減肥的數(shù)學(xué)模型課件

隨著社會的進步和發(fā)展，人們的生活水平不斷提高。由于飲食營養(yǎng)攝入量的不斷改善和提高，“肥胖”已經(jīng)成為全社會關(guān)注的一個重要問題。無論從健康角度還是從審美角度，人們越來越重視自己形體的健美，從而就導(dǎo)致目前社會上出現(xiàn)了各種各樣的減肥食品（或營養(yǎng)素）、減肥飲料、減肥服裝、減肥藥和名目繁多的健美中心，讓人目不暇接，不知所措，上當(dāng)受騙者也不在少數(shù).問題的提出隨著社會的進步和發(fā)展，人們的生活水平不斷提以至各種媒體經(jīng)常提醒人們減肥一定要慎重，如何對待減肥是我們一定要正確對待的問題，于是了解減肥的機理成為減肥的關(guān)鍵。此外，對于從事某些體育項目的運動員（例如：舉重、體操、游泳等）來說，在比賽前也有都一個正確減肥的問題。以至各種媒體經(jīng)常提醒人們減肥一定要慎重，如何對待減肥是我們一根據(jù)中國科學(xué)會修訂并建議的我國人民的每日膳食指南可知：每日膳食中，營養(yǎng)素的供給量是作為保證正常人體健康而提出的膳食質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)。營養(yǎng)素的需求量系指維持身體正常的生理功能所需要的營養(yǎng)素的數(shù)量。如果人們在飲食中攝入營養(yǎng)素的數(shù)量低于這個數(shù)量，將對身體產(chǎn)生不利的影響。

背景知識根據(jù)中國科學(xué)會修訂并建議的我國人民的每日膳食人體的體重是評定膳食能量攝入適當(dāng)與否的重要標(biāo)志。人們熱能需要量的多少，主要取決于三個方面：維持人們基本代謝所需的能量、從事勞動和其他活動所消耗的能量以及食物的特殊動力作用（將食物轉(zhuǎn)化為人體所需的能量）所消耗的能量。一般情況下，成年男子每1kg體重每小時平均消耗熱量為4200J。一般情況下，食用普通的混合膳食，食物的特殊動力作用所需要的額外的能量消耗相當(dāng)于基礎(chǔ)代謝的10%。人體的體重是評定膳食能量攝入適當(dāng)與否的重要標(biāo)志。人體的脂肪是存儲和提供能量的主要方式，而且也是減肥的主要目標(biāo)。對于一個成年人來說體重主要有三部分組成：骨骼、水和脂肪。骨骼和水大體上可以認為是不變的，我們不妨以人體脂肪的重量作為體重的標(biāo)志。已知脂肪的能量轉(zhuǎn)換率為100%，每千克脂肪可以轉(zhuǎn)換為J的能量。記D=J/kg，成為脂肪的能量轉(zhuǎn)換系數(shù)。問題分析與模型假設(shè)人體的脂肪是存儲和提供能量的主要方式，而且也是減肥的主要目標(biāo)人的體重僅僅看成是時間t的函數(shù)w(t)，而與其它因素?zé)o關(guān)，這意味著在研究減肥過程中，我們忽略了個體的差異(年齡、性別、健康狀況等)對減肥的影響。體重隨時間是連續(xù)變化的，即w(t)是連續(xù)函數(shù)且充分光滑，因此可以認為能量的攝取和消耗是隨時發(fā)生的。人的體重僅僅看成是時間t的函數(shù)w(t)，而與其它因素?zé)o關(guān)，這不同的活動對能量的消耗是不同的，例如：踢足球和打羽毛球；而且能量的消耗與體重有關(guān)，例如：體重分別為50kg和100kg的人都跑1000m，所耗的能量顯然不同。可見，活動對能量的消耗也不是一個簡單的問題，但考慮到減肥的人會為自己制定一個合理且相對穩(wěn)定的減肥計劃，我們可以假設(shè)在單位時間(1日)內(nèi)人體活動所消耗的能量與其體重成正比，記B為每1kg體重每天因活動所消耗的能量不同的活動對能量的消耗是不同的，例如：踢足球和打羽毛球；而且

