多目標(biāo)決策技術(shù)培訓(xùn)教程課件

第八章

多目標(biāo)決策技術(shù)

預(yù)測(cè)與決策技術(shù)主講教師

李時(shí)第八章

多目標(biāo)決策技術(shù)預(yù)測(cè)與決策技術(shù)1

前面幾章，我們討論的是單目標(biāo)決策問題。然而現(xiàn)實(shí)世界中的決策問題，決策者考慮的目標(biāo)往往不只一個(gè)。如企業(yè)的投資項(xiàng)目決策，既要考慮生產(chǎn)生命周期、市場(chǎng)需求、創(chuàng)匯能力、凈收益、產(chǎn)品成本等經(jīng)濟(jì)指標(biāo)，又要考慮保護(hù)生態(tài)環(huán)境、促進(jìn)就業(yè)等社會(huì)指標(biāo)。象這種在決策時(shí)要考慮多項(xiàng)目標(biāo)的決策問題就是多目標(biāo)決策問題。

多目標(biāo)決策問題有兩個(gè)明顯的基本特點(diǎn)：

1．目標(biāo)之間的不可公度性。即各個(gè)目標(biāo)之間沒有一個(gè)統(tǒng)一的度量標(biāo)準(zhǔn)，因而難以直接進(jìn)行比較。例如投資項(xiàng)目決策問題中，項(xiàng)目?jī)羰找嬗萌f元計(jì)，而投資回收期卻以年（或月）計(jì)。

2．目標(biāo)之間的矛盾性。即某一目標(biāo)的改善往往會(huì)使其他目標(biāo)變壞。例如項(xiàng)目投資增加，會(huì)使利潤(rùn)增加，但可能會(huì)使投資回收期變長(zhǎng)，以及環(huán)境污染加重。

由于上述特點(diǎn)就使得多目標(biāo)決策比單目標(biāo)決策要困難和復(fù)雜得多。要尋找使各個(gè)目標(biāo)都達(dá)到最優(yōu)的所謂絕對(duì)最優(yōu)方案（或稱絕對(duì)最優(yōu)解），往往是不現(xiàn)實(shí)的。通常的作用法就是在各個(gè)目標(biāo)之間，在各種限制條件下尋找一種合理的妥協(xié)。即在非絕對(duì)最優(yōu)方案，通常稱為非劣方案（非劣解）或稱有效方案（有效解）中選擇一個(gè)比較滿意的方案。按照不同的評(píng)價(jià)準(zhǔn)則，從不同的角度去選擇非劣方案便構(gòu)成了不同的多目標(biāo)決策方法。多目標(biāo)決策方法很多，我們只介紹其中比較成熟的兩種方法。前面幾章，我們討論的是單目標(biāo)決策問題。然而現(xiàn)實(shí)世界中2§1層次分析法層次分析法簡(jiǎn)稱AHP法（AnalyticHierarchyProcess），它是美國(guó)著名運(yùn)籌學(xué)家薩蒂（Saatty）教授在20世紀(jì)70年代提出的一種定性與定量相結(jié)合的多目標(biāo)決策方法，現(xiàn)已被廣泛應(yīng)用。一、層次分析法的基本原理

在多目標(biāo)決策問題中，針對(duì)某些目標(biāo)，方案的評(píng)價(jià)結(jié)果往往難以定量化、精確化。這就需要把目標(biāo)進(jìn)一步分解，利用可精確化、定量化的子目標(biāo)系統(tǒng)來反映對(duì)方案的評(píng)價(jià)。

層次分析法的基本思想是：把決策問題按總目標(biāo)、子目標(biāo)、評(píng)價(jià)準(zhǔn)則直至具體方案的順序分解為若干層次，相鄰層次元素之間存在著特定的邏輯關(guān)系。分成有序的層次結(jié)構(gòu)以后，對(duì)每一個(gè)上層元素，把與之有邏輯關(guān)系的下層元素兩兩對(duì)比，給出以定量數(shù)字表示的“判斷矩陣”。通過判斷矩陣的最大特征根及其特征向量，求出每一層次的各元素對(duì)上一層次各元素的權(quán)重系數(shù)。最后利用加權(quán)和的方法，由低到高，一層層遞階歸并，求出各方案對(duì)總目標(biāo)的權(quán)數(shù)，其中權(quán)數(shù)最大者對(duì)應(yīng)的方案即為優(yōu)先方案。

§1層次3

二、層次分析法的基本步驟

第一步：建立層次結(jié)構(gòu)模型。

最高層：表示決策問題所要達(dá)到的總目標(biāo)，常稱為目標(biāo)層或總目標(biāo)層。

中間層：可以包括不止一個(gè)層次。是為實(shí)現(xiàn)總目標(biāo)而細(xì)分的子目標(biāo)，也可以是為實(shí)現(xiàn)總目標(biāo)或子目標(biāo)而需要考慮的約束或準(zhǔn)則。相應(yīng)的層次常稱為子目標(biāo)層、準(zhǔn)則層等。

最低層：一般是解決問題的方案、政策或措施等。因此，常稱為方案層或措施層。

第二步：構(gòu)造判斷矩陣。

判斷矩陣是定性判斷過度到定量計(jì)算的基礎(chǔ)。它是針對(duì)上一層次某元素而言，本層次有關(guān)元素兩兩重要性的比較結(jié)果。二、層次分析法的基本步驟第一步：建立層次結(jié)構(gòu)4為了說明判斷矩陣的構(gòu)造原理，我們先從物體的重量對(duì)比談起。設(shè)有n件物體A1，A2，…，An，其重量分別為ω1，ω2，…，ωn，若將它們兩兩比較重量，其比值可構(gòu)成n×n矩陣A：矩陣A具有如下性質(zhì)：若用重量向量W=(ω1，ω2，…，ωn)T右乘A，可得

AW=nW

這說明n為矩陣A的特征根，向量W是對(duì)應(yīng)于特征根n的特征向量。如果記aij=ωi/ωj，顯然矩陣A的元素aij具有如下三條性質(zhì)：⑴aii=1；⑵aij=1/aji；⑶aij=aik·akj，i，j=1，2，…，n．由矩陣?yán)碚撘字瑵M足上述三條性質(zhì)的矩陣A的最大特征根

λmax=n,其余特征根為0。我們?cè)趯哟畏治龇ㄖ兴玫谋容^元素之間重要性的判斷矩陣，就是用類似于上述比較物體間重量的方法構(gòu)造的。為了說明判斷矩陣的構(gòu)造原理，我們先從物體的重量對(duì)比談起。5設(shè)B層元素Bk與下一層元素A1，A2，…，An有關(guān)系，對(duì)于Bk而言，Ai與Aj比較后，其相對(duì)重要性記為aij，則有判斷矩陣：A=(aij)n×n,也可表示為如下表格形式：

一般來講，元素的重要性很難象物體重量那樣準(zhǔn)確衡量，因此，aij很難精確給出，一般按下表所給出的標(biāo)準(zhǔn)來確定。BkA1A2…AnA1A2┆Ana11a12…a1na21a22…a2n┆

┆

┆an1an2…annaij取值

含義

1Ai與Aj同樣重要

3Ai比Aj稍微重要

5Ai

比Aj明顯重要

7Ai

比Aj重要得多

9Ai

比Aj極端重要

2，4，6，8介于上述相鄰兩種情況之間

以上各數(shù)的倒數(shù)

兩元素反過來比較

如：設(shè)B層元素Bk與下一層元素A1，A2，…，An6第三步：求判斷矩陣的最大特征根和相應(yīng)的特征向量。如果判斷矩陣滿足前述三條性質(zhì)，則稱該判斷矩陣具有完全一致性。此時(shí)，便可知其最大特征根λmax=n所對(duì)應(yīng)的特征向量為各元素重要性的權(quán)數(shù)。但是由于客觀事物的復(fù)雜性和人們認(rèn)識(shí)上的多樣性以及主觀上的片面性和不穩(wěn)定性，用兩兩對(duì)比的方法構(gòu)造出的判斷矩陣，既使有前表為參照標(biāo)準(zhǔn)也常常不滿足第三條性質(zhì)：aij=aik·akj，因而不是完全一致性判斷矩陣。若離完全一致性不遠(yuǎn)，則判斷矩陣基本可用，這時(shí)最大特征根λmax≠n，就要設(shè)法求出判斷矩陣的最大特征根及其相應(yīng)的特征向量。

