七年級(jí)奧數(shù)：歸納與猜想

第第頁(yè)共4頁(yè)七年級(jí)奧數(shù)：歸納與猜想閱讀與思考當(dāng)一個(gè)問(wèn)題涉及到相當(dāng)多的乃至無(wú)窮多的情形時(shí)，可從問(wèn)題的簡(jiǎn)單情形或特殊情況人手，通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)單情形或特殊情況的試驗(yàn)，從中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律或作出某種猜想，從而找到解決問(wèn)題的途徑或方法，這種研究問(wèn)題的方法叫歸納猜想法．歸納是建立在細(xì)致而深刻的觀察基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)往往是從觀察開(kāi)始的，觀察是解決問(wèn)題的先導(dǎo)，解題中的觀察活動(dòng)主要有三條途徑：1．?dāng)?shù)與式的特征觀察；2．幾何圖形的結(jié)構(gòu)觀察；3．通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)單、特殊情況的觀察，再推廣到一般情況．需要注意的是，用歸納猜想法得到的結(jié)果，常常具有或然性，它可能是成功的發(fā)現(xiàn)，也可能是失敗的嘗試，需用合乎邏輯的推理步驟把它寫(xiě)成無(wú)懈可擊的證明．例題與求解例1下圖是飛行棋的一顆骰子，根據(jù)圖中A、B、C三種狀態(tài)所顯示的數(shù)字，推出“？”處的數(shù)字是解題思路認(rèn)真觀察A、B、C三種狀態(tài)所顯示的數(shù)字，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，作出推斷.例2有以下兩個(gè)數(shù)串：1，3，5，7,…，1991，1993，1995，1997，1999和1,4,7,10,…,1990，1993,1996,1999同時(shí)出現(xiàn)在這兩個(gè)數(shù)串中的數(shù)的個(gè)數(shù)共有（）.（第九屆“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）（A）333（B）334（C）335（D）336解題思路從觀察分析歸納每個(gè)數(shù)串的特征人手.例3化簡(jiǎn)99…①x99—9+199—9V'V'V'n個(gè)n個(gè)n個(gè)（西安市競(jìng)賽題）解題思路先考察n=1,2,3時(shí)的簡(jiǎn)單情形，然后作出猜想，這樣，化簡(jiǎn)的目標(biāo)更加明確.例4平面內(nèi)的i00條直線至多可把平面分成幾部分?解題思路還是從最簡(jiǎn)單的情形考察起，關(guān)鍵在于能否發(fā)現(xiàn)每添加一條直線與上一次加線可把平面分成幾部分的聯(lián)系.例5觀察按下列規(guī)則排成的一列數(shù)：

112123123412345121321432154321（探）112123123412345121321432154321（探）6⑴在滋）中，從左起第m個(gè)數(shù)記為F（m）,當(dāng)F（m）=2^時(shí)，求m的值和這m個(gè)數(shù)的積.（2）在（探）中，未經(jīng)約分且分母為2的數(shù)記為c,它后面的一個(gè)數(shù)記為d，是否存在這樣的兩個(gè)數(shù)f和d,使cd=2001000,如果存在，求出c和d；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（湖北賽區(qū)選拔賽題）解題思路按分母遞減而分子遞增的變化規(guī)律，對(duì)原數(shù)列恰當(dāng)分組，明確每組中數(shù)的個(gè)數(shù)與分母的關(guān)系、未經(jīng)約分且分母為2的數(shù)在每組中的位置，這是解本例的關(guān)鍵．能力訓(xùn)練1．研究下列算式，你會(huì)發(fā)現(xiàn)有什么規(guī)律?1X3+1—4=222X4+1—9=323X5+1—16=424X6+1—25=52請(qǐng)將你找出的規(guī)律用公式表示出來(lái)_2.有數(shù)組（1,1，1），（2，4，8），（3，9，27），數(shù)之和為.（廣州市競(jìng)賽題）3．觀察下列各式：22—X2=—+211X3=2+3-X4二？+5（山東菏澤中考題），什么樣兩個(gè)數(shù)才有這樣的性34（山東菏澤中考題），什么樣兩個(gè)數(shù)才有這樣的性一般地，能否得出“兩數(shù)之積等于兩數(shù)之和”的結(jié)論？質(zhì)？.（用字母表示）4?按一定規(guī)律排列的一串?dāng)?shù)112311123123451235'5'5'5'77…中，第98個(gè)數(shù)是.(山東省競(jìng)賽題)5．給出下列兩列數(shù)2,4,6,8,10,…，19946,13,20,27,34,…，1994則這兩列數(shù)中,相同的數(shù)的個(gè)數(shù)是()．(浙江省競(jìng)賽題)(A)142(B)143(C)284(D)2856．有1000個(gè)數(shù)排成一行,其中任意相鄰的三個(gè)數(shù)中,中間的數(shù)等于它前后兩個(gè)數(shù)的和．若第一個(gè)數(shù)和第二個(gè)數(shù)都是1,則這1000個(gè)數(shù)的和等于()．(A)1000(B)1(C)0(D)—1(山東省競(jìng)賽題)7．一條直線分一張平面為兩部分,二條直線最多分一張平面為4部分,設(shè)五條直線最多分平面為n部分,則n等于()．(北京市“迎春杯”競(jìng)賽題)TOC\o"1-5"\h\z(A)16(B)18(C)24(D)318．某中學(xué)科技樓窗戶設(shè)計(jì)如圖(1)所示,如果每個(gè)符號(hào)(窗戶形狀)代表一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)碼,每橫行三個(gè)符號(hào)自左至右看成一個(gè)三位數(shù),這四層組成四個(gè)三位數(shù),它們是837,571,206,439,則按圖(1)所示．的規(guī)律寫(xiě)出1992應(yīng)是圖(2)中的()．(圖1)(圖2)9．設(shè)n為自然數(shù),證明11115555是兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和.n個(gè)1n個(gè)510?—串?dāng)?shù)排成一行，它們的規(guī)律是這樣的：頭兩個(gè)數(shù)都是1,從第三個(gè)數(shù)開(kāi)始，每一個(gè)數(shù)都是前兩個(gè)數(shù)的和，也就是1，，，5,8,13,21,34,55…問(wèn)：這串?dāng)?shù)的前100個(gè)數(shù)中(包括第100個(gè)數(shù))有多少個(gè)偶數(shù)?(“華羅庚金杯”賽試題)11．將一個(gè)圓形紙片用直線劃分成大小不限的若干小紙片,如果要分成不少于50個(gè)小紙片,至少要畫(huà)多少條直線?請(qǐng)說(shuō)明理由．(“五羊杯”試題)17已知ax+by=7,ax2+by2=49,ax3+by3=133,ax4+by4=406,求1995(x+y)+6xy一—(a+b)的值．(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)有依次排列的3個(gè)數(shù)：3,9,8.對(duì)任相鄰的兩個(gè)數(shù),都用右邊的數(shù)減去左邊的數(shù),所得之差寫(xiě)在這兩個(gè)數(shù)之間,可產(chǎn)生一個(gè)新數(shù)串：3,6,9,一