偏微分方程的解法

關(guān)于偏微分方程的解法第一頁，共二十六頁，2022年，8月28日1、設(shè)置PDE的定解問題．即設(shè)置二維定解區(qū)域、邊界條件以及方程的形式；和系數(shù)2、用有限元法（FEM）求解PDE．即網(wǎng)格的生成、方程的離散以及求出數(shù)值解；3、解的可視化．主要講述如何用MATLAB實現(xiàn)對偏微分方程的仿真求解．MATLAB的偏微分方程工具箱（PDEToolbox）的出現(xiàn)，為偏微分方程的求解以及定性研究提供了捷徑．主要步驟為：第二頁，共二十六頁，2022年，8月28日PDEToolbox注意事項只能解決二維模型，一維的擴(kuò)成二維，三維的縮成二維，時間維不計算在內(nèi)公式類型，只能解決部分偏微分方程，由公式類型決定邊界條件兩種，Dirichlet和Neumann初始條件第三頁，共二十六頁，2022年，8月28日先確定方程大類第四頁，共二十六頁，2022年，8月28日DrawMode畫圖模式，先將處理的區(qū)域畫出來，二維，方形，圓形，支持多邊形，可以手動更改坐標(biāo)，旋轉(zhuǎn)rotate例如，對于細(xì)桿導(dǎo)熱，雖然是一維問題，可以將寬度y虛擬出來，對應(yīng)于y的邊界條件和初始條件按照題意制定第五頁，共二十六頁，2022年，8月28日BoundaryMode

第六頁，共二十六頁，2022年，8月28日PDEModePDESpecification，確定偏微分方程類型共有四種：第七頁，共二十六頁，2022年，8月28日橢圓形Elliptic

第八頁，共二十六頁，2022年，8月28日拋物型Parabolic

第九頁，共二十六頁，2022年，8月28日雙曲型Hyperbolic

第十頁，共二十六頁，2022年，8月28日MeshMode網(wǎng)格劃分，細(xì)化第十一頁，共二十六頁，2022年，8月28日Solve，Plot如果有初始條件（與t有關(guān)），則在Solve的Parameters里有其設(shè)定，如果沒有初始條件（與t無關(guān)），則不必設(shè)定Plot只是確定畫圖的參數(shù)，包括是否動畫，是否3D，是否畫出等溫線，是否有箭頭。。。第十二頁，共二十六頁，2022年，8月28日SaveAs保存成M-file，自動生成第十三頁，共二十六頁，2022年，8月28日例：解熱傳導(dǎo)方程邊界條件是齊次類型，定解區(qū)域自定。

【解】第一步：啟動MATLAB，鍵入命令pdetool并回車，就進(jìn)入GUI．在Options菜單下選擇Gid命令，打開柵格，柵格使用戶容易確定所繪圖形的大小．第二步：選定定解區(qū)域本題為自定區(qū)域：自擬定解區(qū)域如圖221所示：E1-E2+R1-E3．具體用快捷工具分別畫橢圓E1、圓E2、矩形R1、圓E3．然后在Setformula欄中進(jìn)行編輯并用算術(shù)運(yùn)算符將圖形對象名稱連接起來(或刪去默認(rèn)的表達(dá)式，直接鍵入E1-E2+R1-E3)第十四頁，共二十六頁，2022年，8月28日第十五頁，共二十六頁，2022年，8月28日第三步：選取邊界

首先選擇Boundary菜單中BoundaryMode命令，進(jìn)入邊界模式．然后單擊Boundary菜單中RemoveAllSubdomainBorders選項。從而去掉子域邊界，如圖222．單擊Boundary菜單中SpecifyBoundaryConditions選項，打開BoundaryConditions對話框，輸入邊界件．本例取默認(rèn)條件，即將全部邊界設(shè)為齊次Dirichlet條件，邊界顯示為紅色．如果想將幾何與邊界信息存儲，可選Boundary菜單中的ExportDecomposedGeometrv．BoundaryCond's命令，將它們分別存儲在g、b變量中，并通過MATLAB形成M文件．第十六頁，共二十六頁，2022年，8月28日第十七頁，共二十六頁，2022年，8月28日第四步：設(shè)置方程類型選擇PDE菜單中PDEMode命令，進(jìn)入PDE模式，再單擊PDE菜單中PDESecification選項，打開PDESecification對話框，設(shè)置方程類型．本例取拋物型方程故參數(shù)c,a,f,d,分別是l，0，10，1．第五步：選擇Mesh菜單中InitializeMesh命令，進(jìn)行網(wǎng)格剖分，選擇Mesh菜單中RefineMesh命令，使網(wǎng)格密集化，如圖22.3．第十八頁，共二十六頁，2022年，8月28日第十九頁，共二十六頁，2022年，8月28日第六步：解偏微分方程并顯示圖形解選擇Solve菜單中SolvePDE命令，解偏微分方程并顯示圖形解，如圖2.4所示第二十頁，共二十六頁，2022年，8月28日第二十一頁，共二十六頁，2022年，8月28日

第七步：單擊Plot菜單中Parameter選項，打開PlotSelection對話框，選中Color,Height(3Dplot)和Showmesh三項.再單擊Polt按鈕，顯示三維圖形解，如圖22.5所示.第二十二頁，共二十六頁，2022年，8月28日第八步：若要畫等值線圖和矢量場圖，單擊plot菜單中parameter選項，在plotselection對話框中選中contour和arrow兩選項。然后單擊plot按鈕，可顯示解的等值線圖和矢量場圖，如圖2.6所示。圖2.6解的等值線圖和矢量場圖

第二十三頁，共二十六頁，2022年，8月28日求解橢圓型方程的例子第二十四頁，共二十六頁，2022年，8月28日求解拋物型方程的例子考慮一個帶有矩形孔的金屬板上的熱傳導(dǎo)問題。板的左邊保持在100°C，板的右邊熱量從板向環(huán)境空氣定常流動，其他邊及內(nèi)孔邊界保持絕緣。初始是板的溫度為0°C，于是概括為如下定解問題;區(qū)域的邊界頂點坐標(biāo)為(-0.5,-0.8),(0.5,-0.8),(-0.5,0.8)