非平凡極限法求導(dǎo)的問題及微積分中的導(dǎo)數(shù)、微分、積分、弧長的真實含義及求法

非平凡極限法求導(dǎo)的問題及微積分中的導(dǎo)數(shù)、微分、積分、弧長的真實含義及求法沈衛(wèi)國內(nèi)容摘要：以直觀的二次函數(shù)為例，再一次系統(tǒng)地給出了通常極限法微積分求導(dǎo)過程中的問題，指出它并沒有真正解決著名的貝克萊悖論問題。給出的理由邏輯清晰，推理嚴(yán)格，毋庸置疑。在導(dǎo)數(shù)的新定義下，給出了最簡的得到導(dǎo)數(shù)的方法，并由此得到導(dǎo)數(shù)與微分、增量（差分）的協(xié)調(diào)一致。徹底消除了眾所周知的自變量的微分定義問題。在新導(dǎo)數(shù)定義下，對積分問題進(jìn)行了更加詳盡的分析，指出傳統(tǒng)極限意義的積分也是存在與貝克萊悖論等價的問題的，在筆者對積分的詮釋下，所有問題都不再存在。對曲線長度（弧長）求法，筆者給出了一種全新的詮釋，徹底消除了使人困惑的所謂“微分三角形”。它究竟是無窮小還是極限值，是不可能徹底搞清的。最后，對在新導(dǎo)數(shù)定義下的三角函數(shù)的求導(dǎo)問題以及傳統(tǒng)三角函數(shù)求導(dǎo)過程中的問題，進(jìn)行了一些詮釋與說明。關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)；極限；非平凡極限；虛擬；比式；微分；積分；弧長；曲線長度；三角函數(shù)；王文素；增量；差分；微分三角形；貝克萊悖論；二次函數(shù)；微積分基本定理筆者過去很多相關(guān)文章，早已說清了這個問題。鑒于現(xiàn)世鮮有人看長文章，總想寫一個最簡略的，但總是寫著寫著就多了。此文再做一次嘗試（看來，仍是一次失敗的嘗試，后補(bǔ)）。為簡單明確起見，一律以最簡單的二次曲線為例說明。一、極限法微積分求導(dǎo)中的邏輯問題揭示_____只不過以隱蔽的貝克萊悖論替換了所謂“第一代微積分”中明顯的貝克萊悖論而已二次曲線y=x2的增量函數(shù)方程經(jīng)簡化后為△y=2x·△x+△x2........................................................................................（1）上式也可以寫成△y=2x·△x+△x2=（2x+△x）·△x=k（x，△x）·△x（2）其中k（x，△x）=2x+△x......................（3）自然可以看成二次曲線的割線方程的系數(shù)，也就是割線的斜率。而二次曲線y=x2的增量比值函數(shù)方程為△y/△x=（2x·△x+△x2）/△x=（2x+△x）·△x/△x=k（x，△x）·△x/△x........................（4）極限法微積分求導(dǎo)，針對的是（4）式。求分母上有自變量△x的這個增量比式當(dāng)△x趨于0時的極限。這實際上并不是一個通常意義的正常的極限，因為（4）式的分母是自變量△x，但恰恰是它是要趨于0的。筆者稱其為“非平凡極限”。極限法微積分求導(dǎo)，實際是先通過約分（或除法）消去分母上的自變量△x（實際是公式中的△x/△x）把（4）式化為（3）式后，再求（3）式中的△x→0的極限值。注意，此時自變量△x根本就不再在分母上了。大數(shù)學(xué)家柯朗在其名著?數(shù)學(xué)是什么?中寫道：注意，柯朗明確說，如果不經(jīng)過約分消去分母上的自變量這一步，（4式）在自變量△x→0的極限就是0/0（特別提出此點，是很多人居然不承認(rèn)這個），而不僅僅函數(shù)值為0/0。他接著又說：“......而對此我們是根本不感興趣的”。事實是，難道“我們不感興趣的東西”就不存在了嗎？極限法微積分求導(dǎo)，按其定義明確求的就是分母為自變量△x的增量比值函數(shù)△y/△x（4式）在△x→0的極限，這是其定義決定的。柯朗先是承認(rèn)這點，然后又僅僅以“不感興趣”為由否定它，當(dāng)然是沒有道理的。按柯朗的說法，貝克萊悖論不是在極限法求導(dǎo)中仍舊存在嗎？如果不約分消去分母上的自變量，對非平凡的增量比式4式求其△x→0的極限，為0/0（柯朗的說法），而約分消去分母上的自變量后，等于對3式求△x→0的極限，為2x（極限法微積分求導(dǎo)的結(jié)論），不還是0/0=2x？這不是貝克萊悖論是什么？因此顯然，極限法微積分求導(dǎo)（第二代微積分、標(biāo)準(zhǔn)分析）根本就沒有解決貝克萊悖論問題。只不過把函數(shù)值的矛盾，改成了極限的矛盾而已。認(rèn)為函數(shù)值有問題而極限無問題的看法，不成立。同理，如果可以如柯朗所言僅僅以“不感興趣”為理由，我們不是也可以輕易否定在△x=0點的4式的本無意義的函數(shù)值0/0，也就是不承認(rèn)這個0/0是二次函數(shù)增量比在0點的函數(shù)值（無論其有無意義），而是通過約分消去4式分母上的自變量后得到3式再對3式求△x=0時的函數(shù)值2x，從而就認(rèn)為這個2x就是4式在0點的函數(shù)值（以替代原先的那個0/0）。如此，極限法微積分（第二代微積分、標(biāo)準(zhǔn)分析）還能有存在的必要嗎？不是我們有同樣的理由，可以就此聲稱貝克萊悖論在第一代微積分中就不存在嗎？同一個理論，能采取兩種態(tài)度、厚此薄彼如此，行嗎？極限法微積分求導(dǎo)的思路，是因為在△x=0點的函數(shù)值是公認(rèn)的0/0，會有貝克萊悖論問題，產(chǎn)生所謂的“第二次數(shù)學(xué)危機(jī)”，不行。于是就不考慮此點了（定義域不包括該點），在其它點，△x≠0，因此可以有分母為自變量△x（從（2）式到（4）式），以便再通過約分消去分母上的這個△x，得到（3）式。再令（3）式中的△x→0求其極限值。但如此，嚴(yán)格講只能保證在△x≠0的所有點（定義域內(nèi)），都可以約分消去分母上的△x，但并不能保證這個消去分母△x后的函數(shù)（公式3）在定義域外的△x=0點極限值就不是0/0（此例中就是“2x”）了。如果非要認(rèn)為：1、公式4與公式3在△x=0點極限值一樣；2、并且該極限值就是公式3的極限值，即非0/0型的2x。也就是3、對4式的約分消去分母上的△x后得到的3式，并不會使二者在△x=0點極限值不一樣。如此的結(jié)論，是不是必須首先要給出一個明確的證明才能放心去做？而這種證明，反過來不通過約分消去分母上的自變量△x可以給出嗎？當(dāng)然不行，因為這就是一個循環(huán)論證，不能成立的。就算退一步，我們承認(rèn)3式與4式在△x=0點的極限值一樣，但前述第2點，這個一樣的在△x=0點的極限值為什么非是3式的2x，而不是4式的0/0？柯朗不是也說了嗎，不消分母，其極限值就是0/0，盡管他聲稱“不感興趣”也罷。此外，按同樣的邏輯，我們不是也可以反向推理，把一個原先在△x=0點的極限值為2x的3式，乘以一個△x/△x（對約分反向操作），得到4式，再令其中的△x→0，得到極限0/0，反過來說原先的3式在△x→0的極限值就是0/0，而不再是2x了？如果硬說因為0/0不合理、無意義（柯朗的話就是“不感興趣”），就否定它（成為唯一的理由）的話，那么原先的公認(rèn)的在△x=0點的函數(shù)值為0/0，大家不是承認(rèn)的嗎？我們不是同樣可以以“不感興趣”、無意義、不合理就否定它，而認(rèn)為或規(guī)定4式在△x=0點的函數(shù)值就是2x而不是0/0？總之，極限法微積分求導(dǎo)無論從哪個角度都說不通的。只要還講邏輯，還講理。更何況筆者早就分析了，所謂的約分消分母，本質(zhì)上就是把分母變成“1”，任何公式中只有“1”這個因子才可以“消去”不寫。如果說比如5/5也可以“消去”不寫，那也僅僅是因為它可以被簡化為“1/1”或“1”。因此約分實際上等于把4式中的△x/△x先變成1/1，但此時其比式的特性不能變，只不過是把一個分母不為“1”的分式變成了分母為“1”的分式而已。絕對不是說約分了，原先的一個比式，就成了非比式了。約分沒有這個“功能”。數(shù)值可以通過舍棄“1/1”而把分式化為非分式，但該式比式的性質(zhì)不能變。這從物理量綱（作為兩個物理量之比的）不會因為約分而改變可以看出。比如速度的量綱“距離/時間”，不會因為約分消去分母了，就變成了“距離”了。也許有人還會最后爭辯，說4式中的△x/△x，就是不等于1/1才可以消去，它為任何非0的值都可以直接消去，無論多小，不等于0就行。那好，不是先要有無論什么值，才可其后再消去它嗎？那這個先要有的、存在的無論什么值（非0的，特別是無論多小的值），不是△x要等于或趨于它嗎？比如，就算是無窮小ε（ε≠0），那也是先要有△x→ε，而絕對不會是△x→0！注意，這里的討論都指的是△x/△x的極限情況，而不是4式中的三個△x的情況?，F(xiàn)在4式中的△x/△x→1/1或就算→ε/ε了，而剩下的部分（其實就是3式）中剩下的那個△x→0，說明了什么？只能說明4式中的三個△x，只要一通過約分，一進(jìn)行約分操作，就等于承認(rèn)了4式不是4式了，而是成了（當(dāng)△g≠0同時也不趨于0時）下面的5式了?！