第13章工程光學(xué)郁道銀第二版課件

1第十三章光的衍射§13-1光的衍射§13-2菲涅耳衍射§13-3典型孔徑的夫瑯禾費衍射§13-4光學(xué)成像系統(tǒng)的分辯率§13-5多縫衍射§13-6衍射光柵1第十三章光的衍射2衍射現(xiàn)象是波動性的另一重要表現(xiàn)。只要光在傳播，就有衍射現(xiàn)象。衍射和傳播是聯(lián)在一起的?！?3-1光的衍射惠更斯－菲涅耳原理2衍射現(xiàn)象是波動性的另一重要表現(xiàn)?！?3-1光的衍射31、什么叫衍射2、光的衍射現(xiàn)象

光不再是直線傳播，而有光進(jìn)入障礙物后的幾何陰影區(qū)。

光所到達(dá)的區(qū)域，其強度分布也不均勻。

波在傳播中遇到障礙物，使波面受到限制時，能夠繞過障礙物繼續(xù)前進(jìn)的現(xiàn)象。13.1.1光的衍射現(xiàn)象及分類31、什么叫衍射2、光的衍射現(xiàn)象光不再是直線傳播，而有光4單縫KabS光源(a)屏幕E屏幕EaS光源(b)b實驗發(fā)現(xiàn)，光通過寬縫時，是沿直線傳播的，如圖(a)所示。

若將縫的寬度減小到約104m及更小時，縫后幾何陰影區(qū)的光屏上將出現(xiàn)衍射條紋，如圖(b)所示，這就是光的衍射現(xiàn)象。4單縫KabS光源(a)屏幕E屏幕EaS光源(b)b實513.1.2惠更斯－菲涅耳原理1、惠更斯－菲涅耳原理的基本內(nèi)容波動有兩個基本特性，

惠更斯提出的子波假設(shè)：波陣面上的每一點都可看成是發(fā)射子波的新波源，任意時刻子波的包跡即為新的波陣面。

“子波”的概念不涉及波動的時、空周期性，因而不能說明在不同方向上波的強度分布，即不能解釋波的衍射。波是振動的傳播，波具有時空周期性，且能相互疊加。513.1.2惠更斯－菲涅耳原理1、惠更斯－菲涅耳原理的6

菲涅耳在惠更斯提出的子波假設(shè)基礎(chǔ)上，補充了描述次波基本特征的時空周期的物理量:位相和振幅，及波的疊加。認(rèn)為：從同一波陣面上各點發(fā)出的次波，在傳播過程中相遇時，也能相互疊加而產(chǎn)生干涉現(xiàn)象，空間各點波的強度，由各子波在該點的相干疊加所決定。這就是惠更斯—菲涅耳原理?；莞埂颇鶢栐?次波與次波的相干疊加6菲涅耳在惠更斯提出的子波假設(shè)基礎(chǔ)上，補充了描述次波基本特7

2、惠更斯－菲涅耳原理的數(shù)學(xué)表示在S上取一面元ds，ds子波源發(fā)出的子波在P點引起的振動為：基本出發(fā)點：波面S在其前面某點P相干疊加的結(jié)果，取決于波面上所有面元ds在P點產(chǎn)生的振動之和。dsnSPθr72、惠更斯－菲涅耳原理的數(shù)學(xué)表示在S上取一面元ds，ds8

波陣面上所有dS面元發(fā)出的子波在P點引起的合振動為式中C為比例系數(shù)，K(θ)為隨θ角增大而緩慢減小的函數(shù)，稱為傾斜因子.當(dāng)θ＝0時，K(θ)為最大；當(dāng)時，K(θ)＝0，因而子波疊加后振幅為零.8波陣面上所有dS面元發(fā)出的子波在P點引起的式中C為9§13-2單縫夫瑯禾費衍射DS一、單縫夫瑯禾費衍射

1、裝置和現(xiàn)象L1AEA：單縫E：屏幕L1、L2透鏡a中央明紋L2縫寬a縫屏距D（L2之焦距f）9§13-2單縫夫瑯禾費衍射DS一、單縫夫瑯禾費衍射L110

夫朗禾費單縫衍射圖樣是一組與狹縫平行的明暗相間的條紋，其中中央條紋最亮最寬。10夫朗禾費單縫衍射圖樣是一組與狹縫平行的明暗相間的條112、惠更斯－菲涅耳原理分析衍射過程

平行衍射光的獲得

設(shè)平行入射光垂直投射到縫K上，其波前與縫平面AB重合。按惠更斯原理，波前上的每一點都可看成發(fā)射球形子波的波源，而每個子波源都可以向前方各個方向發(fā)出無窮多束光線，統(tǒng)稱為衍射光，如圖中A點的1，2，3…光線都是衍射光線。ABKOO/Lφ123３２１３２１３２１３２１112、惠更斯－菲涅耳原理分析衍射過程平行衍射光的獲得12

每個子波源所發(fā)出的沿同一方向的平行光構(gòu)成了一束平行衍射光。如光線系1，光線系2，…等構(gòu)成無窮多束平行衍射光。ABKOO/Lφ123３２１３２１３２１３２１2、惠更斯－菲涅耳原理分析衍射過程

平行衍射光的獲得12每個子波源所發(fā)出的沿同一方向的平行光構(gòu)成了一束平行衍13

平行衍射光的方向每一個方向的平行光與單縫法線方向之間的夾角用表示，稱為衍射角，衍射角的變化范圍為0→±π/2。PaSL1L2ABCdLf13平行衍射光的方向每一個方向的平行光與單縫法線方向之間的14

平行衍射光在焦平面上相干匯聚

每一束平行光經(jīng)透鏡L2匯聚后，聚焦于L2焦平面上的一點。對同一束平行光而言，它們來自同一波前上的各個子波，因此滿足相干條件。

每一束平行光都在光屏上進(jìn)行相干疊加，其相干疊加后的振幅，則由他們的光程差決定。

顯然，對于=0的一束，其中每條光線的光程都相等，因而疊加結(jié)果相互加強，即為中央亮紋。14平行衍射光在焦平面上相干匯聚每一束平行光經(jīng)透鏡L2匯153、用半波帶理論分析衍射條件

