2021年第38屆全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽試題及答案

第38屆全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽試題（2021年9月19日上午9：00-12：00）考生必讀1、考生考試前務(wù)必認(rèn)真閱讀本須知。2、本試題共4頁，每大題40分，總分為320分。3、如遇試題印刷不清楚情況，請務(wù)必向監(jiān)考老師提出。4、需要閱卷老師評閱的內(nèi)容一定要寫在答題紙上；寫出試題紙和草稿紙上的解答一律不能得分。1.（1）一寬束平行光正入射到折射率為的平凸透鏡左側(cè)平面上，會聚于透鏡主軸上的點，系統(tǒng)過主軸的截面如圖所示。已知凸透鏡頂點到點的距離為。試在極坐標(biāo)系中求所示平凸透鏡的凸面形狀，并表示成直角坐標(biāo)系中的標(biāo)準(zhǔn)形式。（2）在如圖所示的光學(xué)系統(tǒng)中，共軸地插入一個折射率為的平凹透鏡（平凹透鏡的平面在凹面的右側(cè)，頂點在點之間的光軸上，到的距離為，），使原來匯聚到點的光線經(jīng)平凹透鏡的凹面折射后平行向右射出。（i）在極坐標(biāo)系中求所插入的平凹透鏡的凹面形狀，并表示成直角坐標(biāo)系中的標(biāo)準(zhǔn)形式；（ii）已知通過平凸透鏡后的匯聚光線與主軸的夾角的最大值為，求入射平行圓光束與出射平行圓光束的橫截面半徑之比?！敬鸢浮浚?）；平凸透鏡的凸面為旋轉(zhuǎn)雙曲面；（2）（i）；平凹透鏡的凹面也是旋轉(zhuǎn)雙曲面；（ii）2.如圖，一端開口的薄壁玻璃管豎直放置，開口朝上，玻璃管總長，橫截面積，玻璃管內(nèi)用水銀封閉一段理想氣體，水銀和理想氣體之間有一薄而輕的絕熱光滑活塞，氣柱高度與水銀柱高度均為。已知該理想氣體初始溫度，定體摩爾熱容，其中為普適氣體常量；水銀密度，大氣壓強，重力加速度大小。（1）過程：對封閉的氣體緩慢加熱，使水銀上液面恰好到達(dá)玻璃管開口處，求過程中封閉氣體對外所做的功；（2）過程：繼續(xù)對封閉氣體緩慢加熱，直至水銀恰好全部流出為止（薄活塞恰好與玻璃管開口平齊），通過計算說明過程能否緩慢穩(wěn)定地發(fā)生？計算過程中封閉氣體所吸收的熱量。忽略玻璃管和水銀的熱膨脹效應(yīng)。計算結(jié)果保留三位有效數(shù)字?！敬鸢浮浚?）33.3J；（2）可以緩慢穩(wěn)定地發(fā)生；50.0J3.如圖，一個半徑為的均質(zhì)超球向上、下兩個固定的平行硬板之間發(fā)射，與兩板接連碰撞3次后，幾乎返回原處；取軸水平向右，軸豎直向下，軸正向按右手螺旋確定。開始時球心速度的水平分量為，方向的分量為0，球繞過球心的軸（平行于軸）的角速度大小為。不考慮重力。（1）求超球與板碰撞第1次后球心速度水平分量和球轉(zhuǎn)動的角速度；（2）求超球與板碰撞第2次后球心速度的水平分量和球轉(zhuǎn)動的角速度；（3）求超球與板碰撞第3次后球心速度的水平分量和球轉(zhuǎn)動的角速度。提示：已知一質(zhì)量為、半徑為的均質(zhì)球體繞過球心的軸的轉(zhuǎn)動慣量為；超球是一種硬質(zhì)橡皮球體，它在硬板面上的反跳可視為是完全彈性的，換言之，在接觸點無滑動，它在接觸點受到靜摩擦力與正壓力時產(chǎn)生的切向形變和法向形變可視為是彈性的，為簡化起見，假設(shè)這兩種形變是彼此無關(guān)的（因而相應(yīng)的彈力各自均為保守力）。【答案】（1）；；（2）；；（3）；4.一枚不的永磁針可視為一個半徑很小的電流環(huán)，其磁矩的大小為（為固有不變的環(huán)電流強度，，為電流環(huán)的半徑），方向與電流環(huán)所在的平面垂直，且與電流方向成右手螺旋關(guān)系，如圖所示。