2020高中數(shù)學(xué) 第章 函數(shù)的概念與性質(zhì) . 冪函數(shù)講義 第一冊(cè)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE11-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3。3冪函數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.了解冪函數(shù)的概念，會(huì)求冪函數(shù)的解析式．（重點(diǎn)、易混點(diǎn))2．結(jié)合冪函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝eq\f（1,x），y＝xeq\s\up5（\f（1，2）)的圖象，掌握它們的性質(zhì)．（重點(diǎn)、難點(diǎn)）3．能利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較指數(shù)冪的大小．（重點(diǎn)）1。結(jié)合冪函數(shù)的圖象，培養(yǎng)直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．2．借助冪函數(shù)的性質(zhì)，培養(yǎng)邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。1．冪函數(shù)的概念一般地,函數(shù)y＝xα叫做冪函數(shù)，其中x是自變量,α是常數(shù)．2．冪函數(shù)的圖象在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出冪函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝xeq\s\up5(\f(1，2））,y＝x－1的圖象如圖所示：3．冪函數(shù)的性質(zhì)y＝xy＝x2y＝x3y＝xeq\s\up5(\f(1,2)）y＝x－1定義域RRR［0，＋∞）｛x｜x≠0｝值域R［0，＋∞)R［0,＋∞）｛y｜y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增函數(shù)x∈［0,＋∞)時(shí),增函數(shù)x∈(－∞，0］時(shí)，減函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)x∈（0，＋∞)時(shí)，減函數(shù)x∈(－∞，0)時(shí)，減函數(shù)1．下列函數(shù)中不是冪函數(shù)的是(）A．y＝eq\r(x） B．y＝x3C．y＝3x D．y＝x－1C［只有y＝3x不符合冪函數(shù)y＝xα的形式，故選C.]2．已知f（x）＝（m＋1）xm2＋2是冪函數(shù),則m＝(）A．2B．1D[由題意可知m＋1＝1，即m＝0,∴f(x）＝x2。]3．已知冪函數(shù)f(x）＝xα的圖象過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（2，\f(\r（2),2）)），則f（4）＝________.eq\f（1，2)［由f（2）＝eq\f(\r（2),2）可知2α＝eq\f（\r（2),2),即α＝－eq\f（1，2），∴f(4）＝4eq\s\up15(－\f(1,2)）＝eq\f(1,2）。]冪函數(shù)的概念【例1】已知y＝（m2＋2m－2)xm2－1＋2n－3是冪函數(shù)，求m，n［解］由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（m2＋2m－2＝1，，m2－1≠0,,2n－3＝0，)）解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（m＝－3，，n＝\f(3,2)，)）所以m＝－3,n＝eq\f（3，2)。判斷一個(gè)函數(shù)是否為冪函數(shù)的方法判斷一個(gè)函數(shù)是否為冪函數(shù)的依據(jù)是該函數(shù)是否為y＝xαα為常數(shù)的形式，即函數(shù)的解析式為一個(gè)冪的形式,且需滿足：1指數(shù)為常數(shù);2底數(shù)為自變量；3系數(shù)為1.1．(1)在函數(shù)y＝eq\f（1,x2)，y＝2x2，y＝x2＋x,y＝1中，冪函數(shù)的個(gè)數(shù)為（)A．0 B．1C．2 D．3(2)若函數(shù)f(x）是冪函數(shù),且滿足f（4)＝3f(2)，則feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1,2))）的值等于________．(1)B(2)eq\f(1，3）[（1）∵y＝eq\f（1，x2)＝x－2，∴是冪函數(shù)；y＝2x2由于出現(xiàn)系數(shù)2,因此不是冪函數(shù)；y＝x2＋x是兩項(xiàng)和的形式,不是冪函數(shù)；y＝1＝x0（x≠0）,可以看出，常函數(shù)y＝1的圖象比冪函數(shù)y＝x0的圖象多了一個(gè)點(diǎn)(0，1)，所以常函數(shù)y＝1不是冪函數(shù)．