群題極值點(diǎn)偏移

1、（2023合肥二模）已知，（）有兩個(gè)根，，求證：分析：幾何感受明顯，但有兩個(gè)地方帶，常用的對(duì)稱函數(shù)方法失效，但注意下圖：方法一：……（1）故只需證明，，的兩根，即可。下面證明：，，(,<0)記:,；令得，在（，）單調(diào)遞增；同理在（，0）單調(diào)遞減。又，；同理，只要證明的兩根，即的兩根即可；設(shè)，易知在（，0）單調(diào)遞減，在（0，）單調(diào)遞增，構(gòu)造函數(shù)=，（），在（0，）單調(diào)遞增，即，又，，且，<0，，得證。方法二：證明：，，再由得：，（>1）2、已知函數(shù)，如果且，求證：（方法1）分析：已知的是相等關(guān)系所求是一個(gè)不等關(guān)系，已知的是函數(shù)值之間的關(guān)系所求是自變量之間的關(guān)系，故考慮利用函數(shù)的單調(diào)性。此外利用已知的相等關(guān)系將雙變量降為單變量，從而構(gòu)造函數(shù)。證明：，易得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且要證，只要，又易知所以只要證即可構(gòu)造函數(shù)，在單調(diào)遞增，即，從而，即原結(jié)論成立，證畢。（方法2）（引入?yún)?shù)、設(shè)而不求，利用齊次式將雙變量降為單變量）因?yàn)椋钥稍O(shè)（1）+（2）得（1）-（2）得，帶入（3）得設(shè)，，則要證，只要只要即可，即只要即可（此處很重要，指對(duì)冪分離）設(shè)，所以，所以在單調(diào)遞增所以，即,即，從而原結(jié)論成立，證畢注：本題變式有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，求證：3、已知，若且，求證：4、已知函數(shù)，,有兩個(gè)不同的零點(diǎn)求證：證明：的定義域?yàn)?，顯然時(shí)，不符合題意時(shí)當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增有極小值，且下面證明構(gòu)造在單調(diào)遞減又又且在單調(diào)遞減又設(shè)易知在單調(diào)遞增，且由易知5、已知函數(shù)，若函數(shù)有兩根極值點(diǎn)求證：證明：設(shè)當(dāng)時(shí)，在單調(diào)x遞增，不符合題意當(dāng)時(shí)，若在上單調(diào)遞增若在單調(diào)遞減依題意有兩根不同的零點(diǎn)，不妨設(shè)要證明只要證明即可，下面證明：由上可知：且設(shè)故只要即即可令易知在單調(diào)遞增在單調(diào)遞減即所以原結(jié)論得證。6、已知，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍。（2）證明：解析：設(shè)則原函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)根要證明只要即可（方法一）：對(duì)數(shù)均值不等式可證（方法二）：構(gòu)造函數(shù)先設(shè)可得在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減可得要證只要即可只要即可,又構(gòu)造函數(shù)7、已知（1）求的單調(diào)區(qū)間（2）若有兩個(gè)不等實(shí)根求證：8、已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)則下列說(shuō)法正確的是（）.有極小值點(diǎn)且解析：(1)有極值點(diǎn)而且(2)又得(3)(4)下面另證，設(shè)此處不宜直接令也不要轉(zhuǎn)化為此處不宜直接令也不要轉(zhuǎn)化為原則是指對(duì)冪分離只要即可設(shè)在單調(diào)遞增所以再證（要證）只要即可設(shè)在上單調(diào)遞減9、已知,若有兩個(gè)不等實(shí)根求證：證明：設(shè)則則有兩不等實(shí)根(不妨設(shè)要證只要即可又時(shí),單調(diào)遞增時(shí)單調(diào)遞減方程要有兩個(gè)不等實(shí)根，則即且下面證明（方法1）：,得證（方法2）：要證只要只要又所以只要證構(gòu)造函數(shù)以下略10、（2023年新課標(biāo)i）已知有兩個(gè)零點(diǎn)(1)求的取值范圍(2)設(shè)是的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：11、(2023年中國(guó)科技大學(xué)自主招生考試)已知函數(shù)(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最大值(2)設(shè),且,證明：,其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)12、(2023年湖南卷)已知函數(shù)(1)求的單調(diào)區(qū)間(2)證明：當(dāng)時(shí),13、(2023年遼寧卷)已知函數(shù)(1)討論的單調(diào)性(2)若函數(shù)的圖像與軸交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，證明：14、已知函數(shù)(1)若函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍(2)若存在兩個(gè)實(shí)數(shù)且,滿足,求證：15、已知的圖像上有兩點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為,且(1)證明：(2)證明：(3)若,求的取值范圍解析：(1),令得所以且在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增構(gòu)造函數(shù)（極值點(diǎn)偏移）易證以下略要證明只要即可（因?yàn)榍遥趩握{(diào)遞增所以只要證明只要即可構(gòu)造函數(shù)在上單調(diào)遞增由于時(shí)，且