第3講　變量間相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計案例

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第第3講

變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計案例

[考綱解讀]1.會作兩個相關(guān)變量的數(shù)據(jù)的散點圖，會利用散點圖熟悉變量間的相關(guān)關(guān)系；根據(jù)最小二乘法求出回歸直線方程．(重點)2．了解獨立性檢驗(只要求22列聯(lián)表)的根本思想、方法及其初步應(yīng)用．

[考向預(yù)料]從近三年高考處境來看，本講是高考中的一個熱點測驗內(nèi)容．預(yù)料2021年將會測驗：①回歸直線方程的判斷、求解及相關(guān)系數(shù)的意義，并用其解決實際問題；②獨立性檢驗思想在實際問題中的應(yīng)用．試題以解答題的形式呈現(xiàn)，難度為中等．此外，也可能展現(xiàn)在客觀題中，此時試題難度不大，屬中、低檔題型.

1.相關(guān)關(guān)系與回歸方程(1)相關(guān)關(guān)系的分類①正相關(guān)：從散點圖上看，點散布在從01左下角到02右上角的區(qū)域內(nèi)，如圖1；②負相關(guān)：從散點圖上看，點散布在從03左上角到04右下角的區(qū)域內(nèi)，如圖2.

(2)線性相關(guān)關(guān)系：從散點圖上看，假設(shè)這些點從整體上看大致分布在05一條直線鄰近，那么稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做06回歸直線.

(3)回歸方程①最小二乘法：使得樣本數(shù)據(jù)的點到回歸直線的07距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法．②回歸方程：兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，，(xn，yn)，其回歸方程為y^＝b^x＋a^，那么b^＝i＝1nxi－x－yi－y－i＝1nxi－x－2＝i＝1nxiyi－nx－y－i＝1nx2i－nx－2，a^＝y(tǒng)－－b^x－.其中，b^是回歸方程的08斜率，a^是在y軸上的09截距，x－＝1nni＝1xi，y－＝1nni＝1yi，10(x－，y－)稱為樣本點的中心．說明：回歸直線y^＝b^x＋a^必過樣本點的中心(x－，y－)，這個結(jié)論既是檢驗所求回歸直線方程是否切實的依據(jù)，也是求參數(shù)的一個依據(jù)．(4)樣本相關(guān)系數(shù)r＝i＝1nxi－x－yi－y－i＝1nxi－x－2i＝1nyi－y－2，用它來衡量兩個變量間的線性相關(guān)關(guān)系．①當(dāng)r0時，說明兩個變量11正相關(guān)；②當(dāng)r0時，說明兩個變量12負相關(guān)；③r的十足值越接近1，說明兩個變量的線性相關(guān)性13越強；r的十足值接近于0，說明兩個變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系．通常當(dāng)|r|0.75時，認為兩個變量有很強的線性相關(guān)關(guān)系．2．殘差分析(1)殘差：對于樣本點(x1，y1)，(x2，y2)，，(xn，yn)，它們的隨機誤差為ei＝y(tǒng)i－bxi－a，i＝1,2，，n，其估計值為e^i＝y(tǒng)i－y^i＝y(tǒng)i－b^xi－a^，i＝1,2，，n，

e^i稱為相應(yīng)于點(xi，yi)的殘差．(2)殘差平方和為ni＝1

(yi－y^i)2.(3)相關(guān)指數(shù)：R2＝1－01ni＝1

yi－y^i2ni＝1

yi－y－2.3．獨立性檢驗(1)分類變量：變量的不同"值'表示個體所屬的01不同類別，像這類變量稱為分類變量．(2)列聯(lián)表：列出兩個分類變量的02頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表．假設(shè)有兩個分類變量X和Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為22列聯(lián)表)為

22列聯(lián)表

y1

y2

總計x1

aba＋bx2

cdc＋d總計a＋cB＋da＋b＋c＋d構(gòu)造一個隨機變量K2＝03nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d，其中n＝04a＋b＋c＋d為樣本容量．(3)獨立性檢驗利用隨機變量05K2來判斷"兩個分類變量06有關(guān)系'的方法稱為獨立性檢驗．

1．概念辨析(1)相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系都是一種確定性的關(guān)系，也是一種因果關(guān)系．(

)(2)"名師出高徒'可以解釋為教師的教學(xué)水平與學(xué)生水平成正相關(guān)關(guān)系．(

)(3)只有兩個變量有相關(guān)關(guān)系，所得到的回歸模型才有預(yù)料價值．(

)(4)事情X，Y關(guān)系越緊密，那么由觀測數(shù)據(jù)計算得到的K2的觀測值越大．(

)(5)由獨立性檢驗可知，有99%的把握認為物理勞績優(yōu)秀與數(shù)學(xué)勞績有關(guān)，某人數(shù)學(xué)勞績優(yōu)秀，那么他有99%的可能物理優(yōu)秀．(

