風(fēng)險厭惡度量培訓(xùn)教材課件

第8講風(fēng)險厭惡度量預(yù)期效用與主觀概率理論，對人們在不確定環(huán)境中的行為進行了準(zhǔn)確描述和深刻分析，論證了人們追求預(yù)期效用最大化的行為準(zhǔn)則，為研究不確定條件下的選擇問題提供了很好的理論基礎(chǔ)。本講在此基礎(chǔ)上展開進一步的討論，主要議題有三個：預(yù)期效用與主觀概率理論是否反映了實際現(xiàn)象？在風(fēng)險活動面前，人們的態(tài)度如何？如何測定人們規(guī)避風(fēng)險的傾向強弱？回答第三個問題是本講的重點。事實上，從上一講的賭博事例已經(jīng)看到，當(dāng)效用函數(shù)的性能發(fā)生了“凸性線性凹性”的變化時，消費者對待風(fēng)險的態(tài)度相應(yīng)地發(fā)生了“愛好中性厭惡”的變化。由此得到一個猜想：效用函數(shù)越凹，人們越厭惡風(fēng)險，風(fēng)險規(guī)避傾向越強。我們將證明這一猜想是正確的，由此便可引出一種對人們規(guī)避風(fēng)險的傾向強弱進行測定的辦法——風(fēng)險厭惡度量。第8講風(fēng)險厭惡度量預(yù)期效用與主觀概率理論，對人們在不確定環(huán)1一、關(guān)于預(yù)期效用的悖論與爭議關(guān)于不確定條件下的選擇問題，上一講建立的預(yù)期效用和主觀概率理論似乎是完美的和合乎實際的，讓我們完全有理由相信人們在不確定的環(huán)境(風(fēng)險環(huán)境或無常環(huán)境)中是根據(jù)不確定性行動的預(yù)期效用大小來進行評判和選擇的。然而阿萊和艾斯勃格分別對預(yù)期效用和主觀概率進行了實際考察，發(fā)現(xiàn)了理論與實際不符的兩個現(xiàn)象：AllaisParadox和EllsbergParadox，引起了人們對預(yù)期效用和主觀概率理論的質(zhì)疑和爭議。有些人借此否定預(yù)期效用和主觀概率理論，認(rèn)為需要建立新的理論來解釋不確定條件下的選擇行為。另一些人則認(rèn)為，出現(xiàn)這兩個悖論的原因不是理論錯了，而在于人們進行評判時發(fā)生了“視覺錯誤”。比如，有時候人們無法判斷距離，但這不意味著需要重新發(fā)明一種距離概念。因此，預(yù)期效用和主觀概率理論是正確的。下面，我們介紹這兩個悖論。一、關(guān)于預(yù)期效用的悖論與爭議關(guān)于不確定條件下的選擇問題，上一2(一)AllaisParadox這是一個關(guān)于預(yù)期效用的悖論?，F(xiàn)有四種彩票A、B、C、D，其獎勵等級、獲獎概率分布以及預(yù)期收入情況見下表所示。彩票ABCD獎金(萬元)100110100010001100獲獎概率100%10%89%1%11%89%10%90%預(yù)期收入(萬元)1001001111調(diào)查發(fā)現(xiàn)，很多人都認(rèn)為

A

B且

D

C。A與B相比，雖然預(yù)期收入都為100萬元，但

A是穩(wěn)當(dāng)?shù)氐玫?00萬元，B則有1%的可能一無所獲，而多得10萬元的概率才僅僅不過10%：概率小，多得的數(shù)額也相對較小。這樣，A明顯比B好。C與D相比，雖然預(yù)期收入都為11萬元，但購買

D

僅以少1%的可能性就要比購買

C

多得10萬元，因而D比C好。(一)AllaisParadox這是一個關(guān)于預(yù)期效用的悖3計算預(yù)期效用設(shè)消費者的預(yù)期效用函數(shù)為

u。計算一下預(yù)期效用，則有：u(A)=u(100)u(B)=u(110)10%+u(100)89%+u(0)1%u(C)=u(100)11%+u(0)89%

u(D)=u(110)10%+

u(0)90%

根據(jù)調(diào)查結(jié)果A

B，應(yīng)有u(A)>u(B)。由此可知：u(100)11%>u(110)10%+u(0)1%在此式兩邊加上u(0)89%可得：u(100)11%+u(0)89%>u(110)10%+u(0)90%即

u(C

)

>

u(D)，這與實際調(diào)查結(jié)果

D

C

相矛盾：通過預(yù)期效用函數(shù)得到的評價與消費者的實際評價相悖。那么這個悖論是否說明預(yù)期效用理論有著不切實際的地方？其實，這個悖論中消費者評價的“視覺錯誤”是明顯存在的。計算預(yù)期效用設(shè)消費者的預(yù)期效用函數(shù)為u。計4(二)EllsbergParadox這是一個關(guān)于主觀概率的悖論。情景：袋中有紅球、藍球和綠球共300個，其中紅球100個?，F(xiàn)有四種形式的賭博A、B、C、D：A：從袋中摸出一球，如果為紅球，可得1000元。B：從袋中摸出一球，如果為籃球，可得1000元。C：從袋中摸出一球，若不是紅球，可得1000元。D：從袋中摸出一球，若不是籃球，可得1000元。面對這四種賭博，每個人都需要對袋中有多少藍球和有多少綠球作出自己的主觀判斷，因而涉及主觀概率。通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)人基本上都認(rèn)為

A

B

且

C

D

。作出這種評價的原因可能在于

A

的確定性比

B

高，C

的確定性比

D

高。用

P表示賭博者的主觀概率測度，u表示在這個概率測度下的預(yù)期效用函數(shù)。用

F

表示摸出紅球這一事件，G

表示摸出藍球這一事件。則表示摸出的球不是紅球，表示摸出的球不是藍球。(二)EllsbergParadox這是5計算預(yù)期效用從A

B知：(

p-

q)

u(1000)>(

p-

q)

u(0)。從

C

D

知：(

p-

q)

u(1000)<(

p-

q)

u(0)。這是兩個矛盾的不等式！可見，按照主觀概率理論，根本不可能讓

A

B

和

C

D

同時成立。然而，調(diào)查得到的事實卻是如此。因此，主觀概率理論也有不切實際的地方和時候。其實，出現(xiàn)這個悖論，很大的原因還在于評價判斷上出現(xiàn)的錯覺。是調(diào)查中消費者評價錯了，而不是理論錯了。令p

=

P(F

)，q

=

P(G

)。則。計算這四種賭博的效用，可得到：計算預(yù)期效用從AB知：(p-q6二、對待風(fēng)險的態(tài)度從賭博事例可得到這樣的啟示：一個人對待風(fēng)險的態(tài)度完全反映在他的偏好關(guān)系上。對此，可用預(yù)期效用理論加以嚴(yán)格表述。設(shè)消費者的確定性選擇集合

X

是商品空間的凸閉子集，消費者所處的風(fēng)險環(huán)境為(,

F)，風(fēng)險選擇集合為X(或用D)，風(fēng)險偏好為

。假定風(fēng)險偏好

滿足阿基米德公理和獨立性公理。于是，存在

的預(yù)期效用函數(shù)

u:

XR。對任何,X，f,

gD及

p[0,

1]，有我們把和u在確定性選擇集合

X

上的限制

分別叫做結(jié)果偏好和結(jié)果效用函數(shù)。當(dāng)

f是X的分布函數(shù)時，E=Ef

=

X

x

d

f

(x)X

叫做的預(yù)期收益。通過比較與E，方可判斷消費者對待風(fēng)險的態(tài)度。二、對待風(fēng)險的態(tài)度從賭博事例可得到這樣的啟示：一個人對待風(fēng)險7(一)對待風(fēng)險的熱衷態(tài)度風(fēng)險愛好者對任何非退化風(fēng)險行為

X，都有

E。風(fēng)險愛好者的結(jié)果效用函數(shù)U

:

XR

(U(x)

=

u(x))是嚴(yán)格凸函數(shù)。當(dāng)一種風(fēng)險行動X與一種確定性行動

xX

具有相同的預(yù)期收益(E

=

x)時，如果消費者認(rèn)為

比

x

好(

x)，那么這足以說明消費者是熱衷于冒險的：不冒險，就沒有取得高收益的可能；為了高收益，值得去冒險。這種熱衷于冒險的消費者，叫做風(fēng)險愛好者。U

=

px(1

p)yE

=

px+(1

p)y事實上，對任何

x,

yX

及

p[0,1]，有u(

y)這就說明，U(x)是嚴(yán)格凸函數(shù)。Xu(

x)xyEu(E)u()(一)對待風(fēng)險的熱衷態(tài)度風(fēng)險愛好者對任何非退化風(fēng)險行為8(二)對待風(fēng)險的冷淡態(tài)度風(fēng)險冷淡者對任何

X，都有

E。風(fēng)險冷淡者的結(jié)果效用函數(shù)是凹函數(shù)，從而結(jié)果偏好是凸偏好。在風(fēng)險行動X與確定性行動

xX

的預(yù)期收益相同(E

=

x)的情況下，如果消費者認(rèn)為

不比

x

好(

x)，則說明消費者不熱衷于冒險，對風(fēng)險持冷淡態(tài)度：不愿意冒險追求高收益。這種對冒險不熱衷的消費者，叫做風(fēng)險冷淡者。

xy

=

px(1

p)yy

E

y事實上，對任何x,

yX及

p[0,1],有這就說明，U(x)是凹函數(shù)，從而是擬凹的，即結(jié)果偏好是凸偏好。XxyE

=

px+(1

p)y結(jié)果偏好是凸偏好(二)對待風(fēng)險的冷淡態(tài)度風(fēng)險冷淡者對任何X，都有91.風(fēng)險厭惡者風(fēng)險厭惡者對任何非退化風(fēng)險行為

X，都有

E。風(fēng)險厭惡者的結(jié)果效用函數(shù)嚴(yán)格凹，從而結(jié)果偏好嚴(yán)格凸。在風(fēng)險行動X與確定性行動

xX

的預(yù)期收益相同(E

=

x)的情況下，如果消費者認(rèn)為

比

x

差(x)，則說明消費者討厭冒險，根本不會冒險追求高收益。這種對冒險行動持討厭態(tài)度的消費者，叫做風(fēng)險厭惡者，也叫做風(fēng)險規(guī)避者。U

=

px(1

p)yE

=

px+(1

p)y事實上，對任何x,

yX及

p[0,1],有u(

y)這就說明，U(x)是嚴(yán)格凹函數(shù)，從而嚴(yán)格擬凹，即結(jié)果偏好是嚴(yán)格凸。Xu(

x)xyEu(E)u()1.風(fēng)險厭惡者風(fēng)險厭惡者對任何非退化風(fēng)險行為X，102.風(fēng)險中立者風(fēng)險中立者對任何X，都有

~E。風(fēng)險中立者的結(jié)果效用函數(shù)是線性的，結(jié)果無差異曲線為直線。在與確定性行動

xX的預(yù)期收益相同的風(fēng)險行動X(E

=

x)面前，如果消費者既不更傾向于選擇，又不更傾向于選擇x

，即認(rèn)為~x，則說明消費者對風(fēng)險持中立態(tài)度，既不熱衷，也不討厭。這種對風(fēng)險持中立態(tài)度的消費者，叫做風(fēng)險中立者。U

=

px(1

p)yE

=

px+(1

p)yu(

y)Xu(

x)xyEu(E)u()XxyE

=

px+(1

p)y

x~y

=

px(1

p)y~y

E~

~y結(jié)果無差異曲線2.風(fēng)險中立者風(fēng)險中立者對任何X，都有~E11(三)結(jié)果效用函數(shù)的基數(shù)意義一般情況下，經(jīng)濟活動者要么是一個風(fēng)險愛好者，要么是一個風(fēng)險冷淡者。應(yīng)該說，絕大多部分人都是風(fēng)險冷淡者，具有風(fēng)險規(guī)避傾向。這樣一來，在預(yù)期效用函數(shù)下，絕大多數(shù)人的結(jié)果效用函數(shù)都是凹函數(shù)，結(jié)果偏好是凸偏好，而只有少數(shù)人的結(jié)果效用函數(shù)是凸函數(shù)。無論如何，風(fēng)險選擇理論讓我們進一步看到了確定性條件下對消費者偏好作出凸性假設(shè)的合理性，也看到了確定性偏好的必然凸性。更重要的是，我們看到了每個人在確定性選擇集合上都存在著凹或凸的效用函數(shù)。效用函數(shù)的凹性是說消費者的邊際效用遞減，凸性是說邊際效用遞增。而邊際效用是基數(shù)意義下的效用，也就是說，只有在基數(shù)效用意義下，才能談?wù)撔в迷黾佣嗌?。因此，凹或凸的結(jié)果效用函數(shù)的存在，意味著基數(shù)效用函數(shù)存在。因此，預(yù)期效用函數(shù)存在定理順便回答了基數(shù)效用函數(shù)的存在性問題，而且是肯定的回答。(三)結(jié)果效用函數(shù)的基數(shù)意義一般情況下，經(jīng)濟活動者要么是一12三、賭博顯示的風(fēng)險厭惡程度指標(biāo)

以上對于消費者對待風(fēng)險的態(tài)度的研究表明，沒有風(fēng)險規(guī)避傾向的風(fēng)險愛好者，其結(jié)果效用函數(shù)是嚴(yán)格凸的；而對風(fēng)險持中立態(tài)度的消費者，其結(jié)果效用函數(shù)既不嚴(yán)格凸，也不嚴(yán)格凹；一旦消費者具有了風(fēng)險規(guī)避傾向，其結(jié)果效用函數(shù)就成為嚴(yán)格凹的。這種現(xiàn)象讓我們自然產(chǎn)生這樣一種感覺：效用函數(shù)越凹，風(fēng)險規(guī)避傾向越強。那么，這種感覺是否正確？我們還是以為賭博為例，來對這個問題進行說明。設(shè)經(jīng)濟人的財富收入效用函數(shù)為u(r)，，并設(shè)財富以元為單位來計。假定經(jīng)濟人當(dāng)前有w元。設(shè)

