2021北京通州潞河中學高三（上）10月月考數(shù)學（教師版）

2021北京通州潞河中學高三（上）10月月考數(shù)學一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）1．（4分）若函數(shù)f（x）＝x2在區(qū)間[x0，x0+△x]上的平均變化率為k1，在區(qū)間[x0﹣△x，x0]上的平均變化率為k2，則（）A．k1＞k2 B．k1＜k2 C．k1＝k2 D．k1與k2的大小關系與x0的取值有關2．（4分）已知角α的終邊經過（3，﹣4），則tan（α﹣）＝（）A． B．﹣ C．7 D．﹣73．（4分）若α＝2，則（）A．sinα＞0且cosα＞0 B．sinα＞0且cosα＜0 C．sinα＜0且cosα＜0 D．sinα＜0且cosα＞04．（4分）若函數(shù)f（x）＝3sin（ωx+φ）對任意x∈R都有f（）（），則f（）＝（）A．3或0 B．﹣3或3 C．0 D．﹣3或05．（4分）設函數(shù)f（x）＝g（x）+x2，曲線y＝g（x）在點（1，g（1））處的切線方程為y＝2x+1（x）在點（1，f（1））處切線的斜率為（）A．4 B．﹣ C．2 D．﹣6．（4分）已知函數(shù)f（x）的圖象關于原點對稱，且周期為4（3）＝﹣2，則f（2021）＝（）A．2 B．0 C．﹣2 D．﹣47．（4分）已知函數(shù)f（x）＝3x+2cosx，若a＝f（32），b＝f（2），c＝f（log27），則a，b，c的大小關系是（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a8．（4分）函數(shù)f（x）＝sin（x﹣），x∈[﹣π（）A． B． C． D．9．（4分）函數(shù)f（x）＝kx﹣lnx在[1，+∞）單調遞增的一個必要不充分條件是（）A．k＞0 B．k＞1 C．k≥1 D．k＞210．（4分）函數(shù)在[﹣2，2]上的最大值為2（）A． B． C．（﹣∞，0] D．二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）11．（5分）函數(shù)f（x）＝的定義域為．12．（5分）在△ABC中，已知BC＝8，AC＝5，則sinC＝．13．（5分）已知cosα＝，α∈（﹣，0），則sin＝．14．（5分）函數(shù)f（x）的定義域為R，f（﹣1）＝2（x）為f（x）的導函數(shù)（x）的圖象如圖所示，則f（x）．15．（5分）已知函數(shù)f（x）＝xlnx+2+，g（x）＝﹣x2﹣bx﹣4，x＝是函數(shù)g（x），若對任意的x∈[e﹣1，1]，總存在唯一的x2∈（﹣∞，3），使得f（x1）＝g（x2）成立，則實數(shù)a的取值范圍是．三、解答題（共6小題，共85分）16．已知函數(shù)f（x）＝ex﹣2x．（1）求曲線y＝f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；（2）求函數(shù)f（x）的最小值．17．某高校設計了一個實驗學科的考查方案：考生從6道備選題中一次性隨機抽取3題，按照題目要求獨立完成全部實驗操作，規(guī)定至少正確完成其中2題才可提交通過．已知6道備選題中考生甲有4道題能正確完成；考生乙每題正確完成的概率都是，且每題正確完成與否互不影響．（1）分別寫出甲、乙兩位考生正確完成實驗操作的題數(shù)的分布列，并計算均值；（2）試從甲、乙兩位考生正確完成實驗操作的題數(shù)的均值、方差及至少正確完成2題的概率方面比較兩位考生的實驗操作能力．18．已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ），其中A＞0，0＜φ＜π，函數(shù)f（x），且在處取到最小值﹣2．（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）若將函數(shù)f（x）圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將向左平移，得到函數(shù)g（x）圖象（x）的單調遞增區(qū)間；（3）若函數(shù)g（x）在內的值域為[﹣2，1]19．