鱤/△g=（2x+△x）·△g/△g=k（x，△x）·△g/△g=k（x，△x）·1/1=k（x，△x）·ε/ε=k（x，△x）=△h,/1..............................................（5）這實際上就是3式?！鱤,=2x+△x=k（x，△x）。而5式不再是4式描述的二次曲線的增量比值函數(shù)了，而是二次曲線的割線的一般意義的線性方程，其分母上的自變量不再是△x（可以等于0或趨于0），而是△g（不等于0也不趨于0），在△x≠0時，△x可以（不是必須?。┑扔凇鱣，也可以不相關(guān)。因為△g是割線或切線（當(dāng)△x→0或=0時）上任意兩點間的橫坐標(biāo)間距（增量），當(dāng)然不為0。而△x是約束與曲線上的兩個點的橫坐標(biāo)差，二點合一點時，它當(dāng)然可以等于0。前面已經(jīng)說到，筆者曾經(jīng)用物理上的“量綱”來說明一個比式，無論你消不消分母，量綱不變，說明本質(zhì)上即使消了分母不寫了，這個比式也還是比式，因為原先的比式的量綱不會因為消去了分母而改變。比如速度的量綱“距離/時段”，不會你在數(shù)值上不寫分母了，就成了“距離”或“時段”了。而單位時段，就是“1”，嚴(yán)格講這個“1”就應(yīng)該老老實實地寫在比式的分母上。比如速度為6/3（距離/時段，具體比如是“公理/小時”），也就是“三小時走了6公里”。約分消去分母后，成了“2”，但量綱仍舊是“公理/小時”，也就是每公里（1公里?。┳吡藘晒铩Ｒ虼诉@個“2”，如果要想表達(dá)完備的信息，它還應(yīng)該是個比式，也就是寫為“2/1”，以區(qū)別于單純的“2”，后者如果不看量綱，完全可以被理解成僅僅是“兩公里”，而不是“每小時兩公里”。我們之所以通常不寫“2/1”而直接寫“2”，是因為有后面的量綱“公理/小時”在，這此前提下，才可以做如此的省略或“消去”而不至引起信息的丟失。但如果不去明確具體的信息，一個比式，當(dāng)約分后，嚴(yán)格地還應(yīng)該是一個比式不變，只不過此時其分母成為了“1”而已。正如“6/3=2/1”，2/1，才算真實地反映了6/3的全部信息。如果只寫“6/3=2”,并不意味著全部信息相等，而只是數(shù)值相等。比式的關(guān)系沒有了。在數(shù)學(xué)中，如果只表示一般意義的比式，而不涉具體的物理量綱，那么，6/3，我們就應(yīng)該老老實實地寫為2/1，而不是僅僅為2。除非寫為2時并不影響下面的計算。換言之，如果下面的計算不涉及分母，寫為2而省略（消去）分母上的1當(dāng)然是可以的。但是，必須強(qiáng)調(diào)，如果一旦下面的運(yùn)算涉及分母，就必須不可消去這個分母上的1了！極限法微積分對增量比值函數(shù)△y/△x（公式4）求導(dǎo)也就是求這個非平凡的、也就是分母為自變量△x的比式在△x→0時的極限，當(dāng)然要涉及分母上的這個自變量△x，怎么能如此隨隨便便地先于其在定義中規(guī)定的求其趨0極限而約分消去（不寫）這個分母△x再求其趨0極限？它都連同分母一樣沒有了，在公式的分母都不存在的情況下，還求什么分母為自變量△x這個比式（求導(dǎo)定義所要求的）的趨0極限？有人也許會說，數(shù)學(xué)沒有什么“量綱”，“量綱”只是一個物理概念。如果“6/3”只是表示無其它意思的數(shù)值、數(shù)量，而“6/3=2”只是表示“6是3的2倍”。表面上看，“2倍”不是比式。但如果細(xì)究“倍數(shù)”的定義是什么？還不是“如果數(shù)A非0且為1時，數(shù)B相應(yīng)的數(shù)值S就是A的倍數(shù)為B”，或“如果數(shù)A非0，且數(shù)B有S個數(shù)B大時，S就是B是A的倍數(shù)”。說如果6、3、2等，只表示“數(shù)值”，不表示其它，因此沒有量綱，其實是不對的，因為“數(shù)值”也是量綱。如，“6/3”的量綱，為“數(shù)值/數(shù)值”，仍是比式性質(zhì)。當(dāng)然可以把這個比式的量綱定義成“倍數(shù)”。但這是一個二級定義，最根本的還是一個“比式”。上面的兩個倍數(shù)的定義，都有分母不能為0的要求。如果比式的分母是一個變量△x，要消去它，只有要么其為1（或趨于1），要么其為無窮?。ɑ蜈呌跓o窮小ε），要么就是△x本身或任何非0值，但無論如何，它都不能為0，也不能趨于0（趨于0的極限還是個0?。?。因此，這個分母可以趨于任何非0值（當(dāng)然最終都會轉(zhuǎn)化成“1”），唯獨不能有△x→0！只有當(dāng)分母趨于或等于某值了（如1），才能消去分母△x。而只有分母△x沒有了（消去了），已經(jīng)不是分母為△x的比式的式子中的其它△x才可以趨于0，而如此得到的極限當(dāng)然不是原先的分母為△x的比式△y/△x的趨0極限，而這能是分母上的△x先趨于1或趨于無窮小ε或任何其它非0值后，再令式中的其它△x趨于0，二者當(dāng)然不是一回事，針對的不是同一個函數(shù)。而微積分求導(dǎo)，按其（非平凡的）極限定義式，當(dāng)然是沒有消去分母自變量的比式的極限，而不是約分后消去分母為自變量△x的非比式的趨0極限。但在實際操作中，無論第一還是第二代微積分，都是先消去分母上的自變量△x后再令式子中剩下的△x去趨于0的，于是，導(dǎo)數(shù)的極限定義與求這個極限的實際做法矛盾。這就是貝克萊悖論產(chǎn)生的根源。很多人搞不清楚各種不同的極限究竟有什么區(qū)別，常常把極限法微積分求導(dǎo)的極限，當(dāng)成了普通的極限。其實，這是一種特殊的、分母為自變量△x的、且這個分母上的自變量還要被趨于0的極限，筆者不得不給其起個名字叫“非平凡極限”，以示與普通極限的區(qū)別。實際上，叫其為“非平凡極限”都是客氣的、“禮貌的”、照顧一些人感情的、或套用數(shù)學(xué)行話的。實際上，明白說它就是一個“錯誤的極限”、“不能成立的極限”、或更直接了當(dāng)?shù)?，“極限值與其函數(shù)值一樣地，也為無意義的0/0的極限”！總之，（非平凡的）極限法微積分求導(dǎo)按其定義，就是求4式這個分母為自變量△x的非平凡比式在△x→0時的極限值。但實際求的，卻是分母上的自變量△x不能、也不應(yīng)該趨于0時（實際此時分母上的△x→1或起碼△x→ε（無窮?。┗蛉魏畏?的數(shù)值）消去分母上的△x后剩下的其它的△x→0時的極限值。這根本就是兩回事，不符合導(dǎo)數(shù)的極限定義，或有意無意地篡改了導(dǎo)數(shù)的極限定義而不自知。以上論述，就揭示或解釋了無論牛頓、萊布尼茲的“第一代微積分”還是柯西等的“第二代”的非平凡極限法微積分之所以看似不合理（馬克思語，因為會產(chǎn)生貝克萊悖論）但卻求出了完全正確的導(dǎo)數(shù)的。他們實際求出的，就是曲線的切線的斜率，當(dāng)然是經(jīng)典意義的、宏觀意義的斜率，而不是原先那個分母趨于0時才有的（究竟是無窮小還是極限值？根本就說不清楚）切線斜率。但他們以為求出的，是曲線在自變量△x趨于0時的一個極限值，只不過數(shù)值上與其切線的一般意義的斜率一致罷了?？傊ｎD、萊布尼茲的“第一代”微積分求導(dǎo)，公認(rèn)會有貝克萊悖論的所謂“第二次數(shù)學(xué)危機(jī)”，于是百年后極限法微積分求導(dǎo)（所謂“第二代微積分”）橫空出世，企圖“曲線救導(dǎo)”，用極限（其實是分母為自變量的趨0極限，筆者稱其為“非平凡極限”，或“不成立的極限”、“不存在的極限”，或干脆就是“極限值為0/0的極限”）來挽救之。這個東西，比“曲線救國”還早不少年呢。呵呵。柯西這么一拐彎，還就蒙住了很多人（包括他自己）。筆者前面和以往很多文章對其的否定，凡是嚴(yán)肅的學(xué)者，當(dāng)然必須逐條認(rèn)真考慮或回復(fù)，千萬別說什么“不值一駁”之類早晚把自己擱進(jìn)去蒙羞的話。一句話，桌上有兩個蘋果，一個“公認(rèn)”是被蟲咬了（蟲洞在表面），不能吃了（比喻第一代微積分有有貝克萊悖論）。第二個蘋果就一定沒有被蟲咬嗎？不得驗證（證明）一下再吃啊？而無驗證下（證明）就吃了，還說挺好吃，就是第二代微積分干的事兒。事實上，第二個蘋果也有蟲的（蟲子在里面）！只不過更其隱蔽沒有發(fā)現(xiàn)罷了。見前面及筆者系列有關(guān)文章的分析、揭示。更何況，就算我們撇開分母為自變量△x的“非平凡極限”不論，哪怕是一般的極限問題，也是需要首先確定極限點，然后才有極限過程永遠(yuǎn)只是趨近而不到達(dá)該點這回事的。不信那個吹的神乎其神的ε-δ法，這個ε、δ，不得相對于一個極限點才能確定??？如果一但這個極限點是需要我們首先“求”出來的（一如極限法微積分求導(dǎo)，求的就是這個“極限點”），就必然會陷入邏輯循環(huán)：該點既然沒有函數(shù)值，想根據(jù)函數(shù)值來確定極限點不行。那么，這個點是如何得到的？只能通過極限過程。但顯然，這個極限過程事先就聲明是永遠(yuǎn)到不了極限點的，如此，這個極限點的位置或數(shù)值，我們是如何知道的？我們只能需要極限過程來得到（求出）它永遠(yuǎn)到其不斷趨近的極限點，但正以為它根本就到不了該點，那如何知道這個極限過程永遠(yuǎn)會趨于它？顯然是矛盾的。