F

是隨機事件，其發(fā)生的概率為p。通過事件

F，可以設(shè)計賭博g(x,y)：若事件F

發(fā)生，則贏

x

元，經(jīng)濟人的財富變?yōu)閣

+x

元；若事件F

未發(fā)生，則贏

y

元，經(jīng)濟人的財富變?yōu)閣

+y元。三、賭博顯示的風(fēng)險厭惡程度指標(biāo)以上對于消費者13平面上每一點(x,

y)都代表一個賭博g(x,

y)。這樣，平面代表通過事件F設(shè)計的賭博的全體G：，稱為賭博平面。(一)賭博平面盈利性賭博px

+

(1p)y

>

0虧損性賭博px

+

(1p)y

<

0xyo公平賭博原點(0,0)代表不賭。

賭博平面G=R2平面上每一點(x,y)都代表一個賭14對于賭博(x,

y)，消費者是否接受，要看賭博的預(yù)期效用是否不低于不賭的效用：(二)接受集GAxy公平賭博GA

={(x,

y)

:pu(w+x)+(1p)u(w+y)

u(w)

}接受集邊界

GA接受集邊界在原點的切線oGA在原點(0,0)處的切線方程：px+(1p)y

=

0接受集邊界

GA在原點(0,0)處的切線正是公平賭博直線！接受集GA是指由一切為消費者所接受的賭博(x,y)組成的集合。對于賭博(x,y)，消費者是否接受，要看賭15對任何(x,y),

(x,y)GA

及實數(shù)

t[0,

1]，令(x,y)=t

(x,y)+(1t)(x,y)

則有：1.接受集的凸性故

(x,y)

=

t

(x,y)

+

(1t)(x,y)

GA。這就證明了GA是凸集。對任何(x,y),(x,y)16

(0)正是

GA

在原點處的切線的斜率。這樣，就得到了接受集邊界

GA在原點(0,0)處的切線方程：p

x+(1

p)

y=0可見，接受集的邊界GA在原點(0,0)處的切線正是公平賭博直線！接受集的邊界GA：GA={(x,

y)R2

:pu(w+x)+(1p)u(w+y)=u(w)}邊界方程pu(w+x)+(1p)u(w+y)=u(w)

隱含著y

=

(x)。求導(dǎo)可得：p

u(w+x)+(1p)

u(w+y)

(x)=0令x=0，即得到y(tǒng)

=

(x)在x=0處的導(dǎo)數(shù)：2.接受集邊界在原點的切線(0)正是GA在原點處的切線的斜17由此可見，

(0)與u(w)

u(w)成正比，從而接受集邊界GA在原點(0,0)處的曲率大小與

u(w)

u(w)

成正比！3.接受集邊界在原點的曲率接受集邊界GA在原點處的曲率大小與

(0)成正比。為此，進行如下求導(dǎo)計算：由此可見，(0)與u(w)u18(三)原點附近賭博的意義原點(0,0)附近的賭博具有特殊的意義：原點附近的賭博都是(賭金)數(shù)量較小的賭博：小賭博。如果一個人連小賭博都不愿意接受，那么就表明這個人對風(fēng)險的厭惡程度較大，足見他具有較強的風(fēng)險規(guī)避傾向。一個人不愿意接受的小賭博越多，他的風(fēng)險厭惡度越大，風(fēng)險規(guī)避傾向越強。

(0)越大，接受集邊界GA

在原點(0,0)處越彎曲，不接受的小賭博便越多，從而風(fēng)險厭惡度越大，風(fēng)險規(guī)避傾向越強。

u(w)

u(w)越大，

(0)越大。Animportantfact：

u(w)

u(w)

衡量著經(jīng)濟人的風(fēng)險厭惡度！Arrow&Pratt’smeasureAP(w)ofriskaversion：(三)原點附近賭博的意義原點(0,0)附近191.阿羅-普拉特風(fēng)險厭惡度小賭博接受不接受1.阿羅-普拉特風(fēng)險厭惡度小賭博接受不接受202.風(fēng)險厭惡度

AP

與風(fēng)險加價

RPU

=

v

(r)U

=

u

(r)2.風(fēng)險厭惡度AP與風(fēng)險加價RPU=v(r)U21四、風(fēng)險規(guī)避傾向與風(fēng)險厭惡度

賭博顯示的風(fēng)險厭惡程度指標(biāo)AP(w)，適用于在任何風(fēng)險環(huán)境中去測量人們的風(fēng)險規(guī)避傾向的程度強弱。為了證實這一結(jié)論，設(shè)經(jīng)濟人所處的風(fēng)險環(huán)境為(,F,P)，確定性選擇集合

X

為實數(shù)集合

R，即

X=R，也就是說，經(jīng)濟人選擇的任何結(jié)果都可以用實數(shù)加以表示，從而經(jīng)濟人的風(fēng)險選擇集合

X

是風(fēng)險環(huán)境(,F,P)中的隨機變量的全體。再設(shè)u:X

R是經(jīng)濟人的VNM效用函數(shù)。注意下述事實：第一，風(fēng)險愛好者的VNM效用函數(shù)u

是嚴(yán)格凸函數(shù)；第二，風(fēng)險厭惡者的VNM效用函數(shù)

u

是嚴(yán)格凹函數(shù)；第三，風(fēng)險中立者的VNM效用函數(shù)

u

是線性函數(shù)；第四，風(fēng)險冷淡者的VNM效用函數(shù)

u

是凹函數(shù)。按照行為變化是絕對量變還是相對量變，風(fēng)險規(guī)避傾向分為絕對風(fēng)險規(guī)避傾向(通常省略“絕對”二字)和相對風(fēng)險規(guī)避傾向。

四、風(fēng)險規(guī)避傾向與風(fēng)險厭惡度賭博顯示的風(fēng)險22(一)絕對風(fēng)險規(guī)避傾向

風(fēng)險厭惡度量函數(shù)(阿羅-普拉特度量函數(shù))：函數(shù)

AP:

XR

的作用在于度量經(jīng)濟人的絕對風(fēng)險規(guī)避傾向的程度強弱，其函數(shù)值就叫做經(jīng)濟人的絕對風(fēng)險規(guī)避傾向或絕對風(fēng)險厭惡度。一般來說，表達經(jīng)濟人風(fēng)險規(guī)避傾向強弱的方式有三種：第一種是比較不同VNM效用函數(shù)下的風(fēng)險厭惡度量函數(shù)。風(fēng)險厭惡度量函數(shù)的值越大，表示風(fēng)險規(guī)避傾向越強。第二種是比較不同VNM效用函數(shù)的凹性強度。VNM效用函數(shù)越凹(指在遞增凹變換下把一個效用函數(shù)變成另一個效用函數(shù))，風(fēng)險規(guī)避傾向越強。第三種是比較不同VNM效用函數(shù)下的風(fēng)險加價大小。風(fēng)險加價越大，風(fēng)險規(guī)避傾向越強。(一)絕對風(fēng)險規(guī)避傾向風(fēng)險厭惡度量函數(shù)(阿231.普拉特定理定理(Pratt)

設(shè)確定性選擇集合

X=

R，風(fēng)險環(huán)境為(,F,P)。再設(shè)uA

:

X

R

和uB

:

X

R

都是二階可微、遞增、凹的VNM效用函數(shù)。則下面三個條件相互等價：對任何w

X，都有；存在遞增的凹函數(shù)

g，使得

uA(w)

=

g(uB(w))

對一切wX

成立；對一切

X，都有RPA(

)RPA(

)。普拉特研究了上述三種表達方式之后指出，它們相互等價。這樣一來，函數(shù)

AP

:

X

R

便很好地度量著經(jīng)濟人的風(fēng)險規(guī)避傾向。這里，風(fēng)險行為

的風(fēng)險加價RP(

)的定義為：RP(

)=Ec(

)其中的c(

)是這樣確定的：c(

)X&

u(c(

))

