微積分上冊第五章全部課件

華中科技大學(xué)微積分上冊第五章全部華中科技大學(xué)微積分上冊第五章全部華中科技大學(xué)微積分上冊第五章全部二、基本積分表三、不定積分的性質(zhì)一、原函數(shù)與不定積分的概念第一節(jié)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束不定積分的概念與性質(zhì)第五章華中科技大學(xué)微積分上冊第五章全部華中科技大學(xué)微積分上冊第五章1二、基本積分表三、不定積分的性質(zhì)一、原函數(shù)與不定積分的概念第一節(jié)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束不定積分的概念與性質(zhì)

第五章

二、基本積分表三、不定積分的性質(zhì)一、原函數(shù)與不定積分的2一、原函數(shù)與不定積分的概念引例:一個質(zhì)量為m的質(zhì)點,下沿直線運動,因此問題轉(zhuǎn)化為:已知求在變力試求質(zhì)點的運動速度機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束根據(jù)牛頓第二定律,加速度定義1.

若在區(qū)間I上定義的兩個函數(shù)F(x)及f(x)滿足在區(qū)間

I

上的一個原函數(shù).則稱F(x)為f(x)

如引例中,

的原函數(shù)有一、原函數(shù)與不定積分的概念引例:一個質(zhì)量為m的質(zhì)點3問題:1.在什么條件下,一個函數(shù)的原函數(shù)存在?2.若原函數(shù)存在,它如何表示?定理1.

存在原函數(shù).(下章證明)初等函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)初等函數(shù)在定義區(qū)間上有原函數(shù)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束問題:1.在什么條件下,一個函數(shù)的原函數(shù)存在?2.4定理2.原函數(shù)都在函數(shù)族(C為任意常數(shù))內(nèi).證:1)又知故即屬于函數(shù)族機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束即定理2.原函數(shù)都在函數(shù)族(C為任意常數(shù))內(nèi).證5定義2.在區(qū)間I上的原函數(shù)全體稱為上的不定積分,其中—積分號;—被積函數(shù);—被積表達(dá)式.—積分變量;(P149)若則(C為任意常數(shù))C

稱為積分常數(shù)不可丟!例如,記作機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束定義2.在區(qū)間I上的原函數(shù)全體稱為上的不定積分,其中6不定積分的幾何意義:的原函數(shù)的圖形稱為的圖形的所有積分曲線組成的平行曲線族.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束的積分曲線.不定積分的幾何意義:的原函數(shù)的圖形稱為的圖形的所有積分曲線組7例1.

設(shè)曲線通過點(1,2),

且其上任一點處的切線斜率等于該點橫坐標(biāo)的兩倍,求此曲線的方程.解:所求曲線過點(1,2),故有因此所求曲線為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.設(shè)曲線通過點(1,2),且其上任一點處8例2.

質(zhì)點在距地面處以初速力,求它的運動規(guī)律.

解:

取質(zhì)點運動軌跡為坐標(biāo)軸,原點在地面,指向朝上,質(zhì)點拋出時刻為此時質(zhì)點位置為初速為設(shè)時刻t

質(zhì)點所在位置為則(運動速度)(加速度)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束垂直上拋,

不計阻

先由此求

再由此求例2.質(zhì)點在距地面處以初速力,求它的運動規(guī)律.解:9先求由知再求于是所求運動規(guī)律為由知機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束故先求由知再求于是所求運動規(guī)律為由知機(jī)動目錄上頁10二、基本積分表(P150)從不定積分定義可知:或或利用逆向思維(k為常數(shù))機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、基本積分表(P150)從不定積分定義可知:或或利用逆11或或機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束或或機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束12機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束13微積分上冊第五章全部課件14例3.求解:

原式=例4.

求解:

原式=機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.求解:原式=例4.求解:原式=機(jī)動15三、不定積分的性質(zhì)—分項積分法推論:

若則機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束三、不定積分的性質(zhì)—分項積分法推論:若則機(jī)動目錄16例5.求解:

原式=機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.求解:原式=機(jī)動目錄上頁下17例6.求解:原式=例7.求解:原式=機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例6.求解:原式=例7.求解:原式=機(jī)動目18例8.求解:原式=機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例8.求解:原式=機(jī)動目錄上頁下頁19內(nèi)容小結(jié)1.不定積分的概念?原函數(shù)與不定積分的定義?不定積分的性質(zhì)?基本積分表(見P150)2.直接積分法:利用恒等變形,及

基本積分公式進(jìn)行積分.常用恒等變形方法分項積分加項減項利用三角公式,代數(shù)公式,積分性質(zhì)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.不定積分的概念?原函數(shù)與不定積分的定義?不20思考與練習(xí)1.

證明

2.

若提示:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束提示:思考與練習(xí)1.證明2.若提示:機(jī)動目錄上頁213.

若是的原函數(shù),則提示:已知機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束3.若是的原函數(shù),則提示:已知機(jī)動目錄上224.

若的導(dǎo)函數(shù)為則的一個原函數(shù)是().提示:已知求即B??或由題意其原函數(shù)為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束4.若的導(dǎo)函數(shù)為則的一個原函數(shù)是(235.

