集合與函數(shù)北京交大課件

1集合(set)小結(jié)思考題作業(yè)函數(shù)(function)1.1集合與函數(shù)第1章函數(shù)1集合(set)小結(jié)思考題作業(yè)函數(shù)(functi具有某種特定性質(zhì)的事物的總體.組成這個集合的事物稱為該一、集合

集合元素(簡稱元)(集)元素(element).集合的通常以大寫字母等表示集合,以小寫字母等表示集合的元素.否則記記作或若a是A的元素,則說a屬于A,1.1集合與函數(shù)空集.不含任何元素的集合稱為1.集合(set)的概念2具有某種特定性質(zhì)的事物的總體.組成這個集合的事物稱為該一、集3集合分類有限集無限集只含有限個元素;不是有限集的集合.列舉法表示集合方法有兩種描述法

把集合的全部元素一一列出來,例考察由下列元素0,1,2,3,4,5,6,7,8,9可以用列舉法將其表示成列舉法有很大的局限性.組成的集合A,外加花括號.1.1集合與函數(shù)3集合分類有限集無限集只含有限個元素;不是有限集的集合.列舉1.1集合與函數(shù)4如:由不超過1010的奇數(shù)組成的集合,其元素有50億個,要把它們?nèi)繉懗鰜?且有很多集合,其元素是很多紙張!根本無法一一羅列出來.得用很多時間,不可數(shù)的,

更常用的是列出規(guī)定這個集合特定性質(zhì)P就是描述法.花括號中豎線前的x而豎線后是M中元素的通用符號,則是x所具有的性質(zhì).

的辦法來表示集合,可用列舉法表示為的根組成的集合也可用描述法表示為例由方程1.1集合與函數(shù)4如:由不超過1010的奇數(shù)組成的集合,其52.區(qū)間(interval)區(qū)間是指介于某兩個實數(shù)之間的全體實數(shù).稱為稱為這兩個實數(shù)叫做區(qū)間的端點.開區(qū)間,閉區(qū)間,1.1集合與函數(shù)52.區(qū)間(interval)區(qū)間是指介于某兩個實數(shù)之間的6稱為有限區(qū)間無限區(qū)間半開半閉區(qū)間.全體實數(shù)的集合R也可記作是無限區(qū)間.1.1集合與函數(shù)6稱為有限區(qū)間無限區(qū)間半開半閉區(qū)間.全體實數(shù)的集合R也可記73.鄰域(neighborhood)

數(shù)集即

鄰域,

記作幾何表示1.1集合與函數(shù)73.鄰域(neighborhood)數(shù)集即鄰域,記8

有時簡記為去心(空心)

即點a的稱為a的稱為a的1.1集合與函數(shù)8有時簡記為去心(空心)即點a的稱為a的稱為a的1.194.邏輯符號

在邏輯推理過程中最常用的兩個邏輯記號“”表示“任取”,或“任意給定”.“”表示或“能夠找到”.

如實數(shù)的阿基米德公理是這樣敘述的:任意給定兩個正的實數(shù)a,b,都存在一個自然數(shù)n,用邏輯符號將阿基米德公理改寫:Any(每一個)或All(所有的)的字頭A的倒寫Exist(存在)的字頭E的倒寫練習1.1集合與函數(shù)“存在”,“至少存在一個”,94.邏輯符號在邏輯推理過程中最常用的兩個10二、函數(shù)(function)1.1集合與函數(shù)

定義設有兩個變量x和y,自變量因變量定義域記作變量y的取值的集合稱為函數(shù)的值域(range),即x的變化域為D,如果對于D中的每一個x值,按照一定的法則f,變量y總有唯一的數(shù)值與之對應,則稱y為x的函數(shù)(function),1.函數(shù)概念10二、函數(shù)(function)1.1集合與函數(shù)定義設有11注(1)

函數(shù)的記號:除常用的f外,可任意選取,如相應地,函數(shù)可記作:等,等,也可記作:在同一個問題中,討論到幾個不同的函數(shù)時,則必須用不同的記號分別表示這些函數(shù),以示區(qū)別.1.1集合與函數(shù)11注(1)函數(shù)的記號:除常用的f外,可任意選取,如相應12(2)