=

u(

)。1.普拉特定理定理(Pratt)設(shè)確定性選擇集合X242.普拉特定理的嚴(yán)格形式定理(Pratt)

設(shè)確定性選擇集合

X=

R，風(fēng)險環(huán)境為(,F,P)。再設(shè)uA

:

X

R

和uB

:

X

R

都是二階可微、遞增、凹的VNM效用函數(shù)。則下面三個條件相互等價：對任何w

X，都有；存在遞增的嚴(yán)格凹函數(shù)

g

使得

uA(w)

=

g(uB(w))對一切wX

成立；對一切非退化的風(fēng)險行動

X，都有RPA(

)>RPA(

)。普拉特定理中的那些不等式還可以換成嚴(yán)格不等式，從而得到普拉特定理的嚴(yán)格形式。2.普拉特定理的嚴(yán)格形式定理(Pratt)設(shè)確定性選25(二)相對風(fēng)險規(guī)避傾向風(fēng)險厭惡度AP(w)測量的是在行為的絕對量變中，經(jīng)濟人對風(fēng)險的厭惡程度強弱，因而才叫做絕對風(fēng)險厭惡度。但實際中，人們也常常使用相對量變，即用比例來表達數(shù)量變化。采用相對量變的好處在于消除了量綱影響，從而能更好地把握經(jīng)濟變量的變化。這樣，我們也需要測量經(jīng)濟人在行為的相對量變中對風(fēng)險的厭惡程度大小，這就是所謂的相對風(fēng)險厭惡度及相對風(fēng)險規(guī)避傾向。

為此，我們給出如下定義。設(shè)

u

:

X

R

是經(jīng)濟人的VNM效用函數(shù)，X=R。對任何w

S，定義RAP(w)為：函數(shù)RAP

:

X

R叫做經(jīng)濟人的相對風(fēng)險厭惡度量函數(shù)，或阿羅-普拉特相對風(fēng)險度量，或相對風(fēng)險規(guī)避傾向。函數(shù)值RAP(w)叫做經(jīng)濟人在w

處的相對風(fēng)險厭惡度或在w

處的相對風(fēng)險規(guī)避傾向。(二)相對風(fēng)險規(guī)避傾向風(fēng)險厭惡度AP(w261.賭博揭示的相對風(fēng)險規(guī)避傾向設(shè)經(jīng)濟人的財富收入效用函數(shù)為u(r)且(rX)(u(r)

>

0),并設(shè)財富以元為單位來計。假定經(jīng)濟人當(dāng)前擁有w元財富。設(shè)F是一個隨機事件，其發(fā)生的概率為p。通過事件F，可以設(shè)計相對賭博：對任何

x,

yR，平面上的點(x,

y)代表這樣的賭博：如果事件F

發(fā)生，則贏

x

w

元，經(jīng)濟人的財富變?yōu)?1+x)w

元；若事件F

未發(fā)生，則贏得

yw

元，經(jīng)濟人的財富變?yōu)?1+y)w

元。這樣，通過事件F設(shè)計的相對賭博的全體G正是平面R2：G=R2。原點(0,0)代表不賭，其余點(x,

y)((0,0))都代表真正的賭博。賭博(x,y)的預(yù)期效用為EU(x,

y)

=

pu((1+x)w)+(1p)u((1+y)w)。

賭博(x,

y)被接受當(dāng)且僅當(dāng)

pu((1+x)w)+(1p)u((1+y)w)

u(w)。

(x,

y)是公平賭博當(dāng)且僅當(dāng)

px

+

(1p)y

=

0。1.賭博揭示的相對風(fēng)險規(guī)避傾向設(shè)經(jīng)濟人的財27接受集的邊界在原點(0,0)處的切線正是公平賭博直線！2.相對接受集GA公平的賭博相對接受集邊界GA在原點(0,0)處的切線方程：凸集接受集的邊界在原點(0,0)處的切線正是公平賭28對任何(x,y),

(x,y)GA

及實數(shù)

t[0,

1]，令(x,y)=t

(x,y)+(1t)(x,y)

則有：(1)相對接受集的凸性故

(x,y)

=

t

(x,y)

+

(1t)(x,y)

GA。這就證明了GA是凸集。對任何(x,y),(x,y)29

(0)正是

GA

在原點處的切線的斜率。這樣，就得到了相對接受集的邊界

GA在原點(0,0)處的切線方程：p

x+(1

p)

y=0相對接受集的邊界GA在原點(0,0)處的切線正是公平賭博直線！相對接受集的邊界GA：GA={(x,

y)R2

:pu((1+x)w)+(1p)u((1+y)w)=u(w)}邊界方程pu(w+xw)+(1p)u(w+yw)=u(w)

隱含著y

=

(x)。求導(dǎo)：p

u(w+xw)w+(1p)

u(w+yw)w

(x)=0令x=0，即得到y(tǒng)

=

(x)在x=0處的導(dǎo)數(shù)：(2)相對接受集的邊界在原點的切線(0)正是GA在原點處的切線的斜30由此可見，

(0)與u(w)w

u(w)成正比，從而接受集邊界GA在原點(0,0)處的曲率大小與RAP(w)=

u(w)w

u(w)

成正比！(3)相對接受集的邊界在原點的曲率接受集邊界GA在原點處的曲率大小與

(0)成正比。為此，進行如下求導(dǎo)計算：由此可見，(0)與u(w)wu313.阿羅-普拉特相對風(fēng)險厭惡度相對小賭博接受不接受3.阿羅-普拉特相對風(fēng)險厭惡度相對小賭博接受不接受324.原點附近賭博的意義原點(0,0)附近的相對賭博具有特殊的意義：原點附近的相對賭博都是數(shù)量相對較小的賭博：相對小賭博。如果一個人連相對較小的賭博都不愿意接受，那么就表明這個人對風(fēng)險的厭惡程度較大，足見他具有較強的相對風(fēng)險規(guī)避傾向。一個人不愿意接受的相對小賭博越多，他的風(fēng)險厭惡度越大，相對風(fēng)險規(guī)避傾向越強。

(0)越大，相對接受集邊界GA

在原點(0,0)處越彎曲，不接受的相對小賭博便越多，風(fēng)險厭惡度越大，相對風(fēng)險規(guī)避傾向越強。

u(w)w

u(w)越大，

(0)越大。Animportantfact：

u(w)w

u(w)

衡量著相對風(fēng)險厭惡度！Arrow&Pratt’srelativemeasureRAP(w)ofriskaversion：4.原點附近賭博的意義原點(0,0)附近的33五、風(fēng)險規(guī)避傾向的變化規(guī)律經(jīng)濟人的風(fēng)險規(guī)避傾向如何隨財富數(shù)量的變化而變化？在什么情況下適合使用絕對風(fēng)險厭惡度來測定經(jīng)濟人的風(fēng)險規(guī)避傾向，又在什么情況下適合使用相對風(fēng)險厭惡度來測定？對于這些問題，下述回答似乎是合理的。第一，絕對風(fēng)險厭惡度AP(w)隨財富量w的增加而遞減。