)答案(1)(2)(3)(4)(5)2．小題熱身(1)設(shè)回歸方程為y^＝3－5x，那么變量x增加一個單位時(

)A．y平均增加3個單位

B．y平均裁減5個單位C．y平均增加5個單位

D．y平均裁減3個單位答案B解析由于－5是斜率的估計值，說明x每增加一個單位，y平均裁減5個單

位．應(yīng)選B.(2)在以下各圖中，兩個變量具有相關(guān)關(guān)系的圖是(

)

A．①②

B．①③

C．②④

D．②③答案D解析①為函數(shù)關(guān)系；②鮮明成正相關(guān)；③鮮明成負相關(guān)；④沒有明顯相關(guān)性．(3)隨著國家二孩政策的全面放開，為了調(diào)查一線城市和非一線城市的二孩生育意愿，某機構(gòu)用簡樸隨機抽樣方法從不同地區(qū)調(diào)查了100位育齡婦女，結(jié)果如表．

非一線一線總計愿生452065不愿生132235總計5842100算得K2＝1004522－20222584235659.616.附表：

P(K2k0)0.0500.0100.001k0

3.8416.63510.828參照附表，得到的正確結(jié)論是(

)A．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為"生育意愿與城市級別有關(guān)'B．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為"生育意愿與城市級別無關(guān)'C．有99%以上的把握認為"生育意愿與城市級別有關(guān)'D．有99%以上的把握認為"生育意愿與城市級別無關(guān)'答案C

解析由于K29.6166.635，所以有99%以上的把握認為"生育意愿與城市級別有關(guān)'．(4)已知變量x，y具有線性相關(guān)關(guān)系，它們之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示，若y關(guān)于x的回歸方程為y^＝1.3x－1，那么m＝________.x1234y0.11.8m4答案3.1解析由已知得x－＝14(1＋2＋3＋4)＝2.5，y－＝14(0.1＋1.8＋m＋4)＝14(5.9＋m)．由于(x－，y－)在直線y^＝1.3x－1上，所以y－＝1.32.5－1＝2.25，所以14(5.9＋m)＝2.25，解得m＝3.1.

題型一相關(guān)關(guān)系的判斷

1．以下兩變量中不存在相關(guān)關(guān)系的是(

)①人的身高與視力；②曲線上的點與該點的坐標之間的關(guān)系；③某農(nóng)田的水稻產(chǎn)量與施肥量；④某同學(xué)考試勞績與復(fù)習(xí)時間的投入量；⑤勻速行駛的汽車的行駛距離與時間；⑥商品的銷售額與廣告費．A．①②⑤

B．①③⑥

C．④⑤⑥

D．②⑥答案A解析根據(jù)相關(guān)關(guān)系的定義知，①②⑤中兩個變量不存在相關(guān)關(guān)系．2．以下命題中正確的為(

)

A．線性相關(guān)系數(shù)r越大，兩個變量的線性相關(guān)性越強B．線性相關(guān)系數(shù)r越小，兩個變量的線性相關(guān)性越弱C．殘差平方和越小的模型，模型擬合的效果越好D．用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸效果，R2越小，說明模型的擬合效果越好答案C解析線性相關(guān)系數(shù)r的十足值越接近于1，兩個變量的線性相關(guān)性越強，故A，B錯誤；殘差平方和越小，相關(guān)指數(shù)R2越大，越接近于1，擬合效果越好，故C正確，D錯誤．3．對四組數(shù)據(jù)舉行統(tǒng)計，獲得如下圖的散點圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的對比，正確的是(

)

A．r2r40r3r1

B．r4r20r1r3

C．r4r20r3r1

D．r2r40r1r3

答案A解析易知題中圖①與圖③是正相關(guān)，圖②與圖④是負相關(guān)，且圖①與圖②中的樣本點集中分布在一條直線鄰近，那么r2r40r3r1.應(yīng)選A.

1．判定兩個變量正、負相關(guān)性的方法(1)畫散點圖：點的分布從左下角到右上角，兩個變量正相關(guān)；點的分布從左上角到右下角，兩個變量負相關(guān)．(2)相關(guān)系數(shù)：r0時，正相關(guān)；r0時，負相關(guān)．|r|越趨近于1相關(guān)性越強．見

舉例說明3.(3)線性回歸直線方程中：b^0時，正相關(guān)；b^0時，負相關(guān)．2．判斷擬合效果的兩個方法(1)殘差平方和越小，擬合效果越好．見舉例說明2.(2)相關(guān)指數(shù)R2越大，越接近于1，擬合效果越好．

1．在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，，(xn，yn)(n2，x1，x2，，xn不全相等)的散點圖中，若全體樣本點(xi，yi)(i＝1,2，，n)都在直線y＝12x＋1上，那么這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為(

)A．－1

B．0

C.12

D．1答案D解析全體點均在直線上，那么樣本相關(guān)系數(shù)最大即為1，應(yīng)選D.2．四名同學(xué)根據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量x，y之間的相關(guān)關(guān)系，并求得線性回歸方程，分別得到以下四個結(jié)論：