對應的函數(shù)值y總是唯一的,否則稱為如是多值函數(shù),它的兩個單值分支是:單值函數(shù),多值函數(shù).約定:今后無特別說明時,函數(shù)是指單值函數(shù).這種函數(shù)稱為(3)構(gòu)成函數(shù)的是兩個不同的函數(shù).(因為定義域不同).如定義域Df與對應法則f.兩個要素:1.1集合與函數(shù)12(2)對應的函數(shù)值y總是唯一的,否則稱為如是多值函數(shù),13

函數(shù)的表示法只與定義域和對應法則有關(guān),即簡稱函數(shù)表示法的(4)而與用什么字母無關(guān),無關(guān)特性.1.1集合與函數(shù)13函數(shù)的表示法只與定義域和對應法則有關(guān),即簡稱函數(shù)表示法14定義域一般有兩種:(1)自變量所能取的使算式有意義的一切由問題的實際意義所確定.(2)實際問題(幾何或物理問題);在純數(shù)學的研究中(函數(shù)由一個公式實數(shù)組成的集合,這種定義域稱為自然定義域.表示的).1.1集合與函數(shù)14定義域一般有兩種:(1)自變量所能取的使算式有意義的一切15例求下列函數(shù)的定義域:解定義域是定義域是1.1集合與函數(shù)15例求下列函數(shù)的定義域:解定義域是定義域是1.1集合與函16常用的函數(shù)關(guān)系表示法是多種多樣的.公式法(解析法);主要有三種形式表格法.各種表示法,都有其優(yōu)點和不足.

圖形法;公式法(解析法)圖形法表格法今后以公式法為主,便于進行理論分析和計算;形象直觀,富有啟發(fā)性,便于記憶;便于查找函數(shù)值,但它常常是不完全的.也可用語言描述.配合使用圖形法和表格法.需特別指出的是,公式法不一定僅用一個公式表示函數(shù).1.1集合與函數(shù)16常用的函數(shù)關(guān)系表示法是多種多樣的.公式法(解析法);主17例某商店對一種商品的售價規(guī)定如下:購買量有些函數(shù)分段函數(shù).稱為函數(shù)關(guān)系也不同,除了可用一個數(shù)學式子表示函數(shù)外,隨著自變量取不同的值,這種函數(shù)不超過5千克時,每千克0.8元;購買量大于5千克而不超過10千克時,若購買x千克的費用記為f(x),

則購買量大于10千克時,超過10千克部分每千克0.4元,元;在自然科學、工程技術(shù)和經(jīng)濟學中,經(jīng)常會遇到分段函數(shù)的情形.其中超過5千克部分優(yōu)惠價每千克0.61.1集合與函數(shù)17例某商店對一種商品的售價規(guī)定如下:購買量有些函數(shù)分段函18

用分段函數(shù)表示函數(shù)分段函數(shù)在其整個定義域上是一個函數(shù),答案:即注而不是幾個函數(shù)!13.練習并畫出其圖形.1.1集合與函數(shù)18用分段函數(shù)表示函數(shù)分段函數(shù)在其整個定義域上是一個函數(shù),19幾個今后常引用的函數(shù)絕對值函數(shù)例

定義域值域1.1集合與函數(shù)19幾個今后常引用的函數(shù)絕對值函數(shù)例定義域值域1.1集合20符號函數(shù)

定義域值域?qū)谢?.1集合與函數(shù)20符號函數(shù)定義域值域?qū)谢?.1集合與函數(shù)21

取整函數(shù)如例階梯曲線

定義域值域表示不超過x的最大整數(shù)R=Z1.1集合與函數(shù)21取整函數(shù)如例階梯曲線定義域值域表示不超過x的最22例狄利克雷(Dirichlet)函數(shù)狄利克雷(德)1805-1859(x為有理函數(shù))(x為無理函數(shù))

定義域值域由于有理數(shù)和無理數(shù)在實數(shù)集中稠密,因此只能畫出它的象征性的圖像.有理數(shù)點無理數(shù)點1.1集合與函數(shù)22例狄利克雷(Dirichlet)函數(shù)狄利克雷(德)180例

取最值函數(shù)yxoyxo例取最值函數(shù)yxoyxo24有界性

(bounded)設函數(shù)y=

f(x)在區(qū)間I上有定義,則說f(x)在區(qū)間I上有上界.(下)使得對所有若存在常數(shù)A都有(B),3.函數(shù)的幾種特性1.1集合與函數(shù)24有界性(bounded)設函數(shù)y=f(x)在區(qū)間25