第二，相對風(fēng)險厭惡度RAP(w)不隨財富量w的變化而變化。

五、風(fēng)險規(guī)避傾向的變化規(guī)律經(jīng)濟人的風(fēng)險規(guī)避傾34(一)絕對風(fēng)險厭惡度的變化規(guī)律對于一個用絕對數(shù)量表示的較小賭博來說，當(dāng)經(jīng)濟人的財富較少時，這個賭博可能不被接受；但當(dāng)財富較多時，接受這個賭博的可能性就大大增加了：賭一下也不是什么大不了的事情。這表明，隨著經(jīng)濟人擁有的財富的增多，一個較小賭博被接受的可能性是上升的，從而絕對風(fēng)險厭惡度下降，絕對風(fēng)險規(guī)避傾向變?nèi)?。另外，如果考慮的是短期行為，那么經(jīng)濟人是否能夠接受一個賭博，恐怕主要還要看財富數(shù)量的絕對變化。因此可以說，當(dāng)進行短期分析的時期，適合使用絕對風(fēng)險厭惡度來測定經(jīng)濟人的風(fēng)險規(guī)避傾向。(一)絕對風(fēng)險厭惡度的變化規(guī)律對于一個用絕35(二)相對風(fēng)險厭惡度的變化規(guī)律以相對賭博為例，由于賭金與財富成比例，因此低額賭注實際上是高額賭注的縮影，而縮影其實是對原型的模仿，結(jié)果原型與縮影中的風(fēng)險規(guī)避傾向似乎應(yīng)該一致。這樣，假定相對風(fēng)險厭惡度為常數(shù)，這恐怕還是一個不錯的假設(shè)。另外，如果是在進行長期分析，那么面對遙遠(yuǎn)的未來，就不宜采用絕對數(shù)量，而采用相對數(shù)量變化恐怕會更好些，可能會更能令人信服。因此，長期分析中適合使用相對風(fēng)險厭惡度來測定人們的風(fēng)險規(guī)避傾向。尤其是遙遠(yuǎn)未來的不確定性太大，人們保持一個不變的相對風(fēng)險規(guī)避傾向便是合情合理的，即“以不變應(yīng)萬變”。(二)相對風(fēng)險厭惡度的變化規(guī)律以相對賭博為36可見，可用形式簡單的效用函數(shù)

v(

,

2)=

22

來代替預(yù)期效用函數(shù)E[u(

)]。效用函數(shù)

v

僅僅是均值

和方差

2

的函數(shù)。(三)風(fēng)險規(guī)避傾向與效用函數(shù)形式定理

設(shè)X=

{xR

:

x

>

0}，u

:

X

R為VNM效用函數(shù)且

u(x)

>

0

對一切

xX成立。則有下述結(jié)論：經(jīng)濟人具有不變的相對風(fēng)險規(guī)避傾向

1當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)

a

>

0

和常數(shù)

b，使得對一切wX

成立。經(jīng)濟人具有始終為1

的相對風(fēng)險規(guī)避傾向當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)

a>0和常數(shù)

b，使得對任何wX

，都有

u(w)

=

a

lnw

+

b。經(jīng)濟人具有不變的絕對風(fēng)險規(guī)避傾向>

0當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)a和b

>

0，使得對一切wX

成立。一個有趣的事實是，當(dāng)經(jīng)濟人具有不變的絕對風(fēng)險規(guī)避傾向

>

0且風(fēng)險選擇行為服從正態(tài)分布

N(

,

2)

時，我們有：

可見，可用形式簡單的效用函數(shù)v(,37演講完畢，謝謝觀看！演講完畢，謝謝觀看！38第8講風(fēng)險厭惡度量預(yù)期效用與主觀概率理論，對人們在不確定環(huán)境中的行為進行了準(zhǔn)確描述和深刻分析，論證了人們追求預(yù)期效用最大化的行為準(zhǔn)則，為研究不確定條件下的選擇問題提供了很好的理論基礎(chǔ)。本講在此基礎(chǔ)上展開進一步的討論，主要議題有三個：預(yù)期效用與主觀概率理論是否反映了實際現(xiàn)象？在風(fēng)險活動面前，人們的態(tài)度如何？如何測定人們規(guī)避風(fēng)險的傾向強弱？回答第三個問題是本講的重點。事實上，從上一講的賭博事例已經(jīng)看到，當(dāng)效用函數(shù)的性能發(fā)生了“凸性線性凹性”的變化時，消費者對待風(fēng)險的態(tài)度相應(yīng)地發(fā)生了“愛好中性厭惡”的變化。由此得到一個猜想：效用函數(shù)越凹，人們越厭惡風(fēng)險，風(fēng)險規(guī)避傾向越強。我們將證明這一猜想是正確的，由此便可引出一種對人們規(guī)避風(fēng)險的傾向強弱進行測定的辦法——風(fēng)險厭惡度量。第8講風(fēng)險厭惡度量預(yù)期效用與主觀概率理論，對人們在不確定環(huán)39一、關(guān)于預(yù)期效用的悖論與爭議關(guān)于不確定條件下的選擇問題，上一講建立的預(yù)期效用和主觀概率理論似乎是完美的和合乎實際的，讓我們完全有理由相信人們在不確定的環(huán)境(風(fēng)險環(huán)境或無常環(huán)境)中是根據(jù)不確定性行動的預(yù)期效用大小來進行評判和選擇的。然而阿萊和艾斯勃格分別對預(yù)期效用和主觀概率進行了實際考察，發(fā)現(xiàn)了理論與實際不符的兩個現(xiàn)象：AllaisParadox和EllsbergParadox，引起了人們對預(yù)期效用和主觀概率理論的質(zhì)疑和爭議。有些人借此否定預(yù)期效用和主觀概率理論，認(rèn)為需要建立新的理論來解釋不確定條件下的選擇行為。另一些人則認(rèn)為，出現(xiàn)這兩個悖論的原因不是理論錯了，而在于人們進行評判時發(fā)生了“視覺錯誤”。比如，有時候人們無法判斷距離，但這不意味著需要重新發(fā)明一種距離概念。因此，預(yù)期效用和主觀概率理論是正確的。下面，我們介紹這兩個悖論。一、關(guān)于預(yù)期效用的悖論與爭議關(guān)于不確定條件下的選擇問題，上一40(一)AllaisParadox這是一個關(guān)于預(yù)期效用的悖論?，F(xiàn)有四種彩票A、B、C、D，其獎勵等級、獲獎概率分布以及預(yù)期收入情況見下表所示。彩票ABCD獎金(萬元)100110100010001100獲獎概率100%10%89%1%11%89%10%90%預(yù)期收入(萬元)1001001111調(diào)查發(fā)現(xiàn)，很多人都認(rèn)為

A

B且

D

C。A與B相比，雖然預(yù)期收入都為100萬元，但

A是穩(wěn)當(dāng)?shù)氐玫?00萬元，B則有1%的可能一無所獲，而多得10萬元的概率才僅僅不過10%：概率小，多得的數(shù)額也相對較小。這樣，A明顯比B好。C與D相比，雖然預(yù)期收入都為11萬元，但購買

D

僅以少1%的可能性就要比購買

C

多得10萬元，因而D比C好。(一)AllaisParadox這是一個關(guān)于預(yù)期效用的悖41計算預(yù)期效用設(shè)消費者的預(yù)期效用函數(shù)為

u。計算一下預(yù)期效用，則有：u(A)=u(100)u(B)=u(110)10%+u(100)89%+u(0)1%u(C)=u(100)11%+u(0)89%

u(D)=u(110)10%+

u(0)90%

根據(jù)調(diào)查結(jié)果A

B，應(yīng)有u(A)>u(B)。由此可知：u(100)11%>u(110)10%+u(0)1%在此式兩邊加上u(0)89%可得：u(100)11%+u(0)89%>u(110)10%+u(0)90%即

u(C

)

