江西省贛州市2021-2022學高一上學期期末數(shù)學試題

第18頁/共18頁贛州市2021~2022學年度第一學期期末考試高一數(shù)學試題2022年1月（考試時間120分鐘，試卷滿分150分）第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、單選題：（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知全集，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)補集、并集的定義可求解.詳解】，，，，∴A∪?U故選：C.2.“中國天眼”為500米口徑球面射電望遠鏡（簡稱），是具有我國獨立自主知識產(chǎn)權(quán)、世界最大單口徑、最靈敏的射電望遠鏡，則“中國天眼”獲取數(shù)據(jù)的方式是（）A.調(diào)查 B.實驗 C.觀察 D.查詢【答案】C【解析】【分析】利用統(tǒng)計學中獲取數(shù)據(jù)的方法分析判斷【詳解】由于自然現(xiàn)象會隨著時間的變化而變化，所以“中國天眼”獲取數(shù)據(jù)的方式是觀察，故選：C3.設，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)不等式的解法，求得不等式解集對應的集合，結(jié)合是的真子集，即可求解.【詳解】由不等式，解得，設為集合又由，解得，設為集合，則是的真子集，所以是充分不必要條件.故選：A.4.已知狄利克雷函數(shù)則下列結(jié)論正確的是（）A.是偶函數(shù) B.是單調(diào)函數(shù)C.的值域 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義、單調(diào)函數(shù)的定義、值域的定義進行判斷即可.詳解】A：當時，顯然，此時恒有，當時，顯然此時是無理數(shù)，顯然也是無理數(shù)，此時恒有，所以是偶函數(shù)，因此本選項結(jié)論正確；B：因為，所以函數(shù)不是實數(shù)集上的單調(diào)函數(shù)，因此本選項結(jié)論不正確；C：由函數(shù)的解析式可知：的值域為，因此本選項結(jié)論不正確；D：，因此本選項結(jié)論不正確，故選：A5.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用對數(shù)函數(shù)的運算求出，再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小得到答案.【詳解】，，因為，所以，所以.故選：D.6.設函數(shù)，若是奇函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合函數(shù)解析式可求得結(jié)果.【詳解】由已知可得.故選：B.7.如圖所示某加油站地下圓柱體儲油罐示意圖，已知儲油罐長度為，截面半徑為（，為常量），油面高度為，油面寬度為，油量為（，，為變量），則下列說法錯誤的（）

A.是的函數(shù) B.是的函數(shù)C.是的函數(shù) D.是的函數(shù)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義即可確定．【詳解】根據(jù)圓柱的體積公式的實際應用，油面高度為h，會影響油面的寬度w，從而影響油量v，A：由于v確定，故h確定，w就確定，符合函數(shù)的定義，故A正確；B：由于w確定，h有兩個（上下對稱），所以v有兩個，故與函數(shù)的定義相矛盾，不是函數(shù)，故B錯誤；C：由于v確定，故h確定，符合函數(shù)的定義，故C正確；D：由于h確定，故v確定，符合函數(shù)的定義，故D正確.故選：B.8.若實數(shù)，滿足，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知是上的增函數(shù)；根據(jù)題意可知，即，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，可得，由此即可得到結(jié)果．【詳解】令，由于均為上的增函數(shù)，所以是上的增函數(shù)，因為，所以，即，所以，所以.故選：C．二、多選題：（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有錯選的得0分）9.新冠病毒引發(fā)的肺炎疫情在全球肆虐，我國的“新冠肺炎”疫情在2020年二月份已得到基本控制.甲、乙兩個地區(qū)措施采取防護后，統(tǒng)計了從2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”確診人數(shù)，繪制成的折線圖（如圖），則下列關(guān)于甲、乙兩省新增確診人數(shù)的說法，正確的是（）A.甲省的平均數(shù)比乙省低 B.甲省的方差比乙省大C.乙省的中位數(shù)是23 D.甲省的極差是17【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)題意列出數(shù)據(jù)，進而求出對極差、中位數(shù)和平均數(shù)，然后再觀察數(shù)據(jù)的波動幅度，最后判斷答案.【詳解】由圖可知，甲省的極差為27-9=18，D錯誤；乙省的中位數(shù)為23，C正確；甲省的平均數(shù),乙省的平均數(shù)，A正確.