2023學(xué)年浙江省寧波市東恩中學(xué)高考臨考沖刺數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

2023高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)，，分別是中，，所對邊的邊長，則直線與的位置關(guān)系是（）A．平行 B．重合C．垂直 D．相交但不垂直2．已知是定義是上的奇函數(shù)，滿足，當(dāng)時，，則函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個數(shù)是（）A．3 B．5 C．7 D．93．給出個數(shù)，，，，，，其規(guī)律是：第個數(shù)是，第個數(shù)比第個數(shù)大，第個數(shù)比第個數(shù)大，第個數(shù)比第個數(shù)大，以此類推，要計(jì)算這個數(shù)的和．現(xiàn)已給出了該問題算法的程序框圖如圖，請?jiān)趫D中判斷框中的①處和執(zhí)行框中的②處填上合適的語句，使之能完成該題算法功能()A．； B．；C．； D．；4．一個正三角形的三個頂點(diǎn)都在雙曲線的右支上，且其中一個頂點(diǎn)在雙曲線的右頂點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．5．已知實(shí)數(shù)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．6．閱讀名著，品味人生，是中華民族的優(yōu)良傳統(tǒng).學(xué)生李華計(jì)劃在高一年級每周星期一至星期五的每天閱讀半個小時中國四大名著：《紅樓夢》、《三國演義》、《水滸傳》及《西游記》，其中每天閱讀一種，每種至少閱讀一次，則每周不同的閱讀計(jì)劃共有（）A．120種 B．240種 C．480種 D．600種7．已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為雙曲線在第一象限上的點(diǎn)，直線PO，分別交雙曲線C的左，右支于另一點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為()A． B．3 C．2 D．8．若數(shù)列滿足且，則使的的值為()A． B． C． D．9．某幾何體的三視圖如圖所示，圖中圓的半徑為1，等腰三角形的腰長為3，則該幾何體表面積為（）A． B． C． D．10．已知直線：（）與拋物線：交于（坐標(biāo)原點(diǎn)），兩點(diǎn)，直線：與拋物線交于，兩點(diǎn).若，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．11．已知，且，則在方向上的投影為（）A． B． C． D．12．復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線的焦點(diǎn)為，斜率為的直線過且與拋物線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若在第一象限，那么_______________．14．已知雙曲線（，）的左，右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與雙曲線的左，右兩支分別交于，兩點(diǎn)，若，，則雙曲線的離心率為__________.15．已知向量，，若向量與向量平行，則實(shí)數(shù)___________．16．如圖所示的流程圖中，輸出的值為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）據(jù)《人民網(wǎng)》報(bào)道，美國國家航空航天局（NASA）發(fā)文稱，相比20年前世界變得更綠色了，衛(wèi)星資料顯示中國和印度的行動主導(dǎo)了地球變綠.據(jù)統(tǒng)計(jì)，中國新增綠化面積的來自于植樹造林，下表是中國十個地區(qū)在去年植樹造林的相關(guān)數(shù)據(jù).（造林總面積為人工造林、飛播造林、新封山育林、退化林修復(fù)、人工更新的面積之和）單位：公頃地區(qū)造林總面積造林方式人工造林飛播造林新封山育林退化林修復(fù)人工更新內(nèi)蒙61848431105274094136006903826950河北5833613456253333313507656533643河南14900297647134292241715376133重慶2263331006006240063333陜西297642184108336026386516067甘肅325580260144574387998新疆2639031181056264126647107962091青海178414160511597342629寧夏91531589602293882981335北京1906410012400039991053（1）請根據(jù)上述數(shù)據(jù)分別寫出在這十個地區(qū)中人工造林面積與造林總面積的比值最大和最小的地區(qū)；（2）在這十個地區(qū)中，任選一個地區(qū)，求該地區(qū)新封山育林面積占造林總面積的比值超過的概率；（3）在這十個地區(qū)中，從退化林修復(fù)面積超過一萬公頃的地區(qū)中，任選兩個地區(qū)，記X為這兩個地區(qū)中退化林修復(fù)面積超過六萬公頃的地區(qū)的個數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.18．（12分）(Ⅰ)證明：；(Ⅱ)證明：()；(Ⅲ)證明：.19．（12分）2019年是中華人民共和國成立70周年．為了讓人民了解建國70周年的風(fēng)雨歷程，某地的民調(diào)機(jī)構(gòu)隨機(jī)選取了該地的100名市民進(jìn)行調(diào)查，將他們的年齡分成6段：，，…，，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．（1）現(xiàn)從年齡在，，內(nèi)的人員中按分層抽樣的方法抽取8人，再從這8人中隨機(jī)選取3人進(jìn)行座談，用表示年齡在）內(nèi)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）若用樣本的頻率代替概率，用隨機(jī)抽樣的方法從該地抽取20名市民進(jìn)行調(diào)查，其中有名市民的年齡在的概率為．當(dāng)最大時，求的值．20．（12分）如圖，在正四棱柱中，，，過頂點(diǎn)，的平面與棱，分別交于，兩點(diǎn)（不在棱的端點(diǎn)處）.（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）求證：與不垂直；（3）若平面與棱所在直線交于點(diǎn)，當(dāng)四邊形為菱形時，求長.21．（12分）在四邊形中，，；如圖，將沿邊折起，連結(jié)，使，求證：（1）平面平面；（2）若為棱上一點(diǎn)，且與平面所成角的正弦值為，求二面角的大小.22．（10分）在中，角，，的對邊分別為，其中，.（1）求角的值；（2）若，，為邊上的任意一點(diǎn)，求的最小值.