于是顯然，所有微積分教材中極限的定義式，給人的印象是由極限過程求出了自變量△x→0時的極限值的，但實際上，這個極限值（點）即自變量△x=0的點，其實只能是事先給出的或用其它方法求出的。而事實也正是如此。比如對4式求△x→0時的極限值，實際是約分消去分母上的自變量△x后，對3式的求△x→0時的極限值。然后再令或認(rèn)為或作為此極限值就是4式的極限值。顯然，這在邏輯上是偷換概念加邏輯循環(huán)的錯誤無疑。一個非常貼切的例子，就是作為非循環(huán)無限小數(shù)的無理數(shù)直接在數(shù)軸上的定位問題。我們可以把非循環(huán)無限小數(shù)，看成當(dāng)逐位向無窮位逼近時的一個極限過程。很顯然，數(shù)軸上的這個極限點的精確位置，是不可能用這種極限過程本身來精確定位的。因為永遠(yuǎn)也不會知道非循環(huán)的無限位小數(shù)（無理數(shù)）的最后一位是什么，因為無窮位，就意味著沒有或根本就得不到、確定不了這個“無窮位”。我們只是知道，肯定有這么一個點，非循環(huán)的無限小數(shù)隨著已經(jīng)被確定了數(shù)值的位（多進(jìn)制下，每位當(dāng)然不是單值的）的位數(shù)的增加，這個“數(shù)”或無限序列是逐漸逼近這個點的，而絕對不會越來離該點越遠(yuǎn)。但該點究竟在哪里，只能說其范圍越來越小，但非0的“范圍”（長度）不可能消失，也就是該點作為一個無長度的點，是在這種方法下永遠(yuǎn)也得不到的，正如無窮位的最后一位，也永遠(yuǎn)得不到一樣?？傊?，還是得先確定那個極限點，才能說一個極限過程或序列逐漸趨近它。而如果事先并不知道確定的極限點的位置，所謂的高明的不得了的ε-δ法中的ε、δ的具體數(shù)值，能確定、給出嗎？比如，我們以0點為極限點，如果不知道極限點是0，能給出距離這個0點的ε、δ的具體數(shù)值嗎？因此，這種意義的極限過程，與其說由它求得或得到極限點也就是極限的數(shù)值，還不如說必須先有這個確定的極限點最后才可能有趨于該極限點的極限過程。邏輯上先后次序是如此的，不可顛倒。而極限法微積分求導(dǎo)，在邏輯上完全是本末倒置，先后次序顛倒的。從其導(dǎo)數(shù)定義的表述上看，給人一種印象，似乎極限點（導(dǎo)數(shù)點）是按這種方式“求”出來的，“逼近出來”的。按行話，就是以那種包含ε、δ的方式逐漸可以得到的。但實際上，連ε、δ的具體數(shù)值的給出、確定，都要直接依賴于已經(jīng)事先給出的、明確的極限點才行。先后次序不容顛倒。上面的論點，從傳統(tǒng)極限的ε-δ定義法就可以明顯看出（見方源、王元?微積分（上），P38）。在那個著名的定義中，無論自變量的極限值（點）a還是函數(shù)的極限值（點）b都是事先給出在定義中的，根本就不是由這個定義或ε-δ方法求出的。與其說由成為序列的ε、δ求出或得到了極限點，還不如說由已經(jīng)給出了的（或通過其它途徑求出了的）極限點的數(shù)值，才能確定或給出ε、δ的數(shù)值。總之，極限的兩個要素：1、明確的、事先給定的極限點；2、向給定的、明確的極限點逐漸靠近的一個過程?？梢缘竭_(dá)極限點的，為可達(dá)極限（其實與函數(shù)過程一致）。不到極限點的，為不可達(dá)極限。極限的定義一般取后者，但涵蓋前者。這里僅就二次函數(shù)的傳統(tǒng)極限法求導(dǎo)過程為例說明：表面上看（很多人也是如此認(rèn)為的），按該極限的定義，是通過極限過程求出了導(dǎo)數(shù)值也就是極限值2x的。但其實按上面的“極限的兩個要素”細(xì)究起來，△x=0作為自變量的極限點，和2x作為導(dǎo)函數(shù)的極限點，都是要事先給定的。根本就算不上、也不可能真的能由這個極限過程本身生生地“求”導(dǎo)函數(shù)的極限點2x出來。因為這不符合前述極限的要素。僅從這個角度，還不去說什么分母為自變量△x的趨0極限這個非平凡極限過程是不是為0/0的事兒，就足可以徹底否定導(dǎo)數(shù)作為一個極限值，是可以由此極限過程所求出的這個初衷了！不能不說，在邏輯上能夠體會到此點的人極少，但它確實是實實在在的一個邏輯問題。也就是，極限法微積分“求導(dǎo)”，在邏輯上什么也沒有“求”出來，本質(zhì)上它實際上就是直接給出了2x這個極限數(shù)值，作為了導(dǎo)數(shù)值。具體說就是先通過令△x=0“求出”了該函數(shù)的函數(shù)值，然后再“令”該函數(shù)值為該點的極限值。這個極限值根本就不是直接通過極限過程求出了的！所謂的求出極限值的過程只是表面上的一個“裝模作樣”在“求”這個導(dǎo)數(shù)也就是極限值的“樣子”而已。還是那個比喻：必須先在地雷點埋上一個地雷，才可以有或確定該點能不能去的問題。不能反過來，說是因為該點不能去了，才導(dǎo)致的該點有地雷，有地雷是因為“不能去”所致。這個邏輯次序，是不是搞反了？說一點題外話。那么，無理數(shù)在數(shù)軸上的定位問題如何解決？它無法定義嗎？當(dāng)然不是的。只是不能直接由無限非循環(huán)小數(shù)來定位。在一條直線（數(shù)軸，一維空間）上無法直接定位，就推廣到“面”（二維空間）上。比如21/2這個無理數(shù)，在一個面上（二維空間）中，就是兩個直角邊長度為1的等邊直角三角形斜邊的長度。這個長度當(dāng)然是確定的，三角形畫出來了，長度就有了。但直接用非循環(huán)無窮位小數(shù)，就無法確定其長度。筆者有專門的文章討論并給出了這個問題的明確解答。后來看吳文俊先生文章，其實中國古代九章算術(shù)中對無理數(shù)就是如此定義的，吳先生對此大為贊嘆，認(rèn)為比古希臘對無理數(shù)的解讀、定義強(qiáng)的多（如果沒有對無理數(shù)定義、定位問題自己進(jìn)行過深入研究并有所見解的話，筆者體會，根本不可能明白吳老和九章算術(shù)說的是什么意思。我為什么一眼就明白吳老所言？因為我也是這么想的。那些看不出西方傳統(tǒng)無理數(shù)問題的人，怎么可能明白中國古代對無理數(shù)定義的高明之處？這是以吳老的威望，他的文章出來后，也沒有真正泛起多少水花的原因）。其實比之現(xiàn)代的戴德金分劃等等方法，也不可同日而語。現(xiàn)在很清楚了，所謂戴德金分劃、康托法等等，其實都依賴一個隱含的公理或原則，就是確界公理或原理。因此，這些得到無理數(shù)的方法，都是循環(huán)論證。所以西方一些教材明白了這點后，干脆就直接用公理法規(guī)定，省了這些多余又誤導(dǎo)學(xué)生的彎彎繞。因此所謂無理數(shù)、實數(shù)的定義、被得到，在西方那里，無論古代還是現(xiàn)代，都是“規(guī)定”出來的，是規(guī)定其有，而不是像人們想象的，是求出來的，證明出來的。筆者對此問題思考了不少時間才明白的，但按吳文俊先生的文章（他也是看到另一些學(xué)者的文章才知道的），才知道中國古人早就非常自然地把在直線上無法按比例數(shù)直接定位的“數(shù)”，直接推廣到“面”上去解決，“得來全不費(fèi)工夫”，極為自然。這方面，包括極限問題，微積分問題，西方是走了彎路的，中國人是走的“捷徑”。再退一步，傳統(tǒng)的微積分求導(dǎo)（無論第一還是第二代微積分）都是直接針對4式這個分母為自變量△x的“非平凡比式”的。而且他們求導(dǎo)的必要步驟，都是先要經(jīng)過約分消去分母上的自變量△x的。就算此點有千般可以成立的理由（筆者歷次分析及上文可見，其實理由不成立），但是，為什么就不可以直接針對這個比式（4式最左邊）來求△x→0的極限（當(dāng)然等于0/0）？非得消去分母△x不可嗎？難道已經(jīng)得到的無意義的極限0/0，就可以是不這么求的理由？按此邏輯，既然在△x=0點的函數(shù)值也是無意義的0/0，我們就可以以此為由，消去分母后再求其函數(shù)值，硬說其在0點的函數(shù)值為2x而不是0/0嗎（二次函數(shù)下）？真的一旦如此，極限法求得的2x還有必要嗎？其函數(shù)值不是已經(jīng)為2x在先了？因此在邏輯上，無論從哪個角度看，都根本不通。如此，既然說極限為無意義的0/0就不能被允許是不成立的，那么，直接求4式（指不先約分消分母）這個比式就應(yīng)該是被允許的，一句話，其趨0極限值與其函數(shù)值一致，都是無意義的0/0。而不是2x。后者是另一個函數(shù)而絕對不是這個非平凡比式的極限。也許更直接了當(dāng)也更明確的否定非0/0型的非平凡極限存在的判據(jù)是：眾所周知，只有在前提△x≠0時，才可以對非比式的2式除以此時非0的自變量△x，得到分母為非0的自變量△x的4式。然后再對該比式4式說△x→0怎么樣的事。但是，對非比式的2式直接求△x→0等于多少？不也是0=0嗎？△x→0本身等于多少？其極限值不也是0嗎？此時可以用這個△x也是0的極限值去除2式嗎？當(dāng)然不行！于是，只能是還要有一個前提，即與△x≠0一樣，要有△x不能趨于（→）0時，才可以對非比式的2式除以同時其極限也不能為0的△x，得到分母為不能為極限0（同時不能函數(shù)值為0）的△x的比式4式。但如此一來，還能有我們想要得到的△x→0時的4式的非0/0型的平凡極限2x嗎？當(dāng)然不行！因為顯然，“△x不能趨于（→）0”已經(jīng)作為前提在先了！