①衍射角為的一束平行衍射光的光程差：

考慮一束平行衍射光，作AC⊥BC，則BC段即為這一束平行光的最大光程差。 （式中a為縫寬）ABCaL153、用半波帶理論分析衍射條件①衍射角為的一束平行衍射16

按相距／2作平行于AC的平面A1A1/,A2A2/,…將光程差BC分割成n個相等的部分，同時這些平面也將波面AB分割成n個相等的部分ＡＡ１，Ａ１Ａ２…它們稱之為波帶。③、用半波帶方法解釋衍射：

由于每相鄰波帶對應(yīng)點如A、A1，A1、A2…向方向發(fā)出的光波A〞A1〞

，A1〞A2〞

…

的光程差逐一相差半個波長，故稱之為“半波帶”。兩相鄰波帶的對應(yīng)點（如邊緣，中點）在P點引起的振動其位相差是。

②、半波帶方法：16按相距／2作平行于AC的平面A1A1/,A2A17aOPf各半波帶的面積相等，各波帶上的子波源的數(shù)目也相等。所以相鄰兩帶在P點振動的貢獻(xiàn)相互削弱，即為相消干涉。17aOPf各半波帶的面積相等，各波帶上的子波源的數(shù)目也18故在給定的衍射角中，若BC剛好截成偶數(shù)個半波帶，若BC剛好截成奇數(shù)個半波帶，則P點為相消干涉而出現(xiàn)暗紋；則P點的亮度介于次極大和極小之間。則P點為相長干涉而出現(xiàn)亮紋(多余的一個半波帶不能被抵消);若BC不為半波長的整數(shù)倍，18故在給定的衍射角中，若BC剛好截成偶數(shù)個半波帶，若BC19

④衍射圖樣中明、暗紋公式

中央明紋（零級衍射亮紋）：

另外也可看出，若角越大，則BC越長，因而半波帶數(shù)目越多，而縫寬AB=a為常數(shù)，因而每個半波帶的面積要減少（即每個半波帶上攜帶的光能量減少），于是級數(shù)越高，明條紋亮度越低，最后成模糊一片。

暗紋條件：

亮紋條件：

（近似值）19④衍射圖樣中明、暗紋公式中央明紋（零級衍射亮紋）：20

4、單縫衍射條紋特點

（1）條紋寬度設(shè)焦距f、縫寬a和波長，縫屏之間距離就是透鏡焦距f。中央明紋的線寬度為正負(fù)第一暗紋間距。中央明紋的角寬度(即條紋對透鏡中心的張角)為20。有時也用半角寬度描述。a204、單縫衍射條紋特點（1）條紋寬度設(shè)焦距f、縫寬a和21中央明紋線寬度為x0暗紋條件：這一關(guān)系稱衍射反比律中央明紋：21中央明紋線寬度為x0暗紋條件：這一關(guān)系稱衍射反比律中央22

對K級暗紋有

可見中央明紋約為其他各級明紋寬度的兩倍。（近似值）其他各級明紋的寬度為相鄰暗紋間距角寬度22對K級暗紋有可見中央明紋約為其他各級明紋寬度的兩倍。23（2）影響衍射圖樣的a和

：縫越窄，衍射越顯著，但a不能小于（a小于時也有衍射，但此時半波帶理論不成立）；縫越寬，衍射越不明顯，條紋向中心靠近，逐漸變成直線傳播。

由暗紋條件：若λ一定時，23（2）影響衍射圖樣的a和 ：縫越窄，衍射越24若a一定時，

由暗紋條件：

當(dāng)白光入射時，中央明紋仍為白色，其他各級由紫至紅，一般第2、3級即開始重疊。λ越大，衍射越顯著，24若a一定時，由暗紋條件：當(dāng)白光入射時，中央明紋仍25（3）各級亮紋強度分布是不均勻的以中央明紋的強度為1，則第一級明紋為4.5%

第二級明紋為1.6%

第三級明紋為0.83%I光強度32023asin25（3）各級亮紋強度分布是不均勻的以中央明紋的強度為1，則26例13.1用波長為λ的單色光照射狹縫，得到單縫的夫瑯禾費衍射圖樣，第3級暗紋位于屏上的P處，問：解利用半波帶法直接求解，與暗紋對應(yīng)的半波帶數(shù)為偶數(shù)2k(k＝1,2，…為暗紋級數(shù))；與中央明紋除外的明紋對應(yīng)的半波帶數(shù)為奇數(shù)2k＋1(k＝1,2，…為明紋級數(shù)).(1)若將狹縫寬度縮小一半，那么P處是明紋還是暗紋？(2)若用波長為1.5λ的單色光照射狹縫，P處是明紋還是暗紋？26例13.1用波長為λ的單色光照射狹縫，得到單縫的夫瑯禾27根據(jù)已知條件，在屏上P處出現(xiàn)第3級暗紋，所以對于P位置，狹縫處的波面可劃分為6個半波帶.(2)改用波長為1.5λ的單色光照射，則狹縫處波面可劃分的半波帶數(shù)變?yōu)樵瓉淼囊稽c五分之一，對于P位置，半波帶數(shù)變?yōu)?個，所以在P處將出現(xiàn)第2級暗紋.(1)縫寬減小到一半，對于P位置，狹縫處波面可分為3個半波帶，則在P處出現(xiàn)第1級明紋.27根據(jù)已知條件，在屏上P處出現(xiàn)第3級暗紋，所以對于P位置，28例13.2波長λ＝6000?的單色光垂直入射到縫寬a＝0.2mm的單縫上，縫后用焦距f＝50cm的會聚透鏡將衍射光會聚于屏幕上.求：(1)中央明條紋的角寬度、線寬度；(2)第1級明條紋的位置以及單縫處波面可分為幾個半波帶？(3)第1級明條紋寬度.解(1)第1級暗條紋對應(yīng)的衍射角為因很小，可知中央明條紋的角寬度為28例13.2波長λ＝6000?的單色光垂直入射到縫寬29第1級暗條紋到中央明條紋中心O的距離為因此中央明條紋的線寬度為(2)第1級明條紋對應(yīng)的衍射角滿足所以第1級明條紋中心到中央明條紋中心的距離為29第1級暗條紋到中央明條紋中心O的距離為因此中央明條紋的線30對應(yīng)于該值，單縫處波面可分的半波帶數(shù)為(3)設(shè)第2級暗條紋到中央明條紋中心O的距離為，對應(yīng)的衍射角為，故第1級明條紋的線寬度為由此可見，第1級明條紋的寬度約為中央明紋寬度的一半.30對應(yīng)于該值，單縫處波面可分的半波帶數(shù)為(3)設(shè)第2級31§13-3衍射光柵從上節(jié)的討論我們知道，原則上可以利用單色光通過單縫時所產(chǎn)生的衍射條紋來測定該單色光的波長.但為了測量的準(zhǔn)確，要求衍射條紋必須分得很開，條紋既細(xì)且明亮.然而對單縫衍射來說，這兩個要求難以同時達(dá)到.因為若要條紋分得開，單縫的寬度a就要很小，這樣通過單縫的光能量就少，以致條紋不夠明亮且難以看清楚；反之，若加大縫寬a，雖然觀察到的條紋較明亮，但條紋間距變小，不容易分辨.所以實際上測定光波波長時，往往不是使用單縫，而是采用能滿足上述測量要求的衍射光柵.31§13-3衍射光柵從上節(jié)的討論我們知道，原則上3213.3.1光柵衍射現(xiàn)象由大量等間距、等寬度的平行狹縫所組成的光學(xué)元件稱為衍射光柵.用于透射光衍射的叫透射光柵，用于反射光衍射的叫反射光柵.常用的透射光柵是在一塊玻璃片上刻畫許多等間距、等寬度的平行刻痕，刻痕處相當(dāng)于毛玻璃而不易透光，刻痕之間的光滑部分可以透光，相當(dāng)于一個單縫.圖13.9光柵3213.3.1光柵衍射現(xiàn)象由大量等間距、等寬度的平行狹33平行單色光垂直照射到光柵上，由光柵射出的光線經(jīng)透鏡L后，會聚于屏幕E上，因而在屏幕上出現(xiàn)平行于狹縫的明暗相間的光柵衍射條紋.這些條紋的特點是：明條紋很亮很窄，相鄰明紋間的暗區(qū)很寬，衍射圖樣十分清晰.圖13.10光柵衍射33平行單色光垂直照射到光柵上，由光柵射出的光線經(jīng)透鏡L后，3413.3.2光柵衍射規(guī)律光柵是由許多單縫組成的，每個縫都在屏幕上各自形成單縫衍射圖樣，由于各縫的寬度均為a，故它們形成的衍射圖樣都相同，且在屏幕上相互間完全重合.各單縫的衍射光在屏幕上重疊時，由于它們都是相干光，所以縫與縫之間的衍射光將產(chǎn)生干涉，其干涉條紋的明暗分布取決于相鄰兩縫到會聚點的光程差.