(2)設(shè)f（x)＝xα，∵f(4）＝3f(2)，∴4α＝3×2α，解得α＝log23,∴feq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1,2)））＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，2）))log23＝eq\f（1，3）。]冪函數(shù)的圖象及應(yīng)用【例2】點(diǎn)(eq\r（2），2）與點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－2，－\f(1,2))）分別在冪函數(shù)f（x），g(x)的圖象上，問(wèn)當(dāng)x為何值時(shí),有：(1)f(x)〉g(x)；(2）f（x)＝g（x）；(3）f（x）〈g(x）．［解]設(shè)f（x）＝xα，g（x）＝xβ?！?eq\r(2））α＝2，(－2）β＝－eq\f（1,2)，∴α＝2，β＝－1，∴f（x)＝x2，g(x）＝x－1。分別作出它們的圖象,如圖所示．由圖象知，(1）當(dāng)x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)時(shí)，f（x）>g(x）；（2)當(dāng)x＝1時(shí)，f(x）＝g(x);(3）當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，f（x）〈g(x）．解決冪函數(shù)圖象問(wèn)題應(yīng)把握的兩個(gè)原則1依據(jù)圖象高低判斷冪指數(shù)大小,相關(guān)結(jié)論為：在0,1上，指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越靠近x軸簡(jiǎn)記為指大圖低；在1，＋∞上，指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸簡(jiǎn)記為指大圖高。2依據(jù)圖象確定冪指數(shù)α與0，1的大小關(guān)系，即根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象類似于y＝x－1或y＝xeq\s\up5（\f(1,2)）或y＝x3來(lái)判斷。2.（1)若四個(gè)冪函數(shù)y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐標(biāo)系中的圖象如圖，則a，b,c,d的大小關(guān)系是（)A．d>c〉b〉aB．a(chǎn)〉b〉c〉dC．d〉c〉a>bD．a(chǎn)>b〉d〉c(2）函數(shù)y＝xeq\s\up5(\f(1，2））－1的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱的圖象大致是()ABCD（1）B（2)B[(1)令a＝2,b＝eq\f（1,2)，c＝－eq\f（1,3)，d＝－1,正好和題目所給的形式相符合．在第一象限內(nèi)，x＝1的右側(cè)部分的圖象,圖象由下至上，冪指數(shù)增大，所以a>b>c〉d.故選B。（2)y＝xeq\s\up5(\f（1，2))的圖象位于第一象限且為增函數(shù)，所以函數(shù)圖象是上升的，函數(shù)y＝xeq\s\up5(\f(1，2））－1的圖象可看作由y＝xeq\s\up5(\f（1,2)）的圖象向下平移一個(gè)單位得到的（如選項(xiàng)A中的圖所示),將y＝xeq\s\up5(\f(1，2))－1的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱后即為選項(xiàng)B.]冪函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用［探究問(wèn)題］1．冪函數(shù)y＝xα在(0,＋∞）上的單調(diào)性與α有什么關(guān)系？提示：當(dāng)α>0時(shí)，冪函數(shù)y＝xα在(0,＋∞）上單調(diào)遞增;當(dāng)α<0時(shí)，冪函數(shù)y＝xα在（0，＋∞）上單調(diào)遞減．2．2。3－0。2和2.2－0。2可以看作哪一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值？二者的大小關(guān)系如何？提示：2.3－0.2和2.2－0。2可以看作冪函數(shù)f（x)＝x－0。2的兩個(gè)函數(shù)值,因?yàn)楹瘮?shù)f(x）＝x－0.2在（0，＋∞）上單調(diào)遞減,所以2。3－0。2＜2.2－0。2?！纠?】比較下列各組中冪值的大?。?1）0。213,0.233；（2)1.2eq\s\up5（\f(1,2)),0.9eq\s\up5（－\f（1,2)），eq\r(1.1）。［思路點(diǎn)撥]構(gòu)造冪函數(shù)，借助其單調(diào)性求解．［解]（1)∵函數(shù)y＝x3是增函數(shù)，且0.21＜0。23,∴0。