兩枚小磁針和的磁矩大小保持不變均為，質(zhì)量均為。取豎直向下的方向為軸正方向建立坐標(biāo)系。將固定在坐標(biāo)系的原點上，其磁矩方向沿軸正方向；將置于的正下方。已知真空的磁導(dǎo)率為，重力加速度大小為。（1）假設(shè)的磁矩方向與軸成角，其質(zhì)心坐標(biāo)為，求之間的相互作用勢能；（2）假設(shè)不變，求可以處于穩(wěn)定平衡時與軸所成的角（所謂穩(wěn)定平衡是指：在小擾動下，的磁矩指向若偏離了，則仍有回到原來指向的趨勢）；（3）現(xiàn)假設(shè)可以變化，但的磁矩與軸所成的角，求的受力平衡位置，并說明此平衡位置是否為穩(wěn)定平衡位置（所謂不穩(wěn)定平衡是指：在小的擾動下，在重力的作用下掉落，或者被吸附過去）。【答案】（1）；（2）；（3），該位置是不穩(wěn)定的。5.原子激光制冷是一種利用激光使原子減速、降低原子溫度的技術(shù)。冷原子實驗中減速原子束流的塞曼減速裝置如圖所示：一束與準(zhǔn)直后的原子束流反向傳播的單頻激光與原子發(fā)生散射，以達(dá)到使原子減速的目的。原子和光子的散射后過程可理解為原子吸收光子、隨即各向同性地發(fā)射相同能量光子的過程。單位時間內(nèi)一個原子散射光子的數(shù)目稱為散射速率是。當(dāng)原子的能級與激光頻率共振時，原子散射光子的散射速率最大，減速效果最好。然而，在正常情況下，當(dāng)原子速度改變（被減速）后，由于多普勒效應(yīng)，原子與激光不再共振，造成減速暫停。塞曼減速裝置利用原子躍遷頻率會受磁場影響的特性（塞曼效應(yīng)：原子的能級會受到外磁場影響，從而能級間躍遷所吸收的光的頻率也會受到外磁場的影響），利用隨空間變化的磁場來補償多普勒效應(yīng)的影響，使原子在減速管中處處與激光共振，直至將原子減速至接近靜止。（1）考慮被加熱到的原子氣體，問準(zhǔn)直后（假設(shè)準(zhǔn)直后原子只有一個方向的自由度）的原子的方均根速率是多少？（2）激光與對應(yīng)的原子躍遷共振時，原子對光子的散射速率為。已知用于減速原子的激光波長是，問原子做減速運動時的加速度為多少？將具有方均根速率的原子一直被激光共振減速至靜止所需的距離是多少？（3）不考慮磁場的影響，試計算激光頻率應(yīng)該比原子靜止時的激光共振頻率減小多少才能與以方均根速率（向著光源方向）運動的原子發(fā)生共振躍遷？（4）已知在磁場作用下，原子對應(yīng)的躍遷的頻率隨磁感應(yīng)強度變大而線性變?。ㄈ?yīng)）式中，系數(shù)。假設(shè)在準(zhǔn)直管出口處原子以均方根速率朝激光射來的方向運動，同時假設(shè)在準(zhǔn)直管出口處的磁感應(yīng)強度為0.為了使原子在減速管中（直至原子減速至接近靜止）處處被激光共振減速，需要加上隨著離準(zhǔn)直管出口處距離而變化的磁場來補償多普勒效應(yīng)的影響。試求需要加上的磁場的磁感應(yīng)強度與的關(guān)系。已知普朗克常量，玻爾茲曼常量，單位原子質(zhì)量?！敬鸢浮浚?）（2）（3）（4）6.如圖，在真空中兩個同軸放置無限長均勻帶電的薄壁圓筒，圓筒的半徑分別為和；在平行于筒軸方向上，單位長度內(nèi)、外圓筒的質(zhì)量均為，單位長度內(nèi)、外圓筒分別帶有、的電荷。兩個圓筒均可以各自繞其中心軸自由旋轉(zhuǎn)。已知真空的介電常量（電容率）和磁導(dǎo)率分別為和。（1）計算在距離軸處的電場強度；（2）當(dāng)內(nèi)外圓筒以相同的角速度同向旋轉(zhuǎn)時，求空間中的磁感應(yīng)強度分布。（3）若在內(nèi)圓筒處，從靜止釋放一個質(zhì)量為，電荷量為（與同號）的點電荷，試分析當(dāng)滿足什么條件時，此點電荷能夠在電磁場的作用下到達(dá)外圓筒處。