3413.3.2光柵衍射規(guī)律光柵是由許多單縫組成的，每個351、光柵公式光柵的多光束形成的明條紋的亮度要比一條縫發(fā)出的光的亮度大得多.光柵縫的數(shù)目愈多，則明條紋愈明亮.

光柵衍射的明條紋位置應(yīng)滿足上式稱為光柵公式.k為明條紋級數(shù).從光柵公式可以看出，在波長一定的單色光照射下，光柵常數(shù)(a＋b)愈小，各級明條紋的角愈大，因而相鄰兩個明條紋分得愈開.351、光柵公式光柵的多光束形成的明條紋的亮度要比一條縫發(fā)出36光線斜入射時的光柵公式式中表示衍射方向與法線間的夾角，均取正值

圖13.11平行單色光的傾斜入射36光線斜入射時的光柵公式式中表示衍射方向與法線間372、暗紋條件在光柵衍射中，相鄰兩主極大之間還分布著一些暗條紋.這些暗條紋是由各縫射出的衍射光因干涉相消而形成的.則出現(xiàn)暗條紋.

當(dāng)角滿足下述條件

k為主極大級數(shù)，N為光柵縫總數(shù)，n為正整數(shù).372、暗紋條件在光柵衍射中，相鄰兩主極大之間還分布著一些暗383、單縫衍射對光強分布的影響多光束干涉的各明條紋要受單縫衍射的調(diào)制.單縫衍射光強大的方向明條紋的光強也大，單縫衍射光強小的方向明條紋的光強也小.

圖13.12光柵衍射光強分布示意圖383、單縫衍射對光強分布的影響多光束干涉的各明條紋要受單縫394、缺級現(xiàn)象從光柵公式看來應(yīng)出現(xiàn)某k級明條紋的位置，實際上卻是暗條紋，即k級明條紋不出現(xiàn)，這種現(xiàn)象稱為光柵的缺級現(xiàn)象.缺級條件：一般只要為整數(shù)比時，則對應(yīng)的k級明條紋位置一定出現(xiàn)缺級現(xiàn)象.394、缺級現(xiàn)象從光柵公式看來應(yīng)出現(xiàn)某k級明條紋的位置，實際4013.3.3光柵光譜由光柵公式可知，在光柵常數(shù)一定的情況下，衍射角的大小與入射光波的波長有關(guān).因此當(dāng)白光通過光柵后，各種不同波長的光將產(chǎn)生各自分開的主極大明條紋.屏幕上除零級主極大明條紋由各種波長的光混合仍為白色外，其兩側(cè)將形成各級由紫到紅對稱排列的彩色光帶，這些光帶的整體稱為衍射光譜4013.3.3光柵光譜由光柵公式可知，在光柵常數(shù)一定的41圖13.13光柵光譜41圖13.13光柵光譜42例13.5一個每毫米均勻刻有200條刻線的光柵，用白光照射，在光柵后放一焦距為f＝500cm的透鏡，在透鏡的焦平面處有一個屏幕，如果在屏幕上開一個Δx＝1mm寬的細(xì)縫，細(xì)縫的內(nèi)側(cè)邊緣離中央極大中心5.0mm，如圖13.14所示.試求什么波長范圍的可見光可通過細(xì)縫？解利用光柵方程和衍射光路圖求出在Δx范圍內(nèi)的衍射光的波長范圍.此方法給出了一種選擇和獲得準(zhǔn)單色光的方法.圖13.1442例13.5一個每毫米均勻刻有200條刻線的光柵，用白光43按題意，光柵常數(shù)為由圖可以看出和都很小，所以，根據(jù)光柵方程，有43按題意，光柵常數(shù)為由圖可以看出和都很小，44因此顯然，在可見光范圍內(nèi)，k1和k2都只能取1.所以可通過細(xì)縫的可見光波波長范圍為44因此顯然，在可見光范圍內(nèi)，k1和k2都只能取1.所以可通45IrD=2R“愛里斑”DR§13-4圓孔衍射光學(xué)儀器的分辨率13.4.1圓孔衍射