①y與x負相關(guān)且y^＝2.347x－6.423；②y與x負相關(guān)且y^＝－3.476x＋5.648；③y與x正相關(guān)且y^＝5.437x＋8.493；④y與x正相關(guān)且y^＝－4.326x－4.578.其中確定不正確的結(jié)論的序號是(

)A．①②

B．②③

C．③④

D．①④答案D解析由回歸方程y^＝b^x＋a^知當(dāng)b^0時，y與x正相關(guān)，當(dāng)b^0時，y與x負相關(guān)，①④確定錯誤．題型二回歸分析

角度1線性回歸方程及應(yīng)用1．某汽車的使用年數(shù)x與所支出的修理總費用y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表：

使用年數(shù)x/年12345修理總費用y/萬元0.51.22.23.34.5根據(jù)上表可得y關(guān)于x的線性回歸方程y^＝b^x－0.69，若該汽車修理總費用超過10萬元就不再修理，直接報廢，據(jù)此模型預(yù)料該汽車最多可使用(缺乏1年按1年計算)(

)A．8年

B．9年

C．10年

D．11年答案D解析由y關(guān)于x的線性回歸直線y^＝b^x－0.69過樣本點的中心(3,2.34)，得b^＝1.01，即線性回歸方程為y^＝1.01x－0.69，令y^＝1.01x－0.69＝10，得x10.6，所以預(yù)料該汽車最多可使用11年．應(yīng)選D.2．(2022東北三省三校三模)現(xiàn)代社會，"鼠標手'已成為常見?。淮螠y驗中，10名測驗對象舉行160分鐘的連續(xù)鼠標點擊嬉戲，每位測驗對象完成的嬉戲關(guān)卡一樣，鼠標點擊頻率平均為180次/分鐘，測驗研究人員測試了測驗對象使用鼠標前后的握力變化，前臂外觀肌電頻率(sEMG)等指標．(1)10名測驗對象測驗前、后握力(單位：N)測試結(jié)果如下：

測驗前：346,357,358,360,362,362,364,372,373,376.測驗后：313,321,322,324,330,332,334,343,350,361.完成莖葉圖，并計算測驗后握力平均值比測驗前握力的平均值下降了多少N?

(2)測驗過程中測得時間t(分)與10名測驗對象前臂外觀肌電頻率(sEMG)的中位數(shù)y(Hz)的九組對應(yīng)數(shù)據(jù)(t，y)為(0,87)，(20,84)，(40,86)，(60,79)，(80,78)，(100,78)，

(120,76)，(140,77)，(160,75)．建立y關(guān)于時間t的線性回歸方程；(3)若肌肉肌電水平顯著下降，提示肌肉明顯進入疲乏狀態(tài)，根據(jù)(2)中九組數(shù)據(jù)分析，使用鼠標多少分鐘就該舉行休息了？參考數(shù)據(jù)：9i＝1

(ti－t)(yi－y－)＝－1800；參考公式：回歸方程y^＝b^t＋a^中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：b^＝ni＝1

ti－tyi－y－ni＝1

ti－t2，a^＝y(tǒng)－－b^t.解(1)根據(jù)題意得到莖葉圖如右圖所示：

由圖中數(shù)據(jù)可得x－1＝110(346＋357＋358＋360＋362＋362＋364＋372＋373＋376)＝363，x－2＝110(313＋321＋322＋324＋330＋332＋334＋343＋350＋361)＝333，x－1－x－2＝363－333＝30(N)，故測驗前后握力的平均值下降了30N.(2)由題意得t＝19(0＋20＋40＋60＋80＋100＋120＋140＋160)＝80，y－＝19(87＋84＋86＋79＋78＋78＋76＋77＋75)＝80，9i＝1

(ti－t)2＝(0－80)2＋(20－80)2＋(40－80)2＋(60－80)2＋(80－80)2＋(100－80)2＋(120－80)2＋(140－80)2＋(160－80)2＝24000，又9i＝1

(ti－t)(yi－y－)＝－1800，

b^＝9i＝1

ti－tyi－y－9i＝1

ti－t2＝－180024000＝－0.075，a^＝y(tǒng)－－b^t＝80－(－0.075)80＝86，y關(guān)于時間t的線性回歸方程為y^＝－0.075t＋86.(3)九組數(shù)據(jù)中40分鐘到60分鐘y的下降幅度最大，提示60分鐘時肌肉已經(jīng)進入疲乏狀態(tài)，故使用鼠標60分鐘就該休息了．角度2非線性回歸模型的應(yīng)用3．(2022莆田二模)某芯片公司為制定下一年的研發(fā)投入籌劃，需了解年研發(fā)資金投入量xi(單位：億元)對年銷售額yi(單位：億元)的影響．該公司對歷史數(shù)據(jù)舉行比較分析，建立了兩個函數(shù)模型：①y＝＋x2，②y＝ex＋t，其中，，，t均為常數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)．現(xiàn)該公司收集了近12年的年研發(fā)資金投入量xi和年銷售額yi的數(shù)據(jù)，i＝1,2，，12，并對這些數(shù)據(jù)作了初步處理，得到了如下的散點圖及一些統(tǒng)計量的值．

