西安電子科技大學(xué)《復(fù)變函數(shù)與場論》課件- 留數(shù)的知識

第五章留數(shù)一、孤立奇點的概念定義

如果函數(shù)在

不解析,但在的某一去心鄰域內(nèi)處處解析,則稱為的孤立奇點.例1是函數(shù)的孤立奇點.是函數(shù)的孤立奇點.第一節(jié)孤立奇點例2指出函數(shù)在點的奇點特性.解即在的不論怎樣小的去心鄰域內(nèi),的奇點存在,函數(shù)的奇點為總有不是孤立奇點.所以函數(shù)在孤立奇點以外的奇點稱為非孤立奇點.孤立奇點的分類依據(jù)在其孤立奇點的去心鄰域內(nèi)的洛朗級數(shù)的情況分為三類:1．可去奇點1．可去奇點;2．極點;3．本性奇點.如果洛朗級數(shù)中不含

的負冪項,那末孤立奇點

稱為

的可去奇點.1)定義其和函數(shù)為在解析的函數(shù).說明:(1)(2)無論在是否有定義,補充定義則函數(shù)在解析.2)可去奇點的判定(1)由定義判斷:的洛朗級數(shù)無負在如果冪項則為的可去奇點.(2)

判斷極限若極限存在且為有限值,則為的可去奇點.如果補充定義:時,那末在解析.例3中不含負冪項,是的可去奇點.例4說明為的可去奇點.解

所以為的可去奇點.無負冪項另解

的可去奇點.為2.極點

其中關(guān)于的最高冪為即級極點.那末孤立奇點稱為函數(shù)的或?qū)懗?)定義

如果洛朗級數(shù)中只有有限多個的負冪項,說明:1.2.特點:(1)(2)的極點,則為函數(shù)如果例5有理分式函數(shù)是二級極點,是一級極點.2)極點的判定方法的負冪項為有的洛朗展開式中含有限項.在點的某去心鄰域內(nèi)其中在的鄰域內(nèi)解析,且(1)由定義判別(2)由定義的等價形式判別(3)利用極限判斷.例6求函數(shù)的奇點，并確定類型.解是奇點.是二級極點;是三級極點.本性奇點3.如果洛朗級數(shù)中含有無窮多個那末孤立奇點稱為的本性奇點.的負冪項,例如，含有無窮多個z的負冪項特點:在本性奇點的鄰域內(nèi)不存在且不為同時不存在.綜上所述:孤立奇點可去奇點m級極點本性奇點洛朗級數(shù)特點存在且為有限值不存在且不為無負冪項含無窮多個負冪項含有限個負冪項最高冪為存在且有限二、函數(shù)的零點與極點的關(guān)系1.零點的定義不恒等于零的解析函數(shù)如果能表示成其中在解析且m為某一正整數(shù),那末稱為的

m級零點.例6注意:

不恒等于零的解析函數(shù)的零點是孤立的.2.零點的判定零點的充要條件是證(必要性)由定義:設(shè)的泰勒展開式為:如果在解析,那末為的級如果為的級零點其中展開式的前m項系數(shù)都為零,由泰勒級數(shù)的系數(shù)公式知:并且充分性證明略.(1)由于知是的一級零點，課堂練習(xí)是五級零點,是二級零點.知是的一級零點.解

(2)答案例7求以下函數(shù)的零點及級數(shù):(1)(2)的零點及級數(shù).求尚有另2個一級零點.3.零點與極點的關(guān)系定理如果是的m級極點,那末就是的

m級零點.反過來也成立.證如果是的m級極點,則有當(dāng)時,函數(shù)在解析且由于只要令那末的m級零點.就是反之如果

的m級零點,是那末當(dāng)時,解析且所以是的m級極點.說明此定理為判斷函數(shù)的極點提供了一個較為簡便的方法.例8函數(shù)有些什么奇點,如果是極點,指出它的級.解

函數(shù)的奇點是使的點,這些奇點是是孤立奇點.的一級極點.即解

解析且所以不是二級極點,而是一級極點//可去奇點.是的幾級極點?思考例9問是的二級極點嗎?注意:不能以函數(shù)的表面形式作出結(jié)論.三、函數(shù)在無窮遠點的性態(tài)定義注RZ規(guī)定：判別法1(利用變換域級數(shù)進行判斷)1)不含正冪項;2)含有有限多的正冪項且為最高正冪;3)含有無窮多的正冪項;那末是的1)可去奇點;2)m級極點;3)本性奇點.2

(利用洛朗級數(shù)的特點)2.判別方法在內(nèi)的洛朗級數(shù)中:如果例10(1)函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展開式為:不含正冪項所以是的可去奇點.(2)函數(shù)含有正冪項且z為最高正冪項,所以是的一級極點.(3)函數(shù)的展開式:含有無窮多的正冪項所以是的本性奇點.課堂練習(xí)的奇點及其類型.說出函數(shù)答案判別法3:(利用極限特點)如果極限1)存在且為有限值;2)無窮大;3)不存在且不為無窮大;那末是的1)可去奇點;2)m級極點;3)本性奇點.存在且有限例11函數(shù)在擴充復(fù)平面內(nèi)有些什么類型的奇點?如果是極點,指出它的級.解

函數(shù)除點外,所以這些點都是的一級零點,故這些點中除1,-1,2外,都是的三級極點.內(nèi)解析.在所以那末是的可去奇點.因為不是的孤立奇點.所以一、留數(shù)的引入設(shè)為的一個孤立奇點;內(nèi)的洛朗級數(shù):在.的某去心鄰域鄰域內(nèi)包含的任一條正向簡單閉曲線第二節(jié)留數(shù)0(高階導(dǎo)數(shù)公式)0(柯西-古薩基本定理)定義