1、裝置與現(xiàn)象45IrD=2R“愛里斑”DR§13-4圓孔衍射462、愛里斑夫瑯和費圓孔衍射中，中央為亮圓斑。第一暗環(huán)所包圍的中央圓斑，稱為愛里斑。其占總?cè)肷涔鈴姷?4%。

半角寬度指愛里斑對透鏡中心張角的一半角寬度。式中D為圓孔的直徑，大多數(shù)情況應(yīng)為物鏡前光欄的直徑。

3、愛里斑的半角寬度：462、愛里斑半角寬度指愛里斑對透鏡中心張角的一半角47

圓孔衍射中央愛里斑半角寬θ=1.22/D

單縫衍射中央明紋半角寬Φ=/a兩相對比：說明二者除在反映障礙物幾何形狀的系數(shù)不同以外，其在定性方面是一致的。47圓孔衍射中央愛里斑半角寬θ=1.224813.4.2光學(xué)儀器的分辯率

在幾何光學(xué)中，是一個物點對應(yīng)一個象點。在波動光學(xué)中，是一個物點（發(fā)光點），對應(yīng)一個愛里斑。1、圓孔衍射對成象質(zhì)量的影響

普通光學(xué)成象時，入射光可看成平行光，透過鏡頭后成象在底片上，故可視為夫瑯和費圓孔衍射。4813.4.2光學(xué)儀器的分辯率在幾何光學(xué)中，是49

光的衍射限制了光學(xué)儀器的分辨本領(lǐng)。

因此，當(dāng)兩個物點的愛里斑重疊到一定程度時，這兩個物點在底片上將不能區(qū)分，故愛里斑的存在就引發(fā)了一個光學(xué)儀器的分辨率問題。49光的衍射限制了光學(xué)儀器的分辨本領(lǐng)。因此，當(dāng)兩個50瑞利判據(jù)：如果某一物點斑象（即愛里斑）的中心恰好落在另一物點斑象的邊緣，這樣所定出的兩物點的距離作為光學(xué)儀器所能分辨的最小距離。2、分辨率

兩光強相同的非相干物點，其象點相互靠近，瑞利提出了一個可分辨的標(biāo)準(zhǔn)。S1S2成像系統(tǒng)S1’S2’50瑞利判據(jù)：如果某一物點斑象（即愛里斑）的中心恰好落在另一51S1S2S1S2S1S2能分辨恰能分辨不能分辨51S1S2S1S2S1S2能分辨恰能分辨不能分辨52

兩物點對透鏡光心的張角稱為光學(xué)儀器的最小分辨角，用θ0表示，它正好等于每個愛里斑的半角寬度，即最小分辨角的倒數(shù)1／θ0

稱為光學(xué)儀器的分辨率。S1S2成像系統(tǒng)S1’S2’52兩物點對透鏡光心的張角稱為光學(xué)儀器的最小分辨角，53

因此，為提高儀器分辨率，或說為提高成象質(zhì)量，由愛里斑半角公式，得光學(xué)儀器的分辨率

方法之一使透鏡鏡頭直徑加大。

方法之二降低入射光的波長。53因此，為提高儀器分辨率，或說為提高成象質(zhì)量，由愛里斑半54

望遠(yuǎn)鏡：不可選擇，可使D；顯微鏡：D不會很大，可使。電子：0.1?

1?,∴電子顯微鏡分辨本領(lǐng)很高，可觀察物質(zhì)結(jié)構(gòu)。人眼：對＝5500?的光，＝1／在9m遠(yuǎn)處可分辨相距2mm的兩個點。54望遠(yuǎn)鏡：不可選擇，可使D；電子：0.1?55例13.7一直徑為2mm的氦氖激光束射向月球表面，其波長為632.8nm，已知月球和地面的距離為

.試求：(1)在月球上得到的光斑的直徑有多大？(2)如果這激光束經(jīng)擴束器擴展成直徑為2m，則在月球表面上得到的光斑直徑將為多大？在激光測距儀中，通常采用激光擴束器，這是為什么？解(1)以表示光斑的直徑，L表示月球到地球的距離，是激光束的直徑，λ為波長，則55例13.7一直徑為2mm的氦氖激光束射向月球表面，其56則(2)由(1)中所述可知由此可知，激光通過擴束后，其方向性大為改善，強度大大提高.56則(2)由(1)中所述可知由此可知，激光通過擴束后，其方57

上節(jié)討論的是透射光柵中光的干涉問題，這節(jié)所講的倫琴射線就是反射光柵光的干涉。一、倫琴射線§13-5X射線的衍射

1895年倫琴發(fā)現(xiàn)了一種波長極短（0.01～10?），穿透力極強的射線，其可由高速電子流撞擊鎢、鉬、銅而產(chǎn)生，后來人們發(fā)現(xiàn)它是原子內(nèi)層處于激發(fā)狀態(tài)的電子在能級躍遷時釋放的電磁波。57上節(jié)討論的是透射光柵中光的干涉問題，這節(jié)所講的倫琴58陰級陽級+-58陰級陽級+-59

二、勞厄?qū)嶒?/p>

X射線波長極短，一般光柵d>>，因此用一般光柵看不到X射線的衍射(除了0級)。

1913年，勞厄(德國)想到，X射線波長和晶體內(nèi)原子的間距差不多。能否用晶體產(chǎn)生X射線的衍射呢？實驗果然看到了衍射現(xiàn)象。59二、勞厄?qū)嶒瀀射線波長極短，一般光柵d>60X射線晶體勞厄斑晶體的三維光柵

讓連續(xù)變化的X光射到單晶體上，則屏上產(chǎn)生了一些強度不同的斑點，稱勞厄斑。60X射線晶體勞厄斑晶體的三維光柵讓連續(xù)變化的X光射到單61三、布喇格公式（1）晶體是一系列彼此平行的原子層組成。入射Х射線投射到點陣粒子上時，每個點陣粒子均作受迫振動，該粒子作為一個新的波源而向各方向發(fā)出散射光，這時沿任一方向的一束平行散射光都可看作反射光柵中的衍射光束。61三、布喇格公式（1）晶體是一系列彼此平行的原子層組成。入62d（2）晶格點陣粒子的散射不僅有來自表層的，還有來自內(nèi)層的?？煞謨刹教幚恚合瓤紤]表層散射光的衍射干涉（此稱為點間干涉）；再考慮層與層間散射光的干涉（此稱為面間干涉）。62d（2）晶格點陣粒子的散射不僅有來自表層的，還有來自內(nèi)63