>

u(D)，這與實際調(diào)查結(jié)果

D

C

相矛盾：通過預(yù)期效用函數(shù)得到的評價與消費者的實際評價相悖。那么這個悖論是否說明預(yù)期效用理論有著不切實際的地方？其實，這個悖論中消費者評價的“視覺錯誤”是明顯存在的。計算預(yù)期效用設(shè)消費者的預(yù)期效用函數(shù)為u。計42(二)EllsbergParadox這是一個關(guān)于主觀概率的悖論。情景：袋中有紅球、藍球和綠球共300個，其中紅球100個?，F(xiàn)有四種形式的賭博A、B、C、D：A：從袋中摸出一球，如果為紅球，可得1000元。B：從袋中摸出一球，如果為籃球，可得1000元。C：從袋中摸出一球，若不是紅球，可得1000元。D：從袋中摸出一球，若不是籃球，可得1000元。面對這四種賭博，每個人都需要對袋中有多少藍球和有多少綠球作出自己的主觀判斷，因而涉及主觀概率。通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)人基本上都認(rèn)為

A

B

且

C

D

。作出這種評價的原因可能在于

A

的確定性比

B

高，C

的確定性比

D

高。用

P表示賭博者的主觀概率測度，u表示在這個概率測度下的預(yù)期效用函數(shù)。用

F

表示摸出紅球這一事件，G

表示摸出藍球這一事件。則表示摸出的球不是紅球，表示摸出的球不是藍球。(二)EllsbergParadox這是43計算預(yù)期效用從A

B知：(

p-

q)

u(1000)>(

p-

q)

u(0)。從

C

D

知：(

p-

q)

u(1000)<(

p-

q)

u(0)。這是兩個矛盾的不等式！可見，按照主觀概率理論，根本不可能讓

A

B

和

C

D

同時成立。然而，調(diào)查得到的事實卻是如此。因此，主觀概率理論也有不切實際的地方和時候。其實，出現(xiàn)這個悖論，很大的原因還在于評價判斷上出現(xiàn)的錯覺。是調(diào)查中消費者評價錯了，而不是理論錯了。令p

=

P(F

)，q

=

P(G

)。則。計算這四種賭博的效用，可得到：計算預(yù)期效用從AB知：(p-q44二、對待風(fēng)險的態(tài)度從賭博事例可得到這樣的啟示：一個人對待風(fēng)險的態(tài)度完全反映在他的偏好關(guān)系上。對此，可用預(yù)期效用理論加以嚴(yán)格表述。設(shè)消費者的確定性選擇集合

X

是商品空間的凸閉子集，消費者所處的風(fēng)險環(huán)境為(,

F)，風(fēng)險選擇集合為X(或用D)，風(fēng)險偏好為

。假定風(fēng)險偏好

滿足阿基米德公理和獨立性公理。于是，存在

的預(yù)期效用函數(shù)

u:

XR。對任何,X，f,

gD及

p[0,

1]，有我們把和u在確定性選擇集合

X

上的限制

分別叫做結(jié)果偏好和結(jié)果效用函數(shù)。當(dāng)

f是X的分布函數(shù)時，E=Ef

=

X

x

d

f

(x)X

叫做的預(yù)期收益。通過比較與E，方可判斷消費者對待風(fēng)險的態(tài)度。二、對待風(fēng)險的態(tài)度從賭博事例可得到這樣的啟示：一個人對待風(fēng)險45(一)對待風(fēng)險的熱衷態(tài)度風(fēng)險愛好者對任何非退化風(fēng)險行為

X，都有

E。風(fēng)險愛好者的結(jié)果效用函數(shù)U

:

XR

(U(x)

=

u(x))是嚴(yán)格凸函數(shù)。當(dāng)一種風(fēng)險行動X與一種確定性行動

xX

具有相同的預(yù)期收益(E

=

x)時，如果消費者認(rèn)為

比

x

好(

x)，那么這足以說明消費者是熱衷于冒險的：不冒險，就沒有取得高收益的可能；為了高收益，值得去冒險。這種熱衷于冒險的消費者，叫做風(fēng)險愛好者。U

=

px(1

p)yE

=

px+(1

p)y事實上，對任何

x,

yX

及

p[0,1]，有u(

y)這就說明，U(x)是嚴(yán)格凸函數(shù)。Xu(

x)xyEu(E)u()(一)對待風(fēng)險的熱衷態(tài)度風(fēng)險愛好者對任何非退化風(fēng)險行為46(二)對待風(fēng)險的冷淡態(tài)度風(fēng)險冷淡者對任何

X，都有

E。風(fēng)險冷淡者的結(jié)果效用函數(shù)是凹函數(shù)，從而結(jié)果偏好是凸偏好。在風(fēng)險行動X與確定性行動

xX

的預(yù)期收益相同(E

=

x)的情況下，如果消費者認(rèn)為

不比

x

好(

x)，則說明消費者不熱衷于冒險，對風(fēng)險持冷淡態(tài)度：不愿意冒險追求高收益。這種對冒險不熱衷的消費者，叫做風(fēng)險冷淡者。

xy

=

px(1

p)yy

E

y事實上，對任何x,

yX及

p[0,1],有這就說明，U(x)是凹函數(shù)，從而是擬凹的，即結(jié)果偏好是凸偏好。XxyE

=

px+(1

p)y結(jié)果偏好是凸偏好(二)對待風(fēng)險的冷淡態(tài)度風(fēng)險冷淡者對任何X，都有471.風(fēng)險厭惡者風(fēng)險厭惡者對任何非退化風(fēng)險行為

X，都有

E。風(fēng)險厭惡者的結(jié)果效用函數(shù)嚴(yán)格凹，從而結(jié)果偏好嚴(yán)格凸。在風(fēng)險行動X與確定性行動

xX

的預(yù)期收益相同(E

=

x)的情況下，如果消費者認(rèn)為

比

x

差(x)，則說明消費者討厭冒險，根本不會冒險追求高收益。這種對冒險行動持討厭態(tài)度的消費者，叫做風(fēng)險厭惡者，也叫做風(fēng)險規(guī)避者。U

=

px(1

p)yE

=

px+(1

p)y事實上，對任何x,

yX及

p[0,1],有u(

y)這就說明，U(x)是嚴(yán)格凹函數(shù)，從而嚴(yán)格擬凹，即結(jié)果偏好是嚴(yán)格凸。Xu(

x)xyEu(E)u()1.風(fēng)險厭惡者風(fēng)險厭惡者對任何非退化風(fēng)險行為X，482.風(fēng)險中立者風(fēng)險中立者對任何X，都有

~E。風(fēng)險中立者的結(jié)果效用函數(shù)是線性的，結(jié)果無差異曲線為直線。在與確定性行動

xX的預(yù)期收益相同的風(fēng)險行動X(E

=

x)面前，如果消費者既不更傾向于選擇，又不更傾向于選擇x

，即認(rèn)為~x，則說明消費者對風(fēng)險持中立態(tài)度，既不熱衷，也不討厭。這種對風(fēng)險持中立態(tài)度的消費者，叫做風(fēng)險中立者。U