若存在常數(shù)使得對所有則稱f(x)在I上有界.在I上無界;都有

若這樣的M不存在,則稱f(x)即為對于任何

總存在使則稱f(x)在I上無界.有界無界1.1集合與函數(shù)25若存在常數(shù)使得對所有則稱f(x)在I上有界26在定義域上有界的函數(shù)叫做例是有界函數(shù);是無界函數(shù),但它在區(qū)間在區(qū)間

注

一定要把區(qū)間明確出來!顯然,(boundedfunction)有界函數(shù).有界等同于既有上界又有下界.有下界,有界.

若f(x)在I上有界,不是唯一的.則它在I上的上界和下界均1.1集合與函數(shù)26在定義域上有界的函數(shù)叫做例是有界函數(shù);是無界函數(shù),但它在27練習A.有上界無下界B.

有下界無上界C.有界,D.

有界且解C[解題提示]將函數(shù)取絕對值,然后用不等式放縮法.1.1集合與函數(shù)27練習A.有上界無下界B.有下界無上界C.有界,D28單調(diào)性單調(diào)增加;如果對恒有

設函數(shù)f(x)的定義域為D,

區(qū)間則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是1.1集合與函數(shù)28單調(diào)性單調(diào)增加;如果對恒有設函數(shù)f(x)的定義域為29

注

應指明單調(diào)區(qū)間,否則會產(chǎn)生錯誤.單調(diào)減少.如果對恒有monotonedecreasing

設函數(shù)f(x)的定義域為D,

區(qū)間則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是1.1集合與函數(shù)29注應指明單調(diào)區(qū)間,否則會產(chǎn)生錯誤.30奇偶性偶函數(shù)的圖形稱f(x)為偶函數(shù));

設D關(guān)于原點對稱,1.1集合與函數(shù)30奇偶性偶函數(shù)的圖形稱f(x)為偶函數(shù));設D關(guān)于31奇函數(shù)的圖形稱f(x)為奇函數(shù).

設D關(guān)于原點對稱,1.1集合與函數(shù)31奇函數(shù)的圖形稱f(x)為奇函數(shù).設D關(guān)于原點對稱,1奇偶函數(shù)的運算性質(zhì):(1)兩個奇(偶)函數(shù)的和仍為奇(偶)函數(shù);(2)兩個奇(偶)函數(shù)的乘積為偶函數(shù);(3)偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積為奇函數(shù).練習判別下列函數(shù)的奇偶性:奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)的奇偶函數(shù)的運算性質(zhì):(1)兩個奇(偶)函數(shù)的和仍為奇(偶)33周期性(periodicity)的周期.周期函數(shù)(periodfunction).如果存在一個正數(shù)T,且總有T稱為f(x)通常稱周期函數(shù)的周期是指最小正周期.周期為T的周期函數(shù)設函數(shù)f(x)的定義域為D,則稱f(x)是1.1集合與函數(shù)33周期性(periodicity)的周期.周期函數(shù)(per344.生成新函數(shù)的幾種運算(1)設函數(shù)f(x),g(x)的定義域分別為D1,D2,則可定義這兩個函數(shù)的下列運算和(差)積商且線性組合為實數(shù),1.1集合與函數(shù)而生成新的函數(shù):344.生成新函數(shù)的幾種運算(1)設函數(shù)f(x)35設函數(shù)y=f(x)的值域為Y,則稱變量x為變量y的函數(shù),記為(2)定義反函數(shù)(inversefunction)如果對于Y中任一y值,從關(guān)系式y(tǒng)=f(x)中可確定唯一的一個稱為函數(shù)y=f(x)的反函數(shù),習慣上y=f(x)的反函數(shù)記為x值,1.1集合與函數(shù)35設函數(shù)y=f(x)的值域為Y,則稱變量x為變量y36求反函數(shù)的步驟求函數(shù)的反函數(shù)

y=f-1(x).(1)把x從方程y=f(x)中解出;(2)把剛才所得的表達式中的x與y對換,即得所注意(1)y=f(x)的圖形與其反函數(shù)