在下列3個條件中任選一個，補充到下面問題中，并給出問題的解答．①2cosA（bcosC+ccosB）＝a；②；③（sinB+sinC）2﹣3sinBsinC＝sin2A中已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別是，______．（1）若，求cosC；（2）求的最大值，以及此時的內角B20．已知函數(shù)f（x）＝axex﹣x2﹣2x．（1）曲線y＝f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y＝﹣x；（2）當x＞0時，若曲線y＝f（x）在直線y＝﹣x的上方21．已知函數(shù)f（x）＝x3﹣x．（Ⅰ）求曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間和極值；（Ⅲ）設函數(shù)，x∈（0，π），試判斷t（x），并證明你的結論．

2021北京通州潞河中學高三（上）10月月考數(shù)學參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）1．【分析】直接代入函數(shù)的平均變化率公式進行化簡求解．【解答】解：∵函數(shù)y＝f（x）＝x2在x0到x3+△x之間的平均變化量為：△y＝f（x0+△x）﹣f（x0）＝（x4+△x）2﹣（x0）4＝△x（2x0+△x），∴k5＝＝2x0+△x，∵函數(shù)y＝f（x）＝x7在x0﹣△x到x0之間的平均變化量為：△y＝f（x8）﹣f（x0﹣△x）＝（x0）5﹣（x0﹣△x）2＝△x（4x0﹣△x），∴k2＝＝8x0﹣△x，∵k1﹣k2＝2△x，而△x＞04＞k2．故選：A．【點評】本題考查了函數(shù)的平均變化率的概念及求法，解答此題的關鍵是熟記概念，是基礎題．2．【分析】利用任意角的三角函數(shù)的定義先求出tanα，再由兩角和與差的正切公式即可求出答案．【解答】解：角α的終邊上的點P（3，﹣4）．tan（α﹣）＝＝＝，故選：C．【點評】本題考查任意角的三角函數(shù)的定義，兩角差的正切公式的應用，考查計算能力，屬于基礎題．3．【分析】先根據(jù)2所屬的范圍的范圍，判斷出α＝2在第二象限，據(jù)三角函數(shù)的符號規(guī)則，判斷出sinα，cosαd符號．【解答】解：∵∴α＝2在第二象限∴sinα＞0，cosα＜0故選：B．【點評】解決三角函數(shù)的符號問題，應該先判斷出角所在的象限，再根據(jù)三角函數(shù)的定義及三角函數(shù)的符號規(guī)則得到結論．4．【分析】利用f（）＝f（），f（x）關于直線x＝對稱，結合三角函數(shù)的對稱性，即可得到結論．【解答】解：∵f（）＝f（），∴f（x）關于直線x＝對稱∵函數(shù)f（x）＝3sin（ωx+φ）∴f（）＝﹣2或3故選：B．【點評】本題考查函數(shù)的對稱性，考查三角函數(shù)的求值，確定函數(shù)的對稱性是關鍵．5．【分析】欲求曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處切線的斜率，即求f′（1），先求出f′（x），然后根據(jù)曲線y＝g（x）在點（1，g（1））處的切線方程為y＝2x+1求出g′（1），從而得到f′（x）的解析式，即可求出所求．【解答】解：f′（x）＝g′（x）+2x．∵y＝g（x）在點（1，g（1））處的切線方程為y＝4x+1，∴g′（1）＝2，∴f′（1）＝g′（1）+7×1＝2+5＝4，∴y＝f（x）在點（1，f（1））處切線斜率為7．故選：A．【點評】本題主要考查了利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，直線的斜率等有關基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力，屬于基礎題．6．