根據(jù)上述背景知識和模型的假設(shè)，我們就可以組建減肥的數(shù)學(xué)模型。單位時間內(nèi)人體用于基礎(chǔ)代謝和食物特殊動力作用所消耗的能量成正比于人的體重。記C為1kg體重每天消耗的能量。減肥者一般對自己的飲食有相對嚴格的控制，在本問題中，為簡單計，我們可以假設(shè)人體每天攝入的能量是一定的，記為A。根據(jù)上述背景知識和模型的假設(shè)，我們就可以組

建模過程中，我們以“天”為時間單位。根據(jù)假設(shè)3，我們可以在任何一個時間段內(nèi)考慮能量的攝入和消耗所引起的體重的變化。根據(jù)能量的平衡原理，任何時間段內(nèi)由于體重的改變所引起的人體內(nèi)能量的變化應(yīng)該等于這段時間內(nèi)攝入的能量與消耗的能量的差。模型的建立

建模過程中，我們以“天”為時間單位。根

考慮時間區(qū)間內(nèi)能量的改變,根據(jù)能量平衡原理,有由積分中值定理有其中考慮時間區(qū)間內(nèi)能量的于是令取極限得*

這就是在一定化簡層次上的減肥數(shù)學(xué)模型.我們知道模型的某些假設(shè)不十分合理,但我們希望求解模型*,看看能否說明一些問題.于是令取極限得*

設(shè)為模型的初始時刻,這時人的體重為.模型*的求解方法很多,下面用積分因子法求解.在*的兩邊同時乘以得即模型的求解設(shè)為模型的初始時刻從0到t積分，并利用初值得從0到t積分，并利用初值模型的分析與修改推廣

1）a/b是模型中的一個重要參數(shù)。A=A/D是每天由于能量的攝入而增加的體重。b=(B+C)/D是每天由于能量的消耗而失去的體重。2)假設(shè)a=0,即停止進食，無任何能量攝入，體重的變化（減少）完全是脂肪的消耗而產(chǎn)生。此時，

。模型的分析與修改推廣

1）a/b是模型中的一個重要參（1）不進食的節(jié)食減肥法是很危險的。因為，即體重（脂肪）都消耗盡了，如何能活命！實際上，媒體報道過很多例子，都是產(chǎn)生厭食癥從而身體抵抗力減弱，導(dǎo)致其它并發(fā)疾病而死亡。

（2）當(dāng)a=0時，由解式有

，這表明在[0，t]內(nèi)體重減少的百分率為，稱之為[0,t]內(nèi)體重消耗

（1）不進食的節(jié)食減肥法是很危險的。因為率。特別的，是單位時間內(nèi)體重的消耗率，事實上，所以自然為[0,t]內(nèi)的體重保存率，它表明t時刻體重占初始體重的百分率。

基于上面的分析，又解式可知，t時刻的體重由兩部分組成：一部分是初始體重中由于率。特別的，是單位時間內(nèi)體重的消耗能量消耗而被保存下來的部分，另一部分是攝取能量而獲得的補充量，這一解釋從直觀上理解也是合理的。3)另外對于此模型，容易證明，當(dāng)且僅當(dāng)<時有dw/dt<0，這表明只有當(dāng)<才有可能產(chǎn)生減肥的效果。由解式有也就是說此模型的解漸進穩(wěn)定與，他給出了減肥的最終結(jié)果，稱為減肥效果指標(biāo)。能量消耗而被保存下來的部分，另一部分是攝取能量而獲得的補充量因為衰減很快，在有限時間內(nèi)，就很小，可以忽略；當(dāng)t充分大時，w(t)=a/b=A/(B+C),這表明任何人都不必為自己的體重擔(dān)心（肥胖、瘦?。睦碚撋现v，體重要多重就有多重，只要適當(dāng)調(diào)節(jié)A（進食）、B（活動）、C（新陳代謝）。同時也說明了，任何減肥方法都是考慮和調(diào)節(jié)上述三個要素：節(jié)食是調(diào)節(jié)A、活動是調(diào)節(jié)B、減肥藥是調(diào)節(jié)C。由于C是基礎(chǔ)代謝和食物特殊動力的消耗，因為衰減很快，在有限時間內(nèi)，他不可能作為減肥的措施隨著每個人的意愿進行改變，對于每個人而言可以認為是一個常數(shù)。有大量事實表明，通過調(diào)整新陳代謝的方法來減肥是值得推敲的。于是我們有如下結(jié)論，減肥的效果主要由兩個因素控制：進食攝取能量和活動消耗能量，從而減肥的兩個重要措施是控制飲食和增加活動量。這也是熟知的常識。他不可能作為減肥的措施隨著每個人的意愿進行改變，對于每個人而