x=f-1(y)的圖形y=f(x)的圖形與其反函數(shù)

y=f-1(x)的圖形直線對稱.(2)只有一一對應的函數(shù)才有反函數(shù).重合;關(guān)于

yx1.1集合與函數(shù)36求反函數(shù)的步驟求函數(shù)的反函數(shù)y=f-1(x).(37

直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形直線對稱.關(guān)于1.1集合與函數(shù)37直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形直線對稱.關(guān)于1.1集合與函數(shù)38如其反函數(shù)為指數(shù)函數(shù)定義域為值域為寫成注并不是所有函數(shù)都存在反函數(shù).如函數(shù)定義域為值域為但對都有兩個和與之對應,x不是y的函數(shù),不存在反函數(shù).并稱為對數(shù)函數(shù).1.1集合與函數(shù)38如其反函數(shù)為指數(shù)函數(shù)定義域為值域為寫成注并不是所有函數(shù)都39

定義設函數(shù)y=f(u)的定義域為Df,而函數(shù)若則稱函數(shù)u=g(x)的值域為Rg,

y=f[g(x)]為x的復合函數(shù).

x為自變量,

u為中間變量,

y為因變量.1.1集合與函數(shù)

也可記作:(3)復合函數(shù)39定義設函數(shù)y=f(u)的定義域為Df,而函數(shù)1.1集合與函數(shù)40(1)

并非任何兩個函數(shù)都能復合成為復合函數(shù);(2)

復合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復合注因為不能構(gòu)成復合函數(shù).的定義域Df是的值域Wg是構(gòu)成.設函數(shù)y=f(u)的定義域為Df,而函數(shù)u=g(x)則稱函數(shù)y=f[g(x)]的值域為Rg,為x的復合函數(shù).1.1集合與函數(shù)40(1)并非任何兩個函數(shù)都能復合成為復41

復合函數(shù)的分解(復合函數(shù)拆成幾個簡單函數(shù)),由函數(shù)的最外層運算一層層剝到最里邊,切不可漏層.如u,v都是中間變量.復合函數(shù)的定義域是即而不是的定義域剝皮法1.1集合與函數(shù)41復合函數(shù)的分解(復合函數(shù)拆成幾個簡單函數(shù)),由函數(shù)的例解例解綜上所述先外后內(nèi)法綜上所述先外后內(nèi)法法2（先內(nèi)后外法）法2（先內(nèi)后外法）451)

冪函數(shù)(powerfunction)

定義域與的取值有關(guān).5.初等函數(shù)(elementaryfunction)(basicelementaryfunction)(1)基本初等函數(shù)1.1集合與函數(shù)451)冪函數(shù)(powerfunction)定義域與462)指數(shù)函數(shù)定義域為值域為1.1集合與函數(shù)462)指數(shù)函數(shù)定義域為值域為1.1集合與函數(shù)473)對數(shù)函數(shù)定義域為值域為1.1集合與函數(shù)473)對數(shù)函數(shù)定義域為值域為1.1集合與函數(shù)484)三角函數(shù)正弦函數(shù)定義域為值域為1.1集合與函數(shù)484)三角函數(shù)正弦函數(shù)定義域為值域為1.1集合與函數(shù)49余弦函數(shù)定義域為值域為1.1集合與函數(shù)49余弦函數(shù)定義域為值域為1.1集合與函數(shù)50正切函數(shù)余切函數(shù)定義域值域定義域值域1.1集合與函數(shù)50正切函數(shù)余切函數(shù)定義域值域定義域值域1.1集合與函數(shù)51三角函數(shù)常用公式1.1集合與函數(shù)51三角函數(shù)常用公式1.1集合與函數(shù)525)反三角函數(shù)定義域值域

主值反正弦函數(shù)反三角函數(shù)都是多值函數(shù).但是,可以選取這些函數(shù)的單值支.1.1集合與函數(shù)525)反三角函數(shù)定義域值域主值反正弦函數(shù)反三角函數(shù)都是53定義域值域

主值反余弦函數(shù)1.1集合與函數(shù)53定義域值域主值反余弦函數(shù)1.1集合與函數(shù)54

主值定義域值域反正切函數(shù)反余切函數(shù)

主值定義域值域

冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).1.1集合與函數(shù)54主值定義域值域反正切函數(shù)反余切函數(shù)主值定義域值域55(2)初等函數(shù)(elementaryfunction)初等函數(shù).如都是初等函數(shù).不是初等函數(shù).

