2020高中數(shù)學(xué) 第章 三角恒等變換 .1.1 兩角和與差的余弦講義 4

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE11-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3。學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)(教師獨(dú)具）1。能利用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式的過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)向量方法的作用．（難點(diǎn)）2。能利用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的余弦公式．(重點(diǎn)）3.能用兩角和與差的余弦公式化簡(jiǎn)、求值．(重點(diǎn))通過(guò)學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容提升學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).兩角和與差的余弦公式（1）兩角差的余弦公式C（α－β)：cos（α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β。（2）兩角和的余弦公式C(α＋β）：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β。思考：cos（90°－30°）＝cos90°－cos30°成立嗎？[提示]不成立．1．思考辨析(1)α，β∈R時(shí),cos(α－β）＝cosαcosβ－sinαsinβ.（）(2）cos105°＝cos45°cos60°－sin45°sin60°.(）(3)cos30°cos120°＋sin30°sin120°＝0。(）（4)coseq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（α＋\f(π,4）））coseq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（π，4)－α)）＋sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（α＋\f（π，4）))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（π,4)－α)）＝cos2α。（）［解析]正確運(yùn)用公式．（1）中加減號(hào)錯(cuò)誤．（2)（3）(4）正確．[答案］（1）×(2）√（3）√（4）√2．cos75°＝________；cos15°＝________.eq\f(\r(6)－\r(2）,4)eq\f（\r(6）＋\r（2），4）[cos75°＝cos(30°＋45°)＝cos30°cos45°－sin30°sin45°＝eq\f(\r(6)－\r（2）,4)。cos15°＝cos（45°－30°）＝cos45°cos30°＋sin30°sin45°＝eq\f（\r(6）＋\r（2），4）。]3．cos45°cos15°＋sin15°sin45°的值為________．eq\f（\r(3)，2)［cos45°cos15°＋sin15°sin45°＝cos(45°－15°)＝cos30°＝eq\f(\r(3）,2)。]兩角和與差余弦公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用【例1】求下列各式的值：(1)cos40°cos70°＋cos20°cos50°;（2)eq\f（cos7°－sin15°sin8°，cos8°）；(3）eq\f（1，2）cos15°＋eq\f(\r（3)，2）sin15°；（4)cos（35°－α）cos(25°＋α）＋sin(α－35°）sin(25°＋α）．思路點(diǎn)撥：從所求式子的形式、角的特點(diǎn)入手，化簡(jiǎn)求值．[解］（1）原式＝cos40°cos70°＋sin70°sin40°＝cos(70°－40°）＝cos30°＝eq\f（\r（3）,2）.（2）原式＝eq\f（cos15°－8°－sin15°sin8°,cos8°）＝eq\f(cos15°cos8°，cos8°)＝cos15°＝cos（60°－45°)＝cos60°cos45°＋sin60°sin45°＝eq\f（\r(2)＋\r（6）,4）。(3）∵cos60°＝eq\f(1，2）,sin60°＝eq\f(\r(3），2），∴eq\f（1,2）cos15°＋eq\f（\r（3)，2)sin15°＝cos60°cos15°＋sin60°sin15°＝cos(60°－15°）＝cos45°＝eq\f(\r（2）,2).(4）原式＝cos（α－35°)cos（25°＋α）＋sin(α－35°）sin(25°＋α）＝cos[(α－35°)－（25°＋α)］＝cos（－60°）＝cos60°＝eq\f(1,2).1．