2024-2025學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市雙城二中高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市雙城二中高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù)f(x)=1+loga|x|?,x≤?1(x+1A.(12,1) B.(0,12)2.已知函數(shù)f(x)=ln2?x?x3，則不等式A.(?4,2) B.(?∞,2)

C.(?∞,?2)∪(2,+∞) D.(?∞,?4)∪(2,+∞)3.已知函數(shù)f(x)=asinx+bcosx，其中a∈R，b∈R，如果對(duì)任意x∈R，都有f(x)≠2，那么在下列不等式中一定成立的是(

)A.?4<a+b<4 B.?4<a?b<4 C.a2+b4.已知角θ的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(t,?t)(t>0)，則A.cos2θ>0 B.cos2θ<0 C.sin2θ>0 D.sin2θ<05.下列函數(shù)是奇函數(shù)且在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)的是(

)A.y=sinx B.y=3?x C.y=x6.已知集合A={?1,1,2,3,4,5}，B={x∈N|(x?1)(x?5)<0}，則?AB=(

)A.{3} B.{2,3} C.{2,3,5} D.{?1,1,5}7.已知銳角φ滿足3sinφ?cosφ=1.若要得到函數(shù)fx=12A.向左平移7π12個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向左平移π12個(gè)單位長(zhǎng)度

C.向右平移7π12個(gè)單位長(zhǎng)度 D.8.“x<1”是“x2?4x+3>0”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、多選題：本題共4小題，共24分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知f(x)是定義在R上不恒為0的函數(shù)，f(x?1)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，且函數(shù)y=1x?2的圖象的對(duì)稱中心也是f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，則(

)A.點(diǎn)(?2,0)是f(x)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心

B.f(x)為周期函數(shù)，且4是f(x)的一個(gè)周期

C.f(4?x)為偶函數(shù)

D.f(31)+f(35)=210.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：對(duì)?α，β∈R，f(α+β)+f(α?β)=2f(α)f(β)，且f(0)=1,f(π2)=?1，則以下結(jié)論正確的為A.f(π4)=0 B.f(π)=0 C.f(?x)=f(x)11.已知函數(shù)f(x)=3cos2A.函數(shù)f(x)的最小正周期為4π

B.點(diǎn)(?2π3,32)是函數(shù)f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心

C.將函數(shù)f(x)圖象向左平移5π6個(gè)單位長(zhǎng)度，所得到的函數(shù)圖象關(guān)于y12.下列說(shuō)法正確的是(

)A.“1a>1b”是“a<b”的充分不必要條件

B.A∩B=?是A=?的必要不充分條件

C.若a，b，c∈R，則“ac2>bc2”的充要條件是“a>b”

D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。13.已知sinα?2cosα=314.角θ的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4,y)，且sinθ=?35，則tanθ=______．15.已知f(x)是定義在R，且滿足f(x+2)=f(x?2)，當(dāng)x∈[0,4)時(shí)，f(x)=|x2?4x+3|，若函數(shù)y=f(x)?m在區(qū)間[?4,6]上有10個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

四、解答題：本題共6小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。16.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=log54(?x2+2λx+1)的定義域?yàn)镈，g(x)=x?λx(2)若D=(m,n)，且[g(m)?g(n)]2≤10，求實(shí)數(shù)17.(本小題12分)

∫如圖為函數(shù)f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分圖象，且|CD|=π4，A(?5π12,?2)．

(1)求ω，φ的值；

(2)將f(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的3倍(縱坐標(biāo)不變)，再向右平移3π418.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=2sinx(3cosx?sinx)+1，x∈R．

(1)求曲線C：y=f(x)的對(duì)稱中心；

(2)在銳角三角形ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，且f(A2)=2.19.(本小題12分)