求下列積分:提示:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束5.求下列積分:提示:機(jī)動目錄上頁下頁246.求不定積分解：機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束6.求不定積分解：機(jī)動目錄上頁下頁257.已求A,B.解:

等式兩邊對x求導(dǎo),得機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束7.已求A,B.解:等式兩邊對x求導(dǎo),得26二、第二類換元法第二節(jié)一、第一類換元法機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束換元積分法

第五章二、第二類換元法第二節(jié)一、第一類換元法機(jī)動目錄上27第二類換元法第一類換元法基本思路機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束設(shè)可導(dǎo),則有第二類換元法第一類換元法基本思路機(jī)動目錄上頁28一、第一類換元法定理1.則有換元公式(也稱配元法即,湊微分法)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束一、第一類換元法定理1.則有換元公式(也稱配元法即,湊微分29例1.

求解:

令則故原式=注:

當(dāng)時機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.求解:令則故原式=注:當(dāng)時機(jī)動目錄30例2.

求解:令則想到公式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.求解:令則想到公式機(jī)動目錄上頁下頁31例3.

求想到解:(直接配元)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.求想到解:(直接配元)機(jī)動目錄上頁32例4.

求解:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束類似例4.求解:機(jī)動目錄上頁下頁返回33例5.

求解:∴原式=機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.求解:∴原式=機(jī)動目錄上頁下頁34常用的幾種配元形式:(P155)萬能湊冪法機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束常用的幾種配元形式:(P155)萬能湊冪法機(jī)動35例6.

求解:

原式=機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例6.求解:原式=機(jī)動目錄上頁下頁36例7.

求解:

原式=例8.

求解:

原式=機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例7.求解:原式=例8.求解:原式=機(jī)動目37例9.

求解法1解法2兩法結(jié)果一樣機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例9.求解法1解法2兩法結(jié)果一樣機(jī)動目錄上38例10.

求解法1機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例10.求解法1機(jī)動目錄上頁下頁39解法2同樣可證或機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束解法2同樣可證或機(jī)動目錄上頁下頁40例11.

求解:

原式=機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例11.求解:原式=機(jī)動目錄上頁下41例12.

求解:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例12.求解:機(jī)動目錄上頁下頁返42例13.

求解:∴原式=機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例13.求解:∴原式=機(jī)動目錄上頁下頁43例14.

求解:

原式=機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束分析:

例14.求解:原式=機(jī)動目錄上頁下頁44例15.

求解:原式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例15.求解:原式機(jī)動目錄上頁下頁45小結(jié)常用簡化技巧:(1)分項積分:(2)降低冪次:(3)統(tǒng)一函數(shù):利用三角公式;配元方法(4)巧妙換元或配元萬能湊冪法機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束利用積化和差;分式分項;利用倍角公式,如小結(jié)常用簡化技巧:(1)分項積分:(2)降低冪次:(46思考與練習(xí)1.下列各題求積方法有何不同?機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習(xí)1.下列各題求積方法有何不同?機(jī)動目錄472.

求提示:法1法2法3作業(yè)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.求提示:法1法2法3作業(yè)目錄上頁下頁48二、第二類換元法機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第一類換元法解決的問題難求易求若所求積分易求,則得第二類換元積分法.難求，二、第二類換元法機(jī)動目錄上頁下頁返回49定理2.設(shè)是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù),且具有原函數(shù),證:令則機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束則有換元公式定理2.設(shè)是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù),且具有原函數(shù),證:令則機(jī)50例16.

求解:

令(正弦代換)則∴原式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例16.求解:令(正弦代換)則∴原式機(jī)動51例17.

求解法一:

令(正切代換)則∴原式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例17.求解法一:令(正切代換)則∴原式機(jī)52例17.

求解法二:

令(雙曲代換)則∴原式例17.求解法二:令(雙曲代換)則∴原式53例18.

求解:令(正割代換)則∴原式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例18.求解:令(正割代換)則∴原式機(jī)動目錄54令于是機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束令于是機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束55原式例19.

求解:

令(倒代換)則原式當(dāng)x<0時,類似可得同樣結(jié)果.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束原式例19.求解:令(倒代換)56例20.

求解:

為了去掉根號，作代換則原式例20.求解:為了去掉根號，作代換則原式57小結(jié):1.第二類換元法常見類型:令令令或令或令或機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第四節(jié)講小結(jié):1.第二類換元法常見類型:令令令或令或令或機(jī)動58機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.常用基本積分公式的補充

(P159-160)(7)

分母中因子次數(shù)較高時,可試用倒代換

令機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.59機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束60解:

原式(公式(20))機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例21.求例22.

求解:(公式(23))解:原式(公式(20))機(jī)動目錄上頁61例23.

求解:原式=(公式(22))機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例24.

求解:原式(公式(22))例23.求解:原式=(公式(22))機(jī)動62例25.

求解:

令得原式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例25.求解:令得原式機(jī)動目錄上頁下頁63例26.