當(dāng)矩陣A的階數(shù)較大時(shí)，用一般的代數(shù)方法計(jì)算相當(dāng)麻煩。下面我們介紹一種簡(jiǎn)單的近似算法——方根法，其步驟為：⑴計(jì)算判斷矩陣A中每行所有元素的幾何平均值：

⑵對(duì)向量M=(m1,m2,…，mn)T作歸一化處理，即令

所得向量W=(ω1，ω2，…，ωn)T即為判斷矩陣A的最大特征根對(duì)應(yīng)的（歸一化）特征向量的近似值。

第三步：求判斷矩陣的最大特征根和相應(yīng)的特征向量。當(dāng)矩7

⑶計(jì)算判斷矩陣A的最大特征根：其中(AW)i為向量AW的第i個(gè)元素。

事實(shí)上，由AW=λmaxW，有(AW)i=λmaxωi，i=1，2，…，n.（12.5.6）式實(shí)際是這n個(gè)等式求得的λmax的平均值。如果記W-1=(1/ω1,1/ω2,…，1/ωn)T，（12.5.6）式也可表為矩陣乘積形式：第四步：判斷矩陣的一致性檢驗(yàn)。前面已述及，當(dāng)判斷矩陣具有完全一致性時(shí)，其最大特征根λmax=n，但人們對(duì)復(fù)雜事物兩兩重要性的比較，很難做到判斷的一致性，因此，所給出的判斷矩陣往往不具有完全的一致性，此時(shí),λmax≠n,這就有必要檢驗(yàn)判斷矩陣與完全一致性相差多遠(yuǎn)。所用的檢驗(yàn)指標(biāo)是：

CI稱為一致性指標(biāo)。當(dāng)λmax=n時(shí)。CI=0，為完全一致；CI值越大，判斷矩陣的完全一致性越差。由于一致偏離可由隨機(jī)因素引起，所以在檢驗(yàn)判斷矩陣的一致性時(shí)，要將CI與平均隨機(jī)一致性指標(biāo)RI進(jìn)行比較，得出檢驗(yàn)數(shù)CR，即CR＝CI/RI⑶計(jì)算判斷矩陣A的最大特征根：其中(8

只要CR<0.1，就可以認(rèn)為判斷矩陣具有滿意的一致性，否則，需要重新分析賦值，調(diào)整判斷矩陣，直到檢驗(yàn)通過為止。平均隨機(jī)一致性指標(biāo)同判斷矩陣的階數(shù)有關(guān)，一般情況下，矩陣階數(shù)越大，出現(xiàn)一致性隨機(jī)偏離的可能性也愈大，下表給出了階數(shù)為3～10時(shí)的RI值。RI值是計(jì)算500個(gè)3至9階隨機(jī)樣本矩陣的一致性指標(biāo)，然后求其平均得出的。隨機(jī)一致性指標(biāo)RI值表

階數(shù)345678910RI0.580.901.121.241.321.411.451.49

因?yàn)槎A矩陣的完全一致性可以保證，所以，只有三階以上的判斷矩陣才需檢驗(yàn)。

只要CR<0.1，就可以認(rèn)為判斷矩陣具有滿意的一致性9例求下面給出的判斷矩陣A的最大特征根及特征向量，并做一致性檢驗(yàn)。解：⑴計(jì)算A中各行所有元素的幾何平均值：⑵歸一化：⑶計(jì)算最大特征根:⑷一致性檢驗(yàn)：CR＝CI/CR=0.0024÷0.58＝0.004＜0.1故判斷矩陣A具有滿意的一致性。

例求下面給出的判斷矩陣A的最大特征根及特征向量，并10第五步：層次加權(quán)。如果某層的判斷矩陣經(jīng)檢驗(yàn)具有滿意的一致性，則按前述方法求得的特征向量即可做為該層各元素相應(yīng)的權(quán)數(shù)。設(shè)第t層有m個(gè)元素，第t+1層有n個(gè)元素，那么對(duì)于第t層的第i個(gè)元素，可以求得第t+1層各元素對(duì)它的權(quán)重行向量:

Wi=(ωi1,ωi2,…，ωin)，i=1，2，…，m，（注意：若第t+1層的第j個(gè)元素與第t層的第i個(gè)元素?zé)o聯(lián)系時(shí)，ωij=0）于是可以用Wi為行，得到表示第t層和第t+1層各元素之間重要程度的權(quán)重矩陣，記為W（t）設(shè)決策問題可分為ι+1層，總目標(biāo)記為第0層，依次記為第1層，第2層，…，第ι層，第t層相對(duì)于上一層的權(quán)重矩陣為W（t），則由W總=W（1）W（2）.…W（ι），算得的行向量各元素，即最底層各方案對(duì)總目標(biāo)的權(quán)數(shù)，其中權(quán)數(shù)最大的方案就是優(yōu)先方案。第五步：層次加權(quán)。如果某層的判斷矩陣經(jīng)檢驗(yàn)具有滿11三、層次分析法的應(yīng)用

例6某地興建一大型工業(yè)項(xiàng)目，需考慮的主要目標(biāo)有：投資回收期、年產(chǎn)值、可提供的就業(yè)機(jī)會(huì)、對(duì)當(dāng)?shù)毓I(yè)的影響。經(jīng)過可行性研究后有三個(gè)方案可供選擇，其基本情況如下表所列，試用層次分析法確定優(yōu)先方案。

目標(biāo)

目標(biāo)值

方案投資回收期(年)年產(chǎn)值(萬元)

可提供的就業(yè)機(jī)會(huì)(人)

對(duì)當(dāng)?shù)毓I(yè)的影響

方案一

方案二

方案三

5811500090001500080020001400無影響

略有促進(jìn)作用

起帶動(dòng)作用

解：⑴建立層次結(jié)構(gòu)模型：依題意可建立如下圖所示的層次結(jié)構(gòu)圖:

滿意的項(xiàng)目A投資回收期B1年產(chǎn)值B2提供的就業(yè)機(jī)會(huì)B3對(duì)其它工業(yè)的影響B(tài)4方案一C1方案二C2方案三C3目標(biāo)層：準(zhǔn)則層：方案層：三、層次分析法的應(yīng)用例6某地興建一大型12⑵構(gòu)造第一層（準(zhǔn)則層）的判斷矩陣，求其最大特征根、特征向量，并進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。對(duì)于目標(biāo)層，把準(zhǔn)則層的四項(xiàng)指標(biāo)兩兩比較：B1不如B2重要，比B3略重要，比B4稍微重要；B2比B3稍微重要，比B4明顯重要；B3比B4稍微重要。從而得該層判斷矩陣如下表：AB1B2B3B4B1B2B3B411/22321351/21/3131/31/51/31計(jì)算各行幾何均值：

歸一化：

故權(quán)數(shù)向量W=(0.270，0.479，0.172，0.079)T

再求最大特征根：

由AW=得一致性檢驗(yàn)：

⑵構(gòu)造第一層（準(zhǔn)則層）的判斷矩陣，求其最大特征根、特13所以第一層的判斷矩陣具有滿意的一致性。從而第一層四個(gè)元素對(duì)總目標(biāo)的權(quán)數(shù)可記為行向量W（1）

=(0.270，0.479，0.172，0.079)⑶構(gòu)造第二層（方案層）對(duì)第一層各元素的判斷矩陣，用同樣方法和步驟求最大特征根、特征向量并進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。結(jié)果如下：w1=(0.655，0.250，0.095)λmax=3.075CI=0.0375CR=0.065<0.1，滿意。B1C1C2C3

C1C2C31291/2121/91/21B2C1C2C3

C1C2C3

11/31/9311/3931

w2=(0.077，0.231，0.692)λmax=3.001CI=0.0005

CR=0.0009<0.1，滿意。

B3C1C2C3

C1C2C3

11/71/471341/31w3=(0.078，0.659，0.263)λmax=3.033CI=0.0165

CR=0.0284<0.1，滿意。B4C1C2C3

C1C2C3

11/21/9211/3931w4=(0.090，0.205，0.705)

