二重積分的運(yùn)算

關(guān)于二重積分的運(yùn)算第一頁，共二十八頁，2022年，8月28日二重積分的計(jì)算方法是累次積分法，化二重積分為累次積分的步驟是：①作出積分區(qū)域的草圖②選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系③選定積分次序，定出積分限1。關(guān)于坐標(biāo)系的選擇這要從積分區(qū)域的形狀和被積函數(shù)的特點(diǎn)兩個方面來考慮一、主要內(nèi)容第二頁，共二十八頁，2022年，8月28日被積函數(shù)呈常用極坐標(biāo)其它以直角坐標(biāo)為宜2。關(guān)于積分次序的選擇選序原則①能積分，②少分片，③計(jì)算簡3。關(guān)于積分限的確定二重積分的面積元為正確定積分限時一定要保證下限小于上限積分區(qū)域?yàn)閳A形、扇形、圓環(huán)形第三頁，共二十八頁，2022年，8月28日看圖定限—穿越法定限和不等式定限先選序，后定限①直角坐標(biāo)系ⅰ。先

y

后

x

，過任一x∈[a

,b

],作平行于

y

軸的直線穿過D的內(nèi)部從D的下邊界曲線穿入—內(nèi)層積分的下限從上邊界曲線穿出—內(nèi)層積分的上限ⅱ。先x

后

y過任一

y∈[c,d]作平行于x

軸的直線定限第四頁，共二十八頁，2022年，8月28日左邊界——內(nèi)層積分的下限右邊界——內(nèi)層積分的上限則將D分成若干個簡單區(qū)域再按上述方法確定每一部分的上下限分片計(jì)算，結(jié)果相加②極坐標(biāo)系積分次序一般是過極點(diǎn)O作任一極角為的射線從D的邊界曲線穿入從穿出ⅲ。如D須分片第五頁，共二十八頁，2022年，8月28日——內(nèi)下限—內(nèi)上限具體可分為三種情況⑵極點(diǎn)在D的邊界上

是邊界在極點(diǎn)處的切線的極角絕大多數(shù)情況下為0⑶極點(diǎn)在D的內(nèi)部化累次積分后外限是常數(shù)內(nèi)限是外層積分變量的函數(shù)或常數(shù)極坐標(biāo)系下勿忘r⑴極點(diǎn)在D的外部第六頁，共二十八頁，2022年，8月28日4。關(guān)于對稱性利用對稱性來簡化重積分的計(jì)算是十分有效的，它與利用奇偶性來簡化定積分的計(jì)算是一樣的，不過重積分的情況比較復(fù)雜，在運(yùn)用對稱性是要兼顧被積分函數(shù)和積分區(qū)域兩個方面，不可誤用對①若D關(guān)于x

軸對稱第七頁，共二十八頁，2022年，8月28日第八頁，共二十八頁，2022年，8月28日②若D關(guān)于

y

軸對稱③若D關(guān)于原點(diǎn)對稱第九頁，共二十八頁，2022年，8月28日——稱為關(guān)于積分變量的輪換對稱性是多元積分所獨(dú)有的性質(zhì)奇函數(shù)關(guān)于對稱域的積分等于0，偶函數(shù)關(guān)于對稱域的積分等于對稱的部分區(qū)域上積分的兩倍，完全類似于對稱區(qū)間上奇偶函數(shù)的定積分的性質(zhì)簡述為“你對稱，我奇偶”①、②、③簡單地說就是④若D關(guān)于直線

y=x

對稱第十頁，共二十八頁，2022年，8月28日5關(guān)于二重積分的換元法f(x,y)在D上連續(xù)變換T：x=x(u,v),y=y(u,v)將uov

平面上的閉區(qū)域D1

變成

xoy

平面的閉區(qū)域D（1）x=x(u,v),y=y(u,v)在D1上具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)（2）在D1上第十一頁，共二十八頁，2022年，8月28日基本要求:變換后定限簡便，求積容易．注意第十二頁，共二十八頁，2022年，8月28日二、例題分析例1計(jì)算解積分區(qū)域由不等式給出在不等式中取等號所得的曲線是兩個半圓但它們圍不成區(qū)域都有意義必須限制因此D只能在x=0

，x=2之間確定了積分區(qū)域后，再看被積函數(shù)結(jié)合積分區(qū)域的特點(diǎn)，化成極坐標(biāo)計(jì)算較為簡單

第十三頁，共二十八頁，2022年，8月28日顯然r

呢？極點(diǎn)在D的邊界上，所以那就錯了不能以為極點(diǎn)O在區(qū)域的邊界上就誤以為對

r

積分的下限為0定r

的積分限，應(yīng)先固定以原點(diǎn)為起點(diǎn)作射線這射線和兩個半圓相交穿入從從穿出積分限如何確定第十四頁，共二十八頁，2022年，8月28日盡管極點(diǎn)在D的邊界上但極角為的射線并不是從極點(diǎn)穿入而不是域D的極坐標(biāo)表示為第十五頁，共二十八頁，2022年，8月28日解D關(guān)于x,y

軸及原點(diǎn)及

y=x

對稱故故例2計(jì)算第十六頁，共二十八頁，2022年，8月28日解例3計(jì)算D1D2第十七頁，共二十八頁，2022年，8月28日解D的邊界極點(diǎn)在D的邊界上圓周在(0,0)的切線斜率為故例4計(jì)算第十八頁，共二十八頁，2022年，8月28日例5計(jì)算D2D1解（和差化積）第十九頁，共二十八頁，2022年，8月28日例6設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù)求解D第二十頁，共二十八頁，2022年，8月28日試將二重積分化成定積分解由積分域和被積函數(shù)的對稱性有用極坐標(biāo)例7第二十一頁，共二十八頁，2022年，8月28日為將二次積分化為所需要的定積分，須變換積分次序DD1第二十二頁，共二十八頁，2022年，8月28日依題意，要化為定積分首先應(yīng)設(shè)法將二元函數(shù)化為一元函數(shù)自然想到用極坐標(biāo)其次，若先對

r

后對不可進(jìn)一步化為定積分又想到換序例8設(shè)

f(x)連續(xù)，證明注第二十三頁，共二十八頁，2022年，8月28日證一令則uv第二十四頁