2023學(xué)年模擬測試卷參考答案（含詳細(xì)解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．C【答案解析】試題分析：由已知直線的斜率為，直線的斜率為，又由正弦定理得，故，兩直線垂直考點(diǎn)：直線與直線的位置關(guān)系2．D【答案解析】

根據(jù)是定義是上的奇函數(shù)，滿足，可得函數(shù)的周期為3，再由奇函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合已知可得，利用周期性可得函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個數(shù)．【題目詳解】∵是定義是上的奇函數(shù)，滿足，，可得，

函數(shù)的周期為3，

∵當(dāng)時，，

令，則，解得或1，

又∵函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，

∴在區(qū)間上，有．

由，取，得，得，

∴．

又∵函數(shù)是周期為3的周期函數(shù)，

∴方程=0在區(qū)間上的解有共9個，

故選D．【答案點(diǎn)睛】本題考查根的存在性及根的個數(shù)判斷，考查抽象函數(shù)周期性的應(yīng)用，考查邏輯思維能力與推理論證能力，屬于中檔題．3．A【答案解析】

要計(jì)算這個數(shù)的和，這就需要循環(huán)50次，這樣可以確定判斷語句①，根據(jù)累加最的變化規(guī)律可以確定語句②.【題目詳解】因?yàn)橛?jì)算這個數(shù)的和，循環(huán)變量的初值為1，所以步長應(yīng)該為1，故判斷語句①應(yīng)為，第個數(shù)是，第個數(shù)比第個數(shù)大，第個數(shù)比第個數(shù)大，第個數(shù)比第個數(shù)大，這樣可以確定語句②為，故本題選A.【答案點(diǎn)睛】本題考查了補(bǔ)充循環(huán)結(jié)構(gòu)，正確讀懂題意是解本題的關(guān)鍵.4．D【答案解析】

因?yàn)殡p曲線分左右支，所以，根據(jù)雙曲線和正三角形的對稱性可知：第一象限的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，將其代入雙曲線可解得．【題目詳解】因?yàn)殡p曲線分左右支，所以，根據(jù)雙曲線和正三角形的對稱性可知：第一象限的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，將其代入雙曲線方程得：，即，由得．故選：．【答案點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平．5．D【答案解析】

根據(jù)題意，對于函數(shù)分2段分析：當(dāng)，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析可得①，當(dāng)，由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可得，在上恒成立，變形可得②，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，分析可得③，聯(lián)立三個式子，分析可得答案.【題目詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

當(dāng)，若為增函數(shù)，則①，

當(dāng)，若為增函數(shù)，必有在上恒成立，

變形可得：，

又由，可得在上單調(diào)遞減，則，

若在上恒成立，則有②，

若函數(shù)在上單調(diào)遞增，左邊一段函數(shù)的最大值不能大于右邊一段函數(shù)的最小值，則需有，③

聯(lián)立①②③可得：.