令ui＝x2，vi＝lnyi(i＝1,2，，12)，經(jīng)計算得如下數(shù)據(jù)：

x－

y－

i＝112(xi－x－)2

i＝112(yi－y－)2

u－

v－

20667702004604.20

i＝112(ui－u－)2

i＝112(ui－u－)i＝112(vi－v－)2

i＝112(xi－x－)

(yi－y－)(vi－v－)3125000215000.30814(1)設(shè){ui}和{yi}的相關(guān)系數(shù)為r1，{xi}和{vi}的相關(guān)系數(shù)為r2，請從相關(guān)系數(shù)的角度，選擇一個擬合程度更好的模型；(2)①根據(jù)(1)的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程(系數(shù)精確到0.01)；②若下一年銷售額y需達成90億元，預(yù)料下一年的研發(fā)資金投入量x是多少億元？附：相關(guān)系數(shù)r＝i＝1nxi－x－yi－y－i＝1nxi－x－2i＝1nyi－y－2，回歸直線y^＝a^＋b^x中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為b^＝i＝1nxi－x－yi－y－i＝1nxi－x－2，a^＝y(tǒng)－－b^x－；參考數(shù)據(jù)：308＝477，909.4868，e4.499890.解(1)由題意，r1＝i＝112ui－u－yi－y－i＝112ui－u－2i＝112yi－y－2＝215003125000200＝2150025000＝4350＝0.86，r2＝i＝112xi－x－vi－v－i＝112xi－x－2i＝112vi－v－2＝147700.308

＝14770.2＝10110.91，那么|r1||r2|，因此從相關(guān)系數(shù)的角度，模型y＝ex＋t的擬合程度更好．(2)①先建立v關(guān)于x的線性回歸方程，由y＝ex＋t，得lny＝t＋x，即v＝t＋x；由于＝i＝112xi－x－vi－v－i＝112xi－x－2＝147700.018，t＝v－－x－＝4.20－0.01820＝3.84，所以v關(guān)于x的線性回歸方程為v^＝0.02x＋3.84，所以lny^＝0.02x＋3.84，那么y^＝e0.02x＋3.84.②下一年銷售額y需達成90億元，即y＝90，代入y^＝e0.02x＋3.84，得90＝e0.02x＋3.84，又e4.499890，所以4.49980.02x＋3.84，所以x4.4998－3.840.02＝32.99，所以預(yù)料下一年的研發(fā)資金投入量約是32.99億元．

1．利用線性回歸方程時的關(guān)注點(1)正確理解計算b^，a^的公式和切實的計算是求線性回歸方程的關(guān)鍵．(2)回歸直線方程y^＝b^x＋a^必過樣本點中心(x－，y－)．見舉例說明1.(3)在分析兩個變量的相關(guān)關(guān)系時，可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點圖來確定兩個變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系，若具有線性相關(guān)關(guān)系，那么可通過線性回歸方程來估計和預(yù)料．2．非線性回歸方程的求法

(1)根據(jù)原始數(shù)據(jù)(x，y)作出散點圖．(2)根據(jù)散點圖選擇恰當(dāng)?shù)臄M合函數(shù)．(3)作恰當(dāng)?shù)淖儞Q，將其轉(zhuǎn)化成線性函數(shù)，求線性回歸方程．(4)在(3)的根基上通過相應(yīng)變換，即可得非線性回歸方程．見舉例說明3.

1．(2022南寧二模)一汽車銷售公司對開業(yè)4年來某種型號的汽車"五一'優(yōu)待金額與銷售量之間的關(guān)系舉行分析研究并做了記錄，得到如下資料．日期第1年第2年第3年第4年優(yōu)待金額x(千元)10111312銷售量y(輛)22243127經(jīng)過統(tǒng)計分析(利用散點圖)可知x，y線性相關(guān)．(1)用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程y^＝b^x＋a^；(2)若第5年優(yōu)待金額為8.5千元，估計第5年的銷售量y(輛)的值．參考公式：b^＝i＝1nxi－x－yi－y－i＝1nxi－x－2＝i＝1nxiyi－nx－y－i＝1nx2i－nx－2，a^＝y(tǒng)－－b^x－.解(1)由題意，得x－＝11.5，y－＝26，i＝14xiyi＝1211，i＝14x2i＝534，b^＝i＝14xiyi－4x－y－i＝14x2i－4x－2＝1211－411.526534－411.52＝155＝3，那么a^＝y(tǒng)－－b^x－＝26－311.5＝－8.5.y^＝3x－8.5.(2)當(dāng)x＝8.5時，y^＝17，第5年優(yōu)待金額為8.5千元時，銷售量估計為17輛．

2．對某地區(qū)兒童的身高與體重的一組數(shù)據(jù)，我們用兩種模型：①y＝bx＋a，②y＝cedx擬合，得到回歸方程分別為y^(1)＝0.24x－8.81，y^(2)＝1.70e0.022x，作殘差分析，如下表：