λmax=3.019CI=0.0095CR=0.0164<0.1，滿意。于是第二層的權(quán)重矩陣:

從而各方案關(guān)于總目標(biāo)的權(quán)重：W總=W（1）W（2）=（0.234，0.308，0.458）

由于方案三的權(quán)數(shù)最大，所以優(yōu)先投資方案應(yīng)為方案三。

所以第一層的判斷矩陣具有滿意的一致性。從而第一層四個(gè)元素對(duì)總14§2

模糊決策法模糊數(shù)學(xué)自1965年美國(guó)加利福尼亞貝克利大學(xué)教授扎德（Zadeh）創(chuàng)立以來，發(fā)展迅速，應(yīng)用越來越廣泛。目前已應(yīng)用到自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的許多領(lǐng)域。利用模糊數(shù)學(xué)方法進(jìn)行決策的成功案例不斷見諸各種文獻(xiàn)。模糊決策方法正成為決策領(lǐng)域中一種很有實(shí)用價(jià)值的工具。一、模糊基礎(chǔ)知識(shí)

在經(jīng)典數(shù)學(xué)里，對(duì)概念給出的定義須有明確的內(nèi)涵和外延。內(nèi)涵就是概念的內(nèi)容，外延就是概念所指對(duì)象的范圍、界限。比如平行四邊形的定義是：對(duì)邊平行且相等（內(nèi)涵）的四邊形（外延）。然而，在現(xiàn)實(shí)世界中，并不是所有的概念都有明確的內(nèi)涵和外延。比如年青與年老，胖與瘦，高與矮，冷與熱，溫柔與粗暴，強(qiáng)與弱，美與丑，好與壞等常用概念，其內(nèi)容我們?nèi)巳硕记宄渫庋觿t是模糊的，很難找到它們的明確分界限。對(duì)于這類具有明顯中間過渡性質(zhì)的概念，用經(jīng)典數(shù)學(xué)的普通集合是難以刻劃的。扎德創(chuàng)立的模糊數(shù)學(xué)用“隸屬度”和“模糊集合”成功地處理了這類問題的描述，使得人們對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的認(rèn)識(shí)又躍上了一個(gè)新的臺(tái)階。§2模糊決策法模糊數(shù)學(xué)自1965年美國(guó)加利福尼15㈠模糊集合與隸屬函數(shù)

在經(jīng)典數(shù)學(xué)里，集合是指具有某種特定屬性的事物的全體。它有明確的內(nèi)涵和外延。對(duì)于某一集合A，元素x要么屬于A，要么不屬于A，二者必居其一。這是普通集合的共同特征。這一特征可用下述函數(shù)來描述：

CA(x)稱為集合A的特征函數(shù)。

對(duì)于界限不清晰的模糊現(xiàn)象是很難用上述非此即彼的方法來確定元素對(duì)于一個(gè)集合的歸屬的。比如“美人”這一集合，一個(gè)人長(zhǎng)得很美，自然應(yīng)該屬于“美人”集合，一個(gè)人長(zhǎng)得很丑，自然不應(yīng)該屬于“美人”集合。但是一個(gè)人長(zhǎng)得不美也不丑，或者是七分美三分丑，或者是三分美七分丑，又該如何確定他的歸屬呢？模糊數(shù)學(xué)的處理辦法是將普通集合的特征函數(shù)的取值范圍由0和1兩個(gè)點(diǎn)擴(kuò)展到[0，1]整個(gè)區(qū)間，并改稱為隸屬函數(shù)。記為μA(x)，0≤μA(x)≤1。這樣，對(duì)于一個(gè)七分美三分丑的人，我們就可以記他屬于“美人”集合的隸屬度μA(x)=0.7，表示他有七成屬于“美人”集合。象這樣將元素與其隸屬度相對(duì)應(yīng)的集合，就稱為模糊集合，因?yàn)樵摷蠜]有明確的邊界。該集合含有無明確歸屬的元素，即其隸屬度不是“非0即1”。㈠模糊集合與隸屬函數(shù)在經(jīng)典數(shù)學(xué)里，集合是16下面給出模糊集合和隸屬函數(shù)的定義：定義用X表示所討論的某類對(duì)象的集合，稱之為論域，由映射μA：X→[0，1]

x

→μA(x)，

所刻劃的集合稱為論域X上的一個(gè)模糊子集A，μA(x)稱為定義在X上的隸屬函數(shù)，對(duì)于給定的x∈X，μA(x)的取值稱為x對(duì)于模糊集合A的隸屬度。

由上述定義可以看出,模糊集合實(shí)際是通過隸屬函數(shù)來定義的。所以常用下述方法表示有限論域X={x1，x2，…，xn}上的模糊集合A：這里的“+”號(hào)稱為扎德符號(hào)，表示模糊集合的元素相并列，沒有相加的含義。分?jǐn)?shù)線“—”也并非相除，而是表示元素xi與其隸屬度μA(xi)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。（12.7.1）式也稱為扎德記法。有時(shí)為了簡(jiǎn)單起見，也記成A=（μA(x1)，μA(x2)，…，μA(xn)），稱之為向量記法。（μA(x1)，μA(x2)，…，μA(xn)）也稱為模糊向量。

下面給出模糊集合和隸屬函數(shù)的定義：定義17㈡隸屬函數(shù)的確定

利用模糊集合來處理解決實(shí)際問題，首先要找出論域上的隸屬函數(shù)。實(shí)踐中隸屬函數(shù)的確定方法很多，沒有統(tǒng)一模式，允許有一定程度的主觀判斷。下面簡(jiǎn)單介紹四種方法：

⑴實(shí)際調(diào)查法：先請(qǐng)若干名專家或相關(guān)實(shí)際工作者對(duì)所討論的論域中的元素分別給出隸屬函數(shù)值，然后取其平均值或中位數(shù)做為該元素的隸屬度。

⑵模糊統(tǒng)計(jì)法：對(duì)論域X上的任何元素xi，考慮它屬于模糊集合A的可能性。例如，討論人的高矮，先確定模糊集合A是“高個(gè)子”，然后考慮某人a屬于高個(gè)子模糊集合A的可能性，為得到量化的數(shù)據(jù)，可以邀請(qǐng)一些人評(píng)判a是否為高個(gè)子，由于人們對(duì)高個(gè)子的邊界不一樣，有人會(huì)認(rèn)為是，有人會(huì)認(rèn)為不是，只要參加評(píng)判的總?cè)藬?shù)n（或試驗(yàn)次數(shù)）充分大，則可得μA(a)≈㈡隸屬函數(shù)的確定利用模糊集合來處理解決實(shí)際問題，首18⑶隸屬函數(shù)法：即給隸屬函數(shù)構(gòu)造適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)表達(dá)式，其定義域?yàn)檎撚騒，值域?yàn)閇0，1]。比如對(duì)“年輕”這一模糊集合，可構(gòu)造隸屬函數(shù)

1，當(dāng)x≤25歲

μA(x)=

(60-x)/35，當(dāng)25歲＜x≤60歲

0，當(dāng)x＞60歲

⑷對(duì)比平均法：對(duì)論域X中的元素，先按某種模糊特性兩兩比較，排定比較程度的分值，然后按一定規(guī)則轉(zhuǎn)換為總體排序的分值，該分值即可做為相應(yīng)元素的隸屬度。詳見下例：⑶隸屬函數(shù)法：即給隸屬函數(shù)構(gòu)造適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)表達(dá)式，其定19例設(shè)論域X

={牡丹（x1），菊花（x2），蘭花（x3）}，要確定這些花對(duì)“美”這一模糊集合的隸屬度。解：用g(xi,xj)表示xi與xj相比其美的程度，0≤g(xi,xj)≤1。若經(jīng)認(rèn)真品評(píng)，給定g(x1,x2)=0.8，g(x2,x1)=0.7，g(x1,x3)=0.9，g(x3,x1)=0.5，g(x2,x3)=0.8，g(x3,x2)=0.4，則兩兩對(duì)比后可得美麗程度矩陣

