等差等比數(shù)列經(jīng)典例題以及詳細答案

【本講教育信息】教學內(nèi)容：等差等比數(shù)列綜合應用重點、難點等差等比數(shù)列綜合題數(shù)列與其它章節(jié)知識綜合數(shù)列應用題【典型例題】［例1］一個等比數(shù)列共有三項，如果把第二項加上4所得三個數(shù)成等差數(shù)列，如果再把這個等差數(shù)列的第3項加上32所得三個數(shù)成等比數(shù)列，求原來的三個數(shù)。解：等差數(shù)列為a■d,a,a■d■a■d)■a■d)■(a■4)2???■a■d)(a■d■32)■a22■d2■a2■8a■16(1):,■a2■d2)■32(a■d)■a2(2)a2■8a■16■32■32d■a22■3a■4d■0代入(1)■d2*(4d■2)■163d2■32d■64■0(3d■8)(d■8)■0TOC\o"1-5"\h\z826①d■8a■10②d■一a■——3921050...此三數(shù)為2、16、18或9、■—、—［例2］等差數(shù)列｛a｝中，a■■B93,a■a?印68,｛b｝是等比數(shù)列，q■(0,1),b■2,n123n1｛b｝所有項和為20，求：n(1)求a,bnna■■■a(2)解不等式2m■m60bm■12解：（1解：（1）\?2a1■3d?聞68.??d■6a■6n■399nba■6n■399nb9L■20q■—1■q10,_9b■2?匕)n?n10不等式■mH1■■6012H910_1_八-m(6m■393■12m■399)■m6H8■m■1)^29m2■396m■16B8*m■1)■0m2■12m■32■0(m■4)(m■8)■0m■｛4,5,6,7,8｝[例引｛a｝等差，｛b｝等比，a■b■0,a■b■0,a■a,求證：a■b(n■3)nn112212nn解：a■b■a■d■aq：,d■a(qI1)TOC\o"1-5"\h\z22111b■a■aqn?■a■(nH1)d■a[(qn?■1)■(n■1)(q|1)]nn111a1Kq■1)(qnhz■qn舞?■1)■(n■1)(q|1)]a1(q■1)[(qnw■…■1)■(n|1)]a1(q■1)[(qnw■1)■(qn氏■1)■…■(q■1)■(1■1)]*q■(0,1)q■1■0qn■1■0*■0q■(1,H-q■1■0qn■1■0*■0n■Nn■3時，b■ann[例4](1)求T；(2)S■T■T■…■T，求S。nn12nnIKIa■a■aHIB8IK■■1解：■4567■■1最■a■…■a■0命■28915T中共2n1個數(shù)，依次成等差數(shù)列nT?T共有數(shù)1■2■???■2n配■2n?■1項1n■、??.T的第一個為a■91■(2n■■1)■TOC\o"1-5"\h\zn2n?1_T■2n??2n■23)■-(2n■)，2n?■1)■2n222n?■23?n?■22nW■2n?3?2nW■3?nWS■T■T■…■Tn12n3[(20■22■…■22nH2)■(23■….2n-)]1(1■4n)23(1■2n)3■[--■—)]■4n■1■3■nIB■241■41■2■4n■24■n■23■(2n■23)(2n|1)■a■a■???■aH1122n[例5]已知二次函數(shù)y■f(X)在x■竽處取得最小值■t2(t■0),f(1)■04l1(1)求y■f(x)的表達式；(2)若任意實數(shù)x都滿足等式f(x)哦(x)■ax■b■xn■[g(x)]為多項式，n■N*，nn試用t表示a和b；nn(3)設圓C的方程為(x■a)2■(y■b)2■r2，圓C與C外切(n■1,2,3,…)；TOC\o"1-5"\h\znnnnnn?{r}是各項都是正數(shù)的等比數(shù)列，記S為前n個圓的面積之和，求r,S。nnnnt■2t2解：(1)設f(x)■a(x■——)2■—乙I由f(1)■0得a■1f(x)■x2■(t■2)x■1(2)將f(x)■(x■1)[x■(t■1)]代入已知得：(xH1)[x■(t■1)]g(x)■ax■b■xn?nn上式對任意的x■R都成立，取x■1和x■t■1分別代入上式得：