根據(jù)數(shù)據(jù)可以判斷，乙省的數(shù)據(jù)波動較小，則方差較小，甲省的數(shù)據(jù)波動較大，則方差較大，B正確.故選：ABC.10.下列各結(jié)論正確的是（）A.“”是“”的充要條件B.的最小值為2C.命題“，有”的否定是“，有”D.若，，則【答案】AD【解析】【分析】直接利用充分條件和必要條件的定義，對勾函數(shù)，命題的否定，作差法證明不等式分別判斷各個選項即可.【詳解】對于選項，“”“”，可知，“”是“”的充要條件，則選項正確；對于選項，令，其中，則，在上單調(diào)遞增，故最小值為，則選項不正確；對于選項，命題“，有”的否定為“，有”，則選項不正確；對于選項，，即，則選項正確.故選：.11.高斯是德國著名的數(shù)學家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，.已知函數(shù)，，則關(guān)于函數(shù)的敘述中正確的是（）A.B.函數(shù)的值域為C.在R上為增函數(shù)D.函數(shù)在區(qū)間有12個零點【答案】AB【解析】【分析】畫出的圖象，結(jié)合圖象逐項判斷可得答案.【詳解】畫出的圖象，根據(jù)“高斯函數(shù)”定義，故A正確；由圖象可得函數(shù)的值域為，故B正確；由圖象可得在R上不是增函數(shù)，故C錯誤；由函數(shù)在區(qū)間有13個零點，故D錯誤.故選：AB.12.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則（）A.B.C.為偶函數(shù)D.任意且，都有【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)題意可得函數(shù)關(guān)于直線對稱，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，進而可判斷，即可判斷選項A；根據(jù)函數(shù)圖象平移的性質(zhì)即可判斷選項B；根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷選項C、D.【詳解】由知，函數(shù)關(guān)于直線對稱，又在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減.A：因為點和點關(guān)于直線對稱，所以，故A錯誤；B：因為，在上單調(diào)遞增，所以，故B錯誤；C：因為函數(shù)關(guān)于直線對稱，所以函數(shù)關(guān)于直線對稱，即函數(shù)關(guān)于y軸對稱，為偶函數(shù)，故C正確；D：當時，，所以，當時，，所以，所以且時，恒有，故D正確.故選：CD第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的值為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的概念，求得，再結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意，冪函數(shù)，可得，解得或，當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，不符合題意；當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，符合題意，所以實數(shù)的值為-.故答案為：-.14.在運動會火炬?zhèn)鬟f活動中，有編號為1，2，3，4，5的5名火炬手.若從中任選2人，則選出火炬手編號相連的概率為______.【答案】##【解析】【分析】先求出基本事件總數(shù)，再求出選出的火炬手的編號相連包含的基本事件個數(shù)，由此能求出選出的火炬手的編號相連的概率．【詳解】有編號為的名火炬手，從中任選人，基本事件有，共10個；選出的火炬手的編號相連包含的基本事件有，共個；所以選出的火炬手的編號相連的概率．故答案為：．15.若，且，則實數(shù)的值為______.【答案】18【解析】【分析】由指對數(shù)互化可得，，代入題設等式，結(jié)合換底公式及對數(shù)運算性質(zhì)即可求k的值.【詳解】由題設，，，所以，則.故答案為：18.16.已知函數(shù)其中，若存在實數(shù)，使得關(guān)于的方程恰有三個相異的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】.【解析】【分析】作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象可得答案．【詳解】時，，由解得，的圖象如圖如下：方程恰有三個相異的實數(shù)解，則故答案為：．四、解答題：（本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.設全集，已知集合，集合B=xa+1<x<3a?1.（1）當時，求；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）利用并集和補集的基本運算結(jié)合一元二次不等式的解法即可求解；（2）根據(jù)交集的運算結(jié)果得出集合間的包含關(guān)系，再利用分類討論即可求出實數(shù)的取值范圍【小問1詳解】因為當時，所以所以或【小問2詳解】因為，所以（?。