請(qǐng)解答以下問(wèn)題，要求解決兩個(gè)問(wèn)題的方法不同．

(1)如圖1，要在一個(gè)半徑為1米的半圓形鐵板中截取一塊面積最大的矩形ABCD，如何截取？并求出這個(gè)最大矩形的面積．

(2)如圖2，要在一個(gè)長(zhǎng)半軸為2米，短半軸為1米的半個(gè)橢圓形鐵板中截取一塊面積最大的矩形ABCD，如何截??？并求出這個(gè)最大矩形的面積．

20.(本小題12分)

某地自2014年至2019年每年年初統(tǒng)計(jì)所得的人口數(shù)量如表所示：年份201420152016201720182019人數(shù)/千人208221352203227623392385(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算2014年至2018年每年該地人口的增長(zhǎng)數(shù)量，并描述該地人口數(shù)量的變化趨勢(shì)；

(2)研究人員用函數(shù)P(t)=2000+4504.4878e?0.6554t+1擬合該地的人口數(shù)量，其中t的單位是年，2014年初對(duì)應(yīng)時(shí)刻t=0，P(t)P)的單位是干人，設(shè)P(t)的反函數(shù)為T(x)，求T(2400)的值21.(本小題12分)

在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列．

(1)若AB?BC=?32，b=3，求a+c的值；

參考答案1.B

2.D

3.D

4.D

5.A

6.D

7.A

8.A

9.AC

10.ACD

11.BCD

12.BD

13.?14.?315.(0,1)

16.解：(1)當(dāng)λ=34時(shí)，f(x)=log54(?x2+32x+1)，

由?x2+32x+1=(?x+2)(x+12)>0，解得?12<x<2，

即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)??12,2)，

令t=?x2+32x+1，則t∈(0,2516],

從而f(x)的值域?yàn)??∞,2]．

(2)由于D=(m,n)，且Δ=4λ2+4>0，

所以方程?x217.解：(1)根據(jù)題意得，T4=π4，故T=π，ω=2πT=2，故f(x)=2cos(2x+φ)．

將A(?5π12,?2)代入，得2×(?5π12)+φ=?π+2kπ(k∈Z)，解得φ=?π6+2kπ(k∈Z)，

又|φ|<π2，故φ=?π6．

(2)依題意，g(x)=2cos[23(x?3π4)?π6]=2cos(23x?2π3)．

函數(shù)y=g(x)?a在區(qū)間[?π,π2]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)g(x)的圖象與直線y=a在[?π,π2]上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．

當(dāng)x∈[?π,π2]時(shí)，23x?2π3∈[?4π3,?π3]，結(jié)合余弦函數(shù)圖象可知，

18.解：(1)由題意，得f(x)=23sinxcosx?2sin2x+1=3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)．

令2x+π6=kπ，k∈Z，得x=?π12+kπ2，k∈Z，

∴曲線y=f(x)的對(duì)稱中心為(?π12+kπ2,0)，k∈Z．

(2)f(A2)=2sin(A+π6)=2，即sin(A+π6)=1．

∵A是銳角三角形ABC的內(nèi)角，

∴A+19.解：(1)設(shè)∠BOC=α，(0<α<π2)；

∴OB=cosα，BC=sinα；

∵S=2OB?BC，

∴S═2sinαcosα=sin2α；

∴當(dāng)α=π4時(shí)，即OB=22時(shí)，矩形面積最大為1；

(2)依題意可得：橢圓方程為：x24+y2=1,(y≥0)；

設(shè)：點(diǎn)C坐標(biāo)為(m,n)即：OB=m，BC=n；

∴S=2OB?BC=2mn；

∵點(diǎn)C為橢圓上的點(diǎn)；

∴m20.解：(1)2014年至2019年每年該地人口的增長(zhǎng)數(shù)量為2385?2082=303千人，

3135?2082=53，2203?2135=68，2276?2203=73，2339?2276=63，2385?2339=46，

由上述數(shù)據(jù)可得從2014年到2019年每年人口增長(zhǎng)數(shù)量呈先增加后減少的變化趨勢(shì)，每一年人口總數(shù)呈逐漸遞增的變化趨勢(shì)，

(2)由P(t)=2000+4504.4878e?0