兩條直線的夾角

兩條直線的夾角一、教學(xué)目的：分清直線l到直線l的角與直線l到直線l的角以及兩條直線l與l的夾角的區(qū)別122112與聯(lián)系。掌握直線l1到直線l2的角的計算公式掌握直線l］與直線l2的夾角的計算公式二、情感目標(biāo)：通過對兩直線的傾斜角與夾角的關(guān)系探索，找出夾角的正切值與兩直線斜率之間的關(guān)系；運用兩角差的正切公式，進一步滲透解析幾何的思想，即用代數(shù)運算解決幾何圖形問題;培養(yǎng)學(xué)生思維的縝密性、條理性、深刻性。三、教學(xué)重、難點：當(dāng)一條直線斜率不存在時，如何求解兩直線的夾角。根據(jù)題意正確使用夾角，到角公式，注意根據(jù)圖形進行舍解。四、教學(xué)過程：（一）引入：平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系有平行、重合和相交。我們分別用直線的代數(shù)形式去描述了它們的位置關(guān)系。在相交直線中特殊的位置關(guān)系是垂直，即兩條直線所成角為90。。因此，我們可以用兩直線的夾角大小來描述兩條相交直線的位置關(guān)系。平面上，兩條相交直線l和l構(gòu)成四個角，它們是兩對對頂角。為了區(qū)別這些角，通12常規(guī)定：直線〈繞著交點M按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到和12重合時所得到的角，叫做l］到12的角。直線l2繞著交點M按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到和l1重合時所得到的角，叫做匕到l1的角。當(dāng)l±l時，即l到l的角為90。Okk=-1或一條直線斜率為零，另一條直線斜121212率不存在。通過這充要條件啟發(fā)我們，l1到l2的角的大小是否也可以與l1、l2的斜率建立關(guān)系呢？（二）推導(dǎo)：

設(shè)兩條直線方程分別是/：y=kx+b，/.y=k2x+b2（ki如果k1k2"-1如果kik2如果k1k2"-1k=tga設(shè)/和l的傾斜角分別是以和a，則k=k=tga不論6=a2-a1或6=不論6=a2-a1或6=兀+(a-a)，21都有tg6=tg(a—a)=件2-tga1211+tgatga一條直線到另一條直線的角，可能不大于直角，也可能大于直角，如果只需要考慮不大于直角的角6（叫做兩條直線的夾角），那么有珀6=.2—。（6^90°）1+kk當(dāng)兩條直線平行或重合時，則它們的夾角是零度角，此時公式仍適用。（三）例題：例1求下列兩直線的夾角6。（1）〈:x+2y-5=0,七:2x-3y+1=0；（2）〈:x-3y-2=0,七:2y+3=0；（3）〈:x-5=0,12:2x+4y+3=0；小結(jié)：已知直線方程求夾角大小問題。第一小題求出直線斜率后直接套用夾角公式；第二小題其中一條直線斜率為零，既可以套用公式，又可以觀察圖像，顯然夾角不是傾斜角就是傾斜角的補角；第三小題其中一條直線斜率不存在，不能使用公式，只能觀察圖像，分析傾斜角與夾角的關(guān)系。例2求經(jīng)過點（-5,6）且與直線2x+2y-5=0的夾角為45°的直線方程。小結(jié)：已知夾角大小求直線方程問題。據(jù)題意直線過點（-5,6），因此只需確定直線斜率k，就可寫出直線的點斜式方程。由夾角公式可求出k的值。根據(jù)圖像特征，過一點必定會有兩條直線與已知直線的夾角成45度，這就提示我們必須解出兩個k的值。這道題一解k=0時，直線方程為y-6=0；另一解k不存在，意味著直線方程為x+5=0。而往往同學(xué)們會忽略后一個答案，認為k無解，直線方程就不存在。例3等腰ABC，底邊BC所在的直線方程是x+y=0，頂點A(2,3)，它的一條腰AB平行于直線x-4y+2=0，求另一條腰AC所在直線的方程。小結(jié)：本題也是運用夾角公式或到角公式求解直線方程的一種類型，它在題目的條件上比較隱蔽，沒有直接指出夾角的大小。而在解題過程中，我們也不需要知道夾角大小，只是利用夾角相等建立等式，求出所需直線的斜率，從而確定直線方程。(四)作業(yè)：練習(xí)冊P58、10、11五、反思：通過兩條相交直線所成角的大小來描述兩條相交直線的位置關(guān)系。之前同學(xué)們已經(jīng)接觸了互相垂直的直線，它們的斜率成積為-1。這一結(jié)論的得出，也是建立在觀察直線傾斜角與夾角的關(guān)系上的。因此同學(xué)們在尋找關(guān)系式時并不困難。而是在要求同學(xué)們用斜率去表示夾角時，大家陷入了沉默。顯然對高一所學(xué)的知識有所遺忘，經(jīng)提醒同學(xué)們能較快的接受兩角差的正切公式與兩直線斜率間的等式關(guān)系。對例題的選擇由淺入深，又簡到難。對于這一知識點，我認為解決兩方面的問題，一是已知直線方程求夾角大小問題；二是已知夾角大小求直線方程問題。首先，在第一道例題中第1、2小題使同學(xué)們先熟悉公式，加深公式在頭腦中的印象，第3小題是為了讓大家意識到公式不是萬能的，它是有局限的，比如直線斜率不存在或者兩直線斜率為負倒數(shù)等，因此還是要求同學(xué)們掌握數(shù)形結(jié)合的思想方法，從根本關(guān)系上入手，理解其本質(zhì)。其次，第二、三道例題就為應(yīng)用夾角公式去解直線方程的類型。應(yīng)該說公式人人都能記住，但很多同學(xué)在最終的結(jié)果上卻不能回答完整。這意味著同學(xué)們在思維過程中還不夠嚴(yán)密，往往會遺漏斜率不存在這一特殊的解。有時運用夾角公式解題比較難于讓人發(fā)現(xiàn)，比如，直線過點(1,0)，且被兩平行直線3x+y-6=0和3x+y+3=0所截的線段的長為9,求此直線的方程。數(shù)形結(jié)合的思想方法是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本思想方