三大幾何問題課件

雅典時期的希臘數(shù)學(xué)（一）

——三大幾何問題雅典時期的希臘數(shù)學(xué)（一）

——三大幾何問題1三大幾何問題課件2古希臘的變遷雅典時期：公元前6－前3世紀(jì)公元前11世紀(jì)－前9世紀(jì)：希臘各部落進(jìn)入愛琴地區(qū)公元前9－前6世紀(jì)：希臘各城邦先后形成亞歷山大后期：公元前30年－公元640年西羅馬帝國：公元395年－公元476年東羅馬帝國：公元395年－公元1453年（610年改稱拜占廷帝國）愛奧尼亞時期：公元前11世紀(jì)－前6世紀(jì)亞歷山大時期：公元前323年－前30年羅馬帝國：公元前27年－公元395年希臘時期希臘化時期波希戰(zhàn)爭（前499－前449）伯羅奔尼撒戰(zhàn)爭（前431－前404）馬其頓帝國：前6世紀(jì)－前323年（前337年希臘各城邦承認(rèn)馬其頓的霸主地位，前334－前323亞歷山大東征）前48－前30年凱撒、屋大維侵占埃及公元640年阿拉伯人焚毀亞歷山大城藏書公元330君士坦丁大帝遷都拜占廷古希臘的變遷雅典時期：公元前6－前3世紀(jì)公元前11世紀(jì)－前93詭辯學(xué)派與三大幾何問題詭辯(sophism)學(xué)派：巧辯學(xué)派創(chuàng)立、活動于雅典。這個學(xué)派中聚集了各方面的學(xué)者大師，如文法、修辭、辨證法、人文，以及幾何、天文和哲學(xué)方面的學(xué)者，他們研究的主要目標(biāo)之一是用數(shù)學(xué)來探討宇宙的運(yùn)轉(zhuǎn)?；瘓A為方：求作一正方形，使其面積等于一已知圓；三等分角：分任意角為三等分；倍立方體：求作一正方體，使其體積等于已知正方體體積的2倍。詭辯學(xué)派與三大幾何問題詭辯(sophism)學(xué)派：化圓為方：4尺規(guī)作圖的來歷幾何作圖，規(guī)定只能用無刻度的直尺和圓規(guī)。希臘人為什么這樣規(guī)定呢？希臘幾何的基本精神。奧林匹克精神。圓和直線是幾何學(xué)最基本的研究對象。希臘人的興趣并不在于圖形的實(shí)際作出，而是在尺規(guī)的限制下從理論上去解決這些問題，這是幾何學(xué)從實(shí)際應(yīng)用向系統(tǒng)理論過渡所邁出的重要的一步。尺規(guī)作圖的來歷幾何作圖，規(guī)定只能用無刻度的直尺和圓規(guī)。希臘人5三大問題的研究(一)——化圓為方最早研究化圓為方問題的是：安納薩戈拉斯(Anaxagros,約公元前500-前428)安提豐(Antiphon,約公元前480-前411)提出用圓內(nèi)接正多邊形逼近圓面積的方法來化圓為方.希波克拉底(Hippocrates,約公元前460-前377)解決了化月牙形為方.三大問題的研究(一)——化圓為方最早研究化圓為方問題的是：6三大幾何問題課件7三大問題的研究(二)——三等分角這一問題研究最有成效的是：希比阿斯(Hippias，約生于公元前460)阿基米德(Archimedes,公元前287-前212)三大問題的研究(二)——三等分角這一問題研究最有成效的是：8三大問題的研究(三)——倍立方體對倍立方體研究最有成效的是：希波克拉底指出倍立方體問題可以化為求一線段與它的二倍長線段之間的雙重比例中項(xiàng)問題：a：x=x：y=y：2a。比他稍晚的一些希臘數(shù)學(xué)家則借助某些特殊曲線作出了可作為倍立方體問題解的比例中項(xiàng)線段，其中最重大的成就是柏拉圖學(xué)派的梅內(nèi)赫莫斯（Menaechmus，公元前4世紀(jì)中）為解決倍立方體問題而發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線。三大問題的研究(三)——倍立方體對倍立方體研究最有成效的是：9古希臘三大幾何問題為什么不能解決呢？需要其它學(xué)科的知識笛卡爾的解析幾何的創(chuàng)立1837年，法國數(shù)學(xué)家旺策爾證明了三等分任意角與倍立方都是死題1882年，德國數(shù)學(xué)家林德曼證明了化圓為方也是死題古希臘三大幾何問題為什么不能解決呢？需要其它學(xué)科的知識笛卡爾102000多年來，古希臘三大尺規(guī)作圖問題：