兩角和與差的余弦公式中，α，β可以是單個(gè)角，也可以是兩個(gè)角的和或差，在運(yùn)用公式時(shí)常將兩角的和或差視為一個(gè)整體．2．在運(yùn)用公式化簡(jiǎn)求值時(shí),要充分利用誘導(dǎo)公式構(gòu)造兩角和與差的余弦結(jié)構(gòu)形式，然后逆用公式求值．提醒:要重視誘導(dǎo)公式在角的差異、函數(shù)名稱的差異中的轉(zhuǎn)化作用．1．求下各式的值(1)cos75°cos15°－sin75°sin195°；(2）cos24°cos36°－sin24°cos54°.[解］（1)cos75°cos15°－sin75°sin195°＝cos75°cos15°＋sin75°sin15°＝cos（75°－15°）＝cos60°＝eq\f（1,2）。（2）原式＝cos24°cos36°－sin24°sin36°＝cos（24°＋36°)＝cos60°＝eq\f(1，2)。已知三角函數(shù)值求角【例2】已知銳角α，β滿足sinα＝eq\f(\r(5)，5)，cosβ＝eq\f(3\r（10）,10)，求α＋β的值．思路點(diǎn)撥:先求出cosα，sinβ，再利用兩角和的余弦公式求出cos(α＋β),最后由α＋β的范圍確定α＋β的值．［解]因?yàn)棣?，β為銳角，且sinα＝eq\f（\r(5）,5），cosβ＝eq\f(3\r（10），10），所以cosα＝eq\r（1－sin2α)＝eq\r(1－\f（1，5））＝eq\f(2\r（5），5）,sinβ＝eq\r(1－cos2β)＝eq\r(1－\f（9，10)）＝eq\f(\r(10），10)，故cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝eq\f(2\r（5）,5)×eq\f(3\r（10)，10）－eq\f（\r（5)，5）×eq\f（\r(10），10）＝eq\f(\r(2)，2）.由0〈α〈eq\f（π,2),0<β〈eq\f（π,2）,得0<α＋β<π.因?yàn)閏os(α＋β）>0,所以α＋β為銳角，所以α＋β＝eq\f(π，4）.已知三角函數(shù)值求角,一般分三步:第一步：求角的某一三角函數(shù)值該函數(shù)在所求角的取值區(qū)間上最好是單調(diào)函數(shù)；第二步：確定角的范圍，由題意進(jìn)一步縮小角的范圍；第三步：根據(jù)角的范圍寫出所求的角.2．已知cosα＝eq\f（1,7），cos(α－β）＝eq\f（13，14），且0<β<α〈eq\f(π,2），求β的值．［解］由cosα＝eq\f（1，7)，0〈α<eq\f(π，2），得sinα＝eq\r（1－cos2α）＝eq\r（1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1,7）))2）＝eq\f（4\r（3），7)。由0<β<α〈eq\f(π,2)，得0〈α－β<eq\f(π，2)。又∵cos(α－β)＝eq\f(13,14)，∴sin（α－β)＝eq\r(1－cos2α－β）＝eq\r（1－\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（13，14))）2)＝eq\f（3\r(3）,14)。由β＝α－(α－β)，得cosβ＝cos［α－（α－β)]＝cosαcos（α－β）＋sinαsin(α－β)＝eq\f(1，7)×eq\f（13,14)＋eq\f（4\r（3)，7)×eq\f（3\r（3)，14)＝eq\f(1，2)，∴β＝eq\f（π，3).給值求值問(wèn)題［探究問(wèn)題]1．角“α＋β”“β”及“α"間存在怎樣的等量關(guān)系?提示：α＋β＝α＋β；α＝（α＋β）－β；β＝(α＋β）－α.2．已知cos(α＋β）和sinβ的值，如何求cosα的值？提示：由α＝(α＋β)－β可知，cosα＝cos[(α＋β)－β］＝cos（α＋β）cosβ＋sin(α＋β）sinβ，故可先求出sin(α＋β)及cosβ的值,代入上式求得cosα的值．【例3】已知sinα＝－eq\f（4,5），sinβ＝eq\f(5，13)，且π<α<eq\f(3π,2），eq\f（π,2)<β〈π，求cos(α－β）．思路點(diǎn)撥:由sinα求cosα；由sinβ求cosβ后套用公式求值．[解］∵sinα＝－eq\f(4,5),π〈α<eq\f（3π,2),∴cosα＝－eq\r（1－sin2α)＝－eq\f(3,5)。又∵sinβ＝eq\f(5，13)，eq\f(π，2)<β<π，∴cosβ＝－eq\r(1－sin2β）＝－eq\f(12,13)，∴cos(α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(3，5)））×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f（12，13）)）＋eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（4,5)）)×eq\f（5，13)＝eq\f（16,65）。1．