故選：D.【答案點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)以及應(yīng)用，注意分段函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì).6．B【答案解析】

首先將五天進(jìn)行分組，再對名著進(jìn)行分配，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理求得結(jié)果.【題目詳解】將周一至周五分為組，每組至少天，共有：種分組方法；將四大名著安排到組中，每組種名著，共有：種分配方法；由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得不同的閱讀計(jì)劃共有：種本題正確選項(xiàng)：【答案點(diǎn)睛】本題考查排列組合中的分組分配問題，涉及到分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，易錯點(diǎn)是忽略分組中涉及到的平均分組問題.7．D【答案解析】

本道題結(jié)合雙曲線的性質(zhì)以及余弦定理，建立關(guān)于a與c的等式，計(jì)算離心率，即可．【題目詳解】結(jié)合題意，繪圖，結(jié)合雙曲線性質(zhì)可以得到PO=MO，而，結(jié)合四邊形對角線平分，可得四邊形為平行四邊形，結(jié)合，故對三角形運(yùn)用余弦定理，得到，而結(jié)合，可得，，代入上式子中，得到，結(jié)合離心率滿足，即可得出，故選D．【答案點(diǎn)睛】本道題考查了余弦定理以及雙曲線的性質(zhì)，難度偏難．8．C【答案解析】因?yàn)?，所以是等差?shù)列，且公差，則，所以由題設(shè)可得，則，應(yīng)選答案C．9．C【答案解析】

幾何體是由一個圓錐和半球組成，其中半球的半徑為1，圓錐的母線長為3，底面半徑為1，計(jì)算得到答案.【題目詳解】幾何體是由一個圓錐和半球組成，其中半球的半徑為1，圓錐的母線長為3，底面半徑為1，故幾何體的表面積為.故選：.【答案點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)三視圖求表面積，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.10．D【答案解析】

設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物線方程，消去、列出韋達(dá)定理，再由直線與拋物線的交點(diǎn)求出點(diǎn)坐標(biāo)，最后根據(jù)，得到方程，即可求出參數(shù)的值；【題目詳解】解：設(shè)，，由，得，∵，解得或，∴，.又由，得，∴或，∴，∵，∴，又∵，∴代入解得.故選：D【答案點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的綜合應(yīng)用，弦長公式的應(yīng)用，屬于中檔題.11．C【答案解析】

由向量垂直的向量表示求出，再由投影的定義計(jì)算．【題目詳解】由可得，因?yàn)?，所以．故在方向上的投影為．故選：C．【答案點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積與投影．掌握向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系是解題關(guān)鍵．12．B【答案解析】

利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及幾何意義即可求解.【題目詳解】解：，則復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為：，位于第二象限.故選：B.【答案點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．2【答案解析】

如圖所示，先證明，再利用拋物線的定義和相似得到.【題目詳解】由題得,.因?yàn)?所以,過點(diǎn)A、B分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為M，N，過點(diǎn)B作于點(diǎn)E,設(shè)|BF|=m，|AF|=n，則|BN|=m，|AM|=n，所以|AE|=n-m，因?yàn)?所以|AB|=3(n-m)，所以3(n-m)=n+m，所以.所以.故答案為：2【答案點(diǎn)睛】本題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線的定義，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.14．【答案解析】

設(shè)，由雙曲線的定義得出：，由得為等腰三角形，設(shè)，根據(jù)，可求出，得出，再結(jié)合焦點(diǎn)三角形，利用余弦定理：求出和的關(guān)系，即可得出離心率.【題目詳解】解：設(shè)，由雙曲線的定義得出：，，由圖可知：，又，即，則，為等腰三角形，，設(shè)，，則，，即，解得：，則，，解得：，，解得：，，在中，由余弦定理得：，即：，解得：，即.故答案為：.【答案點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義的應(yīng)用，以及余弦定理的應(yīng)用，求雙曲線離心率.15．【答案解析】

由題可得，因?yàn)橄蛄颗c向量平行，所以，解得．16．4【答案解析】

根據(jù)流程圖依次運(yùn)行直到，結(jié)束循環(huán)，輸出n，得出結(jié)果.【題目詳解】由題：，，，結(jié)束循環(huán)，輸出.故答案為：4【答案點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)程序框圖運(yùn)行結(jié)果求輸出值，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確識別循環(huán)結(jié)構(gòu)和判斷框語句.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）人工造林面積與總面積比最大的地區(qū)為甘肅省，人工造林面積與總面積比最小的地區(qū)為青海?。唬?）；（3）分布列見詳解，數(shù)學(xué)期望為【答案解析】