:

x1x2x3在沒有偏好的情況下，可賦予相同權(quán)數(shù)：ω(x1)=ω(x2)=ω(x3)=1/3，

于是，牡丹對(duì)“美”的隸屬度μA(x1)=ω(x1)g(x1,x1)+ω(x2)g(x1,x2)+ω(x3)g(x1,x3)=1/3×1+1/3×0.8+1/3×0.9=0.90菊花對(duì)“美”的隸屬度μA(x2)=ω(x1)g(x2,x1)+ω(x2)g(x2,x2)+ω(x3)g(x2,x3)=1/3×0.7+1/3×1+1/3×0.8=0.83蘭花對(duì)“美”的隸屬度μA(x3)=ω(x1)g(x3,x1)+ω(x2)g(x3,x2)+ω(x3)g(x3,x3)=1/3×0.5+1/3×0.4+1/3×1=0.63由此可得論域X上的“美”的模糊集合例設(shè)論域X={牡丹（x1），菊花（x2），蘭花（20若評(píng)價(jià)者對(duì)牡丹、菊花、蘭花偏好不一，對(duì)菊花情有獨(dú)鐘，給出的權(quán)數(shù)是

ω(x1)=0.1，ω(x2)=0.8，ω(x3)=0.1，

那么，牡丹對(duì)“美”的隸屬度μA(x1)=0.1×1+0.8×0.8+0.1×0.9=0.83

菊花對(duì)“美”的隸屬度μA(x2)=0.1×0.7+0.8×1+0.1×0.8=0.95

蘭花對(duì)“美”的隸屬度μA(x3)=0.1×0.5+0.8×0.4+0.1×1=0.47于是論域X上的“美”的模糊集合若評(píng)價(jià)者對(duì)牡丹、菊花、蘭花偏好不一，對(duì)菊花情有獨(dú)鐘，21㈢模糊矩陣的合成運(yùn)算

以同維的模糊向量為行組成的矩陣，稱為模糊矩陣。在模糊決策中會(huì)用到模糊矩陣的合成運(yùn)算，因此，我們先介紹一下模糊矩陣的合成運(yùn)算法則。

設(shè)模糊矩陣A=(aij)m×t，B=(bij)t×n，模糊矩陣A與B的合成運(yùn)算記為

C=A?B運(yùn)算結(jié)果C仍為模糊矩陣，且C=(cij)m×n

其中cij=(ai1∧b1j)∨(ai2∧b2j)∨…∨(ait∧btj)，i=1,2,…，m；j=1，2…，n．式中“∧”為取小運(yùn)算，如(ai1∧b1j)=min(ai1,b1j)；“∨”為取大運(yùn)算，即max。將cij的運(yùn)算式與普通矩陣的乘法比較，可以看出，它的運(yùn)算法則實(shí)際只是把普通矩陣相乘時(shí)所做的“×”和“+”運(yùn)算分別改成了“∧”和“∨”運(yùn)算。

㈢模糊矩陣的合成運(yùn)算以同維的模糊向量為行22

例

設(shè)模糊矩陣，，

求Q?R

解例設(shè)模糊矩陣23二、模糊決策法的步驟及應(yīng)用

模糊決策法分為兩大步，第一大步是對(duì)每個(gè)方案單獨(dú)做模糊綜合評(píng)判，第二大步是利用第一大步模糊綜合評(píng)判的結(jié)果，用適當(dāng)?shù)姆椒ń?jīng)過比選，確定優(yōu)先方案。我們先介紹第一大步：?jiǎn)畏桨改：C合評(píng)判的基本方法和步驟。㈠確定模糊綜合評(píng)判的因素集U

因素集是以影響評(píng)判對(duì)象的各種因素為元素所組成的一個(gè)普通集合。通常表示為U={u1，u2，…，um}其中對(duì)各元素ui(i=1,2,…，m)的評(píng)價(jià)通常都具有不同程度的模糊性。在多目標(biāo)模糊決策問題中，U即為目標(biāo)集合。㈡建立綜合評(píng)判的評(píng)語集V

評(píng)價(jià)集是評(píng)判者對(duì)評(píng)判對(duì)象可能作出的各種評(píng)價(jià)語言所組成的集合。通常表示為V={v1，v2，…，vn}其中元素vi(i=1,2,…，n)代表可能的第i種評(píng)語。

二、模糊決策法的步驟及應(yīng)用模糊決策法分為24㈢進(jìn)行單因素模糊評(píng)判，求得單因素模糊評(píng)判矩陣R

單獨(dú)從因素集中的一個(gè)因素出發(fā)進(jìn)行評(píng)判，以確定評(píng)判對(duì)象對(duì)評(píng)語集各元素的隸屬程度，稱為單因素模糊評(píng)判。設(shè)評(píng)判對(duì)象按因素集U中第i個(gè)因素ui進(jìn)行評(píng)判，對(duì)評(píng)語集V中第j個(gè)評(píng)語vj的隸屬度為rij，則按ui評(píng)判的結(jié)果，可用下面的模糊集合表示：Ri稱為單因素評(píng)判集，顯然它應(yīng)是評(píng)語集V上的一個(gè)模糊子集。也可簡(jiǎn)單表示為模糊評(píng)判向量

Ri=(ri1,ri2,…，rin),i=1,2,…，m．令稱R為單因素模糊評(píng)判矩陣。

㈢進(jìn)行單因素模糊評(píng)判，求得單因素模糊評(píng)判矩陣R單25㈣建立綜合評(píng)判模型，進(jìn)行綜合評(píng)判

從前述單因素模糊評(píng)判矩陣R可以看出：R的第i行所反映的是第i個(gè)因素（評(píng)價(jià)指標(biāo)）ui對(duì)評(píng)判對(duì)象的影響取各個(gè)評(píng)語元素的程度；而R的第j列所反映的是所有各因素（評(píng)價(jià)指標(biāo)）影響評(píng)判對(duì)象取第j個(gè)評(píng)語元素的程度。因此，可用每列元素之和:Rj=,(j=1,2,…，n)來反映所有因素的綜合影響。但考慮各因素（評(píng)價(jià)指標(biāo)）對(duì)綜合評(píng)判的重要程度不同，我們給各因素以不同的權(quán)數(shù)ωi(i=1,2,…，m)，其中ωi表示第i個(gè)因素ui在綜合評(píng)判中的重要程度。于是建立綜合評(píng)判模型：

B=W?R其中W=(ω1,ω2,…，ωm)為一模糊向量。設(shè)按模糊矩陣的合成運(yùn)算法則算得B=(b1,b2,…，bn)，B稱為模糊綜合評(píng)判結(jié)果集。bj(j=1,2,…，n)表示綜合考慮所有因素的影響時(shí)，評(píng)判對(duì)象對(duì)評(píng)語集中第j個(gè)評(píng)語元素的隸屬度，顯然，模糊綜合評(píng)判結(jié)果集B也是評(píng)語集V上的一個(gè)模糊子集。

㈣建立綜合評(píng)判模型，進(jìn)行綜合評(píng)判從前述單因26

第二大步：用適當(dāng)方法確定優(yōu)先方案。

對(duì)每一方案均按前述㈠～㈣步驟，求得各自的模糊綜合評(píng)判結(jié)果集B，然后按下述方法之一，挑選優(yōu)先方案。⒈模糊向量單值化法

給各評(píng)語元素vi賦值，比如“很好”取為5，“好”取為4，“一般”取為3，“不好”取為1。然后把bj當(dāng)作權(quán)數(shù)，計(jì)算各評(píng)語元素的加權(quán)平均值，即：

比較各方案的

第二大步：用適當(dāng)方法確定優(yōu)先方案。對(duì)每一27

⒉隸屬度對(duì)比系數(shù)法

假設(shè)對(duì)某一方案得到如下的B：等級(jí)評(píng)語優(yōu)良可差劣隸屬度B0.40.60.80.50.2用結(jié)構(gòu)相對(duì)數(shù)計(jì)算隸屬度對(duì)比系數(shù)（這里是優(yōu)良度）：結(jié)構(gòu)優(yōu)良度也可用比例相對(duì)數(shù)計(jì)算隸屬度對(duì)比系數(shù)：比例優(yōu)良度這兩個(gè)優(yōu)良度在實(shí)際應(yīng)用時(shí)可任選其一，比較每個(gè)方案的優(yōu)良度，以其大者為優(yōu)先方案。