因此結(jié)論只能是：分母為自變量△x的比式4式在△x→0時的極限與其在該點的函數(shù)值一樣，也是無意義的0/0。或等價地，說在該點沒有有意義的極限值（極限不是0/0的），與其在該點沒有有意義的函數(shù)值（函數(shù)值不是0/0的）一樣。前面引述大數(shù)學(xué)家柯朗的話，他也說了（見其?數(shù)學(xué)是什么?一書），如果不約分消去分母上的自變量△x，作為分母為自變量△x的比式的4式在△x=0點，不但其函數(shù)值為0/0，其極限值也是0/0（注意，這是柯朗明確說的，不是我說的！）。但他又說他對此（極限值0/0的結(jié)論）“不感興趣”，于是通過約分消去分母上的自變量△x，變?yōu)榉潜仁?式后再求其極限。但顯然，“不感興趣”的東西不等于它就不存在了。極限值0/0也一樣，盡管其無意義。那也是要它存在了才會有其無意義。也就是才會存在這個無意義（這里有些哲學(xué)意味了）。但是，如果4式在0點的極限值是0/0了，我們還能從2式除以極限值為0的△x得到4式嗎？函數(shù)值△x≠0進(jìn)而可以除以它從2式得到4式的前提或必要性，不正是在△x=0點，4式的函數(shù)值為無意義的0/0嗎？那么，怎么就同樣地在△x=0點，4式的極限值也是0/0（柯朗說的，確實也是?。?，同理，與其函數(shù)值的情況一樣，我們從非比式的2式除以自變量△x的前提，不也得是△x不能趨于0（不能有△x→0）嗎？有了這個前提，還能有其后的對4式消去分母△x得到非0/0型的極限2x這回事嗎？得到這個極限2x的前提，居然是其極限為0/0。從一個趨0極限不能存在的前提，卻得到了一個趨0極限。這純粹就是一個矛盾！一句對其“不感興趣”了，就可以去除這個矛盾，那我們可以用無興趣為理由去除任何系統(tǒng)中、推理過程中的矛盾。所謂第二代極限法微積分求導(dǎo)賴以存在的第一代微積分在△x=0點函數(shù)值為0/0的問題，我們同樣可以“不感興趣”地把它弄沒，如此，還要第二代極限法干什么？它的存在性還有嗎？因此，這又是一個矛盾。這種種矛盾的本質(zhì)，都是貝克萊悖論在作祟。貝克萊悖論絕對沒有因為回避了0點的函數(shù)值而采用了0點的極限值就自動消失了，其陰魂猶在，不過隱蔽了一些罷了（在筆者看來，連隱蔽都算不上，就是赤裸裸的）。它就是先得到0點的極限值0/0（與其在該點的函數(shù)值一樣），再在一句“不感興趣”的理由下，在忽略自變量△x也不能趨于0（極限值不能等于0）的事實，只講自變量△x不能等于0（函數(shù)值不能為0），進(jìn)而對2式除以此時非0的自變量△x，然后在通過約分消去分母上的△x，求得非0/0型的△x→0時的極限值2x。注意，這個結(jié)果是完全忽略或無視△x同樣不能趨于0這個前提、要求的！因此這就是一個不折不扣的矛盾。矛盾的前提，不是你一句“不感興趣”就可以消除了的。如此，函數(shù)值的矛盾（牛頓法中的貝克萊悖論）同樣地一句“不感興趣”就消除了，這樣的話，極限法的第二代微積分還有任何地位嗎？還有存在的必要嗎？這又是一個矛盾，前面已經(jīng)說過了。再強(qiáng)調(diào)一次也好。即使不考慮約分消去分母上的自變量△x這回事，非平凡極限法微積分的求導(dǎo)過程這里可以舉一個不太“雅”但很貼切的比喻：說在某地點有一顆地雷（對應(yīng)函數(shù)中在該點為無意義的0/0），人不能去。去了就要“爆雷”死人的。既然不能去，就不考慮該地點了（對應(yīng)于定義域不包括該點）。而不考慮該地點，也就是除了該點外，任何地方都可以去，包括無限接近該點的地方。既然可以無限接近該點，那么就是以該點為“不可達(dá)”極限，具體說就是“可以去”這回事的不可達(dá)極限。既然是可以去的極限，即不是地雷的極限，定義這個原本明明是因為有地雷而不可達(dá)的極限點是沒有地雷的地方的極限點，盡管不可達(dá)，但就此重新定義這個不可達(dá)極限點不是地雷或沒有地雷（相當(dāng)于定義在該點的另一個函數(shù)，即不為0/0的導(dǎo)函數(shù)），于是這個極限點不再是或不再有“地雷”了（對應(yīng)于非0/0型的極限值，二次函數(shù)下就是2x）,于是原先明明存在的地雷，就這么變戲法似的給搞沒了。這不是偷換概念是什么？不是“曲線救導(dǎo)”又是什么？上面論述還是假設(shè)不考慮約分消分母的情況。如果考慮了，則應(yīng)該是，約分消分母等效于無論離地雷多近（哪怕是無窮小的距離），都要先行離開地雷一米遠(yuǎn)再說，如此，不是以一米為極限值?。磕倪€有首先以地雷所在點為極限的問題？就算有人抬杠，說沒有什么一米的事，那好，以任何非0的點，極端地以距離地雷無窮小ε為到達(dá)點，那不是也以非0的無窮小為極限點??？無窮小再小也不是0，哪里還有以0為極限點，也就是以地雷的位置為極限點？可以趨于0點（或地雷點）的，無非是趨于1或趨于任何值這個性質(zhì)本身（包括無窮小ε）。也就是地雷點（0點）可以作為在該點止步或退后一米的一個可以如此做的不可達(dá)極限點，而絕對不是人可以到達(dá)地雷點的極限。而按導(dǎo)數(shù)的非平凡極限定義，就是人到地雷點的極限，而不是人不到地雷點的極限。人不能到地雷點這個“性質(zhì)”本身，是可以以地雷點為極限的（當(dāng)然是不可達(dá)極限，相當(dāng)于消了分母后的情況），但這并不是人到地雷點的極限?？傊捶瞧椒矘O限法導(dǎo)數(shù)的定義，只要地雷還在，人去不得（對應(yīng)函數(shù)值為0/0），去不得的極限還是去不得（對應(yīng)該點的極限值也是0/0，與其函數(shù)值一致）。因為在該點始終存在地雷是客觀存在。絕對不能說：“有地雷，人去不得。而人不去，同時所有其它點（除地雷點外）都無地雷，因此這個性質(zhì)本身以地雷點為不可達(dá)極限（可以無限接近但不能到地雷點），既然以地雷點為無地雷的不可達(dá)極限點，就干脆認(rèn)為該點就此無地雷了（等價于重新定義一個在該點非0/0值的導(dǎo)函數(shù)），于是人就又可以去到該原先的地雷點了”。這種東西，可以成立嗎？邏輯上沒有問題嗎？而這正是非平凡極限法微積分所干的事！它與牛頓、萊布尼茲微積分求導(dǎo)所產(chǎn)生的問題（貝克萊悖論）一樣，但絕對不如牛頓、萊布尼茲坦誠、明確。是一種典型的邏輯上的偷換概念、移花接木而不自知。綜上，一個分母為自變量△x的比式△y/△x的趨0極限，與無分母的函數(shù)比如△y是完全不一樣的。前者筆者稱之為“非平凡趨0極限”，后者無論可達(dá)還是不可達(dá)，都是“平凡”的。筆者在與其他人的討論中發(fā)現(xiàn)，很多人實際上搞不清二者的區(qū)別。似乎一說否定極限法微積分求導(dǎo)，就是否定了全部極限概念或一般意義的平凡極限似的，不能不說，這是沒有搞清問題所在。有人曾經(jīng)質(zhì)疑筆者老喜歡用一些非數(shù)學(xué)的比喻，似乎寫在文章中不正規(guī)似的。但即使如此通俗的比喻，很多人就懂了嗎？不是還不懂嗎？不比喻還真不行，比喻了往往也還是不行。總之，質(zhì)疑非平凡極限法微積分求導(dǎo)，第一，對增量比值△y/△x而言，就算非0/0型的不可達(dá)極限值（比如2x）存在，用其代替原先為0/0的函數(shù)值也不行；第二，更為重要的是，這個非0/0型的極限值（比如2x）還根本就不存在。理由是緊緊抓住約分消去分母上的自變量△x這一步。此步是傳統(tǒng)微積分求導(dǎo)的絕對必要步驟（無論第一還是第二代微積分，概莫能外），也就是實際上是一個必要條件，但對一個比式進(jìn)行約分消去分母△x，可不是必須的、必要的。沒有這么一個數(shù)學(xué)規(guī)則在。而不消分母上的自變量，求出的是什么？況且原先按極限法微積分導(dǎo)數(shù)的定義，求的不就是分母為自變量△x的一個“非平凡比式”在自變量△x趨0時的極限值嗎？既然如此，為什么不直接求？反而拐彎抹角地要先把本不是數(shù)學(xué)上的必要條件變?yōu)榍髮?dǎo)的必要條件后（實際上嚴(yán)格講應(yīng)該是“不允許”），即先消去分母上的那個自變量再求？將本不必要的條件變成了必要的一步或必要的前提，邏輯上是什么問題？這里又要打個比方了：一人得了感冒，因是病毒感染，吃藥無用，吃不吃都會好。但現(xiàn)在強(qiáng)令吃藥，感冒好了，就說這個感冒是該藥物治好的，不吃藥不會好，這個邏輯有什么問題，請讀者自行分辨吧。再退一步，就算對前面4式的比式約分消去分母上的自變量△x不涉及什么分母為“1”或不為“1”的問題，那么，消去了，就是沒有了，與原先就沒有有區(qū)別嗎？可以判別嗎？消去4式的分母得到的3式，與直接給出的3式，有區(qū)別嗎？既然沒有，為什么極限法微積分導(dǎo)數(shù)的原始定義式，非取4式的趨0極限，而不直接在3式（原先就根本沒有分母的）求其趨0極限（實際此時直接等于0也可，直接取2x也可）？如此，為什么不能從一開始就定義導(dǎo)數(shù)就是針對“平凡的”3式而不是4式（作為一個分母為自變量△x的非平凡比式）？而針對3式的導(dǎo)數(shù)，其定義應(yīng)該是什么？不就是曲線在x點的切線的斜率嗎？可以認(rèn)為它由曲線的割線令增量△x=0或△x→0而得到，也可以認(rèn)為是由單純的增量函數(shù)的線性部分的系數(shù)而得到。實際二者是一樣的。