由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算(加、減、乘、除)和有限次的函數(shù)復合步驟所構(gòu)成并可用一個式子表示的函數(shù),稱為1.1集合與函數(shù)55(2)初等函數(shù)(elementaryfunction56注一般分段函數(shù)不叫初等函數(shù),想一想

可看作分段函數(shù),是否又可看作是初等函數(shù)?答:故又可看作是初等函數(shù).是!由于它不是用一個式子表達出來的.因為1.1集合與函數(shù)56注一般分段函數(shù)不叫初等函數(shù),想一想可看作分段函數(shù),57奇函數(shù).偶函數(shù).1)雙曲函數(shù)

疊加法(3)雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)雙曲正弦雙曲余弦1.1集合與函數(shù)57奇函數(shù).偶函數(shù).1)雙曲函數(shù)疊加法(3)雙曲函58奇函數(shù),有界函數(shù),雙曲正切1.1集合與函數(shù)58奇函數(shù),有界函數(shù),雙曲正切1.1集合與函數(shù)雙曲函數(shù)常用公式雙曲函數(shù)常用公式602)反雙曲函數(shù)奇函數(shù),可得

反雙曲正弦單調(diào)增加.1.1集合與函數(shù)602)反雙曲函數(shù)奇函數(shù),可得反雙曲正弦單調(diào)增加.1.161

反雙曲余弦單調(diào)增加.1.1集合與函數(shù)61反雙曲余弦單調(diào)增加.1.1集合與函數(shù)62寫在最后成功的基礎在于好的學習習慣Thefoundationofsuccessliesingoodhabits62寫在最后成功的基礎在于好的學習習慣謝謝大家榮幸這一路，與你同行It'SAnHonorToWalkWithYouAllTheWay講師：XXXXXXXX年XX月XX日

謝謝大家講師：XXXXXX6364集合(set)小結(jié)思考題作業(yè)函數(shù)(function)1.1集合與函數(shù)第1章函數(shù)1集合(set)小結(jié)思考題作業(yè)函數(shù)(functi具有某種特定性質(zhì)的事物的總體.組成這個集合的事物稱為該一、集合

集合元素(簡稱元)(集)元素(element).集合的通常以大寫字母等表示集合,以小寫字母等表示集合的元素.否則記記作或若a是A的元素,則說a屬于A,1.1集合與函數(shù)空集.不含任何元素的集合稱為1.集合(set)的概念65具有某種特定性質(zhì)的事物的總體.組成這個集合的事物稱為該一、集66集合分類有限集無限集只含有限個元素;不是有限集的集合.列舉法表示集合方法有兩種描述法

把集合的全部元素一一列出來,例考察由下列元素0,1,2,3,4,5,6,7,8,9可以用列舉法將其表示成列舉法有很大的局限性.組成的集合A,外加花括號.1.1集合與函數(shù)3集合分類有限集無限集只含有限個元素;不是有限集的集合.列舉1.1集合與函數(shù)67如:由不超過1010的奇數(shù)組成的集合,其元素有50億個,要把它們?nèi)繉懗鰜?且有很多集合,其元素是很多紙張!根本無法一一羅列出來.得用很多時間,不可數(shù)的,

更常用的是列出規(guī)定這個集合特定性質(zhì)P就是描述法.花括號中豎線前的x而豎線后是M中元素的通用符號,則是x所具有的性質(zhì).

的辦法來表示集合,可用列舉法表示為的根組成的集合也可用描述法表示為例由方程1.1集合與函數(shù)4如:由不超過1010的奇數(shù)組成的集合,其682.區(qū)間(interval)區(qū)間是指介于某兩個實數(shù)之間的全體實數(shù).稱為稱為這兩個實數(shù)叫做區(qū)間的端點.開區(qū)間,閉區(qū)間,1.1集合與函數(shù)52.區(qū)間(interval)區(qū)間是指介于某兩個實數(shù)之間的69稱為有限區(qū)間無限區(qū)間半開半閉區(qū)間.全體實數(shù)的集合R也可記作是無限區(qū)間.1.1集合與函數(shù)6稱為有限區(qū)間無限區(qū)間半開半閉區(qū)間.全體實數(shù)的集合R也可記703.鄰域(neighborhood)

數(shù)集即

鄰域,

記作幾何表示1.1集合與函數(shù)73.鄰域(neighborhood)數(shù)集即鄰域,記71

有時簡記為去心(空心)

即點a的稱為a的稱為a的1.1集合與函數(shù)8有時簡記為去心(空心)即點a的稱為a的稱為a的1.1724.邏輯符號

在邏輯推理過程中最常用的兩個邏輯記號“”表示“任取”,或“任意給定”.“”表示或“能夠找到”.