記作的一個孤立奇點,則沿內(nèi)包含的任意一條簡單閉曲線

C的積分的值除后所得的數(shù)稱為以如果Residue

二、利用留數(shù)求積分說明:2.留數(shù)定理將沿封閉曲線C積分轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)在C內(nèi)各孤立奇點處的留數(shù).1.留數(shù)定理在區(qū)域

D內(nèi)除有限個孤外處處解析,C是D內(nèi)包圍諸奇點的一條正向簡單閉曲線,那末立奇點函數(shù)證[證畢]兩邊同時除以且...如圖2.留數(shù)的計算方法(1)如果為的可去奇點,如果為的一級極點,那末規(guī)則1成洛朗級數(shù)求(2)如果為的本性奇點,(3)如果為的極點,則有如下計算規(guī)則則需將展開如果為的級極點,規(guī)則2證那末+(含有正冪的項)兩邊求階導(dǎo)數(shù),[證畢]得規(guī)則3如果設(shè)及在都解析，證的一級零點,為的一級極點.為那末為的一級極點,且有解析且在因此其中在解析且為的一級極點,三、在無窮遠點的留數(shù)注意積分路線取順時針方向說明記作1.定義設(shè)函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)解析，C為圓環(huán)域內(nèi)繞原點的任何一條正向簡單閉曲線，.......證由留數(shù)定義有:(繞原點的并將內(nèi)部的正向簡單閉曲線)包含在2.定理二如果函數(shù)在擴充復(fù)平面內(nèi)只有有限個孤立奇點,那末在所有各奇點(包括

點)的留數(shù)的總和必等于零.[證畢]說明:由定理得(留數(shù)定理)計算積分計算無窮遠點的留數(shù).優(yōu)點:使計算積分進一步得到簡化.(避免了計算諸有限點處的留數(shù))3.在無窮遠點處留數(shù)的計算規(guī)則4說明:定理二和規(guī)則4提供了計算函數(shù)沿閉曲線積分的又一種方法:

此法在很多情況下此法更為簡單.現(xiàn)取正向簡單閉曲線C為半徑足夠大的正向圓周:于是有證內(nèi)除在外無其他奇點.[證畢]四、典型例題例1求在的留數(shù).解例2求在的留數(shù).分析是的三級零點由規(guī)則2得計算較麻煩.如果利用洛朗展開式求較方便:解說明:

如為m級極點，當(dāng)m較大而導(dǎo)數(shù)又難以計算時,可直接展開洛朗級數(shù)求來計算留數(shù).2.在應(yīng)用規(guī)則2時,取得比實際的級數(shù)高.級數(shù)高反而使計算方便.1.在實際計算中應(yīng)靈活運用計算規(guī)則.為了計算方便一般不要將m但有時把m取得比實際的如上例取例3求在的留數(shù).解是的四級極點.在內(nèi)將展成洛朗級數(shù):例4求下列各函數(shù)在有限奇點處的留數(shù).解(1)在內(nèi),解解為奇點,當(dāng)時為一級極點，(分子3級零點、分母2級零點)解的一級極點為例5計算積分C為正向圓周:解為一級極點,為二級極點,例6計算積分C為正向圓周:函數(shù)在的外部,除點外沒有其他奇點.解根據(jù)定理2與規(guī)則4:與以下解法作比較:被積函數(shù)有四個一級極點都在圓周的內(nèi)部,所以由規(guī)則3可見,利用無窮遠點的留數(shù)更簡單.例7計算積分C為正向圓周:解

除被積函數(shù)點外,其他奇點為由于與1在C的內(nèi)部,則所以思考題答案

思想方法:封閉路線的積分.兩個重要工作:1)積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化2)被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化把定積分化為一個復(fù)變函數(shù)沿某條第三節(jié)

留數(shù)在定積分計算上的應(yīng)用當(dāng)歷經(jīng)變程時,的正方向繞行一周.z沿單位圓周一、形如的積分z的有理函數(shù),且在單位圓周上分母不為零,滿足留數(shù)定理的條件.包圍在單位圓周內(nèi)的諸孤立奇點.例1計算積分解則例2計算解令極點為:(在單位圓內(nèi))(在單位圓外)例3解故積分有意義.因此若有理函數(shù)R(x)的分母至少比分子高兩次,并且函數(shù)在實軸上無孤立奇點.一般設(shè)分析可先討論最后令即可.二、形如的積分2.

積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化:取一條連接區(qū)間兩端的按段光滑曲線,使與區(qū)間一起構(gòu)成一條封閉曲線,并使R(z)在其內(nèi)部除有限孤立奇點外處處解析.(此法常稱為“圍道積分法”)1.

被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化:(當(dāng)z在實軸上的區(qū)間內(nèi)變動時,R(z)=R(x))可取

f(z)=R(z).xy..這里可補線(以原點為中心,R為半徑的在上半平面的半圓周)與一起構(gòu)成封閉曲線C,R(z)在C及其內(nèi)部(除去有限孤立奇點）處處解析.取R適當(dāng)大,使R(z)所有的在上半平面內(nèi)的極點都包在這積分路線內(nèi).根據(jù)留數(shù)定理得:當(dāng)充分大時,總可使例4計算積分解

在上半平面有二級極點一級極點xy..積分存在要求:R(x)是x的有理函數(shù)而分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高一次,并且R(z)在實軸上無孤立奇點.與曲線C,使R(z)所有的在上半平面內(nèi)的極點包在這積分路線內(nèi).同前一型:補線一起構(gòu)成封閉都三、形如的積分對于充分大的,且時,有從而由留數(shù)定理:例5計算積分解

在上半平面