身高x(cm)60708090100110體重y(kg)6810141518e^(1)

0.410.01

1.21－0.190.41e^(2)

－0.360.070.121.69－0.34－1.12(1)求表中空格內(nèi)的值；(2)根據(jù)殘差對比模型①②的擬合效果，抉擇選擇哪個模型；(3)若殘差大于1kg的樣本點被認為是奇怪數(shù)據(jù)，應(yīng)剔除，剔除后對(2)所選擇的模型重新建立回歸方程．(結(jié)果留存到小數(shù)點后兩位)附：對于一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，，(xn，yn)，其回歸直線y^＝b^x＋a^的斜率和截距的最小二乘估計分別為b^＝ni＝1

xi－x－yi－y－ni＝1

xi－x－2，a^＝y(tǒng)－－b^x－.解(1)根據(jù)殘差分析，把x＝80代入y^(1)＝0.24x－8.81中，得y^(1)＝10.39.∵10－10.39＝－0.39，表中空格內(nèi)的值為－0.39.(2)模型①殘差的十足值的和為0.41＋0.01＋0.39＋1.21＋0.19＋0.41＝2.62，模型②殘差的十足值的和為0.36＋0.07＋0.12＋1.69＋0.34＋1.12＝3.7.∵2.623.7，模型①的擬合效果對比好，選擇模型①.(3)殘差大于1kg的樣本點被剔除后，剩余的數(shù)據(jù)如下表：

身高x(cm)607080100110體重y(kg)68101518e^(1)

0.410.01－0.39－0.190.41

那么x－＝84，y－＝11.4，i＝15(xi－x－)(yi－y－)＝412，i＝15(xi－x－)2＝1720，由公式b^＝ni＝1

xi－x－yi－y－ni＝1

xi－x－2，a^＝y(tǒng)－－b^x－，得b^0.24，a^＝－8.76，得回歸方程為y^＝0.24x－8.76.題型三獨立性檢驗

1．假設(shè)有兩個分類變量X和Y的22列聯(lián)表如下：

YX

y1

y2

總計x1

a10a＋10x2

c30c＋30總計6040100對同一樣本，以下數(shù)據(jù)能說明X與Y有關(guān)系的可能性最大的一組為(

)A．a(chǎn)＝45，c＝15

B．a(chǎn)＝40，c＝20C．a(chǎn)＝35，c＝25

D．a(chǎn)＝30，c＝30答案A解析根據(jù)22列聯(lián)表與獨立性檢驗可知，當(dāng)aa＋10與cc＋30相差越大時，X與Y有關(guān)系的可能性越大，即a，c相差越大，aa＋10與cc＋30相差越大．應(yīng)選A.2．(2022南昌三模)某校高三文科(1)班共有學(xué)生45人，其中男生15人，女生30人．在一次地理考試后，對勞績作了數(shù)據(jù)分析(總分值100分)，勞績?yōu)?5分以上的同學(xué)稱為"地理之星'，得到了如以下聯(lián)表和條形圖：

地理之星非地理之星合計男生

女生

合計

假設(shè)從全班45人中任意抽取1人，抽到"地理之星'的概率為13.

(1)完成"地理之星'與性別的22列聯(lián)表，并回復(fù)是否有90%以上的把握認為獲得"地理之星'與"性別'有關(guān)？(2)若已知此次考試中獲得"地理之星'的同學(xué)的勞績平均值為90，方差為7.2，請你判斷這些同學(xué)中是否有得到總分值的同學(xué)，并說明理由．(得分均為整數(shù)分)參考公式：K2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d，其中n＝a＋b＋c＋d.臨界值表：

P(K2k0)0.100.050.0100.0050.001k0

2.7063.8416.6357.87910.828解(1)根據(jù)題意知"地理之星'總?cè)藬?shù)為4513＝15，填寫列聯(lián)表如下：

地理之星非地理之星合計男生7815女生82230合計153045根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算K2＝45722－88215301530＝1.82.706，所以沒有90%的把握認為獲得"地理之星'與性別有關(guān)．(2)沒有得總分值的同學(xué)．記各個分值由高到低分別為x1，x2，，x15.

①若有2個以上的總分值，那么s2＝115[(100－90)2＋(100－90)2＋＋(x15－90)2]4037.2，不符合題意．②若恰有1個總分值，為使方差最小，那么其他分值需集中分布在平均數(shù)90的鄰近，且為保證平均值為90，那么有10個得分為89，其余4個得分為90，此時方差取得最小值，s2min＝115[(100－90)2＋4(90－90)2＋10(89－90)2]＝2237.2，與題意方差為7.2不符合，所以這些同學(xué)中沒有得總分值的同學(xué)．

獨立性檢驗的一般步驟(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)列出22列聯(lián)表；(2)計算隨機變量K2的觀測值k，查表確定臨界值k0；(3)假設(shè)kk0，就推斷"X與Y有關(guān)系'，這種推斷犯錯誤的概率不超過P(K2k0)；否那么，就認為在犯錯誤的概率不超過P(K2k0)的前提下不能推斷"X與Y有關(guān)系'．