（1）三等分任意角（2）倍立方（3）化圓為方（1）三等分任意角:設(shè)已知某角的角度為，得則令即問題轉(zhuǎn)化為解方程：（2）倍立方（3）化圓為方求方程根的問題！現(xiàn)代的眼光看2000多年來，古希臘三大尺規(guī)作圖問11三大問題的解決——規(guī)尺數(shù)直尺與圓規(guī)直線和圓一次和二次方程式所以要求它們的交點(diǎn)，我們至多只要解一個二次方程式就可以把交點(diǎn)的坐標(biāo)用有理運(yùn)算和平方根表示出來。凡是能用直尺與圓規(guī)作出的數(shù)量都可以通過有限次的有理運(yùn)算和平方根表示出來。

三大問題的解決——規(guī)尺數(shù)直尺與圓規(guī)直線和圓一次和二次方程式12三大問題的解決——規(guī)尺數(shù)三大問題的解決——規(guī)尺數(shù)13（1）三等分任意角（2）倍立方直尺與圓規(guī)不能做出一般的立方根（無理數(shù)）三等分任意角和倍立方不可能尺規(guī)作圖（3）化圓為方π是一個超越數(shù)，即是一個不能通過有理系數(shù)求根得到的數(shù)。化圓為方也不可能尺規(guī)作圖（1）三等分任意角14啟示和意義2000多年來，一代接一代地攻克三大難題，有人不禁要問這值得嗎？假如實(shí)際中真遇到要三等分角、立方倍積、化圓為方，只要行之有效，何苦一定用尺規(guī)作圖法解決？其實(shí)，數(shù)學(xué)研究并非一定要實(shí)用，數(shù)學(xué)家對每一個未知之謎都要弄個清楚，道個明白，這種執(zhí)著追求的拗勁正是科學(xué)的精神。更為重要的是，對三大難題的研究，反過來促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，出現(xiàn)了新的數(shù)學(xué)思想和方法，例如阿基米德、帕普斯發(fā)現(xiàn)的三等分角的方法，勃洛特用兩塊三角板解決立方倍積問題、等分圓周、作正多邊形，高斯關(guān)于尺規(guī)作圖標(biāo)準(zhǔn)的重大發(fā)現(xiàn)等等。每一次突破不僅是人類智慧的勝利，使數(shù)學(xué)園地爭奇競艷，而且有利于科學(xué)技術(shù)的發(fā)展。啟示和意義2000多年來，一代接一代地攻克三大難題，有人不禁15啟示和意義特別值得提到的是，在三大幾何難題獲得解決的同時，法國數(shù)學(xué)家伽羅瓦從一般角度對不可能性問題進(jìn)行研究，在1830年，19歲的伽羅瓦提出了解決這一類問題的系統(tǒng)理論和方法，從而創(chuàng)立了群論。群論是近世抽象代數(shù)的基礎(chǔ)，它是許多實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用極其廣泛，而三大幾何作圖難題只不過是這種理論的推論、例題或習(xí)題。所以，一般認(rèn)為三大難題的解決歸功于伽羅瓦理論，可伽羅瓦理論是在他死后14年才發(fā)表的，直到1870年，伽羅瓦理論才得到第一次全面清楚的介紹。雖然數(shù)學(xué)家在十九世紀(jì)就證明了三大難題是無解的，但許多外行人，或許不知道無解的意義，或許沒聽過已經(jīng)被證明為無解這件事，還是鍥而不舍地鉆研這些題目。其中尤其三分角最受人重視。啟示和意義特別值得提到的是，在三大幾何難題獲得解決的同時，法16雅典時期的希臘數(shù)學(xué)（一）