完全不必把那個自變量△x除到分母上再去令其趨于0并造成貝克萊悖論的問題。要改變的，只有對導(dǎo)數(shù)的觀念，也就是定義。只要從把導(dǎo)數(shù)（瞬時速度）非要看成是“實在”的改成“虛擬”的，一切問題皆可迎刃而解。至于具體得到或求得導(dǎo)數(shù)的不同方法和過程，不過有簡有繁，無傷大雅了。因此不得不說，所謂“第二代的”極限法微積分求導(dǎo)，只不過以隱蔽的貝克萊悖論替換了所謂“第一代微積分”中明顯的貝克萊悖論而已。給其戴上個“非平凡”的帽子，都是客氣的。數(shù)學(xué)號稱世上最嚴(yán)密，邏輯最完善。一些數(shù)學(xué)工作者、數(shù)學(xué)家也常對此津津樂道?，F(xiàn)在好了，極限法微積分求導(dǎo)這事兒，嚴(yán)密嗎？我的揭示、分析，不嚴(yán)密？對好龍的、這里是聲稱喜歡“嚴(yán)密”的葉公而言，龍、也就是“嚴(yán)密”這回真的來了。這是考驗人的能力、誠實度、可信度、真實水平甚至人品的時候了。根本不看、不細(xì)琢磨就噴的，是一種人（此類最眾。與域內(nèi)虛張聲勢不學(xué)無術(shù)的氛圍有關(guān)）；始終看不出問題的（指即使認(rèn)真看了我的文章后），是一種人；看明白了，囿于傳統(tǒng)勢力的“學(xué)術(shù)淫威”，多一事不如少一事，反正與他無關(guān)，因此不吭聲的，是一種人；他本人不同程度地對傳統(tǒng)微積分求導(dǎo)、自變量的微分問題等等也有看法，但所提解決方案在筆者的詮釋下，并不成立，實際上，老實說，存在競爭關(guān)系與我。我對，他錯。我錯，他才對。在看明白我的詮釋后，也不再吭聲了。只想被人給自己抬轎子，不給別人抬轎子（特別是與自己有競爭關(guān)系的人和理論），幾乎就是現(xiàn)實的真實寫照。最后，可能根本就沒有看到我的文章或自認(rèn)為不屑一看的，當(dāng)然也就不可能提出什么。這里只是敬請嚴(yán)肅認(rèn)真的學(xué)者，對本節(jié)所提問題，逐條予以評判。切勿一句“不值一駁”了事。如此容易駁，倒是駁一下啊，又怎么了？如不好駁，就老老實實地承認(rèn)。科學(xué)問題，要實事求是。一為一，二為二，含糊不得的。這些題外話，現(xiàn)在有時不說還真不行。二、導(dǎo)數(shù)究竟是什么和如何“求”_____其實就是“得到”，根本就算不上什么“求”筆者早就提出了導(dǎo)數(shù)的新定義，就是：實實在在的曲線的切線斜率。切線的斜率就是切線上（注意，不是曲線上）任意兩點間（當(dāng)然間距不為0）的縱橫坐標(biāo)比，因此根本就沒有什么分母為0或趨于0的事。傳統(tǒng)極限法微積分導(dǎo)數(shù)定義是把曲線的自變量（通常用橫坐標(biāo)表述）的增量作為分母的，而且令其趨于0，由此當(dāng)然會產(chǎn)生問題。與上述新導(dǎo)數(shù)定義相應(yīng)地，更好理解的、直觀的瞬時速度新定義：物體受外力時的曲線、變速運(yùn)動，當(dāng)物體如果在瞬間外力突然消失時，物體所作的勻速直線運(yùn)動速度。當(dāng)然，物體沒有也不必真的突然外力消失，只是“假設(shè)”如果消失的話的運(yùn)動速度。因此，對一個連續(xù)的、不間斷的曲線或變速運(yùn)動而言，瞬時速度就是一個“虛擬”概念，現(xiàn)實中并沒有發(fā)生。很簡單，只要始終受外力，物體就會做曲線或變速運(yùn)動，絕對不會做勻速直線運(yùn)動，哪怕是在極小的甚至無窮小的時間段內(nèi)。就算真有所謂無窮小，也會有無窮小的變速曲線運(yùn)動，而不是只有勻速直線運(yùn)動才會有無窮小。即，無窮小的運(yùn)動段，不是勻速直線運(yùn)動的“特權(quán)”。這其實就與理論力學(xué)中的“虛位移”、“虛功”等概念“接軌”或吻合了。否則位移就是位移，何“虛”之有呢？其實并不好解釋。在瞬時速度（導(dǎo)數(shù)）的新定義下，“虛位移”其實就是，一旦受力條件改變，物體將會如何運(yùn)動的意思。這就與新的瞬時速度的定義完全一致了。而傳統(tǒng)的極限法微積分的瞬時速度定義，顯然是以為瞬時速度對曲線或變速運(yùn)動而言，是現(xiàn)實中發(fā)生了的，是曲線或加速運(yùn)動中可以真正實現(xiàn)的固有性質(zhì)。而且其究竟是什么，其實根本就沒有徹底澄清。傳統(tǒng)上（極限法）把它是一個不可達(dá)的趨0極限值，但這個趨0不可達(dá)極限值究竟為何“恰巧”與勻速直線運(yùn)動等值？固然隨著時間段的越來越小，曲線與直線會越來越接近，但曲線畢竟只是曲線，直線畢竟只是直線，二者只要不匯聚與一點，就不相等。而一但匯聚于一點，它就是一個點了，還有線嗎？無論曲線與直線都不存在了。因此，說在某點曲線與直線重合之類，根本就是錯的?？傊瑐鹘y(tǒng)極限法微積分在這里是有問題的。在筆者提出的新導(dǎo)數(shù)（瞬時速度）定義下，可以有很多求導(dǎo)或得到導(dǎo)數(shù)的方法（見筆者前期系列文章，此不贅述），也可以徹底解釋清楚傳統(tǒng)第一或第二代微積分究竟為何以看似不合理的求導(dǎo)過程但卻可以得到導(dǎo)數(shù)的精確值的（馬克思語）。傳統(tǒng)極限法微積分是先用非平凡的極限法得到導(dǎo)數(shù)，再去定義微分。而在新定義下，實際可以直接從微分（函數(shù)的線性部分）出發(fā)，得到導(dǎo)數(shù)，也就是曲線函數(shù)線性部分的縱橫坐標(biāo)差（增量）之比。傳統(tǒng)非平凡的極限法微積分求導(dǎo)，是針對曲線（非線性）函數(shù)的增量比值函數(shù)△y/△x的，也就是4式的。就此當(dāng)分母上的自變量△x=0或△x→0時，4式就有0/0=2x的問題（約分消分母△x所致）。也就是貝克萊悖論的本質(zhì)。我們當(dāng)然可以在新導(dǎo)數(shù)定義下針對5式求導(dǎo)。如此，同樣的△x=0或△x→0時，處于分母的是△g，它是不為0的。因此貝克萊悖論不存在。且完全符合導(dǎo)數(shù)的新定義。當(dāng)然，針對4式或5式約分消去分母上的自變量后，得到3式，我們針對這個3式也是可以得到導(dǎo)數(shù)的。這種方法其實就是傳統(tǒng)微積分（無論第一代還是第二代）真正所作的，盡管大家都沒有意識到他們做的究竟含義是什么（具體說就是約分消分母的本質(zhì)是什么）。我們在新導(dǎo)數(shù)定義下，當(dāng)然還會有更其簡單的求導(dǎo)或根本就算不上什么“求”的直接“得到”導(dǎo)數(shù)的方法。比如，我們直接針對曲線的增量函數(shù)（2式）而不是增量比值函數(shù)（5式），同樣在自變量△x=0或△x→0時，由2式會得到0=2x·0（對比前述傳統(tǒng)微積分的0/0=2x），也沒有什么分母為0的問題。且在任何直線上取一個點，并不影響該直線的斜率k的數(shù)值和存在，這里就是2x。這個求法，筆者前期提出來過，而美國紐約（哈佛？）大學(xué)的Range教授實際也提出過（見李紅玲教授文章）。但他究竟是否有筆者認(rèn)識的這么清晰，待考了。筆者資料太少，不好判斷了。其實最簡單的求法，是直接針對1式的方法。這其實可以看成一個不必借助于曲線的切線斜率這個幾何概念的導(dǎo)數(shù)的新定義：就是曲線函數(shù)（非線性函數(shù)）的增量函數(shù)的線性部分的系數(shù)（斜率），也就是1式中的線性項2x·△x的系數(shù)2x。直接了當(dāng)，完全沒有什么誰趨于0啦，等不等于0啦的問題。人家k=2x已然放在那里了，直接取就可以了，還“求”什么？這就是一個直接“得到”而已。這個“求導(dǎo)法”或“取導(dǎo)法”，就是500年前的明代大數(shù)學(xué)家王文素老老前輩的方法。筆者其實也在過去文章中提出過（由微分的定義式也就是線性部分的系數(shù)直接得到導(dǎo)數(shù)，而不是現(xiàn)有導(dǎo)數(shù)再定義微分）。甚至，最為滑稽的是，很多微積分教材中其實竟然也被提出過，但由于人們囿于根深蒂固的傳統(tǒng)導(dǎo)數(shù)或瞬時速度的陳舊理念，沒有把這種求法當(dāng)回事兒，只是說實際得到了一個導(dǎo)數(shù)的數(shù)值而已。而并沒有把它作為導(dǎo)數(shù)的定義，或正式求法。它僅僅是提出微分（線性主部）后的一個副產(chǎn)品而不被深究，但實際在微積分和微分方程中的后續(xù)使用中其實用的還是如此定義的實際的導(dǎo)數(shù)。這里，姑且不論對錯了，僅就其簡單性、直接性和含義的明確性而言，500年前王文素得到導(dǎo)數(shù)的途徑和方法（500年后由于先入為主地受傳統(tǒng)極限法微積分的誤導(dǎo)，頗費(fèi)周章筆者也得到同樣的結(jié)論，這個無須客氣，有文章可查的），比之140年后的牛頓、萊布尼茲的方法和二、三百年后的柯西、外爾斯特拉斯的方法如何？想必凡是客觀、公正的讀者都會得到結(jié)論的。王文素當(dāng)然沒有明確提出導(dǎo)數(shù)（他叫“乙方”）的定義，定義隱藏于其得到導(dǎo)數(shù)（乙方）的方式中。況且他也沒有料到或經(jīng)過140年后的牛頓及更后來的柯西的導(dǎo)數(shù)的有瑕疵、有矛盾的極限定義，他也沒有理由或機(jī)會去為他身后幾百年的錯誤認(rèn)識去正本清源。