（4）若初始時內(nèi)、外圓筒均靜止，現(xiàn)對外圓筒施加一力矩使其開始旋轉(zhuǎn)，當(dāng)外圓筒的角速度達(dá)到時，試計算（i）內(nèi)圓筒轉(zhuǎn)動的角速度；（ii）在從初始時直至外圓筒的角速度達(dá)到的整個過程中，沿軸向單位長度的外圓筒所受到的外力矩（不包括兩圓筒感應(yīng)電磁場作用力的力矩）的總沖量矩；（iii）沿軸向單位長度的內(nèi)、外圓筒的總的機械角動量。【答案】（1）；（2）；（3）；（4）（i）；（ii）；（iii）7.一簡化的汽車力學(xué)模型如圖所示：半徑為、質(zhì)量均為的前輪（兩個前輪視為一個物體）和后輪（兩個后輪視為一個物體）分別視為均質(zhì)圓柱剛體，前后輪軸相距；剛體車身質(zhì)量為，質(zhì)心位于前后輪軸正中，且與兩輪軸所在平面相距。車輪與地面之間的滑動摩擦因數(shù)為（假定最大靜摩擦力等于滑動摩擦力）。忽略空氣阻力；忽略車輪轉(zhuǎn)動過程中轉(zhuǎn)軸受到摩擦力矩。重力加速度大小為。任一半徑為、質(zhì)量為的均質(zhì)賀柱相對于中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為。（1）假定某時刻汽車在傾角為的斜坡（斜面）上無滑動地向上加速運動，車身的加速度為；前后輪與地面的正壓力均大于零，分別求出前輪和后輪與地面的正壓力和。據(jù)此確定為使前輪不離開地面，加速度的最大安全值（此后始終假定）。（2）假定汽車在傾角為的斜坡上做加速運動。在時刻，車身上的發(fā)動機向后輪提供的順時針的力矩為。忽略車輪旋轉(zhuǎn)時與車身之間的摩擦，并假定車輪與地面摩擦系數(shù)足夠大使得車輪與地面之間不發(fā)生滑動。求車身此時的加速度。（3）發(fā)動機和車輪通過變速器連接，假定變速器機械效率為100%，發(fā)動機轉(zhuǎn)速是車輪轉(zhuǎn)速的倍（變速比）。根據(jù)前面結(jié)論分別計算型電動汽車在水平地面和30度上坡的最大加速度和。計算為了使這兩種情況下車輪與地面不發(fā)生滑動，摩擦系數(shù)需要的最小值。本問可利用的數(shù)據(jù)：型電動汽車的參數(shù)，，，，發(fā)動機最大輸出力矩，變速比，車輪質(zhì)量相對于車身質(zhì)量可忽略；。數(shù)值結(jié)果保留兩位有效數(shù)字。【答案】（1）；；；（2）；（3），8.一簡化電動汽車模型如圖所示，半徑為、質(zhì)量均為的前輪（兩個前輪視為一個物體）和后輪（兩個后輪視為一個物體）分別視為均質(zhì)圓柱剛體；剛體車身質(zhì)量為，質(zhì)心位于前后輪軸正中。忽略空氣阻力；忽略車輪轉(zhuǎn)動過程中轉(zhuǎn)軸受到的摩擦力矩。（1）很多電動汽車的發(fā)動機是永磁直流電機。在簡化模型中，電機動子線圈始終在勻強恒定磁場中運動并垂直切割磁力線，切割磁力線的線圈導(dǎo)線總長度為，轉(zhuǎn)動軌跡的半徑為，線圈總電阻為，線圈自感可忽略。為線圈提供電流的電池的開路電壓為，內(nèi)阻為。若電機運動部分之間摩擦可忽略，求電機的輸出力矩與電機轉(zhuǎn)速之間的關(guān)系，最大輸出力矩，輸出力矩為零時的最大轉(zhuǎn)速，以及最大輸出功率。為方便此后的計算，將中涉及的常量用、和表示。（2）考慮水平地面上汽車從時刻的靜止?fàn)顟B(tài)開始加速的過程，已知在車輪與地面之間不發(fā)生滑動的情形下，車身質(zhì)心在時刻的加速度大小滿足式中，是此時車身上的電機向后輪提供的順時針的力矩。電機和車輪通過變速器連接，假定變速器的機械效率為100%，電機轉(zhuǎn)速與車輪轉(zhuǎn)速之比（變速比）為。求車速與時間之間的關(guān)系。（3）利用型汽車參數(shù)數(shù)值，以及