【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性和周期性可得f（2021）＝f（﹣3+2024）＝f（﹣3）＝﹣f（3），進而分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）的圖象關于原點對稱，f（x）的周期為4，則有f（2021）＝f（﹣3+2024）＝f（﹣5）＝﹣f（3），又由f（3）＝﹣2，則f（3）＝2，故f（2021）＝8；故選：A．【點評】本題考查函數(shù)奇偶性、周期性的性質應用，涉及函數(shù)值的計算，屬于基礎題．7．【分析】首先求出函數(shù)f（x）的導函數(shù)，進而得出函數(shù)f（x）的單調性，從而得出a，b，c的大小關系．【解答】解：因為函數(shù)f（x）＝3x+2cosx，所以f'（x）＝2﹣2sinx＞0，所以函數(shù)f（x）在R上單調遞增．因為log44＜log22＜log28，所以7＜log27＜7，所以2＜log27＜3＜37，所以f（2）＜f（log27）＜f（32），即b＜c＜a，故選：D．【點評】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，考查轉化思想，屬中檔題．8．【分析】由題意利用正弦函數(shù)的單調性，得出結論．【解答】解：∵函數(shù)f（x）＝sin（x﹣），令2kπ﹣≤2kπ+≤x≤2kπ+，可得函數(shù)的增區(qū)間為[2kπ﹣，2kπ+]．根據(jù)x∈[﹣π，0]，6]，故選：D．【點評】本題主要考查正弦函數(shù)的單調性，屬于基礎題．9．【分析】由于函數(shù)f（x）＝kx﹣lnx在區(qū)間[1，+∞）單調遞增，可得f′（x）≥0在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，求出k的范圍，再根據(jù)充分必要條件的定義即可判斷．【解答】解：∵函數(shù)f（x）＝kx﹣lnx在[1，+∞）單調遞增，∴f′（x）＝k﹣≥4在[1，∴k≥，x∈[2，∴k≥1，∵{k|k≥1}?{k|k＞6}，∴函數(shù)f（x）＝kx﹣lnx在[1，+∞）單調遞增的一個必要不充分條件是k＞0，故選：A．【點評】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、恒成立問題的等價轉化方法，以及充分必要條件的應用，屬于中檔題．10．【分析】先畫出分段函數(shù)f（x）的圖象，如圖．當x∈[﹣2，0]上的最大值為2；欲使得函數(shù)在[﹣2，2]上的最大值為2，則當x＝2時，e2a的值必須小于等于2，從而解得a的范圍．【解答】解：先畫出分段函數(shù)f（x）的圖象，如圖．當x∈[﹣2； 欲使得函數(shù)在[﹣5，則當x＝2時，e2a的值必須小于等于5，即e2a≤2，解得：a故選：D．【點評】本小題主要考查函數(shù)單調性的應用、函數(shù)最值的應用的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）11．【分析】根據(jù)二次根式的性質以及分母不為0，求出函數(shù)的定義域即可．【解答】解：由題意得：x2﹣2x＞6，解得：x＞2或x＜0，故函數(shù)的定義域是（﹣∞，7）∪（2，故答案為：（﹣∞，0）∪（5．【點評】本題考查了求函數(shù)的定義域問題，考查二次根式的性質，是一道基礎題．12．【分析】直接利用三角形的面積公式和三角函數(shù)的值的應用求出結果．【解答】解：在△ABC中，已知BC＝8，三角形面積為12，所以：，整理得：sinC＝．故答案為：．【點評】本題考查的知識要點：三角形的面積公式和三角函數(shù)的值，主要考查學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于基礎題．13．【分析】由已知可求范圍∈（﹣，0），利用二倍角的余弦公式即可求解sin的值．【解答】解：因為cosα＝，α∈（﹣，所以∈（﹣，sin，.可得cosα＝＝3﹣2sin2，可得sin＝﹣．故答案為：﹣．【點評】本題主要考查了二倍角的余弦公式在三角函數(shù)化簡求值中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．14．