如實數(shù)的阿基米德公理是這樣敘述的:任意給定兩個正的實數(shù)a,b,都存在一個自然數(shù)n,用邏輯符號將阿基米德公理改寫:Any(每一個)或All(所有的)的字頭A的倒寫Exist(存在)的字頭E的倒寫練習1.1集合與函數(shù)“存在”,“至少存在一個”,94.邏輯符號在邏輯推理過程中最常用的兩個73二、函數(shù)(function)1.1集合與函數(shù)

定義設有兩個變量x和y,自變量因變量定義域記作變量y的取值的集合稱為函數(shù)的值域(range),即x的變化域為D,如果對于D中的每一個x值,按照一定的法則f,變量y總有唯一的數(shù)值與之對應,則稱y為x的函數(shù)(function),1.函數(shù)概念10二、函數(shù)(function)1.1集合與函數(shù)定義設有74注(1)

函數(shù)的記號:除常用的f外,可任意選取,如相應地,函數(shù)可記作:等,等,也可記作:在同一個問題中,討論到幾個不同的函數(shù)時,則必須用不同的記號分別表示這些函數(shù),以示區(qū)別.1.1集合與函數(shù)11注(1)函數(shù)的記號:除常用的f外,可任意選取,如相應75(2)

對應的函數(shù)值y總是唯一的,否則稱為如是多值函數(shù),它的兩個單值分支是:單值函數(shù),多值函數(shù).約定:今后無特別說明時,函數(shù)是指單值函數(shù).這種函數(shù)稱為(3)構(gòu)成函數(shù)的是兩個不同的函數(shù).(因為定義域不同).如定義域Df與對應法則f.兩個要素:1.1集合與函數(shù)12(2)對應的函數(shù)值y總是唯一的,否則稱為如是多值函數(shù),76

函數(shù)的表示法只與定義域和對應法則有關(guān),即簡稱函數(shù)表示法的(4)而與用什么字母無關(guān),無關(guān)特性.1.1集合與函數(shù)13函數(shù)的表示法只與定義域和對應法則有關(guān),即簡稱函數(shù)表示法77定義域一般有兩種:(1)自變量所能取的使算式有意義的一切由問題的實際意義所確定.(2)實際問題(幾何或物理問題);在純數(shù)學的研究中(函數(shù)由一個公式實數(shù)組成的集合,這種定義域稱為自然定義域.表示的).1.1集合與函數(shù)14定義域一般有兩種:(1)自變量所能取的使算式有意義的一切78例求下列函數(shù)的定義域:解定義域是定義域是1.1集合與函數(shù)15例求下列函數(shù)的定義域:解定義域是定義域是1.1集合與函79常用的函數(shù)關(guān)系表示法是多種多樣的.公式法(解析法);主要有三種形式表格法.各種表示法,都有其優(yōu)點和不足.

圖形法;公式法(解析法)圖形法表格法今后以公式法為主,便于進行理論分析和計算;形象直觀,富有啟發(fā)性,便于記憶;便于查找函數(shù)值,但它常常是不完全的.也可用語言描述.配合使用圖形法和表格法.需特別指出的是,公式法不一定僅用一個公式表示函數(shù).1.1集合與函數(shù)16常用的函數(shù)關(guān)系表示法是多種多樣的.公式法(解析法);主80例某商店對一種商品的售價規(guī)定如下:購買量有些函數(shù)分段函數(shù).稱為函數(shù)關(guān)系也不同,除了可用一個數(shù)學式子表示函數(shù)外,隨著自變量取不同的值,這種函數(shù)不超過5千克時,每千克0.8元;購買量大于5千克而不超過10千克時,若購買x千克的費用記為f(x),