⒊期望值法

將評(píng)判結(jié)果B作歸一化處理，然后將bj視為處于狀態(tài)vj的概率，結(jié)合各方案在各狀態(tài)下的益損值，用期望值法進(jìn)行決策。詳見下例。⒉隸屬度對(duì)比系數(shù)法假設(shè)對(duì)某一方案得到如下的28

例

某無線電廠研究產(chǎn)品發(fā)展方向，現(xiàn)考慮有兩個(gè)可供選擇的方案,方案D1是生產(chǎn)VCD影碟機(jī)，方案D2是生產(chǎn)學(xué)習(xí)游戲機(jī)。工廠決策層對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行功能分析，認(rèn)為產(chǎn)品應(yīng)具有使用簡(jiǎn)便，性能穩(wěn)定，造型美觀三大特點(diǎn)，即評(píng)價(jià)的因素（指標(biāo)）集為：

U={u1(使用簡(jiǎn)便)，u2(性能穩(wěn)定)，u3(造型美觀)}對(duì)上述三個(gè)因素的評(píng)語集為：

V={v1(很好)，v2(好)，v3(一般)，v4(差)}

對(duì)于D1，D2兩方案試制出的樣機(jī)，由銷售部門熟悉情況的人員及部分顧客代表進(jìn)行評(píng)價(jià)。對(duì)方案D1的“使用簡(jiǎn)便”這一特點(diǎn)，有30%的人認(rèn)為很好，60%的人認(rèn)為好，10%的人認(rèn)為“一般”，沒有人認(rèn)為差。即對(duì)“使用簡(jiǎn)便”這一因素的模糊評(píng)判向量為:R1=(0.3，0.6，0.1，0)類似地，對(duì)方D1的“性能穩(wěn)定”和“造型美觀”的模糊評(píng)判向量分別為R2=(0.3，0.6，0.1，0)，R3=(0.4，0.3，0.2，0.1)由此可得方案D1的單因素模糊評(píng)判矩陣:

例某無線電廠研究產(chǎn)品發(fā)展方向，現(xiàn)考慮有兩個(gè)可供選擇29同樣可得方案D2的單因素模糊評(píng)判矩陣：

由于市場(chǎng)上顧客對(duì)簡(jiǎn)便性、穩(wěn)定性、美觀性的要求不一，因而要考慮加上不同的權(quán)數(shù)：W=(0.3，0.4，0.3)由此可得出兩個(gè)方案的綜合評(píng)判結(jié)果分別為：

由于BⅡ的各分量之和為0.2+0.3+0.4+0.3=1.2＞1，作歸一化處理后得：BⅡ=(0.17，0.25，0.33，0.25)現(xiàn)將評(píng)價(jià)結(jié)果作為銷售狀態(tài)的概率，再根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，得到每個(gè)方案在各狀態(tài)下的益損值，制成模糊決策表如下表所示。

同樣可得方案D2的單因素模糊評(píng)判矩陣：由于市場(chǎng)上顧客對(duì)簡(jiǎn)便30模糊決策表

根據(jù)表中狀態(tài)概率及益損值，可計(jì)算出每個(gè)方案的期望益損值：

方案D1：

EⅠ=0.3×1000+0.4×800+0.2×300+0.1×(-300)=650（萬元）方案D2：EⅡ=0.17×800+0.25×700+0.33×200+0.25×(-200)=327（萬元）通過比較可知，執(zhí)行D1方案可期望多獲利323萬元。因此，該廠決定按D1方案進(jìn)行生產(chǎn)，即生產(chǎn)VCD影碟機(jī)。

銷售狀態(tài)產(chǎn)品評(píng)價(jià)v1（很好）v2（好）v3（一般）v4（差）狀態(tài)概率D10.30.40.20.1D20.170.250.330.25益損值（萬元）D11000800300-300D2800700200-200模糊決策表根據(jù)表中狀態(tài)概率及益損值，可計(jì)算出每個(gè)方31

第八章

多目標(biāo)決策技術(shù)

預(yù)測(cè)與決策技術(shù)主講教師

李時(shí)第八章

多目標(biāo)決策技術(shù)預(yù)測(cè)與決策技術(shù)32

前面幾章，我們討論的是單目標(biāo)決策問題。然而現(xiàn)實(shí)世界中的決策問題，決策者考慮的目標(biāo)往往不只一個(gè)。如企業(yè)的投資項(xiàng)目決策，既要考慮生產(chǎn)生命周期、市場(chǎng)需求、創(chuàng)匯能力、凈收益、產(chǎn)品成本等經(jīng)濟(jì)指標(biāo)，又要考慮保護(hù)生態(tài)環(huán)境、促進(jìn)就業(yè)等社會(huì)指標(biāo)。象這種在決策時(shí)要考慮多項(xiàng)目標(biāo)的決策問題就是多目標(biāo)決策問題。

多目標(biāo)決策問題有兩個(gè)明顯的基本特點(diǎn)：

1．目標(biāo)之間的不可公度性。即各個(gè)目標(biāo)之間沒有一個(gè)統(tǒng)一的度量標(biāo)準(zhǔn)，因而難以直接進(jìn)行比較。例如投資項(xiàng)目決策問題中，項(xiàng)目?jī)羰找嬗萌f元計(jì)，而投資回收期卻以年（或月）計(jì)。

2．目標(biāo)之間的矛盾性。即某一目標(biāo)的改善往往會(huì)使其他目標(biāo)變壞。例如項(xiàng)目投資增加，會(huì)使利潤(rùn)增加，但可能會(huì)使投資回收期變長(zhǎng)，以及環(huán)境污染加重。

由于上述特點(diǎn)就使得多目標(biāo)決策比單目標(biāo)決策要困難和復(fù)雜得多。要尋找使各個(gè)目標(biāo)都達(dá)到最優(yōu)的所謂絕對(duì)最優(yōu)方案（或稱絕對(duì)最優(yōu)解），往往是不現(xiàn)實(shí)的。通常的作用法就是在各個(gè)目標(biāo)之間，在各種限制條件下尋找一種合理的妥協(xié)。即在非絕對(duì)最優(yōu)方案，通常稱為非劣方案（非劣解）或稱有效方案（有效解）中選擇一個(gè)比較滿意的方案。按照不同的評(píng)價(jià)準(zhǔn)則，從不同的角度去選擇非劣方案便構(gòu)成了不同的多目標(biāo)決策方法。多目標(biāo)決策方法很多，我們只介紹其中比較成熟的兩種方法。前面幾章，我們討論的是單目標(biāo)決策問題。然而現(xiàn)實(shí)世界中33§1層次分析法層次分析法簡(jiǎn)稱AHP法（AnalyticHierarchyProcess），它是美國(guó)著名運(yùn)籌學(xué)家薩蒂（Saatty）教授在20世紀(jì)70年代提出的一種定性與定量相結(jié)合的多目標(biāo)決策方法，現(xiàn)已被廣泛應(yīng)用。一、層次分析法的基本原理

在多目標(biāo)決策問題中，針對(duì)某些目標(biāo)，方案的評(píng)價(jià)結(jié)果往往難以定量化、精確化。這就需要把目標(biāo)進(jìn)一步分解，利用可精確化、定量化的子目標(biāo)系統(tǒng)來反映對(duì)方案的評(píng)價(jià)。

層次分析法的基本思想是：把決策問題按總目標(biāo)、子目標(biāo)、評(píng)價(jià)準(zhǔn)則直至具體方案的順序分解為若干層次，相鄰層次元素之間存在著特定的邏輯關(guān)系。分成有序的層次結(jié)構(gòu)以后，對(duì)每一個(gè)上層元素，把與之有邏輯關(guān)系的下層元素兩兩對(duì)比，給出以定量數(shù)字表示的“判斷矩陣”。通過判斷矩陣的最大特征根及其特征向量，求出每一層次的各元素對(duì)上一層次各元素的權(quán)重系數(shù)。最后利用加權(quán)和的方法，由低到高，一層層遞階歸并，求出各方案對(duì)總目標(biāo)的權(quán)數(shù)，其中權(quán)數(shù)最大者對(duì)應(yīng)的方案即為優(yōu)先方案。