導(dǎo)數(shù)的新定義是筆者明確提出的，是以消除矛盾，正本清源為目的的。也是為了還原事物的本來面目的?？傊痪湓挘跷乃睾臀业姆椒ǎㄉ踔敛簧俳炭茣袑嶋H已經(jīng)由微分的定義得到了的，但沒有被認(rèn)識而宗其為導(dǎo)數(shù)的真正定義的），得到了那個導(dǎo)數(shù)2x沒有？如果得到了，是不是要琢磨琢磨如此得到的導(dǎo)數(shù)2x，究竟其真實含義是什么？能說得到它沒有用到無窮小及極限，就說這個2x不是導(dǎo)數(shù)，而只是與導(dǎo)數(shù)同值的其它東西？能如此說嗎？為什么不反過來想一想，此途徑?jīng)]有什么貝克萊悖論，會不會它正是導(dǎo)數(shù)本來應(yīng)該具有的含義？什么含義？就是切線的真正意義的斜率（切線增量方程的系數(shù)）嘛！說白了，就是這個斜率（導(dǎo)數(shù)）所依賴的分母，是切線上兩個點的不為0的間距（就是公式5中的△g），而不再是曲線上兩個點的間距（公式4中的△x）。如此，貝克萊悖論自消。估計有人也許會吹毛求疵，說1式中的2x·△x，固然是線性的，但如何知道它就是切線呢？割線不也是線性的嗎？△x不趨于0，如何證明其就是切線？這里可以給出一個極其簡單的證明：設(shè)如果2x·△x是割線，則必有一點導(dǎo)致1式中的△x2=0而2x·△x中的△x≠0，而這是不可能的。也就是無論2x·△x中的△x多小或者是多少（只要不是0），△x2=0都是不可能的。也就是2x·△x不可能是割線，于是只能是切線。得證。顯然，根本就不需要一些人以為的只有令△x→0才可以證明2x·△x是切線及2x是切線的斜率。因此，任何形式的△x→0，無論是一般意義的，還是所謂“非平凡”意義的，都是不需要的。另一種觀點，就是切線的斜率，或線性部分的系數(shù)，只能與變量x有關(guān)，而與其增量△x無關(guān)。與增量△x有關(guān)的，這能是割線的斜率，或割線方程的系數(shù)。比如前述二次函數(shù)下，2x+△x就只能是割線的斜率，因為△x就意味著該直線與曲線有兩個交點（中間的距離就是增量△x），這是顯然的。而其為0時，就是二點合一，成為了切線，它的系數(shù)只能是與△x無關(guān)的2x。因此，我們才有對切線的斜率而言，我們根本就不必再令什么△x=0或△x→0之類的步驟，直接在2x+△x中取沒有△x的2x即可。這可以說是最簡單的一種“取導(dǎo)”或“得到導(dǎo)數(shù)”（我故意不再說“求導(dǎo)數(shù)”）的方法了。王文素當(dāng)年就是這么做的。即增量△x的線性方程的系數(shù)中，只能有自變量x，不可能出現(xiàn)自變量的增量△x。筆者前期文章中也曾經(jīng)在討論微分問題時認(rèn)為完全可以直接從微分是增量函數(shù)的線性部分的定義中直接得到導(dǎo)數(shù)，即增量的線性部分的線性方程的系數(shù)或切線的斜率，意思與王文素得到導(dǎo)數(shù)（乙方）的思路其實是一致的。從筆者前期文章中可見，只要導(dǎo)數(shù)（或?qū)?yīng)的瞬時速度）的新定義給出了，如何求或得到這個導(dǎo)數(shù)，其實方法有很多，它可以針對增量比函數(shù)，也可以針對增量函數(shù)，可以有極限出現(xiàn)（當(dāng)然不同于非平凡的極限法微積分求導(dǎo)），也可以直接令消去分母后剩下的△x=0等等。但最簡單的、明快，且不易引起誤解的，還是上面的方法，也就是王文素500年前的、筆者前期也提出的這個“不是方法的方法”_______說其“不是方法”，是王文素其實就這么實際地做了（得到其所謂的“乙方”，即今日之“導(dǎo)數(shù)”），提都沒有提什么“方法”，大概只是因為太簡單，太順理成章了。說其“是方法”，是對應(yīng)于微積分求導(dǎo)的（無論牛頓、萊布尼茲還是柯西等），既然他們都有方法，索性就把這個極其自然的“做法”升級為“方法”吧。更何況居然時隔500年，仍舊無人識之者。這個意義上，稱其為一種“方法”，也不算過分吧？總之，最簡導(dǎo)數(shù)得到法的步驟如下：寫出一個非線性函數(shù)（曲線）的增量方程，并化簡成可以寫成△y=k（x，△x）·△x的形式。這是線性（直線）方程的形式，其中k為系數(shù)或斜率，它也是自變量x及其增量△x的函數(shù)。這是由于，我們所求與這個系數(shù)有關(guān)；找出其中的對增量△x的一次項，也就是線性項。具體說就是只有一個自變量的增量△x作為因子的項。或在△x的系數(shù)中排除所有△x；取該項的其中不再包含△x的系數(shù)，即切線斜率，即新定義下的導(dǎo)數(shù)。這里可以再說明一下，我們所求僅僅與直線方程的系數(shù)或斜率k（x，△x）有關(guān)，因此，作為直線上的任意點，完全可以離開曲線，也就是寫為△z=k（x，△x）·△t。此處的z、t，是割線或切線上的任意兩個點，可以與曲線上的點重合，也可以無關(guān)。當(dāng)然，這是“后話”，與利用增量方程得到導(dǎo)數(shù)的方式無關(guān)，只是在利用增量比值函數(shù)得到導(dǎo)數(shù)時是必須的（防止那時可能出現(xiàn)的0/0即貝克萊悖論情況）。對△x為自變量的線性函數(shù)而言，其系數(shù)中不能再有△x，只能有x，這是顯然的。因此，排除系數(shù)中的△x項，只保留含有x的項，以及排除系數(shù)中只有△x的項，最后就得到導(dǎo)數(shù)。比如在二次函數(shù)的增量（2x+△x）·△x的系數(shù)2x+△x中舍棄△x，就得到導(dǎo)數(shù)2x，或等價的公式1中舍棄△x2=△x·△x項（可以把左邊的△x看成右邊的△x的系數(shù)），得到線性項2x·△x的系數(shù)2x，也就是導(dǎo)數(shù)。又如下面要專門談到的三角函數(shù)sinx的增量的系數(shù)cos（x+h/2）中，h為增量，就是前面習(xí)慣使用的△x，舍棄它后，就是cosx，即線性部分的系數(shù)導(dǎo)數(shù)。詳見下面第六小節(jié)。有人也許會質(zhì)疑說，你怎么知道非線性（曲線）方程的增量方程必然有線性項（一次項）？如何證明？事實上，如果一條線，處處沒有線性項，也就是線性項為0，那這只能是一條水平線。如果一條曲線在某點的線性項為0，那其在該點的切線水平。除了以上兩種情況，一條曲線，不可能處處線性項為0或不存在而還有非線性項的。特別提下，在上面的討論基礎(chǔ)上，我們就完全理解了牛頓、萊布尼茲當(dāng)年舍棄所謂“高階無窮小△x2”的緣由了。其實，這不是什么非得是無窮小，而就是任意的非線性部分。我們不考慮它還不行嗎？難道只有0或高階無窮小我們才可以不考慮？它不是0，不是無窮小，但與我們現(xiàn)在關(guān)心的東西無關(guān)，我們就不能不考慮它嗎？兩盤菜，一盤我們不喜歡，不吃不可以？非得盤子空了，我們才可以“不吃”？沒道理嘛！牛頓實際上做的就是這個事，但卻沒有像王文素那樣充分認(rèn)識到。他以為不為空盤，就不能不吃，舍棄的理由僅僅是離空盤不遠(yuǎn)了，剩菜不多了。由此思路，才會有貝克萊悖論。它等價于，盤子不空，就不能不吃。但現(xiàn)在盤子沒空，還剩一點菜，憑什么就不要了！以二次函數(shù)為例，說明按此思路具體如何得到導(dǎo)數(shù)的：由二次函數(shù)的增量方程簡化后得到本文一開頭的公式1，其實就是k（x，△x）·△x=（2x+△x）·△x；一次（線性）項為公式1中的2x·△x部分；取此項的系數(shù)2x，就是新定義下的導(dǎo)數(shù)?；蛉∏€的割線的系數(shù)（2x+△x）中的2x也可以。系數(shù)2x+△x本身盡管是線性的，但系數(shù)中有△x時使得增量方程（2x+△x）·△x并不是線性的了（具體說其中的△x·△x不是線性的）。此時就不考慮系數(shù)（2x+△x）中的△x，只取2x，也是可以的。特別說明一下，之所以這里要強(qiáng)調(diào)在導(dǎo)數(shù)的“新定義”下，是因為此時的導(dǎo)數(shù)完全不依賴于傳統(tǒng)“求法”的分母上的自變量△x→0之類（明里暗里產(chǎn)生貝克萊悖論的根本原因）。這不僅僅是一個方法問題，而是有關(guān)導(dǎo)數(shù)的觀念轉(zhuǎn)變問題（詳見前文及筆者前期文章的討論）。這才是問題的根本，而具體如何求，都可以，只不過有繁有簡，有的不太容易與傳統(tǒng)方法相區(qū)分（這是筆者在與很多人討論時得到的觀感，筆者認(rèn)為很清楚的事，很多人弄不清楚，非說筆者的方法與傳統(tǒng)無異。這在針對增量比值函數(shù)的求法中特別容易產(chǎn)生）。而上述“最簡方法”，誰又能再說什么呢？我倒要看看了。不嫌啰嗦地，再一次小結(jié)一下最簡求導(dǎo)法的思路及其與傳統(tǒng)微積分求導(dǎo)的區(qū)別。傳統(tǒng)微積分求導(dǎo)，是在增量方程1式下，先假設(shè)自變量△x不為0，才可以1式除以△x得到4式，消去分母上的△x（同樣要求△x不為0）后，得到3式。然后又令△x=0（牛頓、萊布尼茲），得到2x，于是有△x=0與△x≠0的貝克萊悖論的矛盾?？