2021年小升初奧數(shù)22講-第1講 數(shù)論初步

第1講數(shù)論初步知識(shí)要點(diǎn)研究整數(shù)性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支叫數(shù)論，它是數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的一項(xiàng)重要內(nèi)容.要解答這方面的問.對(duì)整數(shù)a和（b不為0，如果存在一個(gè)整數(shù)，使abq，則稱a被b整除，否則a不能被b7289728（9）整除.性質(zhì)一若cacb，則cnbm，n.性質(zhì)二若cab，且c，b1，則ca.性質(zhì)三若baca，且b，c1，則bca.整除問題是各類數(shù)學(xué)競(jìng)賽中必考的熱點(diǎn)問題，必須掌握好解決整除問題的方法與技巧.如果兩個(gè)整數(shù)a與b被正整數(shù)m除時(shí)所得余數(shù)相同，即aqmr，bpmr那么就稱a與b關(guān)于模m同余，其中p、q、r都是整數(shù)，而且0rm.在解決同余問題時(shí)，常把同余問題轉(zhuǎn)化為整除問題來處理.典例精講1某種考試已舉行的次數(shù)恰好是2442625題162025題的有多少次？解1620442，254125題的次數(shù)應(yīng)當(dāng)是210...，剩下的題數(shù)才能被4整除252時(shí)，426225376，即3761616206，即出16題16次，出20題6次.在出25題的次數(shù)為6時(shí)，426625276，而1624628827625題的次.252次.2345.因?yàn)?091011，306789，3045678，問：在1900至2200之間滿足上述要求的數(shù)有哪些？解3個(gè)連續(xù)正整數(shù)的和，一定能被3整除；42整除，且商4553030()60的整數(shù)倍后，由于190060因此30603219501900且.1900220019502010、2070、2130、21905.3(113998399841399839984解(144399739984整除，39964139984整除的數(shù)一共有：24個(gè)(2)039994000個(gè)整數(shù)都看成四位數(shù)abcd(不足四位則在前面補(bǔ)零，如120012).b、、d10b、c、d選定后，為滿足abcd能被4a12.abcd4k(kaabcd4k1,則a3abcd4k,則a；若abcd4k，則a1.039994000個(gè)整數(shù)中有11010101000413998中有100019994(0).典例4 一個(gè)正整數(shù)除以8得到的商加上這個(gè)數(shù)除以9的余數(shù)，其和是13，求所有足條件的正整.解設(shè)這個(gè)數(shù)為n9所得余數(shù)r8，所以n8得到的商q1385.又顯然q13q5時(shí)，r8，n58444時(shí)，r=7，n時(shí)，；q=10n.9個(gè)：108，100，92，84，76，68，60，52，44.51-1(100).A孔出發(fā)沿著逆時(shí)針方向，每隔幾孔跳一步，希望一圈以后能跳到A孔.他先試著每隔2B4B6孔跳一步，正好跳回到A孔，你知道這個(gè)圓圈上共有多少個(gè)孔嗎？解1-11，然后沿逆時(shí)針方、4、…，B每隔2147、10B31.4B孔，就意味著總孔數(shù)是51；而每隔6孔跳一步最后跳回到A孔，意味著總孔數(shù)是7.351515的倍17整除10091=15×6+1.91.6一10537198，那么滿足條件的自然數(shù)最小為多少？解8535871相當(dāng)于787、988、、9.5、9315315+8=323.770個(gè)0,1,3,8,216除余幾？解abcc=3×b-a30,1,0,2,0,1,0,2420,1,1,0,1,1,0,1,1703余1(70=4×17+220(70=3×23+164.A卷一、填空題被3除余2，被5除余3，被7除余4的最小正整數(shù).一個(gè)不等于1的整數(shù)它除96710002001得到相同的余數(shù)那么這個(gè)整數(shù).如果兩個(gè)數(shù)被3除都余2，那么它們的積被3除，余數(shù).一個(gè)正整數(shù)被7除余2，被6除余5，這個(gè)正整數(shù)的最小值5.71427與19的積被7除，余數(shù).除以6所得商和余數(shù)相同的數(shù).