4)進一步討論能量的攝取量A與活動消耗量B對減肥效果的影響。由=A/(B+C)有A=B+C,在A-B坐標(biāo)系內(nèi)表示一條過點（-C,0）斜率為的直線。根據(jù)背景知識，任何人通過飲食攝取的能量不能低于用于維持正常生理公能所需要的能量。因此作為人體體重極限值的減肥效果指標(biāo)一定存在一個下限，當(dāng)<時表明能量攝入過低，無法滿足維持人體正常的生理功能所需要的能量。這時減肥得到的結(jié)果不能認為是有效的，它將危及人體的健康，是非常危險的，因而稱為減肥臨界指標(biāo)。此外，人們?yōu)闇p肥所采用的各種體力活動對能量的消耗也有一個人體所能承受

的范圍，即存在使得0<B<,于是在A-B平面上由B=0、B=和A=0所界出的上半帶形區(qū)域被直線：A=B+C和：A=B+C分割成三個區(qū)域：、和，這表明減肥的效果是控制飲食和增加消耗綜合作用、相互協(xié)調(diào)的結(jié)果。在區(qū)域中，能量的攝取量A大于體重為（初始體重）時的消耗量（B+C），這時體重將在基礎(chǔ)上繼續(xù)增加，故稱之為非減肥區(qū)。而在區(qū)域中，能量的攝取量A低于體重為時的消耗量（B+C)

AB-col0l1B1w0cw1c的范圍，即存在使得0<B<,于是在A-B平面上由B=精品課件！精品課件！精品課件！精品課件！體重將減少到臨界減肥指標(biāo)以下，這將危及人的健康，故稱為減肥危險區(qū)。只有區(qū)域所表示的A和B的組合才能實現(xiàn)有效的減肥，故稱為有效減肥區(qū)。（如上圖）實際上，減肥的過程是一個非常復(fù)雜的過程。這個模型是一個簡化的模型，只是為了揭示飲食和活動這兩個主要因素與減肥的關(guān)系。至于對減肥問題的更為深入地分析有賴于構(gòu)建更精細的模型。體重將減少到臨界減肥指標(biāo)以下，這將危及人的健康，故稱為

隨著社會的進步和發(fā)展，人們的生活水平不斷提高。由于飲食營養(yǎng)攝入量的不斷改善和提高，“肥胖”已經(jīng)成為全社會關(guān)注的一個重要問題。無論從健康角度還是從審美角度，人們越來越重視自己形體的健美，從而就導(dǎo)致目前社會上出現(xiàn)了各種各樣的減肥食品（或營養(yǎng)素）、減肥飲料、減肥服裝、減肥藥和名目繁多的健美中心，讓人目不暇接，不知所措，上當(dāng)受騙者也不在少數(shù).問題的提出隨著社會的進步和發(fā)展，人們的生活水平不斷提以至各種媒體經(jīng)常提醒人們減肥一定要慎重，如何對待減肥是我們一定要正確對待的問題，于是了解減肥的機理成為減肥的關(guān)鍵。此外，對于從事某些體育項目的運動員（例如：舉重、體操、游泳等）來說，在比賽前也有都一個正確減肥的問題。以至各種媒體經(jīng)常提醒人們減肥一定要慎重，如何對待減肥是我們一根據(jù)中國科學(xué)會修訂并建議的我國人民的每日膳食指南可知：每日膳食中，營養(yǎng)素的供給量是作為保證正常人體健康而提出的膳食質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)。營養(yǎng)素的需求量系指維持身體正常的生理功能所需要的營養(yǎng)素的數(shù)量。如果人們在飲食中攝入營養(yǎng)素的數(shù)量低于這個數(shù)量，將對身體產(chǎn)生不利的影響。

