所以平面，而平面，則，則//，，∴即為異面直線與所成角，設(shè)，則，，，則，∴.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查通過幾何法求異面直線的夾角，考查計(jì)算能力.10、D【解析】

根據(jù)的圖象可得的單調(diào)性，從而得到在相應(yīng)范圍上的符號和極值點(diǎn)，據(jù)此可判斷的圖象.【詳解】由的圖象可知，在上為增函數(shù)，且在上存在正數(shù)，使得在上為增函數(shù)，在為減函數(shù)，故在有兩個不同的零點(diǎn)，且在這兩個零點(diǎn)的附近，有變化，故排除A，B.由在上為增函數(shù)可得在上恒成立，故排除C.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)函數(shù)圖象的識別，此類問題應(yīng)根據(jù)原函數(shù)的單調(diào)性來考慮導(dǎo)函數(shù)的符號與零點(diǎn)情況，本題屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】

由已知可將問題轉(zhuǎn)化為：y＝f(x)的圖象和直線y＝kx－有4個交點(diǎn)，作出圖象，由圖可得：點(diǎn)(1,0)必須在直線y＝kx－的下方，即可求得：k＞；再求得直線y＝kx－和y＝lnx相切時，k＝；結(jié)合圖象即可得解.【詳解】若關(guān)于x的方程f(x)＝kx－恰有4個不相等的實(shí)數(shù)根，則y＝f(x)的圖象和直線y＝kx－有4個交點(diǎn)．作出函數(shù)y＝f(x)的圖象，如圖，故點(diǎn)(1,0)在直線y＝kx－的下方．∴k×1－＞0，解得k＞.當(dāng)直線y＝kx－和y＝lnx相切時，設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，則k＝＝，∴m＝.此時，k＝＝，f(x)的圖象和直線y＝kx－有3個交點(diǎn)，不滿足條件，故所求k的取值范圍是，故選D..【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)與方程思想及轉(zhuǎn)化能力，還考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及計(jì)算能力、觀察能力，屬于難題．12、C【解析】

由題意，逐步分析循環(huán)中各變量的值的變化情況，即可得解.【詳解】由題意運(yùn)行程序可得：，，，；，，，；，，，；不成立，此時輸出.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖，只需在理解程序框圖的前提下細(xì)心計(jì)算即可，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、612π﹣9【解析】

過作，交于，先求得圓心角的弧度數(shù)，然后解解三角形求得的長.利用扇形面積減去三角形的面積，求得弧田的面積.【詳解】∵如圖，弧田的弧AB長為4π，弧所在的圓的半徑為6，過作，交于，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知，垂直平分.∴α＝∠AOB＝＝，可得∠AOD＝，OA＝6，∴AB＝2AD＝2OAsin＝2×＝6，∴弧田的面積S＝S扇形OAB﹣S△OAB＝4π×6﹣＝12π﹣9．故答案為：6，12π﹣9．【點(diǎn)睛】本小題主要考查弓形弦長和弓形面積的計(jì)算，考查中國古代數(shù)學(xué)文化，屬于中檔題.14、【解析】試題分析：由題意得，因?yàn)閽佄锞€，即，即焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.考點(diǎn)：拋物線的性質(zhì)．15、【解析】

根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知對任意的恒成立,將的解析式用分離常數(shù)法變形,由均值不等式可得分母的取值范圍,則整個式子的取值范圍由的符號決定,故分為三類討論,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)值域,再討論,轉(zhuǎn)化為的最小值與的最大值的不等式,進(jìn)而求出的取值范圍.【詳解】因?yàn)閷θ我庹龑?shí)數(shù),都存在以為三邊長的三角形,故對任意的恒成立,,令,則,當(dāng),即時,該函數(shù)在上單調(diào)遞減,則；當(dāng),即時,,當(dāng),即時,該函數(shù)在上單調(diào)遞增,則,所以,當(dāng)時,因?yàn)?,所以,解得；當(dāng)時,,滿足條件；當(dāng)時,,且,所以,解得,綜上,,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)范圍,考查三角形的構(gòu)成條件,考查利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)值域,考查分類討論思想與轉(zhuǎn)化思想.16、【解析】