在2016后面補(bǔ)上三個(gè)數(shù)字，組成一個(gè)七位數(shù)，使它分別能被23、11整除，和這個(gè)七位數(shù)最小.要使六位數(shù)15ABC6能被36整除，而且所得的商最小、C分別.有9五個(gè)數(shù)字，從中選出四個(gè)數(shù)字組成一個(gè)四位例如1409)，把其中能被3整除的四位數(shù)從小到大排列起來，第5個(gè)數(shù)的末位數(shù)字.二、解答題小麗給小芳打電話，已知小芳家電話號(hào)碼是個(gè)能被3整除的五位.這五位的中間三都是8，末位不是0，小麗最多次就一定是小芳家的電話號(hào).二、解答題200200個(gè)燈泡1~200編號(hào)，它們的亮暗規(guī)則是：第一秒，全部燈泡變亮；第二秒，凡是編號(hào)為2的倍數(shù)的燈泡由亮變暗；第三秒，凡是編號(hào)為3一般地，第n秒凡編號(hào)為n.這樣繼續(xù)下去，每4分鐘一個(gè)周期，問：第200秒時(shí)，亮著的燈泡有多少個(gè)？1143，這樣的數(shù)都有哪些？B卷一、填空題正整數(shù)A與B之差是與B的最大公約數(shù)最大可以.a和b是1~9中不同的數(shù)碼，ab和ba的最大公約數(shù)最大能.整數(shù)除法，余數(shù)比除數(shù)小，從1到1994各數(shù)都除以9，所有余數(shù)的和.把由1開始的正整數(shù)依次寫下來一直寫到第201位為止這個(gè)數(shù)除以3的余數(shù)5.將既能被5整除又能被7整除的正整數(shù)自105起從小到大排成一行，共有2000個(gè)數(shù)，這2000個(gè)數(shù)的和被11除的余數(shù).6.2015個(gè)9組成的多位數(shù)999…99除以74所得的余數(shù).7.一個(gè)整數(shù)，用它去除6391、129得到3個(gè)余數(shù)的和是25，這個(gè)整數(shù)8.在568后面補(bǔ)上三個(gè)數(shù)字，組成一個(gè)六位數(shù)，使它能分別被、5整除，那么這樣的六位數(shù)中最小的.一個(gè)六位數(shù)，它能被9和11整除，去掉這個(gè)六位數(shù)的首、尾兩個(gè)數(shù)字，中間四個(gè)數(shù)字是1997.這個(gè)六位數(shù).從1，2，…，2016這2016個(gè)數(shù)中選出一些數(shù)，使得這些數(shù)中的每?jī)蓚€(gè)數(shù)的和都能被26整除，這樣的數(shù)最多能選個(gè).二、解答題15115.1a22”33整除”編號(hào)為1的同學(xué)作了驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)只有編號(hào)連續(xù)的兩位同學(xué)說得不對(duì)，其余同學(xué)都對(duì)，問：1231326整除？C卷一、填空題2456789除以3的余數(shù)是 .2.a除以5余1，b除以5余4.如果3a>b，那么3a-b除以5余數(shù)是 .3.19964以7的余數(shù).數(shù)A共有9個(gè)不同的約數(shù)數(shù)B共有6個(gè)不同的約數(shù)數(shù)C共有8個(gè)不同的約數(shù)三個(gè)數(shù)中的任何兩個(gè)都不整三個(gè)數(shù)之積的最小值.號(hào)碼分別為101、126173、193的四個(gè)運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行乒乓球比賽，規(guī)定每?jī)扇吮荣惐P數(shù)是他們號(hào)碼的和被3除所得的余打球盤數(shù)最多的運(yùn)動(dòng)員打.6.n1919 1919，n被9除所得商的個(gè)位數(shù).1919個(gè)1919818187，最后得到一個(gè)商是a(見短除(1)；又知這個(gè)正整數(shù)被17除余4，所得的商被17余15，最后得到一個(gè)商是a的2倍見短除(2).這個(gè)正整數(shù).有100一個(gè)三位數(shù)能同時(shí)被57整除這樣的三位數(shù)由小到大的順序排成一列，中間一個(gè).199644在請(qǐng)你找出一個(gè)三位數(shù)添寫在1996的前面或后面，使所得的兩個(gè)七位數(shù)都能被這三位數(shù)整除，這樣的三位數(shù)個(gè).二、解答題將正整數(shù)N235352.如果得到的新數(shù)都能被N整除，那么N1996,3785942160就是一個(gè)十全數(shù).現(xiàn)已知一個(gè)十全數(shù)能被1,2,3，…,18整除，并且它的前四位數(shù)是4876，目前