213〈0.233。（2)0.9eq\s\up5（－\f(1,2)）＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（10,9）)）eq\s\up8(\f（1，2)），eq\r(1.1）＝1。1eq\s\up5(\f(1,2））.∵1.2〉eq\f（10，9)〉1。1，且y＝xeq\s\up5（\f(1，2))在[0,＋∞)上單調(diào)遞增，∴1。2eq\s\up5(\f（1，2））〉eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(10,9）))eq\s\up8(\f(1，2））>1。1eq\s\up5（\f（1,2))，即1.2eq\s\up5(\f(1，2）)>0.9eq\s\up15（－\f（1,2））〉eq\r(1。1)。把本例的各組數(shù)據(jù)更換如下，再比較其大小關(guān)系：（1)eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（2，5）））0。5與eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,3)））0.5；(2）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（2，3）))－1與eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5））)－1。[解］（1）因?yàn)閮绾瘮?shù)y＝x0.5在［0，＋∞)上是單調(diào)遞增的，又eq\f(2,5)>eq\f(1，3），所以eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))0。5〉eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,3））)0.5.（2)因?yàn)閮绾瘮?shù)y＝x－1在（－∞，0)上是單調(diào)遞減的,又－eq\f(2，3）〈－eq\f(3，5)，所以eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(2，3))）－1〉eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f（3，5）)）－1。比較冪的大小時(shí)若指數(shù)相同,則利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小；若底數(shù)、指數(shù)均不同，則考慮用中間值法比較大小，這里的中間值可以是“0”或“1"。1．判斷一個(gè)函數(shù)是否為冪函數(shù),其關(guān)鍵是判斷其是否符合y＝xα（α為常數(shù))的形式．2．冪函數(shù)的圖象是冪函數(shù)性質(zhì)的直觀反映，會(huì)用類比的思想分析函數(shù)y＝xα（α為常數(shù)）同五個(gè)函數(shù)（y＝x,y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝xeq\s\up5(\f(1,2)）)圖象與性質(zhì)的關(guān)系．3．冪函數(shù)的單調(diào)性是比較冪值大小關(guān)系的重要依據(jù)，要學(xué)會(huì)用冪函數(shù)的圖象及性質(zhì)處理冪值大小的比較問(wèn)題。1．思考辨析(1）冪函數(shù)的圖象都過(guò)點(diǎn)（0,0），（1,1)．（）(2）冪函數(shù)的圖象一定不能出現(xiàn)在第四象限．()(3）當(dāng)冪指數(shù)α取1,3，eq\f(1,2)時(shí)，冪函數(shù)y＝xα是增函數(shù)．（)(4)當(dāng)冪指數(shù)α＝－1時(shí)，冪函數(shù)y＝xα在定義域上是減函數(shù)．（)［答案］(1）×（2)√（3）√(4)×2．冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（2，eq\r（2）），則該冪函數(shù)的解析式是（)A．y＝x－1 B．y＝xeq\s\up5（\f(1,2))C．y＝x2 D．y＝x3B[設(shè)f（x）＝xα,則2α＝eq\r(2），∴α＝eq\f(1，2)，∴f（x）＝xeq\s\up5（\f(1,2）).選B.]3．函數(shù)y＝xeq\s\up15（\f(5，4）)的圖象是()ABCDC[∵函數(shù)y＝xeq\s\up15（\f（5，4））是非奇非偶函數(shù)，故排除A、B選項(xiàng)．又eq\f（5，4）〉1,故選C。]4．比較下列各組數(shù)的大?。?1)3eq\s\up15(－\f（5，2）)與3.1eq\s\up15（－\f（5,2））；（2)4。1eq\s\up5(\f(2,5）)，3.8eq\s\up15（－\f（2，3))，(－1.9)eq\s\up15（－\f（3，5)）。［解](1）因?yàn)楹瘮?shù)y＝xeq\s\up15(－\f(5，2)）在(0，＋∞）上為減函數(shù)，又3〈3.1，所以3eq\s