【分析】令g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，求出g（x）的導數(shù)，得到g（x）在R上單調遞增，由g（﹣1）＝0，從而求出f（x）＞2x+4的解集．【解答】解：令g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，∴g′（x）＝f′（x）﹣4，而f′（x）＞2，∴g′（x）＞0，∴g（x）在R上單調遞增，∵g（﹣7）＝f（﹣1）﹣2×（﹣4）﹣4＝0，∴f（x）＞2x+4的解集是（﹣1，+∞），故答案為：（﹣4，+∞）．【點評】本題考查了函數(shù)的單調性，考察導數(shù)的應用，構造新函數(shù)g（x）是解題的關鍵，是一道基礎題．15．【分析】求出f'（x），利用導數(shù)判斷函數(shù)f（x）的單調性，求出f（x）的值域，然后利用極值的定義，求出b的值，再利用二次函數(shù)的性質求出g（x）的值域，將問題轉化為兩個值域之間的子集關系，列式求解即可．【解答】解：因為函數(shù)f（x）＝xlnx+2+，其中x＞2，則f'（x）＝lnx+1（x＞0），令f'（x）＞8，解得x＞e﹣1，所以當x∈[e﹣1，4]時，f（x）單調遞增，當x∈[e﹣1，1]時，f（x）∈，因為g（x）＝﹣x2﹣bx﹣3，則g'（x）＝﹣2x﹣b，又x＝是函數(shù)g（x）的極值點，所以g'（）＝﹣3×，解得b＝﹣5，所以g（x）在（﹣∞，）上單調遞增，+∞）上單調遞減，且g（2）＝g（3）＝2，所以g（x）∈（﹣∞，4]，因為對任意的x∈[e﹣1，1]，總存在唯一的x2∈（﹣∞，3）1）＝g（x8）成立，則?（﹣∞，所以，解得a＜2．所以實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，0）．故答案為：（﹣∞，0）．【點評】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性以及函數(shù)的值域的應用，極值點的理解與應用，二次函數(shù)性質的應用，函數(shù)值域的求解，解題的關鍵是將問題轉化為兩個值域之間的子集關系，考查了邏輯推理能力與轉化化歸能力，屬于中檔題．三、解答題（共6小題，共85分）16．【分析】（1）先求出導數(shù)，進而求出切點處的導數(shù)，然后利用點斜式求出切線方程；（2）求出導數(shù)，然后利用導數(shù)的零點、符號判斷函數(shù)的極值、單調性，進而求出最值．【解答】解：（1）f′（x）＝ex﹣2，f（0）＝1，故切線方程為y﹣5＝﹣（x﹣0），即x+y﹣1＝3．（2）令f′（x）＝ex﹣2＝0，得x＝ln5，由f′（x）＜0得，x＜ln2，x＞ln7，故f（x）在（﹣∞，ln2）單調遞減，+∞）上單調遞增，故f（x）min＝f（ln2）＝eln3﹣2ln2＝3﹣2ln2．【點評】本題考查導數(shù)的幾何意義、切線方程的求法，以及利用導數(shù)求函數(shù)的最值，屬于基礎題．17．【分析】（1）設考生甲，乙正確完成實驗操作的題數(shù)分布為ξ，η，分別求出對應的分布列，再結合期望公式，即可求解．（2）分別求出甲，乙正確完成實驗操作的題數(shù)的期望與方差，以及至少正確完成2題的概率，通過比較大小，即可求解．【解答】解：（1）設考生甲正確完成實驗操作的題數(shù)為ξ，則ξ的可能取值為1，2，5，P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，故ξ的分布列為：ξ 1 2 5 P  故E（ξ）＝，設考生乙正確完成實驗操作的題數(shù)為η，η～B（3，），P（η＝k）＝ （k＝0，5，2，故η的分布列為：η 0 2 2 3 P   故E（η）＝．（2）由（1）知，E（ξ）＝E（η），D（ξ）＝+，D（η）＝，P（ξ≥2）＝，P（η≥7）＝，故D（ξ）＜D（η），P（ξ≥2）＞P（≥2），故從正確完成實驗操作的題數(shù)的均值方面分析，兩人水平相當，甲的水平更穩(wěn)定，甲提交通過的可能性更大，故甲的實驗操作能力較強．【點評】本題主要考查了離散型隨機變量及其分布列，需要學生熟練掌握期望與方差公式，屬于中檔題．18．