背景知識根據(jù)中國科學(xué)會修訂并建議的我國人民的每日膳食人體的體重是評定膳食能量攝入適當(dāng)與否的重要標(biāo)志。人們熱能需要量的多少，主要取決于三個方面：維持人們基本代謝所需的能量、從事勞動和其他活動所消耗的能量以及食物的特殊動力作用（將食物轉(zhuǎn)化為人體所需的能量）所消耗的能量。一般情況下，成年男子每1kg體重每小時平均消耗熱量為4200J。一般情況下，食用普通的混合膳食，食物的特殊動力作用所需要的額外的能量消耗相當(dāng)于基礎(chǔ)代謝的10%。人體的體重是評定膳食能量攝入適當(dāng)與否的重要標(biāo)志。人體的脂肪是存儲和提供能量的主要方式，而且也是減肥的主要目標(biāo)。對于一個成年人來說體重主要有三部分組成：骨骼、水和脂肪。骨骼和水大體上可以認為是不變的，我們不妨以人體脂肪的重量作為體重的標(biāo)志。已知脂肪的能量轉(zhuǎn)換率為100%，每千克脂肪可以轉(zhuǎn)換為J的能量。記D=J/kg，成為脂肪的能量轉(zhuǎn)換系數(shù)。問題分析與模型假設(shè)人體的脂肪是存儲和提供能量的主要方式，而且也是減肥的主要目標(biāo)人的體重僅僅看成是時間t的函數(shù)w(t)，而與其它因素?zé)o關(guān)，這意味著在研究減肥過程中，我們忽略了個體的差異(年齡、性別、健康狀況等)對減肥的影響。體重隨時間是連續(xù)變化的，即w(t)是連續(xù)函數(shù)且充分光滑，因此可以認為能量的攝取和消耗是隨時發(fā)生的。人的體重僅僅看成是時間t的函數(shù)w(t)，而與其它因素?zé)o關(guān)，這不同的活動對能量的消耗是不同的，例如：踢足球和打羽毛球；而且能量的消耗與體重有關(guān)，例如：體重分別為50kg和100kg的人都跑1000m，所耗的能量顯然不同。可見，活動對能量的消耗也不是一個簡單的問題，但考慮到減肥的人會為自己制定一個合理且相對穩(wěn)定的減肥計劃，我們可以假設(shè)在單位時間(1日)內(nèi)人體活動所消耗的能量與其體重成正比，記B為每1kg體重每天因活動所消耗的能量不同的活動對能量的消耗是不同的，例如：踢足球和打羽毛球；而且

根據(jù)上述背景知識和模型的假設(shè)，我們就可以組建減肥的數(shù)學(xué)模型。單位時間內(nèi)人體用于基礎(chǔ)代謝和食物特殊動力作用所消耗的能量成正比于人的體重。記C為1kg體重每天消耗的能量。減肥者一般對自己的飲食有相對嚴格的控制，在本問題中，為簡單計，我們可以假設(shè)人體每天攝入的能量是一定的，記為A。根據(jù)上述背景知識和模型的假設(shè)，我們就可以組

建模過程中，我們以“天”為時間單位。根據(jù)假設(shè)3，我們可以在任何一個時間段內(nèi)考慮能量的攝入和消耗所引起的體重的變化。根據(jù)能量的平衡原理，任何時間段內(nèi)由于體重的改變所引起的人體內(nèi)能量的變化應(yīng)該等于這段時間內(nèi)攝入的能量與消耗的能量的差。模型的建立