1．學(xué)生會為了調(diào)查學(xué)生對2022年俄羅斯世界杯的關(guān)注是否與性別有關(guān)，抽樣調(diào)查100人，得到如下數(shù)據(jù)：

不關(guān)注關(guān)注總計男生301545女生451055總計7525100根據(jù)表中數(shù)據(jù)，通過計算統(tǒng)計量K2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d，并參考以下臨界數(shù)據(jù)：

P(K2

k0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001

k0

0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828若由此認為"學(xué)生對2022年俄羅斯世界杯的關(guān)注與性別有關(guān)'，那么此結(jié)論出錯的概率不超過(

)A．0.10

B．0.05

C．0.025

D．0.01答案A解析由題意可得K2＝1003010－15452455575253.0302.706，由此認為"學(xué)生對2022年俄羅斯世界杯的關(guān)注與性別有關(guān)'出錯的概率不超過0.10.應(yīng)選A.2．(2022全國卷Ⅲ)某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動，提出了完成某項生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式．為對比兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機分成兩組，每組20人，第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，其次組工人用其次種生產(chǎn)方式．根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時間(單位：min)繪制了如下莖葉圖：

(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由；(2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)m，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：

超過m不超過m第一種生產(chǎn)方式

其次種生產(chǎn)方式

(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？附：K2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d，

P(K2k0)0.0500.0100.001k0

3.8416.63510.828解(1)其次種生產(chǎn)方式的效率更高．理由如下：

①由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間超過80分鐘，用其次種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間不超過79分鐘．因此其次種生產(chǎn)方式的效率更高．②由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)為85.5分鐘，用其次種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)為73.5分鐘．因此其次種生產(chǎn)方式的效率更高．③由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時間高于80分鐘；用其次種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時間低于80分鐘，因此其次種生產(chǎn)方式的效率更高．④由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布在莖8上的最多，關(guān)于莖8大致呈對稱分布；用其次種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布在莖7上的最多，關(guān)于莖7大致呈對稱分布，又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布的區(qū)間一致，故可以認為用其次種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時間更少，因此其次種生產(chǎn)方式的效率更高．(以上給出了4種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可)(2)由莖葉圖知m＝79＋812＝80.列聯(lián)表如下：

超過m不超過m第一種生產(chǎn)方式155其次種生產(chǎn)方式515

(3)由于K2的觀測值k＝401515－55220222022＝106.635，所以有99%的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異．

課時作業(yè)

組根基關(guān)1．查看以下各圖形：

其中兩個變量x，y具有相關(guān)關(guān)系的圖是(

)A．①②

B．①④

C．③④

D．②③答案C解析查看散點圖可知，兩個變量x，y具有相關(guān)關(guān)系的圖是③④.2．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對A，B兩變量的線性相關(guān)性做試驗，并用回歸分析方法分別求得相關(guān)系數(shù)r與殘差平方和m如下表：

甲乙丙丁r0.820.780.690.85m106115124103那么哪位同學(xué)的試驗結(jié)果表達A，B兩變量有更強的線性相關(guān)性(

)A．甲

B．乙

C．丙

D．丁答案D解析在驗證兩個變量之間的線性相關(guān)關(guān)系時，相關(guān)系數(shù)的十足值越接近1，相關(guān)性越強，在四個選項中只有丁的相關(guān)系數(shù)最大；殘差平方和越小，相關(guān)性越強，只有丁的殘差平方和最小，綜上可知丁的試驗結(jié)果表達了A，B兩個變量有更強的線性相關(guān)性．應(yīng)選D.3．(2022湖北省七市(州)教科研協(xié)作體聯(lián)考)為了規(guī)定工時定額，需要確定加

工零件所花費的時間，為此舉行了5次試驗，得到5組數(shù)據(jù)：(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，(x5，y5)．根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)可知x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝100，用最小二乘法求得回歸直線方程為y^＝0.67x＋54.8，那么y1＋y2＋y3＋y4＋y5的值為(

)A．68.2

B．341

C．355

D．366.2答案B解析由題意，得x－＝1005＝20，將其代入回歸直線方程y^＝0.67x＋54.8中，得y－＝0.6720＋54.8＝68.2，所以y1＋y2＋y3＋y4＋y5＝5y－＝341.應(yīng)選B.4．(2022蘭州模擬)根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)：

x12345ya－1－10.5b＋12.5得到的回歸方程為y^＝bx＋a.樣本點的中心為(3,0.1)，當(dāng)x增加1個單位，那么y近似(

)A．增加0.8個單位

B．裁減0.8個單位C．增加2.3個單位

D．裁減2.3個單位答案A解析由題意，知x－＝15(1＋2＋3＋4＋5)＝3，y－＝15[(a－1)＋(－1)＋0.5＋(b＋1)＋2.5]＝a＋b＋25＝0.1，①又回歸直線方程過樣本中心點(3,0.1)，得3b＋a＝0.1，②由①②聯(lián)立，解得a＝－2.3，b＝0.8，所以回歸直線方程為y^＝0.8x－2.3，所以當(dāng)x增加1個單位時，y近似增加0.8個單位．5．已知兩個隨機變量x，y之間的相關(guān)關(guān)系如下表所示：