點間干涉(h稱為晶面晶格粒子間距）點間干涉產(chǎn)生衍射主極大時，點間干涉與光柵衍射一樣。hK=0時，為零級主極大的位置。63點間干涉(h稱為晶面晶格粒子間距）點間干涉產(chǎn)生衍64由上式可以看出，除零級主極大的位置與波長無關(guān)外，其它各級主極大均與波長有關(guān)。對于零級主極大，有cos=cos，即當(dāng)反射衍射光與入射光二者之間滿足反射定律時，為零級主極大。64由上式可以看出，除零級主極大的位置與波長無關(guān)外，其它各級65

面間干涉當(dāng)來自相鄰兩個層面之間的平行衍射光滿足

不同面上反射出的平行光疊加后是加強還是削弱，取決于相鄰兩光束之間的光程差。產(chǎn)生衍射主極大（d稱為晶面間距）。65面間干涉當(dāng)來自相鄰兩個層面之間的平行衍射光滿足66

對于任意角，在給定波長λ時，要想使點間干涉和面間干涉同時滿足衍射主極大，一般說來是很困難的。

由上面討論可知，對于滿足反射定律方向上的衍射光線點間干涉零級主極大與波長無關(guān)，——因此只有這個方向上才有可能實現(xiàn)點間干涉與面間干涉同時滿足主極大。

即只有在以晶面為鏡面并滿足反射定律的方向上，點間干涉和面間干涉才能同時滿足衍射主極大。66對于任意角，在給定波長λ時，要想使點間干涉和面間67布喇格公式當(dāng)有cos=cos，時

當(dāng)入射的相干平行光（Х射線）的掠射角（衍射角）滿足布喇格公式時，則在以晶面為鏡面的反射方向上，可觀察到衍射主極大。

X射線衍射的應(yīng)用(1)X射線光譜學(xué)已知d求

；(2)X射線晶體分析已知求d。67布喇格公式當(dāng)有cos=cos，時當(dāng)入射的68解根據(jù)布喇格公式例13.9我們比較兩條單色的X射線的譜線時注意到，譜線A在與一個晶體的光滑面成30°的掠射角處給出第1級反射極大.已知譜線B的波長為0.97?，這譜線B在與同一晶體的同一光滑面成60°的掠射角處，給出第3級反射極大.試求譜線A的波長.對波長的X射線有68解根據(jù)布喇格公式例13.9我們比較兩條單色的X射線的69因此對波長的X射線有69因此對波長的X射線有70第十三章光的衍射§13-1光的衍射§13-2菲涅耳衍射§13-3典型孔徑的夫瑯禾費衍射§13-4光學(xué)成像系統(tǒng)的分辯率§13-5多縫衍射§13-6衍射光柵1第十三章光的衍射71衍射現(xiàn)象是波動性的另一重要表現(xiàn)。只要光在傳播，就有衍射現(xiàn)象。衍射和傳播是聯(lián)在一起的?！?3-1光的衍射惠更斯－菲涅耳原理2衍射現(xiàn)象是波動性的另一重要表現(xiàn)?！?3-1光的衍射721、什么叫衍射2、光的衍射現(xiàn)象

光不再是直線傳播，而有光進(jìn)入障礙物后的幾何陰影區(qū)。

光所到達(dá)的區(qū)域，其強度分布也不均勻。

波在傳播中遇到障礙物，使波面受到限制時，能夠繞過障礙物繼續(xù)前進(jìn)的現(xiàn)象。13.1.1光的衍射現(xiàn)象及分類31、什么叫衍射2、光的衍射現(xiàn)象光不再是直線傳播，而有光73單縫KabS光源(a)屏幕E屏幕EaS光源(b)b實驗發(fā)現(xiàn)，光通過寬縫時，是沿直線傳播的，如圖(a)所示。

若將縫的寬度減小到約104m及更小時，縫后幾何陰影區(qū)的光屏上將出現(xiàn)衍射條紋，如圖(b)所示，這就是光的衍射現(xiàn)象。4單縫KabS光源(a)屏幕E屏幕EaS光源(b)b實7413.1.2惠更斯－菲涅耳原理1、惠更斯－菲涅耳原理的基本內(nèi)容波動有兩個基本特性，

惠更斯提出的子波假設(shè)：波陣面上的每一點都可看成是發(fā)射子波的新波源，任意時刻子波的包跡即為新的波陣面。

“子波”的概念不涉及波動的時、空周期性，因而不能說明在不同方向上波的強度分布，即不能解釋波的衍射。波是振動的傳播，波具有時空周期性，且能相互疊加。513.1.2惠更斯－菲涅耳原理1、惠更斯－菲涅耳原理的75

菲涅耳在惠更斯提出的子波假設(shè)基礎(chǔ)上，補充了描述次波基本特征的時空周期的物理量:位相和振幅，及波的疊加。認(rèn)為：從同一波陣面上各點發(fā)出的次波，在傳播過程中相遇時，也能相互疊加而產(chǎn)生干涉現(xiàn)象，空間各點波的強度，由各子波在該點的相干疊加所決定。這就是惠更斯—菲涅耳原理?；莞埂颇鶢栐?次波與次波的相干疊加6菲涅耳在惠更斯提出的子波假設(shè)基礎(chǔ)上，補充了描述次波基本特76

2、惠更斯－菲涅耳原理的數(shù)學(xué)表示在S上取一面元ds，ds子波源發(fā)出的子波在P點引起的振動為：基本出發(fā)點：波面S在其前面某點P相干疊加的結(jié)果，取決于波面上所有面元ds在P點產(chǎn)生的振動之和。dsnSPθr72、惠更斯－菲涅耳原理的數(shù)學(xué)表示在S上取一面元ds，ds77

波陣面上所有dS面元發(fā)出的子波在P點引起的合振動為式中C為比例系數(shù)，K(θ)為隨θ角增大而緩慢減小的函數(shù)，稱為傾斜因子.當(dāng)θ＝0時，K(θ)為最大；當(dāng)時，K(θ)＝0，因而子波疊加后振幅為零.8波陣面上所有dS面元發(fā)出的子波在P點引起的式中C為78§13-2單縫夫瑯禾費衍射DS一、單縫夫瑯禾費衍射