【分析】（1）直接利用函數(shù)的中心點的距離和函數(shù)的值的應用求出函數(shù)f（x）的解析式；（2）利用函數(shù)的圖象的平移變換和伸縮變換的應用求出函數(shù)g（x）的解析式，進一步求出函數(shù)的單調區(qū)間；（3）利用函數(shù)的定義域和值域的關系求出參數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1）函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ），其中A＞0，0＜φ＜π，故ω＝4，由于在處取到最小值﹣8．所以+φ＝，由于0＜φ＜π，故φ＝，A＝2；故f（x）＝2sin（8x+）；（2）由（1）得：將函數(shù)f（x）圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）得到y(tǒng)＝4sin（2x+）的圖象個單位；令：2kπ﹣π≤2x≤2kπ（k∈Z），整理得：（k∈Z），故函數(shù)的單調遞增區(qū)間為[]（k∈Z）．（3）由（2）得：g（x）＝8cos2x，由于，則：，由于函數(shù)的值域為g（x）∈[﹣2，1]，故在x＝或時，函數(shù)取得最大值，當x＝時，函數(shù)取得最小值，故m的取值范圍為．【點評】本題考查的知識要點：三角函數(shù)的關系式的變換，正弦型函數(shù)的性質的應用，函數(shù)的圖象的平移變換和伸縮變換，參數(shù)的取值范圍的確定，主要考查學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于中檔題．19．【分析】（1）選條件①時，直接利用三角函數(shù)關系式的變換和三角函數(shù)的值的應用求出A的值，進一步利用正弦定理和三角函數(shù)的關系式的變換的應用求出cosC，（2）利用（1）的結論和三角函數(shù)的關系式的變換，及正弦定理的應用和正弦型函數(shù)的性質的應用求出結果．（1）選條件②時，直接利用三角函數(shù)關系式的變換和三角函數(shù)的值的應用求出A的值，進一步利用正弦定理和三角函數(shù)的關系式的變換的應用求出cosC，（2）利用（1）的結論和三角函數(shù)的關系式的變換，及正弦定理的應用和正弦型函數(shù)的性質的應用求出結果．（1）選條件③時，直接利用正弦定理和余弦定理的應用求出A的值，進一步利用正弦定理和三角函數(shù)的關系式的變換的應用求出cosC，（2）利用（1）的結論和三角函數(shù)的關系式的變換，及正弦定理的應用和正弦型函數(shù)的性質的應用求出結果．【解答】解：（1）選條件①時，2cosA（bcosC+ccosB）＝a；整理得：2cosA（sinBcosC+sinCcosB）＝sinA，整理得：5cosAsinA＝sinA，由于A∈（0，π），故A＝；選條件②時，；利用正弦定理：，所以：sin，（0），故A＝；選條件③時，由于（sinB+sinC）7﹣3sinBsinC＝sin2A，利用正弦定理整理得：b5+c2﹣a2＝bc，故cosA＝，由于A∈（8，π），所以A＝；由于a＝，b＝，利用正弦定理：，解得sinB＝，由于a＞b，所以cosB＝＝，故cosC＝﹣cos（A+B）＝﹣（cosAcosB﹣sinAsinB）＝．（2）由正弦定理：b＝2sinB，c＝3sinC．故＝2（＝2，由于，故，當B＝時，取得最大值；此時B＝，C＝．【點評】本題考查的知識要點：三角函數(shù)關系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質的應用，正弦定理和余弦定理的應用，主要考查學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于中檔題．20．【分析】（1）根據(jù)切點滿足的條件（切點為曲線與切線的公共點，且切點處的導數(shù)為切線斜率），列出關于a的方程即可；（2）根據(jù)x＞0，結合不等式的性質，可將問題化為恒成立解決問題．【解答】解：（1）函數(shù)f（x）＝axex﹣x2﹣2x，故f′（x）＝aex（x+3）﹣2x﹣2，由曲線y＝f（x）在點（8，f（0））處的切線方程為y＝﹣x，得f′（0）＝a﹣2＝﹣1，解得a＝4．（2）當x＞0時，若曲線y＝f（x