§1層次34

二、層次分析法的基本步驟

第一步：建立層次結(jié)構(gòu)模型。

最高層：表示決策問題所要達(dá)到的總目標(biāo)，常稱為目標(biāo)層或總目標(biāo)層。

中間層：可以包括不止一個(gè)層次。是為實(shí)現(xiàn)總目標(biāo)而細(xì)分的子目標(biāo)，也可以是為實(shí)現(xiàn)總目標(biāo)或子目標(biāo)而需要考慮的約束或準(zhǔn)則。相應(yīng)的層次常稱為子目標(biāo)層、準(zhǔn)則層等。

最低層：一般是解決問題的方案、政策或措施等。因此，常稱為方案層或措施層。

第二步：構(gòu)造判斷矩陣。

判斷矩陣是定性判斷過度到定量計(jì)算的基礎(chǔ)。它是針對(duì)上一層次某元素而言，本層次有關(guān)元素兩兩重要性的比較結(jié)果。二、層次分析法的基本步驟第一步：建立層次結(jié)構(gòu)35為了說明判斷矩陣的構(gòu)造原理，我們先從物體的重量對(duì)比談起。設(shè)有n件物體A1，A2，…，An，其重量分別為ω1，ω2，…，ωn，若將它們兩兩比較重量，其比值可構(gòu)成n×n矩陣A：矩陣A具有如下性質(zhì)：若用重量向量W=(ω1，ω2，…，ωn)T右乘A，可得

AW=nW

這說明n為矩陣A的特征根，向量W是對(duì)應(yīng)于特征根n的特征向量。如果記aij=ωi/ωj，顯然矩陣A的元素aij具有如下三條性質(zhì)：⑴aii=1；⑵aij=1/aji；⑶aij=aik·akj，i，j=1，2，…，n．由矩陣?yán)碚撘字?，滿足上述三條性質(zhì)的矩陣A的最大特征根

λmax=n,其余特征根為0。我們?cè)趯哟畏治龇ㄖ兴玫谋容^元素之間重要性的判斷矩陣，就是用類似于上述比較物體間重量的方法構(gòu)造的。為了說明判斷矩陣的構(gòu)造原理，我們先從物體的重量對(duì)比談起。36設(shè)B層元素Bk與下一層元素A1，A2，…，An有關(guān)系，對(duì)于Bk而言，Ai與Aj比較后，其相對(duì)重要性記為aij，則有判斷矩陣：A=(aij)n×n,也可表示為如下表格形式：

一般來講，元素的重要性很難象物體重量那樣準(zhǔn)確衡量，因此，aij很難精確給出，一般按下表所給出的標(biāo)準(zhǔn)來確定。BkA1A2…AnA1A2┆Ana11a12…a1na21a22…a2n┆

┆

┆an1an2…annaij取值

含義

1Ai與Aj同樣重要

3Ai比Aj稍微重要

5Ai

比Aj明顯重要

7Ai

比Aj重要得多

9Ai

比Aj極端重要

2，4，6，8介于上述相鄰兩種情況之間

以上各數(shù)的倒數(shù)

兩元素反過來比較

如：設(shè)B層元素Bk與下一層元素A1，A2，…，An37第三步：求判斷矩陣的最大特征根和相應(yīng)的特征向量。如果判斷矩陣滿足前述三條性質(zhì)，則稱該判斷矩陣具有完全一致性。此時(shí)，便可知其最大特征根λmax=n所對(duì)應(yīng)的特征向量為各元素重要性的權(quán)數(shù)。但是由于客觀事物的復(fù)雜性和人們認(rèn)識(shí)上的多樣性以及主觀上的片面性和不穩(wěn)定性，用兩兩對(duì)比的方法構(gòu)造出的判斷矩陣，既使有前表為參照標(biāo)準(zhǔn)也常常不滿足第三條性質(zhì)：aij=aik·akj，因而不是完全一致性判斷矩陣。若離完全一致性不遠(yuǎn)，則判斷矩陣基本可用，這時(shí)最大特征根λmax≠n，就要設(shè)法求出判斷矩陣的最大特征根及其相應(yīng)的特征向量。

當(dāng)矩陣A的階數(shù)較大時(shí)，用一般的代數(shù)方法計(jì)算相當(dāng)麻煩。下面我們介紹一種簡(jiǎn)單的近似算法——方根法，其步驟為：⑴計(jì)算判斷矩陣A中每行所有元素的幾何平均值：

⑵對(duì)向量M=(m1,m2,…，mn)T作歸一化處理，即令

所得向量W=(ω1，ω2，…，ωn)T即為判斷矩陣A的最大特征根對(duì)應(yīng)的（歸一化）特征向量的近似值。

第三步：求判斷矩陣的最大特征根和相應(yīng)的特征向量。當(dāng)矩38

⑶計(jì)算判斷矩陣A的最大特征根：其中(AW)i為向量AW的第i個(gè)元素。

事實(shí)上，由AW=λmaxW，有(AW)i=λmaxωi，i=1，2，…，n.（12.5.6）式實(shí)際是這n個(gè)等式求得的λmax的平均值。如果記W-1=(1/ω1,1/ω2,…，1/ωn)T，（12.5.6）式也可表為矩陣乘積形式：第四步：判斷矩陣的一致性檢驗(yàn)。前面已述及，當(dāng)判斷矩陣具有完全一致性時(shí)，其最大特征根λmax=n，但人們對(duì)復(fù)雜事物兩兩重要性的比較，很難做到判斷的一致性，因此，所給出的判斷矩陣往往不具有完全的一致性，此時(shí),λmax≠n,這就有必要檢驗(yàn)判斷矩陣與完全一致性相差多遠(yuǎn)。所用的檢驗(yàn)指標(biāo)是：

CI稱為一致性指標(biāo)。當(dāng)λmax=n時(shí)。CI=0，為完全一致；CI值越大，判斷矩陣的完全一致性越差。由于一致偏離可由隨機(jī)因素引起，所以在檢驗(yàn)判斷矩陣的一致性時(shí)，要將CI與平均隨機(jī)一致性指標(biāo)RI進(jìn)行比較，得出檢驗(yàn)數(shù)CR，即CR＝CI/RI⑶計(jì)算判斷矩陣A的最大特征根：其中(39

只要CR<0.1，就可以認(rèn)為判斷矩陣具有滿意的一致性，否則，需要重新分析賦值，調(diào)整判斷矩陣，直到檢驗(yàn)通過為止。平均隨機(jī)一致性指標(biāo)同判斷矩陣的階數(shù)有關(guān)，一般情況下，矩陣階數(shù)越大，出現(xiàn)一致性隨機(jī)偏離的可能性也愈大，下表給出了階數(shù)為3～10時(shí)的RI值。RI值是計(jì)算500個(gè)3至9階隨機(jī)樣本矩陣的一致性指標(biāo)，然后求其平均得出的。隨機(jī)一致性指標(biāo)RI值表

階數(shù)345678910RI0.580.901.121.241.321.411.451.49

因?yàn)槎A矩陣的完全一致性可以保證，所以，只有三階以上的判斷矩陣才需檢驗(yàn)。

只要CR<0.1，就可以認(rèn)為判斷矩陣具有滿意的一致性40例求下面給出的判斷矩陣A的最大特征根及特征向量，并做一致性檢驗(yàn)。解：⑴計(jì)算A中各行所有元素的幾何平均值：⑵歸一化：⑶計(jì)算最大特征根:⑷一致性檢驗(yàn)：CR＝CI/CR=0.0024÷0.58＝0.004＜0.1故判斷矩陣A具有滿意的一致性。

例求下面給出的判斷矩陣A的最大特征根及特征向量，并41第五步：層次加權(quán)。如果某層的判斷矩陣經(jīng)檢驗(yàn)具有滿意的一致性，則按前述方法求得的特征向量即可做為該層各元素相應(yīng)的權(quán)數(shù)。設(shè)第t層有m個(gè)元素，第t+1層有n個(gè)元素，那么對(duì)于第t層的第i個(gè)元素，可以求得第t+1層各元素對(duì)它的權(quán)重行向量:

Wi=(ωi1,ωi2,…，ωin)，i=1，2，…，m，（注意：若第t+1層的第j個(gè)元素與第t層的第i個(gè)元素?zé)o聯(lián)系時(shí)，ωij=0）于是可以用Wi為行，得到表示第t層和第t+1層各元素之間重要程度的權(quán)重矩陣，記為W（t）設(shè)決策問題可分為ι+1層，總目標(biāo)記為第0層，依次記為第1層，第2層，…，第ι層，第t層相對(duì)于上一層的權(quán)重矩陣為W（t），則由W總=W（1）W（2）.…W（ι），算得的行向量各元素，即最底層各方案對(duì)總目標(biāo)的權(quán)數(shù)，其中權(quán)數(shù)最大的方案就是優(yōu)先方案。第五步：層次加權(quán)。如果某層的判斷矩陣經(jīng)檢驗(yàn)具有滿42三、層次分析法的應(yīng)用

例6某地興建一大型工業(yè)項(xiàng)目，需考慮的主要目標(biāo)有：投資回收期、年產(chǎn)值、可提供的就業(yè)機(jī)會(huì)、對(duì)當(dāng)?shù)毓I(yè)的影響。經(jīng)過可行性研究后有三個(gè)方案可供選擇，其基本情況如下表所列，試用層次分析法確定優(yōu)先方案。

目標(biāo)

目標(biāo)值

方案投資回收期(年)年產(chǎn)值(萬元)

可提供的就業(yè)機(jī)會(huì)(人)

對(duì)當(dāng)?shù)毓I(yè)的影響

方案一

方案二

方案三

5811500090001500080020001400無影響

略有促進(jìn)作用

起帶動(dòng)作用

解：⑴建立層次結(jié)構(gòu)模型：依題意可建立如下圖所示的層次結(jié)構(gòu)圖:

滿意的項(xiàng)目A投資回收期B1年產(chǎn)值B2提供的就業(yè)機(jī)會(huì)B3對(duì)其它工業(yè)的影響B(tài)4方案一C1方案二C2方案三C3目標(biāo)層：準(zhǔn)則層：方案層：三、層次分析法的應(yīng)用例6某地興建一大型43⑵構(gòu)造第一層（準(zhǔn)則層）的判斷矩陣，求其最大特征根、特征向量，并進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。對(duì)于目標(biāo)層，把準(zhǔn)則層的四項(xiàng)指標(biāo)兩兩比較：B1不如B2重要，比B3略重要，比B4稍微重要；B2比B3稍微重要，比B4明顯重要；B3比B4稍微重要。從而得該層判斷矩陣如下表：AB1B2B3B4B1B2B3B411/22321351/21/3131/31/51/31計(jì)算各行幾何均值：

歸一化：

故權(quán)數(shù)向量W=(0.270，0.479，0.172，0.079)T

再求最大特征根：

由AW=得一致性檢驗(yàn)：

⑵構(gòu)造第一層（準(zhǔn)則層）的判斷矩陣，求其最大特征根、特44所以第一層的判斷矩陣具有滿意的一致性。從而第一層四個(gè)元素對(duì)總目標(biāo)的權(quán)數(shù)可記為行向量W（1）

=(0.270，0.479，0.172，0.079)⑶構(gòu)造第二層（方案層）對(duì)第一層各元素的判斷矩陣，用同樣方法和步驟求最大特征根、特征向量并進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。結(jié)果如下：w1=(0.655，0.250，0.095)λmax=3.075CI=0.0375CR=0.065<0.1，滿意。B1C1C2C3

C1C2C31291/2121/91/21B2C1C2C3

C1C2C3

11/31/9311/3931

w2=(0.077，0.231，0.692)λmax=3.001CI=0.0005

CR=0.0009<0.1，滿意。

B3C1C2C3

C1C2C3

11/71/471341/31w3=(0.078，0.659，0.263)λmax=3.033CI=0.0165

CR=0.0284<0.1，滿意。B4C1C2C3

C1C2C3

11/21/9211/3931w4=(0.090，0.205，0.705)

λmax=3.019CI=0.0095CR=0.0164<0.1，滿意。于是第二層的權(quán)重矩陣:

從而各方案關(guān)于總目標(biāo)的權(quán)重：W總=W（1）W（2）=（0.234，0.308，0.458）

由于方案三的權(quán)數(shù)最大，所以優(yōu)先投資方案應(yīng)為方案三。

所以第一層的判斷矩陣具有滿意的一致性。從而第一層四個(gè)元素對(duì)總45§2

模糊決策法模糊數(shù)學(xué)自1965年美國(guó)加利福尼亞貝克利大學(xué)教授扎德（Zadeh）創(chuàng)立以來，發(fā)展迅速，應(yīng)用越來越廣泛。目前已應(yīng)用到自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的許多領(lǐng)域。利用模糊數(shù)學(xué)方法進(jìn)行決策的成功案例不斷見諸各種文獻(xiàn)。模糊決策方法正成為決策領(lǐng)域中一種很有實(shí)用價(jià)值的工具。一、模糊基礎(chǔ)知識(shí)

在經(jīng)典數(shù)學(xué)里，對(duì)概念給出的定義須有明確的內(nèi)涵和外延。內(nèi)涵就是概念的內(nèi)容，外延就是概念所指對(duì)象的范圍、界限。比如平行四邊形的定義是：對(duì)邊平行且相等（內(nèi)涵）的四邊形（外延）。然而，在現(xiàn)實(shí)世界中，并不是所有的概念都有明確的內(nèi)涵和外延。比如年青與年老，胖與瘦，高與矮，冷與熱，溫柔與粗暴，強(qiáng)與弱，美與丑，好與壞等常用概念，其內(nèi)容我們?nèi)巳硕记宄渫庋觿t是模糊的，很難找到它們的明確分界限。對(duì)于這類具有明顯中間過渡性質(zhì)的概念，用經(jīng)典數(shù)學(xué)的普通集合是難以刻劃的。扎德創(chuàng)立的模糊數(shù)學(xué)用“隸屬度”和“模糊集合”成功地處理了這類問題的描述，使得人們對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的認(rèn)識(shí)又躍上了一個(gè)新的臺(tái)階。§2模糊決策法模糊數(shù)學(xué)自1965年美國(guó)加利福尼46㈠模糊集合與隸屬函數(shù)

在經(jīng)典數(shù)學(xué)里，集合是指具有某種特定屬性的事物的全體。它有明確的內(nèi)涵和外延。對(duì)于某一集合A，元素x要么屬于A，要么不屬于A，二者必居其一。這是普通集合的共同特征。這一特征可用下述函數(shù)來描述：

CA(x)稱為集合A的特征函數(shù)。

對(duì)于界限不清晰的模糊現(xiàn)象是很難用上述非此即彼的方法來確定元素對(duì)于一個(gè)集合的歸屬的。比如“美人”這一集合，一個(gè)人長(zhǎng)得很美，自然應(yīng)該屬于“美人”集合，一個(gè)人長(zhǎng)得很丑，自然不應(yīng)該屬于“美人”集合。但是一個(gè)人長(zhǎng)得不美也不丑，或者是七分美三分丑，或者是三分美七分丑，又該如何確定他的歸屬呢？模糊數(shù)學(xué)的處理辦法是將普通集合的特征函數(shù)的取值范圍由0和1兩個(gè)點(diǎn)擴(kuò)展到[0，1]整個(gè)區(qū)間，并改稱為隸屬函數(shù)。記為μA(x)，0≤μA(x)≤1。這樣，對(duì)于一個(gè)七分美三分丑的人，我們就可以記他屬于“美人”集合的隸屬度μA(x)=0.7，表示他有七成屬于“美人”集合。象這樣將元素與其隸屬度相對(duì)應(yīng)的集合，就稱為模糊集合，因?yàn)樵摷蠜]有明確的邊界。該集合含有無明確歸屬的元素，即其隸屬度不是“非0即1”。㈠模糊集合與隸屬函數(shù)在經(jīng)典數(shù)學(xué)里，集合是47下面給出模糊集合和隸屬函數(shù)的定義：定義用X表示所討論的某類對(duì)象的集合，稱之為論域，由映射μA：X→[0，1]

x

→μA(x)，

所刻劃的集合稱為論域X上的一個(gè)模糊子集A，μA(x)稱為定義在X上的隸屬函數(shù)，對(duì)于給定的x∈X，μA(x)的取值稱為x對(duì)于模糊集合A的隸屬度。