——三大幾何問題雅典時期的希臘數(shù)學(xué)（一）

——三大幾何問題17三大幾何問題課件18古希臘的變遷雅典時期：公元前6－前3世紀(jì)公元前11世紀(jì)－前9世紀(jì)：希臘各部落進(jìn)入愛琴地區(qū)公元前9－前6世紀(jì)：希臘各城邦先后形成亞歷山大后期：公元前30年－公元640年西羅馬帝國：公元395年－公元476年東羅馬帝國：公元395年－公元1453年（610年改稱拜占廷帝國）愛奧尼亞時期：公元前11世紀(jì)－前6世紀(jì)亞歷山大時期：公元前323年－前30年羅馬帝國：公元前27年－公元395年希臘時期希臘化時期波希戰(zhàn)爭（前499－前449）伯羅奔尼撒戰(zhàn)爭（前431－前404）馬其頓帝國：前6世紀(jì)－前323年（前337年希臘各城邦承認(rèn)馬其頓的霸主地位，前334－前323亞歷山大東征）前48－前30年凱撒、屋大維侵占埃及公元640年阿拉伯人焚毀亞歷山大城藏書公元330君士坦丁大帝遷都拜占廷古希臘的變遷雅典時期：公元前6－前3世紀(jì)公元前11世紀(jì)－前919詭辯學(xué)派與三大幾何問題詭辯(sophism)學(xué)派：巧辯學(xué)派創(chuàng)立、活動于雅典。這個學(xué)派中聚集了各方面的學(xué)者大師，如文法、修辭、辨證法、人文，以及幾何、天文和哲學(xué)方面的學(xué)者，他們研究的主要目標(biāo)之一是用數(shù)學(xué)來探討宇宙的運(yùn)轉(zhuǎn)。化圓為方：求作一正方形，使其面積等于一已知圓；三等分角：分任意角為三等分；倍立方體：求作一正方體，使其體積等于已知正方體體積的2倍。詭辯學(xué)派與三大幾何問題詭辯(sophism)學(xué)派：化圓為方：20尺規(guī)作圖的來歷幾何作圖，規(guī)定只能用無刻度的直尺和圓規(guī)。希臘人為什么這樣規(guī)定呢？希臘幾何的基本精神。奧林匹克精神。圓和直線是幾何學(xué)最基本的研究對象。希臘人的興趣并不在于圖形的實(shí)際作出，而是在尺規(guī)的限制下從理論上去解決這些問題，這是幾何學(xué)從實(shí)際應(yīng)用向系統(tǒng)理論過渡所邁出的重要的一步。尺規(guī)作圖的來歷幾何作圖，規(guī)定只能用無刻度的直尺和圓規(guī)。希臘人21三大問題的研究(一)——化圓為方最早研究化圓為方問題的是：安納薩戈拉斯(Anaxagros,約公元前500-前428)安提豐(Antiphon,約公元前480-前411)提出用圓內(nèi)接正多邊形逼近圓面積的方法來化圓為方.希波克拉底(Hippocrates,約公元前460-前377)解決了化月牙形為方.三大問題的研究(一)——化圓為方最早研究化圓為方問題的是：22三大幾何問題課件23三大問題的研究(二)——三等分角這一問題研究最有成效的是：希比阿斯(Hippias，約生于公元前460)阿基米德(Archimedes,公元前287-前212)三大問題的研究(二)——三等分角這一問題研究最有成效的是：24三大問題的研究(三)——倍立方體對倍立方體研究最有成效的是：希波克拉底指出倍立方體問題可以化為求一線段與它的二倍長線段之間的雙重比例中項(xiàng)問題：a：x=x：y=y：2a。比他稍晚的一些希臘數(shù)學(xué)家則借助某些特殊曲線作出了可作為倍立方體問題解的比例中項(xiàng)線段，其中最重大的成就是柏拉圖學(xué)派的梅內(nèi)赫莫斯（Menaechmus，公元前4世紀(jì)中）為解決倍立方體問題而發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線。三大問題的研究(三)——倍立方體對倍立方體研究最有成效的是：25古希臘三大幾何問題為什么不能解決呢？需要其它學(xué)科的知識笛卡爾的解析幾何的創(chuàng)立1837年，法國數(shù)學(xué)家旺策爾證明了三等分任意角與倍立方都是死題1882年，德國數(shù)學(xué)家林德曼證明了化圓為方也是死題古希臘三大幾何問題為什么不能解決呢？需要其它學(xué)科的知識笛卡爾262000多年來，古希臘三大尺規(guī)作圖問題：