解:

原式令例16例16目錄上頁下頁返回結(jié)束例26.解:原式令例16例16目錄上頁下641.已知求解:

兩邊求導(dǎo),得則(代回原變量)

機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習(xí)1.已知求解:兩邊求導(dǎo),得則(代回原變量)機(jī)動65備用題1.求下列積分:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束備用題1.求下列積分:機(jī)動目錄上頁下662.求不定積分解：利用湊微分法,原式=令得機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.求不定積分解：利用湊微分法,原式=令得機(jī)動目錄67分子分母同除以3.求不定積分解:令原式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束分子分母同除以3.求不定積分解:令原式機(jī)動目錄上68第三節(jié)由導(dǎo)數(shù)公式積分得:分部積分公式或1)v容易求得;容易計算.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束分部積分法

第五章

第三節(jié)由導(dǎo)數(shù)公式積分得:分部積分公式或1)v容易求得69例1.

求解:

令則∴原式思考:

如何求提示:

令則原式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.求解:令則∴原式思考:如何求提示:令則原70例2.

求解:

令則原式=機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.求解:令則原式=機(jī)動目錄上頁71例3.

求解:

令則∴原式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.求解:令則∴原式機(jī)動目錄上頁72例4.

求解:

令,則∴原式再令,則故原式=說明:

也可設(shè)為三角函數(shù),但兩次所設(shè)類型必須一致.

機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.求解:令,則∴原式再令,則故73解題技巧:把被積函數(shù)視為兩個函數(shù)之積,按

“反對冪指三”的順序,前者為后者為例5.

求解:

令,則原式=機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束反:反三角函數(shù)對:對數(shù)函數(shù)冪:冪函數(shù)指:指數(shù)函數(shù)三:三角函數(shù)解題技巧:把被積函數(shù)視為兩個函數(shù)之積,按“反對冪指三”74例6.

求解:

令,則原式=機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例6.求解:令,則原式=機(jī)動目錄上頁75例7.

求解:

令則原式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束令例7.求解:令則原式機(jī)動目錄上頁下頁76例8.

求解:

令則∴原式=機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例8.求解:令則∴原式=機(jī)動目錄上頁77例9.

求解:

令則得遞推公式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例9.求解:令則得遞推公式機(jī)動目錄上頁78說明:遞推公式已知利用遞推公式可求得例如,機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:遞推公式已知利用遞推公式可求得例如,機(jī)動目錄79例10.

證明遞推公式證:注:或機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例10.證明遞推公式證:注:或機(jī)動目錄上頁80說明:分部積分題目的類型:1)直接分部化簡積分;2)分部產(chǎn)生循環(huán)式,由此解出積分式;(注意:兩次分部選擇的u,v函數(shù)類型不變,解出積分后加

C)例43)對含自然數(shù)n的積分,通過分部積分建立遞推公式.例4目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:分部積分題目的類型:1)直接分部化簡積分;2)81例11.

已知的一個原函數(shù)是求解:說明:

此題若先求出再求積分反而復(fù)雜.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例11.已知的一個原函數(shù)是求解:說明:此題若先求出再求82例12.

求解法1

先換元后分部令則故機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例12.求解法1先換元后分部令則故機(jī)動目錄83解法2

用分部積分法機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束解法2用分部積分法機(jī)動目錄上頁下頁84內(nèi)容小結(jié)分部積分公式1.使用原則:易求出,易積分2.使用經(jīng)驗:“反對冪指三”,前u后3.題目類型:分部化簡;循環(huán)解出;遞推公式4.計算格式:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)分部積分公式1.使用原則:易求出,易積分2.85例13.

求解:令則可用表格法求多次分部積分機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例13.求解:令則可用表格法求機(jī)動目錄上頁86例14.

求解:

令則原式原式

=機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例14.求解:令則原式原式=機(jī)動目錄上頁87思考與練習(xí)1.下述運算錯在哪里?應(yīng)如何改正?得0=1答:

不定積分是原函數(shù)族,相減不應(yīng)為0.

求此積分的正確作法是用換元法.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習(xí)1.下述運算錯在哪里?應(yīng)如何改正?得0=88備用題.求不定積分解：方法1(先分部,再換元)令則機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束備用題.求不定積分解：方法1(先分部,再換元)令則機(jī)動89方法2(先換元,再分部)令則故機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束方法2(先換元,再分部)令則故機(jī)動目錄上頁90第四節(jié)

基本積分法:直接積分法;換元積分法;分部積分法

初等函數(shù)求導(dǎo)初等函數(shù)積分機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束一、有理函數(shù)的積分二、可化為有理函數(shù)的積分舉例有理函數(shù)的積分本節(jié)內(nèi)容:

第五章

第四節(jié)基本積分法:直接積分法;換元積分法;分部積分91一、有理函數(shù)的積分有理函數(shù):時,為假分式;時,為真分式有理函數(shù)相除多項式+真分式分解其中部分分式的形式為若干部分分式之和機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束一、有理函數(shù)的積分有理函數(shù):時,為假分式;時,為真分式有理92例1.

將下列真分式分解為部分分式:解:(1)用拼湊法機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.將下列真分式分解為部分分式:解:(1)用拼湊法機(jī)93(2)用賦值法故機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束(2)用賦值法故機(jī)動目錄上頁下頁返94(3)混合法機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束原式=(3)混合法機(jī)動目錄上頁下頁返回95四種典型部分分式的積分:

機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束變分子為再分項積分四種典型部分分式的積分:機(jī)動目錄上頁下頁96例2.