=

px(1

p)yE

=

px+(1

p)yu(

y)Xu(

x)xyEu(E)u()XxyE

=

px+(1

p)y

x~y

=

px(1

p)y~y

E~

~y結(jié)果無差異曲線2.風(fēng)險中立者風(fēng)險中立者對任何X，都有~E49(三)結(jié)果效用函數(shù)的基數(shù)意義一般情況下，經(jīng)濟活動者要么是一個風(fēng)險愛好者，要么是一個風(fēng)險冷淡者。應(yīng)該說，絕大多部分人都是風(fēng)險冷淡者，具有風(fēng)險規(guī)避傾向。這樣一來，在預(yù)期效用函數(shù)下，絕大多數(shù)人的結(jié)果效用函數(shù)都是凹函數(shù)，結(jié)果偏好是凸偏好，而只有少數(shù)人的結(jié)果效用函數(shù)是凸函數(shù)。無論如何，風(fēng)險選擇理論讓我們進一步看到了確定性條件下對消費者偏好作出凸性假設(shè)的合理性，也看到了確定性偏好的必然凸性。更重要的是，我們看到了每個人在確定性選擇集合上都存在著凹或凸的效用函數(shù)。效用函數(shù)的凹性是說消費者的邊際效用遞減，凸性是說邊際效用遞增。而邊際效用是基數(shù)意義下的效用，也就是說，只有在基數(shù)效用意義下，才能談?wù)撔в迷黾佣嗌佟Ｒ虼?，凹或凸的結(jié)果效用函數(shù)的存在，意味著基數(shù)效用函數(shù)存在。因此，預(yù)期效用函數(shù)存在定理順便回答了基數(shù)效用函數(shù)的存在性問題，而且是肯定的回答。(三)結(jié)果效用函數(shù)的基數(shù)意義一般情況下，經(jīng)濟活動者要么是一50三、賭博顯示的風(fēng)險厭惡程度指標(biāo)

以上對于消費者對待風(fēng)險的態(tài)度的研究表明，沒有風(fēng)險規(guī)避傾向的風(fēng)險愛好者，其結(jié)果效用函數(shù)是嚴(yán)格凸的；而對風(fēng)險持中立態(tài)度的消費者，其結(jié)果效用函數(shù)既不嚴(yán)格凸，也不嚴(yán)格凹；一旦消費者具有了風(fēng)險規(guī)避傾向，其結(jié)果效用函數(shù)就成為嚴(yán)格凹的。這種現(xiàn)象讓我們自然產(chǎn)生這樣一種感覺：效用函數(shù)越凹，風(fēng)險規(guī)避傾向越強。那么，這種感覺是否正確？我們還是以為賭博為例，來對這個問題進行說明。設(shè)經(jīng)濟人的財富收入效用函數(shù)為u(r)，，并設(shè)財富以元為單位來計。假定經(jīng)濟人當(dāng)前有w元。設(shè)

F

是隨機事件，其發(fā)生的概率為p。通過事件

F，可以設(shè)計賭博g(x,y)：若事件F

發(fā)生，則贏

x

元，經(jīng)濟人的財富變?yōu)閣

+x

元；若事件F

未發(fā)生，則贏

y

元，經(jīng)濟人的財富變?yōu)閣

+y元。三、賭博顯示的風(fēng)險厭惡程度指標(biāo)以上對于消費者51平面上每一點(x,

y)都代表一個賭博g(x,

y)。這樣，平面代表通過事件F設(shè)計的賭博的全體G：，稱為賭博平面。(一)賭博平面盈利性賭博px

+

(1p)y

>

0虧損性賭博px

+

(1p)y

<

0xyo公平賭博原點(0,0)代表不賭。

賭博平面G=R2平面上每一點(x,y)都代表一個賭52對于賭博(x,

y)，消費者是否接受，要看賭博的預(yù)期效用是否不低于不賭的效用：(二)接受集GAxy公平賭博GA

={(x,

y)

:pu(w+x)+(1p)u(w+y)

u(w)

}接受集邊界

GA接受集邊界在原點的切線oGA在原點(0,0)處的切線方程：px+(1p)y

=

0接受集邊界

GA在原點(0,0)處的切線正是公平賭博直線！接受集GA是指由一切為消費者所接受的賭博(x,y)組成的集合。對于賭博(x,y)，消費者是否接受，要看賭53對任何(x,y),

(x,y)GA

及實數(shù)

t[0,

1]，令(x,y)=t

(x,y)+(1t)(x,y)

則有：1.接受集的凸性故

(x,y)

=

t

(x,y)

+

(1t)(x,y)

GA。這就證明了GA是凸集。對任何(x,y),(x,y)54

(0)正是

GA

在原點處的切線的斜率。這樣，就得到了接受集邊界

GA在原點(0,0)處的切線方程：p

x+(1

p)

y=0可見，接受集的邊界GA在原點(0,0)處的切線正是公平賭博直線！接受集的邊界GA：GA={(x,

y)R2

:pu(w+x)+(1p)u(w+y)=u(w)}邊界方程pu(w+x)+(1p)u(w+y)=u(w)

隱含著y

=

(x)。求導(dǎo)可得：p

u(w+x)+(1p)

u(w+y)

(x)=0令x=0，即得到y(tǒng)

=

(x)在x=0處的導(dǎo)數(shù)：2.接受集邊界在原點的切線(0)正是GA在原點處的切線的斜55由此可見，

(0)與u(w)

u(w)成正比，從而接受集邊界GA在原點(0,0)處的曲率大小與

u(w)

u(w)

成正比！3.接受集邊界在原點的曲率接受集邊界GA在原點處的曲率大小與

(0)成正比。為此，進行如下求導(dǎo)計算：由此可見，(0)與u(w)u56(三)原點附近賭博的意義原點(0,0)附近的賭博具有特殊的意義：原點附近的賭博都是(賭金)數(shù)量較小的賭博：小賭博。如果一個人連小賭博都不愿意接受，那么就表明這個人對風(fēng)險的厭惡程度較大，足見他具有較強的風(fēng)險規(guī)避傾向。一個人不愿意接受的小賭博越多，他的風(fēng)險厭惡度越大，風(fēng)險規(guī)避傾向越強。

(0)越大，接受集邊界GA

在原點(0,0)處越彎曲，不接受的小賭博便越多，從而風(fēng)險厭惡度越大，風(fēng)險規(guī)避傾向越強。

u(w)

u(w)越大，

(0)越大。Animportantfact：

u(w)

u(w)

衡量著經(jīng)濟人的風(fēng)險厭惡度！Arrow&Pratt’smeasureAP(w)ofriskaversion：(三)原點附近賭博的意義原點(0,0)附近571.阿羅-普拉特風(fēng)險厭惡度小賭博接受不接受1.阿羅-普拉特風(fēng)險厭惡度小賭博接受不接受582.風(fēng)險厭惡度

AP

與風(fēng)險加價

RPU

=

v

(r)U

=

u

(r)2.風(fēng)險厭惡度AP與風(fēng)險加價RPU=v(r)U59四、風(fēng)險規(guī)避傾向與風(fēng)險厭惡度

賭博顯示的風(fēng)險厭惡程度指標(biāo)AP(w)，適用于在任何風(fēng)險環(huán)境中去測量人們的風(fēng)險規(guī)避傾向的程度強弱。為了證實這一結(jié)論，設(shè)經(jīng)濟人所處的風(fēng)險環(huán)境為(,F,P)，確定性選擇集合