則購買量大于10千克時,超過10千克部分每千克0.4元,元;在自然科學、工程技術(shù)和經(jīng)濟學中,經(jīng)常會遇到分段函數(shù)的情形.其中超過5千克部分優(yōu)惠價每千克0.61.1集合與函數(shù)17例某商店對一種商品的售價規(guī)定如下:購買量有些函數(shù)分段函81

用分段函數(shù)表示函數(shù)分段函數(shù)在其整個定義域上是一個函數(shù),答案:即注而不是幾個函數(shù)!13.練習并畫出其圖形.1.1集合與函數(shù)18用分段函數(shù)表示函數(shù)分段函數(shù)在其整個定義域上是一個函數(shù),82幾個今后常引用的函數(shù)絕對值函數(shù)例

定義域值域1.1集合與函數(shù)19幾個今后常引用的函數(shù)絕對值函數(shù)例定義域值域1.1集合83符號函數(shù)

定義域值域?qū)谢?.1集合與函數(shù)20符號函數(shù)定義域值域?qū)谢?.1集合與函數(shù)84

取整函數(shù)如例階梯曲線

定義域值域表示不超過x的最大整數(shù)R=Z1.1集合與函數(shù)21取整函數(shù)如例階梯曲線定義域值域表示不超過x的最85例狄利克雷(Dirichlet)函數(shù)狄利克雷(德)1805-1859(x為有理函數(shù))(x為無理函數(shù))

定義域值域由于有理數(shù)和無理數(shù)在實數(shù)集中稠密,因此只能畫出它的象征性的圖像.有理數(shù)點無理數(shù)點1.1集合與函數(shù)22例狄利克雷(Dirichlet)函數(shù)狄利克雷(德)180例

取最值函數(shù)yxoyxo例取最值函數(shù)yxoyxo87有界性

(bounded)設函數(shù)y=

f(x)在區(qū)間I上有定義,則說f(x)在區(qū)間I上有上界.(下)使得對所有若存在常數(shù)A都有(B),3.函數(shù)的幾種特性1.1集合與函數(shù)24有界性(bounded)設函數(shù)y=f(x)在區(qū)間88

若存在常數(shù)使得對所有則稱f(x)在I上有界.在I上無界;都有

若這樣的M不存在,則稱f(x)即為對于任何

總存在使則稱f(x)在I上無界.有界無界1.1集合與函數(shù)25若存在常數(shù)使得對所有則稱f(x)在I上有界89在定義域上有界的函數(shù)叫做例是有界函數(shù);是無界函數(shù),但它在區(qū)間在區(qū)間

注

一定要把區(qū)間明確出來!顯然,(boundedfunction)有界函數(shù).有界等同于既有上界又有下界.有下界,有界.

若f(x)在I上有界,不是唯一的.則它在I上的上界和下界均1.1集合與函數(shù)26在定義域上有界的函數(shù)叫做例是有界函數(shù);是無界函數(shù),但它在90練習A.有上界無下界B.

有下界無上界C.有界,D.

有界且解C[解題提示]將函數(shù)取絕對值,然后用不等式放縮法.1.1集合與函數(shù)27練習A.有上界無下界B.有下界無上界C.有界,D91單調(diào)性單調(diào)增加;如果對恒有

設函數(shù)f(x)的定義域為D,

區(qū)間則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是1.1集合與函數(shù)28單調(diào)性單調(diào)增加;如果對恒有設函數(shù)f(x)的定義域為92

注

應指明單調(diào)區(qū)間,否則會產(chǎn)生錯誤.單調(diào)減少.如果對恒有monotonedecreasing

設函數(shù)f(x)的定義域為D,

區(qū)間則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是1.1集合與函數(shù)29注應指明單調(diào)區(qū)間,否則會產(chǎn)生錯誤.93奇偶性偶函數(shù)的圖形稱f(x)為偶函數(shù));

設D關(guān)于原點對稱,1.1集合與函數(shù)30奇偶性偶函數(shù)的圖形稱f(x)為偶函數(shù));設D關(guān)于94奇函數(shù)的圖形稱f(x)為奇函數(shù).