a■b■11nn且t■0，解得0■-[(t■1)n-■1],(t■1)a■b■(t■1)n?ntnnb■衛(wèi)[1■(t■1)n]nt(3)由于圓的方程為(x■a)2■(J?b)2■r2nnn又由(2)知a■b■1,故圓C的圓心O在直線x■j■1上nnnn又圓C與圓Cnn■相切，故有r■r■v2Ia又圓C與圓Cnn■nn?n?n設｛r｝的公比為q，則n■rq■＜2(t■1)n?■1■nn■r■rq■＜2(t■1)n.2■2■n?n?r2(t■1)n■＜2＞?。?＞得q■31■tH1代入＜1＞得r■rnt■2n■r2(q2n■1)???Sn■■(r2■r2■…■r2)■1(q???Sn12nq2■1.2?(.2?(t■1)4t(t■2)3[(t■1)2n■1][例6]一件家用電器現(xiàn)價2000元，可實行分期付款，每月付款一次且每次付款數(shù)相同，購買后一年還清，月利率為0.8%，按復利計算(每一個月的利息計入第二個月的本金)，那么每期應付款多少？(1.00812■1.1)分析：這是一個分期付款問題，關(guān)鍵是計算各期付款到最后一次付款時所生的利息，并注意到各期所付款以及所生利息之和，應等于所購物品的現(xiàn)價及這個現(xiàn)價到最后一次付款所生利息之和。解析一：設每期應付款X元第1期付款與到最后一次付款時所生利息之和為x(1■0.008)11元，第2期付款與到最后一次付款時所生利息之和為x(1■0.008)10元，……，第12期付款沒有利息，所以各期付款連同利息之和為x(1■1.008■…■1.00811)■1；鱉[1x1.008■1又所購電器的現(xiàn)價及利息之和為2000■1.00812

1.00812■11.008■11.00812■11.008■1x■2000H1.00812解得x■16■1.008121.00812■1■176元?.?每期應付款176元解析二：設每期付款x元，則第1期還款后欠款2000■（1■0.008）■x第2期還款后欠款(2000W.008■x)H.008■x■2000印.0082■1.008x■x第12期還款后欠款為2000BH.00812■(1.00811■1.00810■…?1)x第12期還款后欠款應為02000H.00812■(1.00811■1.0081?！觥?1)x■0解得x■2000B.0081解得x■2000B.008121.00812■1■176元1.008■1???每期應還款176元［例7］設數(shù)列｛a｝的各項都是正數(shù)，且對任意n■N都有n■a3■a3■■a3■(a■a■…■a)2，記S為數(shù)列｛a｝的前n項和。12n12nnn(1)求證：a2■2S■a；nnn（2）求數(shù)列｛a｝的通項公式;nTOC\o"1-5"\h\z（3）若b■3n■（■）n■■■〃，（■為非零常數(shù)，n■N），問是否存在整數(shù)■，n■得對任意n■N都有b■b?！鰊■n解：⑴在已知式中，當n■1時，a13■a12?/a■0，a■111當n■2時，a3Ia3■???■a3Ia3■(a■a■…■a■a)2①12n■n12n■na3Ia3I…Ia3I(aIaI…Ia)2②12nI112nI1①—②得a3■a(2aI2a■…I2aIa)nn12n■n?/a■0:.a2■2a■2a■…■2aIa，即a2■2S■ann12n■nnnna■1適合上式，a2■2S■a(n■N)nnn■(2)由(1)知，a2■2S■a(n■N)③nnn■當n■2時，a2■2S■a④n■n■n■③一④得a2■a2■2(SIS)■a■a■2a■aIa■a■ann■nn■nn■nnn■nn■?/aIa■0:.a■a■1nn■nn■?.?數(shù)列｛a｝是等差數(shù)列，首項為1,公差為1,可得a■nnn(3)Va■n：.b■3n■(■)n■■man■3n■(■)n■■■nnn［例8］已知點a(n,a)為函數(shù)F:y.qx2■1上的點，B(n,b)為函數(shù)F:y■x上的