(變條件)若將本題改為已知sinα＝－eq\f（4，5）,sinβ＝eq\f（5，13），且π<α〈2π，0〈β<eq\f（π,2),求cos(α－β)．［解]∵sinβ＝eq\f（5，13）,0〈β〈eq\f（π,2)，∴cosβ＝eq\r（1－sin2β）＝eq\f(12，13).又sinα＝－eq\f(4，5),且π〈α〈2π，①當(dāng)π<α<eq\f（3π，2)時(shí)，cosα＝－eq\r（1－sin2α）＝－eq\f（3，5)，∴cos（α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（3，5）)）×eq\f（12，13)＋eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f（4,5)））×eq\f(5，13)＝－eq\f(56,65）；②當(dāng)eq\f(3π，2)<α<2π時(shí)，cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f（3，5），∴cos(α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝eq\f(3，5)×eq\f（12，13）＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(4,5）））×eq\f（5，13)＝eq\f（16，65)。綜上所述，cos（α－β）＝－eq\f(56,65)或eq\f(16，65)。2．(變條件）若將本例改為已知sinα＝－eq\f（4,5），π<α<eq\f(3π,2）,cos（α－β)＝eq\f(16,65),eq\f(π，2)<β〈π。求sinβ。[解]∵sinα＝－eq\f(4,5），且π〈α<eq\f(3π,2)，∴cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(3，5）。又∵eq\f(π，2）〈β〈π，∴－π<－β〈－eq\f（π，2),∴0<α－β<π.又cos(α－β)＝eq\f(16,65），∴sin（α－β)＝eq\r（1－cos2α－β)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(16,65）））2)＝eq\f（63，65），∴cosβ＝cos［α－(α－β）］＝cosα·cos(α－β)＋sinα·sin（α－β）＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(3，5）））×eq\f(16,65）＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（4,5））)×eq\f（63,65)＝－eq\f（12，13),∴sinβ＝eq\r(1－cos2β）＝eq\f（5，13）.1．利用和(差）角的余弦公式求值時(shí)，不能機(jī)械地從表面去套公式，而要變通地從本質(zhì)上使用公式，即把所求的角分解成某兩個(gè)角的和(差)，并且這兩個(gè)角的正、余弦函數(shù)值是已知的或可求的，再代入公式即可求解．2．在將所求角分解成某兩角的和(差)時(shí)，應(yīng)注意如下變換:α＝（α＋β)－β,α＝β－(β－α），α＝（2α－β）－(α－β），2α＝[(α＋β）＋(α－β）］，2α＝[（β＋α)－(β－α)]等．提醒：注意角的范圍對(duì)三角函數(shù)值符號(hào)的限制．教師獨(dú)具1．本節(jié)課的重點(diǎn)是兩角和與差的余弦公式，難點(diǎn)是公式的推導(dǎo)及應(yīng)用．2．要掌握兩角和與差的余弦公式的三個(gè)應(yīng)用（1）解決給角求值問(wèn)題．(2)解決給值(式）求值問(wèn)題．(3)解決給值求角問(wèn)題．3．本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)是:利用兩角和與差的余弦公式解決給值求角問(wèn)題時(shí)，易忽視角的范圍而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤．1．cos15°＝（)A．cos45°cos30°－sin45°sin30°B．cos45°cos30°＋sin45°sin30°C．cos45°sin30°＋sin45°cos30°D．cos45°sin30°－sin45°cos30°B［cos15°＝cos(45°－30°）＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°。]2．cos105°＋sin195°＝________.eq\f(\r(2)－\r(6)，2）［cos105°＋sin195°＝cos105°＋sin(105°＋90°）＝cos105°＋cos105°＝2cos(135°－30°）＝2（cos135°cos30°＋sin135°sin30°)＝2eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2），2）×\f(\r（3)，2)＋\f(\r(2）,2）×\f（1，2）））＝