求解:

已知例1(3)目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.求解:已知例1(3)目錄上頁下97例3.

求解:

原式思考:如何求機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束提示:變形方法同例3,

并利用第三節(jié)例9.

(P167例2)例3.求解:原式思考:如何求機(jī)動目錄上98例4.

求解:

首先將分母分解因式:例4.求解:首先將分母分解因式:99比較上式兩端同次項系數(shù)得比較上式兩端同次項系數(shù)得100分項積分得:分項積分得:101例5.求解:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:將有理函數(shù)分解為部分分式進(jìn)行積分雖可行,但不一定簡便,因此要注意根據(jù)被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)尋求簡便的方法.例5.求解:機(jī)動目錄上頁下頁返回102例6.求解:原式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例6.求解:原式機(jī)動目錄上頁下頁103例7.求解:作代換t=x5+1,則dt=5x4

dx.于是例7.求解:作代換t=x5+1,則dt104常規(guī)目錄上頁下頁返回結(jié)束例8.求解:

原式(公式21)注意本題技巧按常規(guī)方法較繁常規(guī)目錄上頁下頁返回結(jié)束例8105按常規(guī)方法解:第一步令比較系數(shù)定a,b,c,d.得第二步化為部分分式.即令比較系數(shù)定A,B,C,D.第三步分項積分.此解法較繁!機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束按常規(guī)方法解:第一步令比較系數(shù)定a,b,c,106二、可化為有理函數(shù)的積分舉例設(shè)表示三角函數(shù)有理式,令萬能代換t的有理函數(shù)的積分機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束1.三角函數(shù)有理式的積分則二、可化為有理函數(shù)的積分舉例設(shè)表示三角函數(shù)有理式,令萬能107例9.求解:

令則機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例9.求解:令則機(jī)動目錄上頁下頁108機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束109例10.求解:

說明:

通常求含的積分時,(即R(-sinx,-cosx)=R(sinx,cosx))往往更方便.(P168)的有理式用代換機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例10.求解:說明:通常求含的積分時,(即R(-sin110例11.求解法1令原式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例11.求解法1令原式機(jī)動目錄上頁下111例11.求解法2令原式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例11.求解法2令原式機(jī)動目錄上頁下112例12.求解:

因被積函數(shù)關(guān)于cosx

為奇函數(shù),可令原式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例12.求解:因被積函數(shù)關(guān)于cosx為奇函數(shù),可113例13.求解:

但被積函數(shù)含有sinAx

cosBx

時，用“積化和差”首先變換f(x):例13.求解:但被積函數(shù)含有sinAxcosBx時1142.簡單無理函數(shù)的積分令令被積函數(shù)為簡單根式的有理式,可通過根式代換化為有理函數(shù)的積分.

例如:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束令2.簡單無理函數(shù)的積分令令被積函數(shù)為簡單根式的有理式,115例14.求解:

令則原式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例14.求解:令則原式機(jī)動目錄上頁下116例15.

求解:

為去掉被積函數(shù)分母中的根式,取根指數(shù)2,3的最小公倍數(shù)6,則有原式令機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例15.求解:為去掉被積函數(shù)分母中的根式,取根指數(shù)117例16.

求解:

令則原式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例16.求解:令則原式機(jī)動目錄上頁下頁118例17.

求(P173例10)解:

原式=例17.求119內(nèi)容小結(jié)1.可積函數(shù)的特殊類型有理函數(shù)分解多項式及部分分式之和三角函數(shù)有理式萬能代換簡單無理函數(shù)三角代換根式代換2.

特殊類型的積分按上述方法雖然可以積出,但不一定

要注意綜合使用基本積分法,簡便計算.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束簡便,

內(nèi)容小結(jié)1.可積函數(shù)的特殊類型有理函數(shù)分解多項式及部分分式120思考與練習(xí)如何求下列積分更簡便?解:

1.2.原式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習(xí)如何求下列積分更簡便?解:1.2.原式機(jī)動121備用題1.求不定積分解：令則,故機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束分母次數(shù)較高,宜使用倒代換.備用題1.求不定積分解：令則,故機(jī)動目錄上頁1222.求不定積分解：原式=前式令;后式配元機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.求不定積分解：原式=前式令;后式配元機(jī)動目錄123習(xí)題課一、求不定積分的基本方法機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、幾種特殊類型的積分不定積分的計算方法

第五章習(xí)題課一、求不定積分的基本方法機(jī)動目錄上頁124一、求不定積分的基本方法1.直接積分法通過簡單變形,利用基本積分公式和運算法則求不定積分的方法.2.換元積分法第一類換元法第二類換元法(注意常見的換元積分類型)(代換:)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束一、求不定積分的基本方法1.直接積分法通過簡單變形,利1253.分部積分法使用原則:1)由易求出v;2)比好求.一般經(jīng)驗:按“反,對,冪,指,三”的順序,排前者取為u,排后者取為計算格式:列表計算機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束3.分部積分法使用原則:1)由易求出v;2)比好求126多次分部積分的規(guī)律機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束快速計算表格:特別:

當(dāng)

u為n

次多項式時,計算大為簡便.

多次分部積分的規(guī)律機(jī)動目錄上頁下頁127例1.

求解:原式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.求解:原式機(jī)動目錄上頁下頁返128例2.