x－4－2124

y－5－3－1－0.51根據(jù)上述數(shù)據(jù)得到的回歸方程為y^＝b^x＋a^，那么大致可以判斷(

)參考公式：b^＝ni＝1xiyi－nx－y－ni＝1x2i－nx－2，a^＝y(tǒng)－－b^x－A.a^0，b^0

B.a^0，b^0C.a^0，b^0

D.a^0，b^0答案C解析由已知得，x－＝0.2，y－＝－1.7，b^＝20＋6－1－1＋4－50.2－1.716＋4＋1＋4＋16－50.22＝991360，a^＝－1.7－991360.20，或利用散點圖，易判斷b^0，a^0.應(yīng)選C.6．(2022湛江二模)有人認為在機動車駕駛技術(shù)上，男性優(yōu)于女性．這是真的么？某社會調(diào)查機構(gòu)與交警合作隨機統(tǒng)計了經(jīng)常開車的100名駕駛員最近三個月內(nèi)是否有交通事故或交通違法事情發(fā)生，得到下面的列聯(lián)表：

男女合計無403575有151025合計5545100

附：K2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d

P(K2k0)0.500.400.250.150.10k0

0.4550.7081.3232.0722.706據(jù)此表，可得(

)A．認為機動車駕駛技術(shù)與性別有關(guān)的穩(wěn)當(dāng)性缺乏50%

B．認為機動車駕駛技術(shù)與性別有關(guān)的穩(wěn)當(dāng)性超過50%C．認為機動車駕駛技術(shù)與性別有關(guān)的穩(wěn)當(dāng)性缺乏60%D．認為機動車駕駛技術(shù)與性別有關(guān)的穩(wěn)當(dāng)性超過60%答案A解析由表中數(shù)據(jù)，計算K2＝1004010－35152554575250.33670.455，認為機動車駕駛技術(shù)與性別有關(guān)的穩(wěn)當(dāng)性缺乏50%.應(yīng)選A.7．在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，，(x6，y6)的散點圖中，若全體樣本點(xi，yi)(i＝1,2，，6)都在曲線y＝bx2－13鄰近波動．經(jīng)計算6i＝1xi＝11，6i＝1yi＝13，6i＝1x2i＝21，那么實數(shù)b的值為________.答案57

解析令t＝x2，那么曲線的回歸方程變?yōu)榫€性的回歸方程，即y＝bt－13，此時t＝6i＝1x2i6＝72，y－＝6i＝1yi6＝136，代入y＝bt－13，得136＝b72－13，解得b＝57.8．(2022廈門二模)某種細胞的存活率y(%)與存放溫度x(℃)之間具有線性相關(guān)關(guān)系，其樣本數(shù)據(jù)如表所示：

存放溫度x(℃)20151050－5－10存活率y(%)6142633436063計算得x－＝5，y－＝35，i＝17xiyi＝－175，i＝17x2i＝875，并求得回歸直線為y^＝－2x＋45.但測驗人員察覺表中數(shù)據(jù)x＝－5的對應(yīng)值y＝60錄入有誤，更正為y＝53.那么更正后的回歸直線方程為________.參考公式：回歸方程y^＝b^x＋a^中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為b^＝

i＝1nxiyi－nx－y－i＝1nx2i－nx－2，a^＝y(tǒng)－－b^x－.答案y^＝－1.9x＋43.5解析由題意，更正后，x－＝5，y－＝17(357－60＋53)＝34，i＝17xiyi＝－175＋560－553＝－140，i＝17x2i＝875，b^＝i＝1nxiyi－nx－y－i＝1nx2i－nx－2＝－140－7534875－725＝－1.9，a^＝y(tǒng)－－b^x－＝34－(－1.9)5＝43.5.更正后的回歸直線方程為y^＝－1.9x＋43.5.

組才能關(guān)1．變量X與Y相對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；變量U與V相對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r1表示變量Y與X之間的線性相關(guān)系數(shù)，r2表示變量V與U之間的線性相關(guān)系數(shù)，那么(

)A．r2r10

B．0r2r1

C．r20r1

D．r2＝r1

答案C解析對于變量Y與X而言，Y隨X的增大而增大，故Y與X正相關(guān)，即r10；對于變量V與U而言，V隨U的增大而減小，故V與U負相關(guān)，即r20，應(yīng)選C.