an1nn2點，其中n■N*，設c■a■b(n■N*)nnn(1)求證：數(shù)列｛c｝既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列；nTOC\o"1-5"\h\z(2)試比較c與c的大小。nn■(1)證：由已知a■nn2I1,b■n/.c■a■b■nn2I1■nnnnnn假設｛c｝是等差數(shù)列，則必有2c■c■c…(1)n213而2c■2(<22■1■2)■2(3■2)2c■c■(<11■1■1)■(432■1■3)■22■<10■43由(1)■2<5■.<2■A/10■2■A.-'5矛盾?.?｛c｝不是等差數(shù)列n假設｛c｝是等比數(shù)列，則必有c2■c■n213即(%5■2)2■(\；2?)(<10H3)6(1■、5BIB<2■<10即47■21,5矛盾

?.?｛c｝不是等比數(shù)列n綜上所述，｛c｝既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列n(2)c■七(n■1)2,■(n■1)■0c■、n2■1■n■0nHnc(n■1)2■1■(n■1)n2■1■n：.-nn■-==■=cnnn2■1■n(nn■1)2■1■(n■1)0■*n2■1■v(n■1)2■10■n■n■10■'n2印士——■1%(n■1)2■1■(n■1)c0■一?u■1又:c■0c■ccnnn■nx1[例9]設fx)■E，x■fx)有唯一解，f(x1)■1003，5)■xn■(n?N*)(1)求x2004的值;4a2■a2(2)若a■一■409。且b■—(n■N*)，求證：b■blb■b■n■1；nxn2aa11?.?數(shù)列｛一｝是首項為一，公差為的等差數(shù)列x11?.?數(shù)列｛一｝是首項為一，公差為的等差數(shù)列xx2n1，當且僅當a■不時nn■nm(3)是否存在最小整數(shù)m,使得對于任意n■N*有x■成立，若存在，求出mn2005的值；若不存在,說明理由。x(1)解：由x?，可以化為ax(x■2)■xa(xI2)，ax2I(2aI1)xI0x■f(x)有唯一解x■02xgf(x)而又由已知f(x)■xnnI12xnI%xI2nI1n.??—■1■—，即—■—■1(n■N*)x2xxx2nI1nnI1n

11n■12■(n■1)x:.—■■■xx22xn111n■12■(n■1)x:.—■■■xx22xn112x/.x1一(n■1)x■211???f(x)■——110032x111x■210031220052■2.v■2005??^.Qn(n■1)■—■22005n■200421故x■■20042004■20042004(2)證明：2:x?nn■2004n■2004?a■■4■4009■2nH1n2a2■a2.(2n■1)2■(2n■1)2b■nn!L■n2aa2(2n■1)(2n|1)nn■1■(2n■1)(2n|1)?b■b■…■b■n12111(1■1■)■(1■■)■…■(1■33511■■12n■12n■12n■12(3)解：由于x■nn■2004若■一■n■20042005(n■N*)恒成立2220052005,m■3:(20052005,m■3n■2004max2005,m■2，而m為最小正整數(shù)［例10］數(shù)列｛a｝是公差d■0的等差數(shù)列，其前n項和為S，且a■1,a2■a2。nn10915(1)求｛a｝的通項公式；n(2)求S的最大值；n(3)將S表示成關(guān)于a的函數(shù)。nn