求解:原式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束分析:例2.求解:原式機(jī)動目錄上頁下頁129例3.

求解:(習(xí)題課教程P116)原式分部積分機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束有時可將原不定積分拆成兩個不定積分,將其中一個用分部積分法,可得與另一個不定積分形式完全相同,但符號相反的不定積分,從而“抵消”.

例3.求解:(習(xí)題課教程P116)原式分部積分機(jī)動130例4.

設(shè)解:令求積分即而機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.設(shè)解:令求積分即而機(jī)動目錄上頁下131例5.

求解:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.求解:機(jī)動目錄上頁下頁返回132例6.

求解:取機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:此法特別適用于如下類型的積分:例6.求解:取機(jī)動目錄上頁下頁返133例7.

設(shè)證:證明遞推公式:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例7.設(shè)證:證明遞推公式:機(jī)動目錄上頁下134例8.

求解:設(shè)則因連續(xù),

得記作得利用

機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例8.求解:設(shè)則因連續(xù),得記作得利用機(jī)動目135例9.設(shè)

解:為的原函數(shù),且求由題設(shè)則故即,因此故又機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例9.設(shè)解:為的原函數(shù),且求由題設(shè)則故即,因此故又機(jī)動136二、幾種特殊類型的積分1.一般積分方法有理函數(shù)分解多項式及部分分式之和指數(shù)函數(shù)有理式指數(shù)代換三角函數(shù)有理式萬能代換簡單無理函數(shù)三角代換根式代換機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、幾種特殊類型的積分1.一般積分方法有理函數(shù)分解多項式1372.需要注意的問題(1)一般方法不一定是最簡便的方法,(2)初等函數(shù)的原函數(shù)不一定是初等函數(shù),要注意綜合使用各種基本積分法,簡便計算.

因此不一定都能積出.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例如,2.需要注意的問題(1)一般方法不一定是最簡便的方法138例10.

求解:令則原式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例10.求解:令則原式機(jī)動目錄上頁下139例11.

求解:令比較同類項系數(shù),故∴原式說明:此技巧適用于形為的積分.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例11.求解:令比較同類項系數(shù),故∴原式說明:140例12.解：因為及機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例12.解：因為及機(jī)動目錄上頁下頁返141例13.求不定積分解:原式

機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例13.求不定積分解:原式機(jī)動目錄上頁142例14.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束解:I=例14.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)143例15.

解:(n

為自然數(shù))令則機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例15.解:(n為自然數(shù))令則機(jī)動目錄上頁144 謝謝大家！ 謝謝大家！145華中科技大學(xué)微積分上冊第五章全部華中科技大學(xué)微積分上冊第五章全部華中科技大學(xué)微積分上冊第五章全部二、基本積分表三、不定積分的性質(zhì)一、原函數(shù)與不定積分的概念第一節(jié)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束不定積分的概念與性質(zhì)第五章華中科技大學(xué)微積分上冊第五章全部華中科技大學(xué)微積分上冊第五章146二、基本積分表三、不定積分的性質(zhì)一、原函數(shù)與不定積分的概念第一節(jié)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束不定積分的概念與性質(zhì)

第五章

二、基本積分表三、不定積分的性質(zhì)一、原函數(shù)與不定積分的147一、原函數(shù)與不定積分的概念引例:一個質(zhì)量為m的質(zhì)點,下沿直線運動,因此問題轉(zhuǎn)化為:已知求在變力試求質(zhì)點的運動速度機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束根據(jù)牛頓第二定律,加速度定義1.

若在區(qū)間I上定義的兩個函數(shù)F(x)及f(x)滿足在區(qū)間

I

上的一個原函數(shù).則稱F(x)為f(x)

如引例中,

的原函數(shù)有一、原函數(shù)與不定積分的概念引例:一個質(zhì)量為m的質(zhì)點148問題:1.在什么條件下,一個函數(shù)的原函數(shù)存在?2.若原函數(shù)存在,它如何表示?定理1.

存在原函數(shù).(下章證明)初等函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)初等函數(shù)在定義區(qū)間上有原函數(shù)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束問題:1.在什么條件下,一個函數(shù)的原函數(shù)存在?2.149定理2.原函數(shù)都在函數(shù)族(C為任意常數(shù))內(nèi).證:1)又知故即屬于函數(shù)族機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束即定理2.原函數(shù)都在函數(shù)族(C為任意常數(shù))內(nèi).證150定義2.在區(qū)間I上的原函數(shù)全體稱為上的不定積分,其中—積分號;—被積函數(shù);—被積表達(dá)式.—積分變量;(P149)若則(C為任意常數(shù))C

稱為積分常數(shù)不可丟!例如,記作機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束定義2.在區(qū)間I上的原函數(shù)全體稱為上的不定積分,其中151不定積分的幾何意義:的原函數(shù)的圖形稱為的圖形的所有積分曲線組成的平行曲線族.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束的積分曲線.不定積分的幾何意義:的原函數(shù)的圖形稱為的圖形的所有積分曲線組152例1.

設(shè)曲線通過點(1,2),

且其上任一點處的切線斜率等于該點橫坐標(biāo)的兩倍,求此曲線的方程.解:所求曲線過點(1,2),故有因此所求曲線為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.設(shè)曲線通過點(1,2),且其上任一點處153例2.