建模過程中，我們以“天”為時間單位。根

考慮時間區(qū)間內(nèi)能量的改變,根據(jù)能量平衡原理,有由積分中值定理有其中考慮時間區(qū)間內(nèi)能量的于是令取極限得*

這就是在一定化簡層次上的減肥數(shù)學(xué)模型.我們知道模型的某些假設(shè)不十分合理,但我們希望求解模型*,看看能否說明一些問題.于是令取極限得*

設(shè)為模型的初始時刻,這時人的體重為.模型*的求解方法很多,下面用積分因子法求解.在*的兩邊同時乘以得即模型的求解設(shè)為模型的初始時刻從0到t積分，并利用初值得從0到t積分，并利用初值模型的分析與修改推廣

1）a/b是模型中的一個重要參數(shù)。A=A/D是每天由于能量的攝入而增加的體重。b=(B+C)/D是每天由于能量的消耗而失去的體重。2)假設(shè)a=0,即停止進食，無任何能量攝入，體重的變化（減少）完全是脂肪的消耗而產(chǎn)生。此時，

。模型的分析與修改推廣

1）a/b是模型中的一個重要參（1）不進食的節(jié)食減肥法是很危險的。因為，即體重（脂肪）都消耗盡了，如何能活命！實際上，媒體報道過很多例子，都是產(chǎn)生厭食癥從而身體抵抗力減弱，導(dǎo)致其它并發(fā)疾病而死亡。

（2）當(dāng)a=0時，由解式有

，這表明在[0，t]內(nèi)體重減少的百分率為，稱之為[0,t]內(nèi)體重消耗

（1）不進食的節(jié)食減肥法是很危險的。因為率。特別的，是單位時間內(nèi)體重的消耗率，事實上，所以自然為[0,t]內(nèi)的體重保存率，它表明t時刻體重占初始體重的百分率。

基于上面的分析，又解式可知，t時刻的體重由兩部分組成：一部分是初始體重中由于率。特別的，是單位時間內(nèi)體重的消耗能量消耗而被保存下來的部分，另一部分是攝取能量而獲得的補充量，這一解釋從直觀上理解也是合理的。3)另外對于此模型，容易證明，當(dāng)且僅當(dāng)<時有dw/dt<0，這表明只有當(dāng)<才有可能產(chǎn)生減肥的效果。由解式有也就是說此模型的解漸進穩(wěn)定與，他給出了減肥的最終結(jié)果，稱為減肥效果指標(biāo)。能量消耗而被保存下來的部分，另一部分是攝取能量而獲得的補充量因為衰減很快，在有限時間內(nèi)，就很小，可以忽略；當(dāng)t充分大時，w(t)=a/b=A/(B+C),這表明任何人都不必為自己的體重擔(dān)心（肥胖、瘦?。睦碚撋现v，體重要多重就有多重，只要適當(dāng)調(diào)節(jié)A（進食）、B（活動）、C（新陳代謝）。同時也說明了，任何減肥方法都是考慮和調(diào)節(jié)上述三個要素：節(jié)食是調(diào)節(jié)A、活動是調(diào)節(jié)B、減肥藥是調(diào)節(jié)C。由于C是基礎(chǔ)代謝和食物特殊動力的消耗，因為衰減很快，在有限時間內(nèi)，他不可能作為減肥的措施隨著每個人的意愿進行改變，對于每個人而言可以認為是一個常數(shù)。有大量事實表明，通過調(diào)整新陳代謝的方法來減肥是值得推敲的。于是我們有如下結(jié)論，減肥的效果主要由兩個因素控制：進食攝取能量和活動消耗能量，從而減肥的兩個重要措施是控制飲食和增加活動量。這也是熟知的常識。他不可能作為減肥的措施隨著每個人的意愿進行改變，對于每個人而

4)進一步討論能量的攝取量A與活動消耗量B對減肥效果的影響。由=A/(B+C)有A=B+C,在A-B坐標(biāo)系內(nèi)表示