1、裝置和現(xiàn)象L1AEA：單縫E：屏幕L1、L2透鏡a中央明紋L2縫寬a縫屏距D（L2之焦距f）9§13-2單縫夫瑯禾費衍射DS一、單縫夫瑯禾費衍射L179

夫朗禾費單縫衍射圖樣是一組與狹縫平行的明暗相間的條紋，其中中央條紋最亮最寬。10夫朗禾費單縫衍射圖樣是一組與狹縫平行的明暗相間的條802、惠更斯－菲涅耳原理分析衍射過程

平行衍射光的獲得

設(shè)平行入射光垂直投射到縫K上，其波前與縫平面AB重合。按惠更斯原理，波前上的每一點都可看成發(fā)射球形子波的波源，而每個子波源都可以向前方各個方向發(fā)出無窮多束光線，統(tǒng)稱為衍射光，如圖中A點的1，2，3…光線都是衍射光線。ABKOO/Lφ123３２１３２１３２１３２１112、惠更斯－菲涅耳原理分析衍射過程平行衍射光的獲得81

每個子波源所發(fā)出的沿同一方向的平行光構(gòu)成了一束平行衍射光。如光線系1，光線系2，…等構(gòu)成無窮多束平行衍射光。ABKOO/Lφ123３２１３２１３２１３２１2、惠更斯－菲涅耳原理分析衍射過程

平行衍射光的獲得12每個子波源所發(fā)出的沿同一方向的平行光構(gòu)成了一束平行衍82

平行衍射光的方向每一個方向的平行光與單縫法線方向之間的夾角用表示，稱為衍射角，衍射角的變化范圍為0→±π/2。PaSL1L2ABCdLf13平行衍射光的方向每一個方向的平行光與單縫法線方向之間的83

平行衍射光在焦平面上相干匯聚

每一束平行光經(jīng)透鏡L2匯聚后，聚焦于L2焦平面上的一點。對同一束平行光而言，它們來自同一波前上的各個子波，因此滿足相干條件。

每一束平行光都在光屏上進(jìn)行相干疊加，其相干疊加后的振幅，則由他們的光程差決定。

顯然，對于=0的一束，其中每條光線的光程都相等，因而疊加結(jié)果相互加強，即為中央亮紋。14平行衍射光在焦平面上相干匯聚每一束平行光經(jīng)透鏡L2匯843、用半波帶理論分析衍射條件

①衍射角為的一束平行衍射光的光程差：

考慮一束平行衍射光，作AC⊥BC，則BC段即為這一束平行光的最大光程差。 （式中a為縫寬）ABCaL153、用半波帶理論分析衍射條件①衍射角為的一束平行衍射85

按相距／2作平行于AC的平面A1A1/,A2A2/,…將光程差BC分割成n個相等的部分，同時這些平面也將波面AB分割成n個相等的部分ＡＡ１，Ａ１Ａ２…它們稱之為波帶。③、用半波帶方法解釋衍射：

由于每相鄰波帶對應(yīng)點如A、A1，A1、A2…向方向發(fā)出的光波A〞A1〞

，A1〞A2〞

…

的光程差逐一相差半個波長，故稱之為“半波帶”。兩相鄰波帶的對應(yīng)點（如邊緣，中點）在P點引起的振動其位相差是。

②、半波帶方法：16按相距／2作平行于AC的平面A1A1/,A2A86aOPf各半波帶的面積相等，各波帶上的子波源的數(shù)目也相等。所以相鄰兩帶在P點振動的貢獻(xiàn)相互削弱，即為相消干涉。17aOPf各半波帶的面積相等，各波帶上的子波源的數(shù)目也87故在給定的衍射角中，若BC剛好截成偶數(shù)個半波帶，若BC剛好截成奇數(shù)個半波帶，則P點為相消干涉而出現(xiàn)暗紋；則P點的亮度介于次極大和極小之間。則P點為相長干涉而出現(xiàn)亮紋(多余的一個半波帶不能被抵消);若BC不為半波長的整數(shù)倍，18故在給定的衍射角中，若BC剛好截成偶數(shù)個半波帶，若BC88

④衍射圖樣中明、暗紋公式

中央明紋（零級衍射亮紋）：

另外也可看出，若角越大，則BC越長，因而半波帶數(shù)目越多，而縫寬AB=a為常數(shù)，因而每個半波帶的面積要減少（即每個半波帶上攜帶的光能量減少），于是級數(shù)越高，明條紋亮度越低，最后成模糊一片。

暗紋條件：

亮紋條件：

（近似值）19④衍射圖樣中明、暗紋公式中央明紋（零級衍射亮紋）：89

4、單縫衍射條紋特點

（1）條紋寬度設(shè)焦距f、縫寬a和波長，縫屏之間距離就是透鏡焦距f。中央明紋的線寬度為正負(fù)第一暗紋間距。中央明紋的角寬度(即條紋對透鏡中心的張角)為20。有時也用半角寬度描述。a204、單縫衍射條紋特點（1）條紋寬度設(shè)焦距f、縫寬a和90中央明紋線寬度為x0暗紋條件：這一關(guān)系稱衍射反比律中央明紋：21中央明紋線寬度為x0暗紋條件：這一關(guān)系稱衍射反比律中央91

對K級暗紋有

可見中央明紋約為其他各級明紋寬度的兩倍。（近似值）其他各級明紋的寬度為相鄰暗紋間距角寬度22對K級暗紋有可見中央明紋約為其他各級明紋寬度的兩倍。92（2）影響衍射圖樣的a和

：縫越窄，衍射越顯著，但a不能小于（a小于時也有衍射，但此時半波帶理論不成立）；縫越寬，衍射越不明顯，條紋向中心靠近，逐漸變成直線傳播。

由暗紋條件：若λ一定時，23（2）影響衍射圖樣的a和 ：縫越窄，衍射越93若a一定時，

由暗紋條件：

當(dāng)白光入射時，中央明紋仍為白色，其他各級由紫至紅，一般第2、3級即開始重疊。λ越大，衍射越顯著，24若a一定時，由暗紋條件：當(dāng)白光入射時，中央明紋仍94（3）各級亮紋強度分布是不均勻的以中央明紋的強度為1，則第一級明紋為4.5%