質(zhì)點在距地面處以初速力,求它的運動規(guī)律.

解:

取質(zhì)點運動軌跡為坐標(biāo)軸,原點在地面,指向朝上,質(zhì)點拋出時刻為此時質(zhì)點位置為初速為設(shè)時刻t

質(zhì)點所在位置為則(運動速度)(加速度)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束垂直上拋,

不計阻

先由此求

再由此求例2.質(zhì)點在距地面處以初速力,求它的運動規(guī)律.解:154先求由知再求于是所求運動規(guī)律為由知機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束故先求由知再求于是所求運動規(guī)律為由知機(jī)動目錄上頁155二、基本積分表(P150)從不定積分定義可知:或或利用逆向思維(k為常數(shù))機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、基本積分表(P150)從不定積分定義可知:或或利用逆156或或機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束或或機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束157機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束158微積分上冊第五章全部課件159例3.求解:

原式=例4.

求解:

原式=機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.求解:原式=例4.求解:原式=機(jī)動160三、不定積分的性質(zhì)—分項積分法推論:

若則機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束三、不定積分的性質(zhì)—分項積分法推論:若則機(jī)動目錄161例5.求解:

原式=機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.求解:原式=機(jī)動目錄上頁下162例6.求解:原式=例7.求解:原式=機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例6.求解:原式=例7.求解:原式=機(jī)動目163例8.求解:原式=機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例8.求解:原式=機(jī)動目錄上頁下頁164內(nèi)容小結(jié)1.不定積分的概念?原函數(shù)與不定積分的定義?不定積分的性質(zhì)?基本積分表(見P150)2.直接積分法:利用恒等變形,及

基本積分公式進(jìn)行積分.常用恒等變形方法分項積分加項減項利用三角公式,代數(shù)公式,積分性質(zhì)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.不定積分的概念?原函數(shù)與不定積分的定義?不165思考與練習(xí)1.

證明

2.

若提示:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束提示:思考與練習(xí)1.證明2.若提示:機(jī)動目錄上頁1663.

若是的原函數(shù),則提示:已知機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束3.若是的原函數(shù),則提示:已知機(jī)動目錄上1674.

若的導(dǎo)函數(shù)為則的一個原函數(shù)是().提示:已知求即B??或由題意其原函數(shù)為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束4.若的導(dǎo)函數(shù)為則的一個原函數(shù)是(1685.

求下列積分:提示:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束5.求下列積分:提示:機(jī)動目錄上頁下頁1696.求不定積分解：機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束6.求不定積分解：機(jī)動目錄上頁下頁1707.已求A,B.解:

等式兩邊對x求導(dǎo),得機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束7.已求A,B.解:等式兩邊對x求導(dǎo),得171二、第二類換元法第二節(jié)一、第一類換元法機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束換元積分法

第五章二、第二類換元法第二節(jié)一、第一類換元法機(jī)動目錄上172第二類換元法第一類換元法基本思路機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束設(shè)可導(dǎo),則有第二類換元法第一類換元法基本思路機(jī)動目錄上頁173一、第一類換元法定理1.則有換元公式(也稱配元法即,湊微分法)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束一、第一類換元法定理1.則有換元公式(也稱配元法即,湊微分174例1.

求解:

令則故原式=注:

當(dāng)時機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.求解:令則故原式=注:當(dāng)時機(jī)動目錄175例2.

求解:令則想到公式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.求解:令則想到公式機(jī)動目錄上頁下頁176例3.

求想到解:(直接配元)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.求想到解:(直接配元)機(jī)動目錄上頁177例4.

求解:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束類似例4.求解:機(jī)動目錄上頁下頁返回178例5.

求解:∴原式=機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.求解:∴原式=機(jī)動目錄上頁下頁179常用的幾種配元形式:(P155)萬能湊冪法機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束常用的幾種配元形式:(P155)萬能湊冪法機(jī)動180例6.

求解:

原式=機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例6.求解:原式=機(jī)動目錄上頁下頁181例7.

求解:

原式=例8.

求解:

原式=機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例7.求解:原式=例8.求解:原式=機(jī)動目182例9.

求解法1解法2兩法結(jié)果一樣機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例9.求解法1解法2兩法結(jié)果一樣機(jī)動目錄上183例10.

求解法1機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例10.求解法1機(jī)動目錄上頁下頁184解法2同樣可證或機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束解法2同樣可證或機(jī)動目錄上頁下頁185例11.

求解:

原式=機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例11.求解:原式=機(jī)動目錄上頁下186例12.

求解:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例12.求解:機(jī)動目錄上頁下頁返187例13.

求解:∴原式=機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例13.求解:∴原式=機(jī)動目錄上頁下頁188例14.

求解:

原式=機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束分析:

例14.求解:原式=機(jī)動目錄上頁下頁189例15.

求解:原式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例15.求解:原式機(jī)動目錄上頁下頁190小結(jié)常用簡化技巧:(1)分項積分:(2)降低冪次:(3)統(tǒng)一函數(shù):利用三角公式;配元方法(4)巧妙換元或配元萬能湊冪法機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束利用積化和差;分式分項;利用倍角公式,如小結(jié)常用簡化技巧:(1)分項積分:(2)降低冪次:(191思考與練習(xí)1.下列各題求積方法有何不同?機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習(xí)1.下列各題求積方法有何不同?機(jī)動目錄1922.