設D關(guān)于原點對稱,1.1集合與函數(shù)31奇函數(shù)的圖形稱f(x)為奇函數(shù).設D關(guān)于原點對稱,1奇偶函數(shù)的運算性質(zhì):(1)兩個奇(偶)函數(shù)的和仍為奇(偶)函數(shù);(2)兩個奇(偶)函數(shù)的乘積為偶函數(shù);(3)偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積為奇函數(shù).練習判別下列函數(shù)的奇偶性:奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)的奇偶函數(shù)的運算性質(zhì):(1)兩個奇(偶)函數(shù)的和仍為奇(偶)96周期性(periodicity)的周期.周期函數(shù)(periodfunction).如果存在一個正數(shù)T,且總有T稱為f(x)通常稱周期函數(shù)的周期是指最小正周期.周期為T的周期函數(shù)設函數(shù)f(x)的定義域為D,則稱f(x)是1.1集合與函數(shù)33周期性(periodicity)的周期.周期函數(shù)(per974.生成新函數(shù)的幾種運算(1)設函數(shù)f(x),g(x)的定義域分別為D1,D2,則可定義這兩個函數(shù)的下列運算和(差)積商且線性組合為實數(shù),1.1集合與函數(shù)而生成新的函數(shù):344.生成新函數(shù)的幾種運算(1)設函數(shù)f(x)98設函數(shù)y=f(x)的值域為Y,則稱變量x為變量y的函數(shù),記為(2)定義反函數(shù)(inversefunction)如果對于Y中任一y值,從關(guān)系式y(tǒng)=f(x)中可確定唯一的一個稱為函數(shù)y=f(x)的反函數(shù),習慣上y=f(x)的反函數(shù)記為x值,1.1集合與函數(shù)35設函數(shù)y=f(x)的值域為Y,則稱變量x為變量y99求反函數(shù)的步驟求函數(shù)的反函數(shù)

y=f-1(x).(1)把x從方程y=f(x)中解出;(2)把剛才所得的表達式中的x與y對換,即得所注意(1)y=f(x)的圖形與其反函數(shù)

x=f-1(y)的圖形y=f(x)的圖形與其反函數(shù)

y=f-1(x)的圖形直線對稱.(2)只有一一對應的函數(shù)才有反函數(shù).重合;關(guān)于

yx1.1集合與函數(shù)36求反函數(shù)的步驟求函數(shù)的反函數(shù)y=f-1(x).(100

直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形直線對稱.關(guān)于1.1集合與函數(shù)37直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形直線對稱.關(guān)于1.1集合與函數(shù)101如其反函數(shù)為指數(shù)函數(shù)定義域為值域為寫成注并不是所有函數(shù)都存在反函數(shù).如函數(shù)定義域為值域為但對都有兩個和與之對應,x不是y的函數(shù),不存在反函數(shù).并稱為對數(shù)函數(shù).1.1集合與函數(shù)38如其反函數(shù)為指數(shù)函數(shù)定義域為值域為寫成注并不是所有函數(shù)都102

定義設函數(shù)y=f(u)的定義域為Df,而函數(shù)若則稱函數(shù)u=g(x)的值域為Rg,

y=f[g(x)]為x的復合函數(shù).

x為自變量,

u為中間變量,

y為因變量.1.1集合與函數(shù)

也可記作:(3)復合函數(shù)39定義設函數(shù)y=f(u)的定義域為Df,而函數(shù)1.1集合與函數(shù)103(1)

并非任何兩個函數(shù)都能復合成為復合函數(shù);(2)

復合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復合注因為不能構(gòu)成復合函數(shù).的定義域Df是的值域Wg是構(gòu)成.設函數(shù)y=f(u)的定義域為Df,而函數(shù)u=g(x)則稱函數(shù)y=f[g(x)]的值域為Rg,為x的復合函數(shù).1.1集合與函數(shù)40(1)并非任何兩個函數(shù)都能復合成為復104

復合函數(shù)的分解(復合函數(shù)拆成幾個簡單函數(shù)),由函數(shù)的最外層運算一層層剝到最里邊,切不可漏層.如u,v都是中間變量.復合函數(shù)的定義域是即而不是的定義域剝皮法1.1集合與函數(shù)41復合函數(shù)的分解(復合函數(shù)拆成幾個簡單函數(shù)),由函數(shù)的例解例解綜上所述先外后內(nèi)法綜上所述先外后內(nèi)法法