X

為實數(shù)集合

R，即

X=R，也就是說，經(jīng)濟人選擇的任何結(jié)果都可以用實數(shù)加以表示，從而經(jīng)濟人的風(fēng)險選擇集合

X

是風(fēng)險環(huán)境(,F,P)中的隨機變量的全體。再設(shè)u:X

R是經(jīng)濟人的VNM效用函數(shù)。注意下述事實：第一，風(fēng)險愛好者的VNM效用函數(shù)u

是嚴(yán)格凸函數(shù)；第二，風(fēng)險厭惡者的VNM效用函數(shù)

u

是嚴(yán)格凹函數(shù)；第三，風(fēng)險中立者的VNM效用函數(shù)

u

是線性函數(shù)；第四，風(fēng)險冷淡者的VNM效用函數(shù)

u

是凹函數(shù)。按照行為變化是絕對量變還是相對量變，風(fēng)險規(guī)避傾向分為絕對風(fēng)險規(guī)避傾向(通常省略“絕對”二字)和相對風(fēng)險規(guī)避傾向。

四、風(fēng)險規(guī)避傾向與風(fēng)險厭惡度賭博顯示的風(fēng)險60(一)絕對風(fēng)險規(guī)避傾向

風(fēng)險厭惡度量函數(shù)(阿羅-普拉特度量函數(shù))：函數(shù)

AP:

XR

的作用在于度量經(jīng)濟人的絕對風(fēng)險規(guī)避傾向的程度強弱，其函數(shù)值就叫做經(jīng)濟人的絕對風(fēng)險規(guī)避傾向或絕對風(fēng)險厭惡度。一般來說，表達經(jīng)濟人風(fēng)險規(guī)避傾向強弱的方式有三種：第一種是比較不同VNM效用函數(shù)下的風(fēng)險厭惡度量函數(shù)。風(fēng)險厭惡度量函數(shù)的值越大，表示風(fēng)險規(guī)避傾向越強。第二種是比較不同VNM效用函數(shù)的凹性強度。VNM效用函數(shù)越凹(指在遞增凹變換下把一個效用函數(shù)變成另一個效用函數(shù))，風(fēng)險規(guī)避傾向越強。第三種是比較不同VNM效用函數(shù)下的風(fēng)險加價大小。風(fēng)險加價越大，風(fēng)險規(guī)避傾向越強。(一)絕對風(fēng)險規(guī)避傾向風(fēng)險厭惡度量函數(shù)(阿611.普拉特定理定理(Pratt)

設(shè)確定性選擇集合

X=

R，風(fēng)險環(huán)境為(,F,P)。再設(shè)uA

:

X

R

和uB

:

X

R

都是二階可微、遞增、凹的VNM效用函數(shù)。則下面三個條件相互等價：對任何w

X，都有；存在遞增的凹函數(shù)

g，使得

uA(w)

=

g(uB(w))

對一切wX

成立；對一切

X，都有RPA(

)RPA(

)。普拉特研究了上述三種表達方式之后指出，它們相互等價。這樣一來，函數(shù)

AP

:

X

R

便很好地度量著經(jīng)濟人的風(fēng)險規(guī)避傾向。這里，風(fēng)險行為

的風(fēng)險加價RP(

)的定義為：RP(

)=Ec(

)其中的c(

)是這樣確定的：c(

)X&

u(c(

))

=

u(

)。1.普拉特定理定理(Pratt)設(shè)確定性選擇集合X622.普拉特定理的嚴(yán)格形式定理(Pratt)

設(shè)確定性選擇集合

X=

R，風(fēng)險環(huán)境為(,F,P)。再設(shè)uA

:

X

R

和uB

:

X

R

都是二階可微、遞增、凹的VNM效用函數(shù)。則下面三個條件相互等價：對任何w

X，都有；存在遞增的嚴(yán)格凹函數(shù)

g

使得

uA(w)

=

g(uB(w))對一切wX

成立；對一切非退化的風(fēng)險行動

X，都有RPA(

)>RPA(

)。普拉特定理中的那些不等式還可以換成嚴(yán)格不等式，從而得到普拉特定理的嚴(yán)格形式。2.普拉特定理的嚴(yán)格形式定理(Pratt)設(shè)確定性選63(二)相對風(fēng)險規(guī)避傾向風(fēng)險厭惡度AP(w)測量的是在行為的絕對量變中，經(jīng)濟人對風(fēng)險的厭惡程度強弱，因而才叫做絕對風(fēng)險厭惡度。但實際中，人們也常常使用相對量變，即用比例來表達數(shù)量變化。采用相對量變的好處在于消除了量綱影響，從而能更好地把握經(jīng)濟變量的變化。這樣，我們也需要測量經(jīng)濟人在行為的相對量變中對風(fēng)險的厭惡程度大小，這就是所謂的相對風(fēng)險厭惡度及相對風(fēng)險規(guī)避傾向。

為此，我們給出如下定義。設(shè)

u

:

X

R

是經(jīng)濟人的VNM效用函數(shù)，X=R。對任何w

S，定義RAP(w)為：函數(shù)RAP

:

X

R叫做經(jīng)濟人的相對風(fēng)險厭惡度量函數(shù)，或阿羅-普拉特相對風(fēng)險度量，或相對風(fēng)險規(guī)避傾向。函數(shù)值RAP(w)叫做經(jīng)濟人在w

處的相對風(fēng)險厭惡度或在w

處的相對風(fēng)險規(guī)避傾向。(二)相對風(fēng)險規(guī)避傾向風(fēng)險厭惡度AP(w641.賭博揭示的相對風(fēng)險規(guī)避傾向設(shè)經(jīng)濟人的財富收入效用函數(shù)為u(r)且(rX)(u(r)

>

0),并設(shè)財富以元為單位來計。假定經(jīng)濟人當(dāng)前擁有w元財富。設(shè)F是一個隨機事件，其發(fā)生的概率為p。通過事件F，可以設(shè)計相對賭博：對任何

x,

yR，平面上的點(x,

y)代表這樣的賭博：如果事件F

發(fā)生，則贏

x

w

元，經(jīng)濟人的財富變?yōu)?1+x)w

元；若事件F

未發(fā)生，則贏得

yw

元，經(jīng)濟人的財富變?yōu)?1+y)w

元。這樣，通過事件F設(shè)計的相對賭博的全體G正是平面R2：G=R2。原點(0,0)代表不賭，其余點(x,

y)((0,0))都代表真正的賭博。賭博(x,y)的預(yù)期效用為EU(x,

y)

=

pu((1+x)w)+(1p)u((1+y)w)。

賭博(x,

y)被接受當(dāng)且僅當(dāng)

pu((1+x)w)+(1p)u((1+y)w)

u(w)。

(x,

y)是公平賭博當(dāng)且僅當(dāng)

px

+

(1p)y

=

0。1.賭博揭示的相對風(fēng)險規(guī)避傾向設(shè)經(jīng)濟人的財65接受集的邊界在原點(0,0)處的切線正是公平賭博直線！2.相對接受集GA公平的賭博相對接受集邊界GA在原點(0,0)處的切線方程：凸集接受集的邊界在原點(0,0)處的切線正是公平賭66對任何(x,y),

(x,y)GA

及實數(shù)

t[0,

1]，令(x,y)=t

(x,y)+(1t)(x,y)

則有：(1)相對接受集的凸性故

(x,y)

=

t

(x,y)

+