（1）三等分任意角（2）倍立方（3）化圓為方（1）三等分任意角:設(shè)已知某角的角度為，得則令即問題轉(zhuǎn)化為解方程：（2）倍立方（3）化圓為方求方程根的問題！現(xiàn)代的眼光看2000多年來，古希臘三大尺規(guī)作圖問27三大問題的解決——規(guī)尺數(shù)直尺與圓規(guī)直線和圓一次和二次方程式所以要求它們的交點(diǎn)，我們至多只要解一個二次方程式就可以把交點(diǎn)的坐標(biāo)用有理運(yùn)算和平方根表示出來。凡是能用直尺與圓規(guī)作出的數(shù)量都可以通過有限次的有理運(yùn)算和平方根表示出來。

三大問題的解決——規(guī)尺數(shù)直尺與圓規(guī)直線和圓一次和二次方程式28三大問題的解決——規(guī)尺數(shù)三大問題的解決——規(guī)尺數(shù)29（1）三等分任意角（2）倍立方直尺與圓規(guī)不能做出一般的立方根（無理數(shù)）三等分任意角和倍立方不可能尺規(guī)作圖（3）化圓為方π是一個超越數(shù)，即是一個不能通過有理系數(shù)求根得到的數(shù)?；瘓A為方也不可能尺規(guī)作圖（1）三等分任意角30啟示和意義2000多年來，一代接一代地攻克三大難題，有人不禁要問這值得嗎？假如實(shí)際中真遇到要三等分角、立方倍積、化圓為方，只要行之有效，何苦一定用尺規(guī)作圖法解決？其實(shí)，數(shù)學(xué)研究并非一定要實(shí)用，數(shù)學(xué)家對每一個未知之謎都要弄個清楚，道個明白，這種執(zhí)著追求的拗勁正是科學(xué)的精神。更為重要的是，對三大難題的研究，反過來促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，出現(xiàn)了新的數(shù)學(xué)思想和方法，例如阿基米德、帕普斯發(fā)現(xiàn)的三等分角的方法，勃洛特用兩塊三角板解決立方倍積問題、等分圓周、作正多邊形，高斯關(guān)于尺規(guī)作圖標(biāo)準(zhǔn)的重大發(fā)現(xiàn)等等。每一次突破不僅是人類智慧的勝利，使數(shù)學(xué)園地爭奇競艷，而且有利于科學(xué)技術(shù)的發(fā)展。啟示和意義2000多年來，一代接一代地攻克三大難題，有人不禁31啟示和意義特別值得提到的是，在三大幾何難題獲得解決的同時，法國數(shù)學(xué)家伽羅瓦從一般角度對不可能性問題進(jìn)行研究，在1830