挛鞯臉O限法微積分求導(dǎo)，是聲稱求4式這個增量比值函數(shù)的在△x→0時的極限，認(rèn)為如此就消除了上述矛盾，其實沒有，前面第一節(jié)很筆者前期不少文章都有分析及論證。此不多言了。而在新導(dǎo)數(shù)定義下，可以有多種求導(dǎo)法。最簡單直接的一種就是前面所述的，500年前的王文素及筆者曾經(jīng)也提到過的方法。即：直接針對增量方程1式，徑直其取線性部分2x·△x的系數(shù)2x，就是導(dǎo)數(shù)。當(dāng)然這個導(dǎo)數(shù)是滿足于新導(dǎo)數(shù)定義的。前面也證明了，此系數(shù)2x其實就是二次曲線的在x點的切線的斜率（因此也可以看成是一個無需趨0極限的求切線的方法，在導(dǎo)數(shù)的新定義下，這與求導(dǎo)是一回事）。可以看到，此法根本就不涉及什么△x=0或△x→0的問題，徹底根絕了貝克萊悖論，也不涉及什么無窮小和趨0極限問題。干凈利落又無比簡單明確。但雖然如此簡單，卻涉及導(dǎo)數(shù)概念也就是定義的觀念改變，這個才是最根本的。問題是，在增量函數(shù)1式中，2x明明就擺在那里，多少年來，人人都看到了，為什么沒有什么人想到直接“取”它完事兒，還費(fèi)勁“求”個什么勁呢？這就說明普遍的導(dǎo)數(shù)觀念，是導(dǎo)數(shù)涉及的比式的分母上的增量只能定義在曲線上，這相當(dāng)于瞬時速度概念，對曲線或變速運(yùn)動而言，是一個“實在”的、也就是現(xiàn)實存在的物理實在。如此，當(dāng)然有一個為0不為0的問題。這是一個觀念問題，定義問題。在此定義、觀念下，就是明明在增量函數(shù)的1式中已經(jīng)看到了那個2x，不去琢磨這個2x在增量式中代表了什么，卻還得按他們的定義去舍近求遠(yuǎn)地、多此一舉地去求那個根本還不能成立的分母上的△x→0的“極限”。但實際上，導(dǎo)數(shù)、瞬時速度概念其實只能是一個“虛擬”概念，對連續(xù)的曲線、變速運(yùn)動而言，它并不真實存在，而只是一個定義在虛擬前提（假設(shè)外力突然消失）下才存在的概念。而王文素在早牛頓他們140年的500年前，當(dāng)然根本就不涉及什么“觀念的改變”問題，人家從來就是這么認(rèn)為的，他怎會知道在他身后140年后以至500年后，人們的觀念會離譜到什么地步呢？他當(dāng)然不必像筆者一樣有一個從泥淖中爬出來的問題，他就沒有掉坑里嘛，他活著的時候，還沒有這個坑呢。僅就對導(dǎo)數(shù)的理解而言，顯然500年前的王文素，是走在其后140年的牛頓、萊布尼茲前面的，而當(dāng)下“流行的”、普遍被視為正統(tǒng)的極限法微積分求導(dǎo)法，還不如當(dāng)年的牛頓、萊布尼茲。牛、萊雖然有錯，但在明面上。且是承認(rèn)導(dǎo)數(shù)就是一個比式的。而極限法微積分，號稱第二代，錯誤依舊，但更隱蔽。代價是不能承認(rèn)導(dǎo)數(shù)是個比式了（雖然往往居然還寫為dy/dx），更不地道的是，個中人眾口一詞，一口咬定極限法絕對無錯，無比正確，不容討論，誰提問題滅誰。以其昏昏使人昭昭，可乎？強(qiáng)調(diào)王文素和筆者的“最簡取導(dǎo)法”（故意不說“求導(dǎo)”），還有一個好處，就是它不僅僅是一個簡單、明確的問題。很多人，搞不清所謂的“非平凡極限”與“平凡極限”的區(qū)別，也就是根本搞不清分母為自變量的比式的在自變量趨于0時的極限（非平凡極限）與通常的、一般意義的分母上沒有自變量時的自變量趨0時的極限之間的本質(zhì)區(qū)別。我們通常所謂的“極限法微積分有問題”，當(dāng)然指的是“非平凡意義的”極限法，平凡意義的當(dāng)然是可以繼續(xù)使用的。但平凡極限自然不是極限法微積分求導(dǎo)過程中所使用的極限。很多人搞不清里面的關(guān)系（包括所謂的一些“業(yè)內(nèi)人士”、“專業(yè)人士”），他們總是說，你這不是還得用極限嗎？比如科學(xué)網(wǎng)文清慧博客中的薛問天先生，就是如此，非常典型。這回好了，我們根本就不用極限，無論非平凡的還是平凡的，一概不用，看這些人還能說出什么！“得來全部費(fèi)功夫”。對500年前的王文素而言，顯然就是如此的。歷經(jīng)500年的“鐵鞋踏破無覓處”，最后還是由筆者再踐行一遍“得來全不費(fèi)工夫”，但歷經(jīng)似是而非的非平凡極限法這么多年了，此時的內(nèi)涵，恐怕已經(jīng)與500年前的王文素不可同日而語了吧?？傊ㄓ谐浞至私饬水?dāng)下流行的、所謂“主流的”極限法微積分（第二代微積分，標(biāo)準(zhǔn)分析）個中的問題與矛盾之處，才可能更充分地肯定王文素當(dāng)年對導(dǎo)數(shù)（乙方）的處理的簡潔高明的地方。當(dāng)然，這一切都是在導(dǎo)數(shù)的新定義下才可能充分被理解的。不去深入地思考王文素究竟為什么不用極限、無窮小概念就輕易地、極其自然地得到了導(dǎo)數(shù)，反而以他沒有使用極限就說他得到的不是微積分導(dǎo)數(shù)，這是什么邏輯？牛頓、萊布尼茲使用公認(rèn)有問題的舍棄無窮小的辦法得到的導(dǎo)數(shù)，都知道這有問題（否則還要極限法的第二代微積分干什么），為什么發(fā)明微積分的桂冠就要落到使用這個有問題的方法的他們二位的頭上？王文素沒有使用錯誤的舍棄無窮小方法，且早牛頓等140年，反倒不是微積分的發(fā)明人？況且前面第一節(jié)就討論了，非平凡意義的極限法求導(dǎo)在邏輯根本就是不能成立的。再一次強(qiáng)調(diào)，按王文素及我指出的方法，根本就不再需要不成立的非平凡極限概念（與平凡極限概念當(dāng)然不沖突），也不需要“舍棄高階無窮小”，于是，高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)完全可以統(tǒng)一。沒有任何界限。二者間人為的鴻溝被徹底填平了。這是必須提醒學(xué)界注意的。最后說明一點，為什么牛頓、萊布尼茲的“第一代微積分”的“舍棄高階無窮小”不行，而王文素和我的方法，連不是無窮小的宏觀量也可以舍棄或無視？這本質(zhì)上就是在導(dǎo)數(shù)的定義上。由于定義的區(qū)別，牛頓等只能針對函數(shù)的增量比值函數(shù)（分母為自變量的）4式求導(dǎo)，會有貝克萊悖論：4式等號右邊的部分消去分母后剩下的那個自變量△x被舍棄也好，為0（△x=0）也好，趨于0（△x→0）也好，不考慮也好，那等號左邊的比式△y/△x中處于分母位置的自變量△x為什么就可以不被舍棄，不為0，不趨于0，必須考慮？于是破解此矛盾或疑問的只有一種可能，就是4式等號兩邊的△x，并不是人們通常認(rèn)為的是同一個變量。不同的變量所以才會有表現(xiàn)的不同。而因為相同了，就有貝克萊悖論的矛盾了。這筆者在系列文章中和前文中都有詳細(xì)的論證了，此不贅述。而在導(dǎo)數(shù)的新定義下，針對的完全可以是沒有分母的增量函數(shù)1式或2式，我們只取有關(guān)的線性部分的系數(shù)，至于高階部分，無論是宏觀量還是無窮小，都無關(guān)系，就不考慮了。說是舍棄、令其為0（包括趨于0）都是一樣的。即使它不為0，是個宏觀量，不考慮它不行嗎？就非得考慮它嗎？與它無關(guān)，不要它，怎么不行了？它與我們要得到的東西無關(guān)，因此不考慮它，當(dāng)然可以。實際上，只有我們的這種解釋，才算對牛頓等的看似會產(chǎn)生矛盾（貝克萊悖論）的“舍棄高階無窮小”方法之所以也可以得到導(dǎo)數(shù)的正確值給出了一個徹底的理由，并使之內(nèi)在矛盾（貝克萊悖論）被消除，否則是無法理解與解釋的。至于極限法微積分求導(dǎo)，實際是邏輯有問題的。上面已經(jīng)說了，“△x→0”與“△x=0”其實一樣，同樣不行。這里不重復(fù)了。所有的科學(xué)包括數(shù)學(xué)，就像一棵巨大的果樹。很久一來，很多“數(shù)學(xué)從業(yè)者”都是匆匆爬到樹梢忙著去摘果子，而完全沒有意識到或忽視這棵樹的根部（基礎(chǔ)上）有問題。筆者堅信，這必然會或已經(jīng)產(chǎn)生了問題。換言之，所有用傳統(tǒng)極限法得到微積分“導(dǎo)數(shù)”的地方和類似的用到“非平凡極限”方法的地方，都必須重新審視。否則很可能有證明錯誤。對幾本比較典型的微積分教材中微分定義及其與導(dǎo)數(shù)關(guān)系的評論龔升的?簡明微積分?第25頁、26頁，美國的?托馬斯微積分?第312頁，都是在先得到微分公式，并令自變量的微分dx=△x后，把微分公式中的dx除下來，得到dy/dx=f,（x）........................................................（6）托馬斯微積分還特別提到6式的前提是dx≠0。它沒有說的是，當(dāng)從微分公式dy=f,（x）·dx.........................................................（7）得到6式時，難道可以有dx→0（當(dāng)然這個極限的取值也是0，即“=0”）嗎？當(dāng)然也不行。因此6式的前提條件實際是是兩個而非一個：dx≠0且dx不能趨于0，也就是不能以0為極限（第一節(jié)所引大數(shù)學(xué)家柯朗的著述已經(jīng)很明確這點了）。