由上述定義可以看出,模糊集合實(shí)際是通過隸屬函數(shù)來定義的。所以常用下述方法表示有限論域X={x1，x2，…，xn}上的模糊集合A：這里的“+”號(hào)稱為扎德符號(hào)，表示模糊集合的元素相并列，沒有相加的含義。分?jǐn)?shù)線“—”也并非相除，而是表示元素xi與其隸屬度μA(xi)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。（12.7.1）式也稱為扎德記法。有時(shí)為了簡(jiǎn)單起見，也記成A=（μA(x1)，μA(x2)，…，μA(xn)），稱之為向量記法。（μA(x1)，μA(x2)，…，μA(xn)）也稱為模糊向量。

下面給出模糊集合和隸屬函數(shù)的定義：定義48㈡隸屬函數(shù)的確定

利用模糊集合來處理解決實(shí)際問題，首先要找出論域上的隸屬函數(shù)。實(shí)踐中隸屬函數(shù)的確定方法很多，沒有統(tǒng)一模式，允許有一定程度的主觀判斷。下面簡(jiǎn)單介紹四種方法：

⑴實(shí)際調(diào)查法：先請(qǐng)若干名專家或相關(guān)實(shí)際工作者對(duì)所討論的論域中的元素分別給出隸屬函數(shù)值，然后取其平均值或中位數(shù)做為該元素的隸屬度。

⑵模糊統(tǒng)計(jì)法：對(duì)論域X上的任何元素xi，考慮它屬于模糊集合A的可能性。例如，討論人的高矮，先確定模糊集合A是“高個(gè)子”，然后考慮某人a屬于高個(gè)子模糊集合A的可能性，為得到量化的數(shù)據(jù)，可以邀請(qǐng)一些人評(píng)判a是否為高個(gè)子，由于人們對(duì)高個(gè)子的邊界不一樣，有人會(huì)認(rèn)為是，有人會(huì)認(rèn)為不是，只要參加評(píng)判的總?cè)藬?shù)n（或試驗(yàn)次數(shù)）充分大，則可得μA(a)≈㈡隸屬函數(shù)的確定利用模糊集合來處理解決實(shí)際問題，首49⑶隸屬函數(shù)法：即給隸屬函數(shù)構(gòu)造適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)表達(dá)式，其定義域?yàn)檎撚騒，值域?yàn)閇0，1]。比如對(duì)“年輕”這一模糊集合，可構(gòu)造隸屬函數(shù)

1，當(dāng)x≤25歲

μA(x)=

(60-x)/35，當(dāng)25歲＜x≤60歲

0，當(dāng)x＞60歲

⑷對(duì)比平均法：對(duì)論域X中的元素，先按某種模糊特性兩兩比較，排定比較程度的分值，然后按一定規(guī)則轉(zhuǎn)換為總體排序的分值，該分值即可做為相應(yīng)元素的隸屬度。詳見下例：⑶隸屬函數(shù)法：即給隸屬函數(shù)構(gòu)造適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)表達(dá)式，其定50例設(shè)論域X

={牡丹（x1），菊花（x2），蘭花（x3）}，要確定這些花對(duì)“美”這一模糊集合的隸屬度。解：用g(xi,xj)表示xi與xj相比其美的程度，0≤g(xi,xj)≤1。若經(jīng)認(rèn)真品評(píng)，給定g(x1,x2)=0.8，g(x2,x1)=0.7，g(x1,x3)=0.9，g(x3,x1)=0.5，g(x2,x3)=0.8，g(x3,x2)=0.4，則兩兩對(duì)比后可得美麗程度矩陣

:

x1x2x3在沒有偏好的情況下，可賦予相同權(quán)數(shù)：ω(x1)=ω(x2)=ω(x3)=1/3，

于是，牡丹對(duì)“美”的隸屬度μA(x1)=ω(x1)g(x1,x1)+ω(x2)g(x1,x2)+ω(x3)g(x1,x3)=1/3×1+1/3×0.8+1/3×0.9=0.90菊花對(duì)“美”的隸屬度μA(x2)=ω(x1)g(x2,x1)+ω(x2)g(x2,x2)+ω(x3)g(x2,x3)=1/3×0.7+1/3×1+1/3×0.8=0.83蘭花對(duì)“美”的隸屬度μA(x3)=ω(x1)g(x3,x1)+ω(x2)g(x3,x2)+ω(x3)g(x3,x3)=1/3×0.5+1/3×0.4+1/3×1=0.63由此可得論域X上的“美”的模糊集合例設(shè)論域X={牡丹（x1），菊花（x2），蘭花（51若評(píng)價(jià)者對(duì)牡丹、菊花、蘭花偏好不一，對(duì)菊花情有獨(dú)鐘，給出的權(quán)數(shù)是

ω(x1)=0.1，ω(x2)=0.8，ω(x3)=0.1，

那么，牡丹對(duì)“美”的隸屬度μA(x1)=0.1×1+0.8×0.8+0.1×0.9=0.83

菊花對(duì)“美”的隸屬度μA(x2)=0.1×0.7+0.8×1+0.1×0.8=0.95

蘭花對(duì)“美”的隸屬度μA(x3)=0.1×0.5+0.8×0.4+0.1×1=0.47于是論域X上的“美”的模糊集合若評(píng)價(jià)者對(duì)牡丹、菊花、蘭花偏好不一，對(duì)菊花情有獨(dú)鐘，52㈢模糊矩陣的合成運(yùn)算

以同維的模糊向量為行組成的矩陣，稱為模糊矩陣。在模糊決策中會(huì)用到模糊矩陣的合成運(yùn)算，因此，我們先介紹一下模糊矩陣的合成運(yùn)算法則。

設(shè)模糊矩陣A=(aij)m×t，B=(bij)t×n，模糊矩陣A與B的合成運(yùn)算記為

C=A?B運(yùn)算結(jié)果C仍為模糊矩陣，且C=(cij)m×n

其中cij=(ai1∧b1j)∨(ai2∧b2j)∨…∨(ait∧btj)，i=1,2,…，m；j=1，2…，n．式中“∧”為取小運(yùn)算，如(ai1∧b1j)=min(ai1,b1j)；“∨”為取大運(yùn)算，即max。將cij的運(yùn)算式與普通矩陣的乘法比較，可以看出，它的運(yùn)算法則實(shí)際只是把普通矩陣相乘時(shí)所做的“×”和“+”運(yùn)算分別改成了“∧”和“∨”運(yùn)算。

㈢模糊矩陣的合成運(yùn)算以同維的模糊向量為行53

例

設(shè)模糊矩陣，，

求Q?R

解例設(shè)模糊矩陣54二、模糊決策法的步驟及應(yīng)用

模糊決策法分為兩大步，第一大步是對(duì)每個(gè)方案單獨(dú)做模糊綜合評(píng)判，第二大步是利用第一大步模糊綜合評(píng)判的結(jié)果，用適當(dāng)?shù)姆椒ń?jīng)過比選，確定優(yōu)先方案。我們先介紹第一大步：?jiǎn)畏桨改：C合評(píng)判的基本方法和步驟。㈠確定模糊綜合評(píng)判的因素集U

因素集是以影響評(píng)判對(duì)象的各種因素為元素所組成的一個(gè)普通集合。通常表示為U={u1，u2，…，um}其中對(duì)各元素ui(i=1,2,…，m)的評(píng)價(jià)通常都具有不同程度的模糊性。在多目標(biāo)模糊決策問題中，U即為目標(biāo)集合。㈡建立綜合評(píng)判的評(píng)語集V

評(píng)價(jià)集是評(píng)判者對(duì)評(píng)判對(duì)象可能作出的各種評(píng)價(jià)語言所組成的集合。通常表示為