x1解：⑴因為,.1.,?1■1.xx所以，函數(shù)1■—(0■x-1)是增函數(shù)aIn-1■an所以0■a所以0■an,11I11Ia1所以——■——n■1■——aaanI1nna(2)因為a■——(n■N*),TOC\o"1-5"\h\zn?1Ian1111所以——■一■1(n■N*)即數(shù)列｛一｝是首項為一，公差為1的等差數(shù)列aaaanI1nn所以—■1所以—■1■(n■1)，aana■——a一n1I(nI1)a(nIN*)a11a11(3)由已知aI■-；■n1I(nI1)a1n'，I(n?1)a(???0■a■1)aaaa所以1■aaaa所以1■2■3■…■n234nI11Li■2131n■(n■1)■1【模擬試題】(答題時間：45分鐘)1.數(shù)列｛a1.數(shù)列｛a｝的通項公式是ann1nn■nnI1若前n項和為10,則項數(shù)n為(A.11B.99C.120D.121111112,數(shù)列1—,3—,5—,7—,…?,(2n■1)■一,…的前n項之和為S，則S的值等于().,248162nnn11A.n2■1■一B,2n2■n■1■——TOC\o"1-5"\h\z2n2n11C.n2H1■d.n2■n■1■2nI12n3,數(shù)列｛a｝的前n項和S■2n2I3nH1，則a■a■a■…■a■()nn45610A.171B.21C.10D.161A.171B.21C.10D.1614.已知1■3■5■…4.已知1■3■5■…■(2n■1)2■4■6■…■2n■115116(n■N*),則n的值為(A.110B.115C.116D.231.一個正整數(shù)表如下(表中下一行中的數(shù)的個數(shù)是上一行中數(shù)的個數(shù)的2倍)：第1行1第2行23第三行4567則第8行中的第5個數(shù)是（）A.68B.132C.133D.260.農(nóng)民收入由工資性收入和其他收入兩部分構(gòu)成。2003年某地區(qū)農(nóng)民人均收入為3150元（其中工資性收入為1800元，其他收入為1350元），預計該地區(qū)自2004年起的5年內(nèi)，農(nóng)民的工資性收入將以每年6%的年增長率增長，其他收入每年增加160元。根據(jù)以上數(shù)據(jù)，2008年該地區(qū)農(nóng)民人均收入介于（）A.4200元—4400元B.4400元—4600元C.4600元—4800元D.4800元—5000元TOC\o"1-5"\h\z.數(shù)列｛a｝中，a1■”0,且a■a■3，則這個數(shù)列前30項的絕對值的和是（）n1n*nA.700B.765C.－495D.495.數(shù)列5,55,555,…的前n項和為（）A5（10n■1）■nB10n■1.9.50(10n50(10n■1)5nC.■——81950(10n■1)D.■n9.計算機是將信息轉(zhuǎn)換成二進制進行處理的,二進制即“逢2進1”,如(1101)2表示二進制數(shù)，將它轉(zhuǎn)換成十進制形式是1■23■1■22■0■21■1■20■13,那么將二進制數(shù)(111…11)轉(zhuǎn)換成十進制形式是()'、——216位A.217■2B.216■2C.216■1D.215■1.數(shù)列｛a｝前n項和S與通項a滿足關(guān)系式S■na■2n2■2n(n■N*),則nnnnna■a的值為()10010A.－90B.－180C.－360D.－400.數(shù)列1■n,2(n■1),3■n■2),4■n■3),…,n■的和為()11An(n■1)(n■2)bn(n■1)(2n■1)6611C.3n(n■2)(n■3)D,3n(n■1)(n■2).設｛a｝(n■N*)等差數(shù)列，S是其前n項和，且S■S,S■S■S，則下列nn56678結(jié)論錯誤的是()A.d■0B.a■07C.s■C.s■s95D.s與s均為s的最大值67.已知集合A■｛x12n■x■2n■,且x■7mH1,m,n■N*｝，則A中各元素之和為()A.792()A.792B.890C.891D.9902（n2（n為奇數(shù)時）14.已知函數(shù)f（n）■[■n2（當n為偶數(shù)時）且a■f(n)■f(n■1)，則a■a■…a12001等于()A.0B.100等于()A.0B.100C.－100D.10200(n■2)，(n■2)，a1■2（1）求a,a,a。（2）求a。2341（3）求和一a1.設數(shù)列｛a｝的前n項和為S，且a■3■4S（1）求證｛a｝是等比數(shù)列。n⑵求10g5m1a3a5…a19)的值。.已知數(shù)列｛a｝中，a■a■2nnnn■.已知數(shù)列｛a｝，a.■1,且數(shù)列｛a｝前n項和S等于第n項的n2倍n1nn（1）求a,a,a。（2）求通項a。（3）求數(shù)列｛a｝前n項和S。2