求提示:法1法2法3作業(yè)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.求提示:法1法2法3作業(yè)目錄上頁下頁193二、第二類換元法機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第一類換元法解決的問題難求易求若所求積分易求,則得第二類換元積分法.難求，二、第二類換元法機(jī)動目錄上頁下頁返回194定理2.設(shè)是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù),且具有原函數(shù),證:令則機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束則有換元公式定理2.設(shè)是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù),且具有原函數(shù),證:令則機(jī)195例16.

求解:

令(正弦代換)則∴原式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例16.求解:令(正弦代換)則∴原式機(jī)動196例17.

求解法一:

令(正切代換)則∴原式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例17.求解法一:令(正切代換)則∴原式機(jī)197例17.

求解法二:

令(雙曲代換)則∴原式例17.求解法二:令(雙曲代換)則∴原式198例18.

求解:令(正割代換)則∴原式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例18.求解:令(正割代換)則∴原式機(jī)動目錄199令于是機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束令于是機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束200原式例19.

求解:

令(倒代換)則原式當(dāng)x<0時,類似可得同樣結(jié)果.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束原式例19.求解:令(倒代換)201例20.

求解:

為了去掉根號，作代換則原式例20.求解:為了去掉根號，作代換則原式202小結(jié):1.第二類換元法常見類型:令令令或令或令或機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第四節(jié)講小結(jié):1.第二類換元法常見類型:令令令或令或令或機(jī)動203機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.常用基本積分公式的補充

(P159-160)(7)

分母中因子次數(shù)較高時,可試用倒代換

令機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.204機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束205解:

原式(公式(20))機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例21.求例22.

求解:(公式(23))解:原式(公式(20))機(jī)動目錄上頁206例23.

求解:原式=(公式(22))機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例24.

求解:原式(公式(22))例23.求解:原式=(公式(22))機(jī)動207例25.

求解:

令得原式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例25.求解:令得原式機(jī)動目錄上頁下頁208例26.

解:

原式令例16例16目錄上頁下頁返回結(jié)束例26.解:原式令例16例16目錄上頁下2091.已知求解:

兩邊求導(dǎo),得則(代回原變量)

機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習(xí)1.已知求解:兩邊求導(dǎo),得則(代回原變量)機(jī)動210備用題1.求下列積分:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束備用題1.求下列積分:機(jī)動目錄上頁下2112.求不定積分解：利用湊微分法,原式=令得機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.求不定積分解：利用湊微分法,原式=令得機(jī)動目錄212分子分母同除以3.求不定積分解:令原式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束分子分母同除以3.求不定積分解:令原式機(jī)動目錄上213第三節(jié)由導(dǎo)數(shù)公式積分得:分部積分公式或1)v容易求得;容易計算.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束分部積分法

第五章

第三節(jié)由導(dǎo)數(shù)公式積分得:分部積分公式或1)v容易求得214例1.

求解:

令則∴原式思考:

如何求提示:

令則原式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.求解:令則∴原式思考:如何求提示:令則原215例2.

求解:

令則原式=機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.求解:令則原式=機(jī)動目錄上頁216例3.

求解:

令則∴原式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.求解:令則∴原式機(jī)動目錄上頁217例4.

求解:

令,則∴原式再令,則故原式=說明:

也可設(shè)為三角函數(shù),但兩次所設(shè)類型必須一致.

機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.求解:令,則∴原式再令,則故218解題技巧:把被積函數(shù)視為兩個函數(shù)之積,按

“反對冪指三”的順序,前者為后者為例5.

求解:

令,則原式=機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束反:反三角函數(shù)對:對數(shù)函數(shù)冪:冪函數(shù)指:指數(shù)函數(shù)三:三角函數(shù)解題技巧:把被積函數(shù)視為兩個函數(shù)之積,按“反對冪指三”219例6.

求解:

令,則原式=機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例6.求解:令,則原式=機(jī)動目錄上頁220例7.

求解:

令則原式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束令例7.求解:令則原式機(jī)動目錄上頁下頁221例8.

求解:

令則∴原式=機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例8.求解:令則∴原式=機(jī)動目錄上頁222例9.

求解:

令則得遞推公式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例9.求解:令則得遞推公式機(jī)動目錄上頁223說明:遞推公式已知利用遞推公式可求得例如,機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:遞推公式已知利用遞推公式可求得例如,機(jī)動目錄224例10.

證明遞推公式證:注:或機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例10.證明遞推公式證:注:或機(jī)動目錄上頁225說明:分部積分題目的類型:1)直接分部化簡積分;2)分部產(chǎn)生循環(huán)式,由此解出積分式;(注意:兩次分部選擇的u,v函數(shù)類型不變,解出積分后加

C)例43)對含自然數(shù)n的積分,通過分部積分建立遞推公式.例4目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:分部積分題目的類型:1)直接分部化簡積分;2)226例11.

已知的一個原函數(shù)是求解:說明:

此題若先求出再求積分反而復(fù)雜.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例11.已知的一個原函數(shù)是求解:說明:此題若先求出再求227例12.