2．某人研究中學(xué)生的性別與勞績、視力、智商、閱讀量這4個變量的關(guān)系，隨機抽查了52名中學(xué)生，得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表1至表4，那么與性別有關(guān)聯(lián)的可能性最大的變量是(

)表1

勞績性別

不及格及格總計男61420女102232總計163652表2

視力性別

好差總計男41620女122032總計163652表3

智商性別

偏高正常總計男81220女82432總計163652表4

閱讀量性別

豐富不豐富總計男14620女23032總計163652

A．勞績

B．視力

C．智商

D．閱讀量答案D解析K21＝52622－1014216362032，令5216362032＝m，那么K21＝82m，同理，K22＝m(420－1216)2＝1122m，K23＝m(824－812)2＝962m，K24＝m(1430－62)2＝4082m，K24＞K22＞K23＞K21，那么與性別有關(guān)聯(lián)的可能性最大的變量是閱讀量．應(yīng)選D.3．(多項選擇)某商品的銷售量y(件)與銷售價格x(元/件)存在線性相關(guān)關(guān)系．根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，，n)，用最小二乘法建立的回歸方程為y^＝－5x＋150，那么以下結(jié)論正確的是(

)A．y與x具有負的線性相關(guān)關(guān)系B．若r表示y與x之間的線性相關(guān)系數(shù)，那么r＝－5C．當(dāng)銷售價格為10元時，銷售量為100件D．當(dāng)銷售價格為10元時，銷售量為100件左右答案AD解析由回歸直線方程知，y與x具有負的線性相關(guān)關(guān)系，A正確，若r表示y與x之間的線性相關(guān)系數(shù)，那么|r|1，B錯誤．當(dāng)銷售價格為10元時，y^＝－510＋150＝100，即銷售量為100件左右，C錯誤，D正確，應(yīng)選AD.4．針對時下的"韓劇熱'，某校團委對"學(xué)生性別和熱愛韓劇是否有關(guān)'作了一次調(diào)查，其中女生人數(shù)是男生人數(shù)的12，男生熱愛韓劇的人數(shù)占男生人數(shù)的16，女生熱愛韓劇的人數(shù)占女生人數(shù)的23.若有95%的把握認為是否熱愛韓劇和性別有關(guān)，那么男生至少有________人．

P(K2k0)0.0500.0100.001

k0

3.8416.63510.828答案12解析設(shè)男生人數(shù)為x，由題意可得列聯(lián)表如下：

熱愛韓劇不熱愛韓劇總計男生x6

5x6x女生x3

x6

x2

總計x2

x3x2若有95%的把握認為是否熱愛韓劇和性別有關(guān)，那么k3.841，即k＝3x2x6x6－5x6x32xx2x2x＝3x83.841，解得x10.243.由于x6，x3，x2為整數(shù)，所以若有95%的把握認為是否熱愛韓劇和性別有關(guān)，那么男生至少有12人．5．(2022惠州市其次次調(diào)研)某商場為了了解毛衣的月銷量y(件)與月平均氣溫x(℃)之間的關(guān)系，隨機統(tǒng)計了某4個月的月銷售量與當(dāng)月平均氣溫，其數(shù)據(jù)如下表：

月平均氣溫x/℃171382月銷售量y/件24334055由表中數(shù)據(jù)算出線性回歸方程y^＝b^x＋a^中的b^＝－2，那么a^＝________；氣象部門預(yù)料下個月的平均氣溫約為6℃，據(jù)此估計該商場下個月毛衣銷售量約為________件．答案5846解析由題中數(shù)據(jù)，得x－＝10，y－＝38，回歸直線y^＝b^x＋a^過點(x－，y－)，且b^＝－2，代入得a^＝58，那么回歸方程y^＝－2x＋58，所以當(dāng)x＝6時，y＝46.

6．(2022全國卷Ⅱ)下圖是某地區(qū)2000年至2022年環(huán)境根基設(shè)施投資額y(單位：億元)的折線圖．為了預(yù)料該地區(qū)2022年的環(huán)境根基設(shè)施投資額，建立了y與時間變量t的兩個線性回歸模型．根據(jù)2000年至2022年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1,2，，17)建立模型①：y^＝－30.4＋13.5t；根據(jù)2022年至2022年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1,2，，7)建立模型②：y^＝99＋17.5t.(1)分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2022年的環(huán)境根基設(shè)施投資額的預(yù)料值；(2)你認為用哪個模型得到的預(yù)料值更穩(wěn)當(dāng)？并說明理由．

解(1)利用模型①，該地區(qū)2022年的環(huán)境根基設(shè)施投資額的預(yù)料值為y^＝－30.4＋13.519＝226.1(億元)．利用模型②，該地區(qū)2022年的環(huán)境根基設(shè)施投資額的預(yù)料值為y^＝99＋17.59＝256.5(億元)．(2)利用模型②得到的預(yù)料值更穩(wěn)當(dāng)．理由如下：

(ⅰ)從折線圖可以看出，2000年至2022年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點沒有隨機散布在直線y＝－30.4＋13.5t上下，這說明利用2000年至2022年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境根基設(shè)施投資額的變化趨勢.2022年相對2022年的環(huán)境根基設(shè)施投資額有明顯增加，2022年至2022年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點位于一條直線的鄰近，這說明從2022年開頭環(huán)境根基設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢，利用2022年至2022年的數(shù)據(jù)建立的線性模型y^＝99＋17.5t可