根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程寫出雙曲線的漸近線方程，結(jié)合題意可求得正實(shí)數(shù)的值.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，由于該雙曲線的一條漸近線方程為，，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用雙曲線的漸近線方程求參數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）e；（2）2.【解析】

（1）根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)，得出，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出曲線在點(diǎn)處的切線為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)性，即可得出的值；（2）設(shè)，求導(dǎo)，求出的單調(diào)性，從而得出最大值為，結(jié)合恒成立的性質(zhì)，得出正整數(shù)的最小值.【詳解】（1）根據(jù)題意，與的圖象關(guān)于直線對稱，所以函數(shù)的圖象與互為反函數(shù)，則,，設(shè)點(diǎn)，，又，當(dāng)時，，曲線在點(diǎn)處的切線為，即，代入點(diǎn)，得，即，構(gòu)造函數(shù)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，且，當(dāng)時，單調(diào)遞增，而，故存在唯一的實(shí)數(shù)根.（2）由于不等式恒成立，可設(shè)，所以，令，得.所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，因此函數(shù)在是增函數(shù)，在是減函數(shù).故函數(shù)的最大值為.令，因?yàn)?，，又因?yàn)樵谑菧p函數(shù).所以當(dāng)時，.所以正整數(shù)的最小值為2.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題，涉及到單調(diào)性、構(gòu)造函數(shù)法等，考查函數(shù)思想和計(jì)算能力.18、（1）；（2）．【解析】

（1）將曲線的參數(shù)方程消參得到普通方程；（2）寫出直線MN的參數(shù)方程，將參數(shù)方程代入曲線方程，并將其化為一個關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)，結(jié)合韋達(dá)定理和余弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求出的最小值.【詳解】（1）由曲線C的參數(shù)方程（是參數(shù)），可得，即曲線C的一般方程為．（2）直線MN的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），將直線MN的參數(shù)方程代入曲線，得，整理得，設(shè)M，N對應(yīng)的對數(shù)分別為，，則，當(dāng)時，取得最小值為．【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)參數(shù)方程的問題，涉及到的知識點(diǎn)有參數(shù)方程向普通方程的轉(zhuǎn)化，直線的參數(shù)方程的應(yīng)用，屬于簡單題目.19、（1）b=32【解析】試題分析：（1）本問考查解三角形中的的“邊角互化”.由于求b的值，所以可以考慮到根據(jù)余弦定理將cosB,cosC分別用邊表示，再根據(jù)正弦定理可以將sinAsinC轉(zhuǎn)化為ac，于是可以求出b的值；（2）首先根據(jù)sinB+3cosB=2求出角B的值，根據(jù)第（1）問得到的b值，可以運(yùn)用正弦定理求出ΔABC外接圓半徑R，于是可以將a+c轉(zhuǎn)化為2RsinA+2R試題解析：（1）由cosB應(yīng)用余弦定理，可得a2化簡得2b=3則b=（2）∵cos∴12cos∵B∈(0,π)∴B+π6=法一.∵2R=b則a+c==sin=3=3sin又∵0<A<2π3,法二因?yàn)閎=32得34又因?yàn)閍c≤(a+c2)2所以34=(a+c)∴a+c≤3又由三邊關(guān)系定理可知綜上a+c∈(考點(diǎn)：1.正、余弦定理；2.正弦型函數(shù)求值域；3.重要不等式的應(yīng)用.20、(1)見解析(2)【解析】

（1）將消去參數(shù)t可得直線的普通方程，利用x=ρcosθ，可將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)為直角坐標(biāo)方程．（2）利用直線被圓截得的弦長公式計(jì)算可得答案．【詳解】（1）由消去參數(shù)t得（），由得曲線C的直角坐標(biāo)方程為：（2）由得，圓心為（1，0），半徑為2，圓心到直線的距離為，∴，即，整理得，∵，∴，，，所以直線l的方程為：．【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程之間的互化，考查直線被圓截得的弦長公式的應(yīng)用，考查分析能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．21、（1）30.2，29；（2）B設(shè)備【解析】

（1）平均數(shù)的估計(jì)值為組中值與頻率乘積的和；（2）要注