但7式卻可以。無論dx是等于0還是趨于0（以0為極限，極限值還不是0？）都有0=f,（x）·0，這個式子是成立的，而且f,（x）不是必須為0的。是可以直接由7式求得或得到它的。而龔升的教材，又說dy/dx原先是一個整體（本質(zhì)為不能再是萊布尼茲的“微商”。這個詞在極限法微積分中，顯然應(yīng)該被禁止使用），不是比式（微商），而經(jīng)過如此操作后，又成了一個真正的比式（又可以或成為了真正的具有分子、分母的比式也就是“微商”了）。那么，既然如此，又何必先用極限求那個必須看成一個整體的導(dǎo)數(shù)（不是“微商”的導(dǎo)數(shù)，嚴(yán)格講不應(yīng)該被寫成dy/dx），再由7式的微分定義最后再得到6式（真正的“微商”，可以寫成dy/dx）呢？為什么不直接把6式（當(dāng)然dx≠0且dx不能趨于0即以0為極限值）就直接定義成導(dǎo)數(shù)（微商）呢？也就是不再是先得到導(dǎo)數(shù)（非比式、“微商”意義的），再得到微分（曲線函數(shù)增量函數(shù)的線性部分），而是反過來，先定義微分（注意，這個“微分”只是習(xí)慣說法，其實就是曲線增量函數(shù)線性部分的宏觀意義的增量，這是不用“微”的，就是宏觀意義的。其實傳統(tǒng)極限法微積分的微分也是如此，但很多一知半解的人并沒有弄清楚，包括一些教師、專家。此點可見更詳細(xì)、嚴(yán)格的教科書），再由微分（就是宏觀意義的線性部分的“增量”。即：非無窮小或非極限意義的）直接定義導(dǎo)數(shù)。筆者曾經(jīng)在以往論文中明確指出了這一點。而這一點，實質(zhì)正好是王文素500年前與筆者在王之后500年的現(xiàn)在所作的。王文素早了有問題（貝克萊悖論）的西方微積分（牛頓、萊布尼茲）140年，當(dāng)然根本就沒有想到如此簡明地、直接了當(dāng)?shù)氐玫降膶?dǎo)數(shù)（他稱之為“乙方”），其后竟至在西方產(chǎn)生綿延幾百年的問題并延續(xù)到東方原本根本就不會有這類問題的地方?？梢?，由于囿于傳統(tǒng)與成見，人們明明都已經(jīng)實際地得到了正確無誤的結(jié)論（教科書中在微分的定義部分都明明白白地寫出來了），卻還是沒有充分認(rèn)識到。真真是有眼不識金鑲玉了！當(dāng)然，有些看似或自認(rèn)“嚴(yán)謹(jǐn)”的教科書，為了回避把導(dǎo)數(shù)寫成它原本就是的“比式”，回避與極限法微積分導(dǎo)數(shù)定義的矛盾，往往舍對而就錯，不再去定義微分，只承認(rèn)有非比式的導(dǎo)數(shù)數(shù)值，而通常的積分式子里面，也沒有微分，該式子只是或不得不被看成一個整體，公式中的各個因子沒有任何意義，只是寫還是那么寫。定義還是那個定義。因為顯然，積分小區(qū)間數(shù)目趨于無窮大∞與小區(qū)間的間隔趨于0的乘積如果要想等于一個有限數(shù)值，歸根結(jié)底需要一個規(guī)定與公理性質(zhì)的東西，而絕對不是什么嚴(yán)格的證明。因此，一切關(guān)于積分中的微分地位的說辭，細(xì)究起來，都沒有什么道理，它只是一個規(guī)定、定義。如此，索性就直接定義，不去多說什么了。這是比較嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕滩乃扇〉膽B(tài)度，實際上是一個用直接定義回避矛盾的做法。而大多數(shù)教材大概是：數(shù)學(xué)“不講理”只講規(guī)定、定義哪行，學(xué)生干嗎？因此哪怕是歪理，也得講。總要說出點什么來。反正一般學(xué)生只顧考試，也不會去關(guān)心理論的嚴(yán)密性、無矛盾性。這就是現(xiàn)有傳統(tǒng)極限法微積分教材在導(dǎo)數(shù)相關(guān)的積分部分的現(xiàn)況?？傊?，最為關(guān)鍵而且本質(zhì)的一點是：既然由7式得到了6式，即在dx≠0且dx不能趨于0的前提下，dy/dx這個真正的比式就是導(dǎo)數(shù)f,（x），起碼在數(shù)值上是導(dǎo)數(shù)的數(shù)值，那何不就直接把導(dǎo)數(shù)f,（x）定義成一個分母dx不為0的比式dy/dx？從而徹底拋棄通常教科書中的極限法求導(dǎo)（導(dǎo)數(shù)是一個分母為自變量的比式的趨0極限）的方法。當(dāng)然，此時的dy、dx，是曲線的線性部分的縱橫坐標(biāo)差，也就是增量。而不是曲線本身的增量。固然，dx可以與曲線共享。方源、王元的微積分教材，對自變量的微分dx=△x，完全照搬托馬斯微積分的說法。而后者可能是意識到這個問題是個“問題”，于是采取了一種“語焉不詳”、根本就說不上“嚴(yán)謹(jǐn)”的解釋。而其它很多教材根本就沒有意識到或根本無視這是一個問題。但方、王二位的教材并沒有如托馬斯微積分那樣把dx除下來得到6式，而僅僅是到7式為止。可能他們也意識到這么做得到的“導(dǎo)數(shù)”與極限法求導(dǎo)得到的導(dǎo)數(shù)不一致。而?普利斯頓微積分?中，根本就沒有7式，只是把微分寫為dy=f,（x）·△x...................................................（8）明顯回避了引起爭議、矛盾的dx=△x，但后續(xù)當(dāng)然也會引起問題，起碼是如果堅持此點，會很不方便。微分方程理論會非常丑陋、造作。甚至仍舊會有矛盾?？吕收f（?數(shù)學(xué)是什么?），柯朗上面的評論，實際就是對6式的評價問題。本來按極限法微積分，dy/dx是不能作為分式的，因為其中的dx不是無窮小，也不是宏觀量，因此不能作為分母。但6式作為分式又“從后門悄悄地溜了進(jìn)來”。這里的dx明明又是一個宏觀量，起碼也得是無窮小。個中的矛盾，讀者自行體會吧。再一次強(qiáng)調(diào)，傳統(tǒng)極限法微積分教材中，對微分的定義，實際上就是宏觀的增量。如dx=△x≠0，既然相等，其實就完全不必再寫那個很容易使人產(chǎn)生錯覺的dx。如此，非線性函數(shù)的微分，就是其增量函數(shù)的線性部分。由此自然地就得到這個線性部分的系數(shù)（即曲線的切線的斜率）就是導(dǎo)數(shù)。當(dāng)然除以曲線增量函數(shù)式子中的dx或△x（dx=△x≠0）得到不為0的分母也就是把式子表示成比式（如6式）也是可以的，但這不是必須的?？傊瑢?dǎo)數(shù)就是如此定義，完全沒有極限過程和舍棄“高階”無窮小的問題。也就是不再有貝克萊悖論發(fā)生的任何可能。王文素和我其實就是如此定義導(dǎo)數(shù)（在王是“乙方”）的。但通常的極限法微積分是如何做的？它是先用分母為自變量的比式（4式），求其非平凡趨0極限，得到所謂的非比式的導(dǎo)數(shù)后，再去定義微分（7式），此時就存在一個尷尬：前面的非平凡極限過程求得的是一個非比式的導(dǎo)數(shù)，而7式表達(dá)的導(dǎo)數(shù)又是一個分母不為0的比式了。這不是一個矛盾？于是只能打個馬虎眼，或說此時得到的，只是一個數(shù)值與導(dǎo)數(shù)一致的比式，但并非真正的導(dǎo)數(shù)。這種捉襟見肘、強(qiáng)詞奪理的蒼白辯護(hù)，只能反映理屈詞窮。或者完全無視把微分公式（7式）中的dx除一下就得到比式（6式）這一事實，干脆不提不寫不評了之（有些還算嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕炭茣褪沁@么體現(xiàn)其“嚴(yán)謹(jǐn)”的！）。當(dāng)然，雖然看似簡單至極的一個撥亂反正，但其卻包含著對導(dǎo)數(shù)、瞬時速度之類觀念的根本性的變革或轉(zhuǎn)變。也是導(dǎo)數(shù)概念本來應(yīng)該具有的樣子，正本清源。這一步，看似簡單，事實證明并不容易：導(dǎo)數(shù)、瞬時速度就是一個“虛擬”概念，與物理上的“虛位移”、“虛功”概念一致，并使后者得以有個明晰的詮釋（在導(dǎo)數(shù)新定義前，其實這類物理概念從來就沒有被真正澄清過）。積分問題新解傳統(tǒng)極限法微積分的積分定義，如下（直接復(fù)制于柯朗的?數(shù)學(xué)是什么?第482頁），很顯然，隨著小區(qū)間數(shù)量的趨于無窮大∞，小區(qū)間的寬度以至面積顯然要么趨于0，要么趨于無窮小ε。前者導(dǎo)致無窮多個0的疊加仍舊只能是0，或∞·ε=0。而如果是無窮小ε，則極限法微積分是明確不承認(rèn)無窮小的（會有舍棄所謂“高階無窮小”的誤差問題），否則它還有存在的必要嗎？這就是個矛盾。在求導(dǎo)的時候，自變量在分母上，還有為自變量趨于0而極限不為0（也就是趨0極限不是0/0而是2x）辯護(hù)的錯誤不太容易被發(fā)現(xiàn)。而積分是自變量（被積函數(shù)）并沒有在分母上，它如果趨于0反而不等于0是說不過去的?？梢?，極限法微積分的積分是隱含矛盾的。這是傳統(tǒng)極限法求導(dǎo)的貝克萊悖論在積分時的重現(xiàn)?；蚍e分方面的貝克萊悖論，盡管貝克萊本人沒有提到。而如果積分小區(qū)間△x（或?qū)憺閐x）不趨于0