(完整word版)運(yùn)籌學(xué)-線性規(guī)劃模型在實際生活中的應(yīng)用

--再來分析目標(biāo)函數(shù)z二2x+3x.在這個坐標(biāo)平面上，它可表示以z為參數(shù)，以—-為斜率的一族平123行線：x=-（2）x+三。位于同一直線上的點(diǎn)，具有相同的目標(biāo)函數(shù)值，因而稱它為“等值線”.當(dāng)z2313值由小變大時，直線X=-（2）x+z沿其法線方向向右上方移動.當(dāng)移動到Q點(diǎn)時，使z值在可行域邊界上實現(xiàn)最大化（如下圖）：這就得到了例1的最優(yōu)解對應(yīng)的點(diǎn)Q，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（4,2）.于是可計算出滿足所有約束條22件的最大值z=14.這說明該廠的最優(yōu)生產(chǎn)計劃方案是：生產(chǎn)4件產(chǎn)品丨，生產(chǎn)2件產(chǎn)品II,可得最大利潤為14元．【拓展延伸探究】例2預(yù)算有2000元購買單價為50元的桌子和20元的椅子,希望使桌椅的總數(shù)量盡可能的多，但椅子數(shù)不少于桌子數(shù)，且不多于桌子數(shù)的1.5倍,問桌子和椅子各購買多少？［分析］這是生活實際中的一個物資采購問題,可歸結(jié)為線性規(guī)劃問題,利用圖解法進(jìn)行求解.［解］設(shè)桌子和椅子各購買x、y張，則x、y必須滿足線性約束條件50x+20y<2000x<yx,y>0、x,yeN其目標(biāo)函數(shù)z=x+y.20x——7lx二y,lx二y,由［50x+20y二2000,解得200y—〒（200200）故圖14中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（〒‘〒）|￥]14|￥]14[y二1.5x[y二1.5x由[50x+20y二2000（2畤（2畤y=—解得〔2故圖中點(diǎn)B的坐標(biāo)為滿足以上條件的可行域為如圖所示的陰影部分（包括邊界和內(nèi)部），以A、B、0為頂點(diǎn)三角形區(qū)域。動直線z=x+y表示斜率為一1,在y軸上的截距為z的直線，如圖所示的虛線，當(dāng)動直線運(yùn)75y——動到如圖所示的B點(diǎn)時，z的取值最大，此時x=25,2。但由于x、y的取值均為整數(shù)，故y應(yīng)取37,即購買25張桌子、椅子37張，是最優(yōu)選擇。（25）點(diǎn)悟：由于本題是一個實際問題，當(dāng)求得最優(yōu)解‘2丿后，顯然它不滿足題意，故應(yīng)取最優(yōu)解的近似值，這便是實際問題與一般的非應(yīng)用問題的最大區(qū)別。在實際問題中椅子必須是整數(shù)，所以x=25，y=37.3。3用單純元法解兩個變量的線性規(guī)劃問題例3：某車間生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知制造一件甲產(chǎn)品需要A種元件5個，B種元件3個；制造一件乙產(chǎn)品需要A種元件2個，B種元件3個?，F(xiàn)因某種條件限制，只有A種元件180，B種元件135個;每件甲種產(chǎn)品可獲利20元，每件乙種產(chǎn)品可獲利15元。試問在這種條件下，應(yīng)該生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各多少件才能得到最大利潤？解：設(shè)應(yīng)該生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件，乙產(chǎn)品x件，才能得到最大利潤s元.根據(jù)題意，此問題可用數(shù)12學(xué)模型表示為:

目標(biāo)函數(shù)滿足約束條件目標(biāo)函數(shù)滿足約束條件S=20x+15x125x+2x<18012<3x+3x<13512x,x>012S=20x+15x+0x+0x1234將上述問題化成標(biāo)準(zhǔn)形式：5x+2x+x=180將上述問題化成標(biāo)準(zhǔn)形式：123<3x+3x+x=135124x,x,x,x>01234添加的松弛變量X和x在約束方程組中其系數(shù)列正好構(gòu)成一個2階單位陣，它們可以作為34初始基變量，初始基可行解為X二（0，0，180，135）'表1表1由于只有o〉0，說明表中基可行解不是最優(yōu)解，所以確定x為換入非基變量；以x的系211數(shù)列的正分量對應(yīng)去除常數(shù)列，最小比值所在行對應(yīng)的基變量作為換出的基變量。=min(180135=min(180135)=36因此確定5為主元素（表1中以防括號［］括起），意味著將以非基變量x去置換基變量x，26采取的做法是對約束方程組的系數(shù)增廣矩陣實施初等行變換，將x的系數(shù)列（20,15）t變換成1x的系數(shù)列（0,1）t,變換之后重新計算檢驗數(shù)。變換結(jié)果見表23表2表3表2表334X*二(30,15,0,0)t。去除添加的松弛變量，原問題的最優(yōu)解為：X*=(30,15)t，最打值為20＊30+15*15=825.若企業(yè)在生產(chǎn)、運(yùn)輸、市場營銷等方面，沒有很好地利用線性規(guī)劃進(jìn)行合理的配置，往往會導(dǎo)致增加了企業(yè)的生產(chǎn)，使企業(yè)的利潤不能達(dá)到最大化，使得資源浪費(fèi)。在競爭日益激烈的今天，如果還按照這種方式，是難以生存的.所以更好地利用線性規(guī)劃，讓它在實踐生活中真正幫助到我們?nèi)ソ鉀Q遇到的各種問題，求得最大的利潤或最小消耗等問題的最優(yōu)解。隨著作為運(yùn)籌學(xué)重要分支的線性規(guī)劃的發(fā)展，我們已看到運(yùn)用線性規(guī)劃的必要性和重要性.胡運(yùn)權(quán).郭耀煌。運(yùn)籌教程第四版.清華大學(xué)出版社2012。11線性規(guī)劃導(dǎo)論[M]。謝金星，姜啟源，張立平等譯