求解法1

先換元后分部令則故機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例12.求解法1先換元后分部令則故機(jī)動目錄228解法2

用分部積分法機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束解法2用分部積分法機(jī)動目錄上頁下頁229內(nèi)容小結(jié)分部積分公式1.使用原則:易求出,易積分2.使用經(jīng)驗:“反對冪指三”,前u后3.題目類型:分部化簡;循環(huán)解出;遞推公式4.計算格式:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)分部積分公式1.使用原則:易求出,易積分2.230例13.

求解:令則可用表格法求多次分部積分機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例13.求解:令則可用表格法求機(jī)動目錄上頁231例14.

求解:

令則原式原式

=機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例14.求解:令則原式原式=機(jī)動目錄上頁232思考與練習(xí)1.下述運算錯在哪里?應(yīng)如何改正?得0=1答:

不定積分是原函數(shù)族,相減不應(yīng)為0.

求此積分的正確作法是用換元法.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習(xí)1.下述運算錯在哪里?應(yīng)如何改正?得0=233備用題.求不定積分解：方法1(先分部,再換元)令則機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束備用題.求不定積分解：方法1(先分部,再換元)令則機(jī)動234方法2(先換元,再分部)令則故機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束方法2(先換元,再分部)令則故機(jī)動目錄上頁235第四節(jié)

基本積分法:直接積分法;換元積分法;分部積分法

初等函數(shù)求導(dǎo)初等函數(shù)積分機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束一、有理函數(shù)的積分二、可化為有理函數(shù)的積分舉例有理函數(shù)的積分本節(jié)內(nèi)容:

第五章

第四節(jié)基本積分法:直接積分法;換元積分法;分部積分236一、有理函數(shù)的積分有理函數(shù):時,為假分式;時,為真分式有理函數(shù)相除多項式+真分式分解其中部分分式的形式為若干部分分式之和機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束一、有理函數(shù)的積分有理函數(shù):時,為假分式;時,為真分式有理237例1.

將下列真分式分解為部分分式:解:(1)用拼湊法機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.將下列真分式分解為部分分式:解:(1)用拼湊法機(jī)238(2)用賦值法故機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束(2)用賦值法故機(jī)動目錄上頁下頁返239(3)混合法機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束原式=(3)混合法機(jī)動目錄上頁下頁返回240四種典型部分分式的積分:

機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束變分子為再分項積分四種典型部分分式的積分:機(jī)動目錄上頁下頁241例2.

求解:

已知例1(3)目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.求解:已知例1(3)目錄上頁下242例3.

求解:

原式思考:如何求機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束提示:變形方法同例3,

并利用第三節(jié)例9.

(P167例2)例3.求解:原式思考:如何求機(jī)動目錄上243例4.

求解:

首先將分母分解因式:例4.求解:首先將分母分解因式:244比較上式兩端同次項系數(shù)得比較上式兩端同次項系數(shù)得245分項積分得:分項積分得:246例5.求解:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:將有理函數(shù)分解為部分分式進(jìn)行積分雖可行,但不一定簡便,因此要注意根據(jù)被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)尋求簡便的方法.例5.求解:機(jī)動目錄上頁下頁返回247例6.求解:原式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例6.求解:原式機(jī)動目錄上頁下頁248例7.求解:作代換t=x5+1,則dt=5x4

dx.于是例7.求解:作代換t=x5+1,則dt249常規(guī)目錄上頁下頁返回結(jié)束例8.求解:

原式(公式21)注意本題技巧按常規(guī)方法較繁常規(guī)目錄上頁下頁返回結(jié)束例8250按常規(guī)方法解:第一步令比較系數(shù)定a,b,c,d.得第二步化為部分分式.即令比較系數(shù)定A,B,C,D.第三步分項積分.此解法較繁!機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束按常規(guī)方法解:第一步令比較系數(shù)定a,b,c,251二、可化為有理函數(shù)的積分舉例設(shè)表示三角函數(shù)有理式,令萬能代換t的有理函數(shù)的積分機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束1.三角函數(shù)有理式的積分則二、可化為有理函數(shù)的積分舉例設(shè)表示三角函數(shù)有理式,令萬能252例9.求解:

令則機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例9.求解:令則機(jī)動目錄上頁下頁253機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束254例10.求解:

說明:

通常求含的積分時,(即R(-sinx,-cosx)=R(sinx,cosx))往往更方便.(P168)的有理式用代換機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例10.求解:說明:通常求含的積分時,(即R(-sin255例11.求解法1令原式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例11.求解法1令原式機(jī)動目錄上頁下256例11.求解法2令原式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例11.求解法2令原式機(jī)動目錄上頁下257例12.求解:

因被積函數(shù)關(guān)于cosx

為奇函數(shù),可令原式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例12.求解:因被積函數(shù)關(guān)于cosx為奇函數(shù),可258例13.求解:

但被積函數(shù)含有sinAx

cosBx

時，用“積化和差”首先變換f(x):例13.求解:但被積函數(shù)含有sinAxcosBx時2592.簡單無理函數(shù)的積分令令被積函數(shù)為簡單根式的有理式,可通過根式代換化為有理函數(shù)的積分