第二級明紋為1.6%

第三級明紋為0.83%I光強度32023asin25（3）各級亮紋強度分布是不均勻的以中央明紋的強度為1，則95例13.1用波長為λ的單色光照射狹縫，得到單縫的夫瑯禾費衍射圖樣，第3級暗紋位于屏上的P處，問：解利用半波帶法直接求解，與暗紋對應(yīng)的半波帶數(shù)為偶數(shù)2k(k＝1,2，…為暗紋級數(shù))；與中央明紋除外的明紋對應(yīng)的半波帶數(shù)為奇數(shù)2k＋1(k＝1,2，…為明紋級數(shù)).(1)若將狹縫寬度縮小一半，那么P處是明紋還是暗紋？(2)若用波長為1.5λ的單色光照射狹縫，P處是明紋還是暗紋？26例13.1用波長為λ的單色光照射狹縫，得到單縫的夫瑯禾96根據(jù)已知條件，在屏上P處出現(xiàn)第3級暗紋，所以對于P位置，狹縫處的波面可劃分為6個半波帶.(2)改用波長為1.5λ的單色光照射，則狹縫處波面可劃分的半波帶數(shù)變?yōu)樵瓉淼囊稽c五分之一，對于P位置，半波帶數(shù)變?yōu)?個，所以在P處將出現(xiàn)第2級暗紋.(1)縫寬減小到一半，對于P位置，狹縫處波面可分為3個半波帶，則在P處出現(xiàn)第1級明紋.27根據(jù)已知條件，在屏上P處出現(xiàn)第3級暗紋，所以對于P位置，97例13.2波長λ＝6000?的單色光垂直入射到縫寬a＝0.2mm的單縫上，縫后用焦距f＝50cm的會聚透鏡將衍射光會聚于屏幕上.求：(1)中央明條紋的角寬度、線寬度；(2)第1級明條紋的位置以及單縫處波面可分為幾個半波帶？(3)第1級明條紋寬度.解(1)第1級暗條紋對應(yīng)的衍射角為因很小，可知中央明條紋的角寬度為28例13.2波長λ＝6000?的單色光垂直入射到縫寬98第1級暗條紋到中央明條紋中心O的距離為因此中央明條紋的線寬度為(2)第1級明條紋對應(yīng)的衍射角滿足所以第1級明條紋中心到中央明條紋中心的距離為29第1級暗條紋到中央明條紋中心O的距離為因此中央明條紋的線99對應(yīng)于該值，單縫處波面可分的半波帶數(shù)為(3)設(shè)第2級暗條紋到中央明條紋中心O的距離為，對應(yīng)的衍射角為，故第1級明條紋的線寬度為由此可見，第1級明條紋的寬度約為中央明紋寬度的一半.30對應(yīng)于該值，單縫處波面可分的半波帶數(shù)為(3)設(shè)第2級100§13-3衍射光柵從上節(jié)的討論我們知道，原則上可以利用單色光通過單縫時所產(chǎn)生的衍射條紋來測定該單色光的波長.但為了測量的準(zhǔn)確，要求衍射條紋必須分得很開，條紋既細(xì)且明亮.然而對單縫衍射來說，這兩個要求難以同時達(dá)到.因為若要條紋分得開，單縫的寬度a就要很小，這樣通過單縫的光能量就少，以致條紋不夠明亮且難以看清楚；反之，若加大縫寬a，雖然觀察到的條紋較明亮，但條紋間距變小，不容易分辨.所以實際上測定光波波長時，往往不是使用單縫，而是采用能滿足上述測量要求的衍射光柵.31§13-3衍射光柵從上節(jié)的討論我們知道，原則上10113.3.1光柵衍射現(xiàn)象由大量等間距、等寬度的平行狹縫所組成的光學(xué)元件稱為衍射光柵.用于透射光衍射的叫透射光柵，用于反射光衍射的叫反射光柵.常用的透射光柵是在一塊玻璃片上刻畫許多等間距、等寬度的平行刻痕，刻痕處相當(dāng)于毛玻璃而不易透光，刻痕之間的光滑部分可以透光，相當(dāng)于一個單縫.圖13.9光柵3213.3.1光柵衍射現(xiàn)象由大量等間距、等寬度的平行狹102平行單色光垂直照射到光柵上，由光柵射出的光線經(jīng)透鏡L后，會聚于屏幕E上，因而在屏幕上出現(xiàn)平行于狹縫的明暗相間的光柵衍射條紋.這些條紋的特點是：明條紋很亮很窄，相鄰明紋間的暗區(qū)很寬，衍射圖樣十分清晰.圖13.10光柵衍射33平行單色光垂直照射到光柵上，由光柵射出的光線經(jīng)透鏡L后，10313.3.2光柵衍射規(guī)律光柵是由許多單縫組成的，每個縫都在屏幕上各自形成單縫衍射圖樣，由于各縫的寬度均為a，故它們形成的衍射圖樣都相同，且在屏幕上相互間完全重合.各單縫的衍射光在屏幕上重疊時，由于它們都是相干光，所以縫與縫之間的衍射光將產(chǎn)生干涉，其干涉條紋的明暗分布取決于相鄰兩縫到會聚點的光程差.

3413.3.2光柵衍射規(guī)律光柵是由許多單縫組成的，每個1041、光柵公式光柵的多光束形成的明條紋的亮度要比一條縫發(fā)出的光的亮度大得多.光柵縫的數(shù)目愈多，則明條紋愈明亮.

光柵衍射的明條紋位置應(yīng)滿足上式稱為光柵公式.k為明條紋級數(shù).從光柵公式可以看出，在波長一定的單色光照射下，光柵常數(shù)(a＋b)愈小，各級明條紋的角愈大，因而相鄰兩個明條紋分得愈開.351、光柵公式光柵的多光束形成的明條紋的亮度要比一條縫發(fā)出105光線斜入射時的光柵公式式中表示衍射方向與法線間的夾角，均取正值

圖13.11平行單色光的傾斜入射36光線斜入射時的光柵公式式中表示衍射方向與法線間1062、暗紋條件在光柵衍射中，相鄰兩主極大之間還分布著一些暗條紋.這些暗條紋是由各縫射出的衍射光因干涉相消而形成的.則出現(xiàn)暗條紋.