┊敃r，則，即（ⅱ）當時，則由，得a+1≥?13a?1≤4a>1，所以綜上所述：實數(shù)的取值范圍是18.已知函數(shù)（，為常數(shù)）是奇函數(shù).（1）求實數(shù)的值；（2）求不等式的解集.【答案】（1）-1（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)可得答案；（2）利用單調(diào)性定義判斷出單調(diào)性，再利用單調(diào)性解不等式即可.【小問1詳解】由函數(shù)（，為常數(shù)）是奇函數(shù)，令，則，即得，經(jīng)檢驗當時，為奇函數(shù).【小問2詳解】任意，且，，因為且，所以，所以，所以在R上單調(diào)遞增函數(shù)，由，得，即，因為，即，所以或，所以不等式的解集為.19.隨著新課程改革和高考綜合改革的實施，學習評價更關(guān)注學科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展，為此，某市于2021年舉行第一屆高中文科素養(yǎng)競賽，競賽結(jié)束后，為了評估該市高中學生的文科素養(yǎng)，從所有參賽學生中隨機抽取1000名學生的成績（單位：分）作為樣本進行估計，將抽取的成績整理后分成五組，從左到右依次記為，，，，，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）請補全頻率分布直方圖并估計這1000名學生成績的平均數(shù)和計算80%分位數(shù)（求平均值時同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（2）現(xiàn)從以上各組中采用分層隨機抽樣的方法抽取20人.若第三組學生實際成績的平均數(shù)與方差分別為74分和2，第四組學生實際成績的平均數(shù)與方差分別為84分和1，求這20人中分數(shù)在區(qū)間所有人的成績的方差.【答案】（1）直方圖見解析，平均數(shù)67分，80%分位數(shù)76.67分（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)題意求出成績落在頻率，補全頻率分布直方圖，利用頻率分布直方圖求出平均數(shù)和80%分位數(shù)；(2)根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)求得第三組和第四組抽取的人數(shù)，進而求得該兩組成績的平均值，利用方差公式即可求出這兩組成績的方差.【小問1詳解】成績落在的頻率為補全的頻率分布直方圖，如圖樣本的平均數(shù)(分)設80%分位數(shù)為，則，解得：(分}【小問2詳解】由分層抽樣可知，第三組和第四組分別抽取3人和2人分層抽樣的平均值：（分）分層抽樣的方差：20.已知函數(shù).（1）設，求函數(shù)的值域；（2）若不等式在區(qū)間有解，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得，，則等價于，即可求出值域．（2）根據(jù)題意可得在恒成立，則，由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得在區(qū)間有解，即在區(qū)間有解；利用分離參數(shù)法，可得在區(qū)間有解，再令，則，根據(jù)單調(diào)性即可求出結(jié)果.【小問1詳解】解：令，則等價于，因為所以當時，所以的值域為；【小問2詳解】解：首先考慮定義域：在區(qū)間恒成立，得由于在上是單調(diào)遞增的，所以在區(qū)間有解.即等價于在區(qū)間有解，即在區(qū)間有解而，所以在區(qū)間有解因為，令，設，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增所以在區(qū)間有解等價于，即綜上實數(shù)的取值范圍為21.某興趣小組在研究性學習活動中，通過對某商店一種商品銷售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該商品在過去的一個月內(nèi)（以天計）的日銷售價格（元）與時間（天）的函數(shù)關(guān)系近似滿足（為常數(shù)）.該商品的日銷售量（個）與時間（天）部分數(shù)據(jù)如下表所示：（天）（個）已知第天該商品的日銷售收入為元.（1）求出該函數(shù)和的解析式；（2）求該商品的日銷售收入（元）的最小值.【答案】（1），（2）最小值為元【解析】【分析】（1）利用可求得的值，利用表格中的數(shù)據(jù)可得出關(guān)于、的方程組，可解得、的值，由此可得出函數(shù)和的解析式；（2）求出函數(shù)解析式，利用基本不等式、函數(shù)單調(diào)性求得在且、且的最小值，比較大小后可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：依題意知第天該商品的日銷售收入為，解得，所以，.由表格可知，解得.所以，.【小問2詳解】解：由（1）知，當且時，，當且時，.，當時，由基本不等式可得，當且僅當時，等號成立，即.當時，因為函數(shù)、均為減函數(shù)，則函數(shù)為減函數(shù)，所以當時，取得最小值，且.綜上所述，當時，取得最小值，且.故該商品的日銷售收入的最小值為元.22.已知函數(shù)的定義域是，且.（1）求函數(shù)的定義域和值域；（2）若函數(shù)對定義域內(nèi)任意的實數(shù)，，，，都有恒成立，