（1）通過數(shù)據(jù)的觀察以及計(jì)算人工造林面積與造林總面積比值，可得結(jié)果.（2）通過數(shù)據(jù)的觀察以及計(jì)算新封山育林面積與造林總面積比值，得出比值超過的地區(qū)個數(shù)，然后可得結(jié)果.（3）計(jì)算退化林修復(fù)面積超過一萬公頃的地區(qū)中選兩個地區(qū)總數(shù)，退化林修復(fù)面積超過六萬公頃的地區(qū)的個數(shù)為，列出所有取值并計(jì)算相應(yīng)概率，然后可得結(jié)果.【題目詳解】（1）人工造林面積與總面積比最大的地區(qū)為甘肅省，人工造林面積與總面積比最小的地區(qū)為青海省.（2）記事件A：在這十個地區(qū)中，任選一個地區(qū)，該地區(qū)新封山育林面積占總面積的比值超過根據(jù)數(shù)據(jù)可知：青海地區(qū)人工造林面積占總面積比超過，則（3）退化林修復(fù)面積超過一萬公頃有6個地區(qū)：內(nèi)蒙、河北、河南、重慶、陜西、新疆，其中退化林修復(fù)面積超過六萬公頃有3個地區(qū)：內(nèi)蒙、河北、重慶，所以X的取值為0，1，2所以，，隨機(jī)變量X的分布列如下：【答案點(diǎn)睛】本題考查數(shù)據(jù)的處理以及離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，審清題意，細(xì)心計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.18．(Ⅰ)見解析（Ⅱ）見解析（Ⅲ）見解析【答案解析】

運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明即可得到結(jié)果化簡，運(yùn)用累加法得出結(jié)果運(yùn)用放縮法和累加法進(jìn)行求證【題目詳解】（Ⅰ）數(shù)學(xué)歸納法證明時，①當(dāng)時，成立；②當(dāng)時，假設(shè)成立，則時所以時，成立綜上①②可知，時，（Ⅱ）由得所以；；故，又所以(Ⅲ)由累加法得：所以故【答案點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的綜合，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的成立，結(jié)合已知條件進(jìn)行化簡求出化簡后的結(jié)果，利用放縮法求出不等式，然后兩邊同時取對數(shù)再進(jìn)行證明，本題較為困難。19．（1）分布列見解析,（1）【答案解析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖及抽取總?cè)藬?shù)，結(jié)合各組頻率值即可求得各組抽取的人數(shù)；的可能取值為0，1，1，由離散型隨機(jī)變量概率求法即可求得各概率值，即可得分布列；由數(shù)學(xué)期望公式即可求得其數(shù)學(xué)期望.（1）先求得年齡在內(nèi)的頻率，視為概率.結(jié)合二項(xiàng)分布的性質(zhì)，表示出，令，化簡后可證明其單調(diào)性及取得最大值時的值．【題目詳解】（1）按分層抽樣的方法拉取的8人中，年齡在的人數(shù)為人，年齡在內(nèi)的人數(shù)為人．年齡在內(nèi)的人數(shù)為人．所以的可能取值為0，1，1．所以，，，所以的分市列為011．（1）設(shè)在抽取的10名市民中，年齡在內(nèi)的人數(shù)為，服從二項(xiàng)分布．由頻率分布直方圖可知，年齡在內(nèi)的頻率為，所以，所以．設(shè)，若，則，；若，則，．所以當(dāng)時，最大，即當(dāng)最大時，．【答案點(diǎn)睛】本題考差了離散型隨機(jī)變量分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，二項(xiàng)分布的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.20．（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.【答案解析】

（1）由平面與平面沒有交點(diǎn)，可得與不相交，又與共面，所以，同理可證，得證；（2）由四邊形是平行四邊形，且，則不可能是矩形，所以與不垂直；（3）先證，可得為的中點(diǎn)，從而得出是的中點(diǎn)，可得.【題目詳解】（1）依題意都在平面上，因此平面，平面，又平面，平面，平面與平面平行，即兩個平面沒有交點(diǎn)，則與不相交，又與共面，所以，同理可證，所以四邊形是平行四邊形；（2）因?yàn)椋瑑牲c(diǎn)不在棱的端點(diǎn)處，所以，又四邊形是平行四邊形，，則不可能是矩形，所以與不垂直；（3）如圖，延長交的延長線于點(diǎn)，若四邊形為菱形，則，易證，所以，即為的中點(diǎn)，因此，且，所以是的中位線，則是的中點(diǎn)，所以.【答案點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何中的線線平行和垂直的判定問題，和線段