當(dāng)角滿足下述條件

k為主極大級數(shù)，N為光柵縫總數(shù)，n為正整數(shù).372、暗紋條件在光柵衍射中，相鄰兩主極大之間還分布著一些暗1073、單縫衍射對光強分布的影響多光束干涉的各明條紋要受單縫衍射的調(diào)制.單縫衍射光強大的方向明條紋的光強也大，單縫衍射光強小的方向明條紋的光強也小.

圖13.12光柵衍射光強分布示意圖383、單縫衍射對光強分布的影響多光束干涉的各明條紋要受單縫1084、缺級現(xiàn)象從光柵公式看來應(yīng)出現(xiàn)某k級明條紋的位置，實際上卻是暗條紋，即k級明條紋不出現(xiàn)，這種現(xiàn)象稱為光柵的缺級現(xiàn)象.缺級條件：一般只要為整數(shù)比時，則對應(yīng)的k級明條紋位置一定出現(xiàn)缺級現(xiàn)象.394、缺級現(xiàn)象從光柵公式看來應(yīng)出現(xiàn)某k級明條紋的位置，實際10913.3.3光柵光譜由光柵公式可知，在光柵常數(shù)一定的情況下，衍射角的大小與入射光波的波長有關(guān).因此當(dāng)白光通過光柵后，各種不同波長的光將產(chǎn)生各自分開的主極大明條紋.屏幕上除零級主極大明條紋由各種波長的光混合仍為白色外，其兩側(cè)將形成各級由紫到紅對稱排列的彩色光帶，這些光帶的整體稱為衍射光譜4013.3.3光柵光譜由光柵公式可知，在光柵常數(shù)一定的110圖13.13光柵光譜41圖13.13光柵光譜111例13.5一個每毫米均勻刻有200條刻線的光柵，用白光照射，在光柵后放一焦距為f＝500cm的透鏡，在透鏡的焦平面處有一個屏幕，如果在屏幕上開一個Δx＝1mm寬的細(xì)縫，細(xì)縫的內(nèi)側(cè)邊緣離中央極大中心5.0mm，如圖13.14所示.試求什么波長范圍的可見光可通過細(xì)縫？解利用光柵方程和衍射光路圖求出在Δx范圍內(nèi)的衍射光的波長范圍.此方法給出了一種選擇和獲得準(zhǔn)單色光的方法.圖13.1442例13.5一個每毫米均勻刻有200條刻線的光柵，用白光112按題意，光柵常數(shù)為由圖可以看出和都很小，所以，根據(jù)光柵方程，有43按題意，光柵常數(shù)為由圖可以看出和都很小，113因此顯然，在可見光范圍內(nèi)，k1和k2都只能取1.所以可通過細(xì)縫的可見光波波長范圍為44因此顯然，在可見光范圍內(nèi)，k1和k2都只能取1.所以可通114IrD=2R“愛里斑”DR§13-4圓孔衍射光學(xué)儀器的分辨率13.4.1圓孔衍射

1、裝置與現(xiàn)象45IrD=2R“愛里斑”DR§13-4圓孔衍射1152、愛里斑夫瑯和費圓孔衍射中，中央為亮圓斑。第一暗環(huán)所包圍的中央圓斑，稱為愛里斑。其占總?cè)肷涔鈴姷?4%。

半角寬度指愛里斑對透鏡中心張角的一半角寬度。式中D為圓孔的直徑，大多數(shù)情況應(yīng)為物鏡前光欄的直徑。

3、愛里斑的半角寬度：462、愛里斑半角寬度指愛里斑對透鏡中心張角的一半角116

圓孔衍射中央愛里斑半角寬θ=1.22/D

單縫衍射中央明紋半角寬Φ=/a兩相對比：說明二者除在反映障礙物幾何形狀的系數(shù)不同以外，其在定性方面是一致的。47圓孔衍射中央愛里斑半角寬θ=1.2211713.4.2光學(xué)儀器的分辯率

在幾何光學(xué)中，是一個物點對應(yīng)一個象點。在波動光學(xué)中，是一個物點（發(fā)光點），對應(yīng)一個愛里斑。1、圓孔衍射對成象質(zhì)量的影響

普通光學(xué)成象時，入射光可看成平行光，透過鏡頭后成象在底片上，故可視為夫瑯和費圓孔衍射。4813.4.2光學(xué)儀器的分辯率在幾何光學(xué)中，是118

光的衍射限制了光學(xué)儀器的分辨本領(lǐng)。

因此，當(dāng)兩個物點的愛里斑重疊到一定程度時，這兩個物點在底片上將不能區(qū)分，故愛里斑的存在就引發(fā)了一個光學(xué)儀器的分辨率問題。49光的衍射限制了光學(xué)儀器的分辨本領(lǐng)。因此，當(dāng)兩個119瑞利判據(jù)：如果某一物點斑象（即愛里斑）的中心恰好落在另一物點斑象的邊緣，這樣所定出的兩物點的距離作為光學(xué)儀器所能分辨的最小距離。2、分辨率

兩光強相同的非相干物點，其象點相互靠近，瑞利提出了一個可分辨的標(biāo)準(zhǔn)。S1S2成像系統(tǒng)S1’S2’50瑞利判據(jù)：如果某一物點斑象（即愛里斑）的中心恰好落在另一120S1S2S1S2S1S2能分辨恰能分辨不能分辨51S1S2S1S2S1S2能分辨恰能分辨不能分辨121

兩物點對透鏡光心的張角稱為光學(xué)儀器的最小分辨角，用θ0表示，它正好等于每個愛里斑的半角寬度，即最小分辨角的倒數(shù)1／θ0

稱為光學(xué)儀器的分辨率。S1S2成像系統(tǒng)S1’S2’52兩物點對透鏡光心的張角稱為光學(xué)儀器的最小分辨角，122

因此，為提高儀器分辨率，或說為提高成象質(zhì)量，由愛里斑半角公式，得光學(xué)儀器的分辨率

方法之一使透鏡鏡頭直徑加大。

方法之二降低入射光的波長。53因此，為提高儀器分辨率，或說為提高成象質(zhì)量，由愛里斑半123

望遠(yuǎn)鏡：不可選擇，可使D；顯微鏡：D不會很大，可使。電子：0.1?

1?,∴電子顯微鏡分辨本領(lǐng)很高，可觀察物質(zhì)結(jié)構(gòu)。人眼：對＝5500?的光，＝1／在9m遠(yuǎn)處可分辨相距2mm的兩個點。54望遠(yuǎn)鏡：