小波分析課件

1.1

小波(Wavelet)小波就是空間L2(R)中滿足下述條件的函數或者信號:這時，也稱為小波母函數，(2)稱為容許性條件。（1）（2）1.1小波(Wavelet)小波就是空間L2(R)中滿1連續(xù)小波函數：為由小波母函數生成的依賴于參數（a,b）的連續(xù)小波，簡稱為小波。

（3）連續(xù)小波函數：為由小波母函數生成的依賴于參數2注釋注釋：如果小波母函數的Fourier

變換在原點是連續(xù)的，那么公式(2)說明，于是這說明函數有波動的特點，公式(1)又說明函數有衰減的特點，因此，稱函數為“小波”。

注釋注釋：如果小波母函數的Fourier于31.2

小波變換(WaveletTransform)對于任意的函數或者信號，其小波變換為（4）1.2小波變換(WaveletTransform)對于任4性質這樣定義的小波變換具有下列性質：Plancherel恒等式：小波變換的逆變換公式：（5）（6）性質這樣定義的小波變換具有下列性質：Plancherel恒等5性質吸收公式：當吸收條件成立時，有吸收的Plancherel恒等式（7）（8）性質吸收公式：當吸收條件成立時，有吸收的Planchere6性質吸收的逆變換公式（9）性質吸收的逆變換公式（9）71.3.二進小波和二進小波變換

(DyadicWaveletTransform)

如果小波函數滿足穩(wěn)定性條件

(10)則稱為二進小波，對于任意的整數k,記(11)1.3.二進小波和二進小波變換

(DyadicWavele8逆變換對于任意的，其二進小波變換為：

這時，逆變換公式是

（12）（13）逆變換對于任意的，9重構小波其中的Fourier變換滿足稱為二進小波的重構小波，比如可?。?/p>

（14）（15）重構小波其中的Fourier變換滿足稱為10設小波為，對于任意的整數k和j，記1.4.正交小波和小波級數

(OrthonormalWavelet)

構成空間的標準正交基，則稱是正交小波。

如果函數族(16)(17)設小波為，對于任意的整數k和j，記1.11小波級數這時，逆變換公式就是小波級數(18)

其中小波系數的算法是(19)小波級數這時，逆變換公式就是小波級數12連續(xù)和離散統(tǒng)一上的取值，因此，小波系數實際上是信號f(x)的離散小波變換。其實，這也是小波變換迷人的風采之一：

小波系數是信號f(x)的小波變換在二進離散點(20)連續(xù)變換和離散變換形式統(tǒng)一；連續(xù)變換和離散變換都適合全體信號；

連續(xù)和離散統(tǒng)一上的取值，因此，小波系數實際上是13§2.小波分析和時-頻分析

(Time-FrequencyAnalysis)2.1窗口Fourier變換和Gabor變換(WindowedFourierTransformandGaborTransform)

D.Gabor在1946年開創(chuàng)時-頻分析的先河提出GaborTransform一般的時-頻分析是WindowedFourierTransformShort-TimeFourierTransform§2.小波分析和時-頻分析

(Time-Frequenc14WindowedFourierTransform稱為信號的窗口Fourier變換，其中的函數稱為窗口函數，一般要求是：具體地(21)WindowedFourierTransform稱為信號15GaborTransformD.Gabor取(22)是Gaussian函數，對應的變換稱為Gabor變換(1946)。對于Gabor變換，存在如下的頻率再分割公式：(23)GaborTransformD.Gabor取(22)是Ga16物理解釋Gabor變換是信號在x=x0點“附近”的頻率為的頻率成分；只要把信號在各個時間點“附近”的頻率為的頻率成分全部累加起來，理所當然就應該是這個信號的頻率為的頻率成分；Gabor變換可以認為是信號f(x)的另一種等價描述(因為Fourier變換是信號的等價描述)物理解釋Gabor變換17局限Gabor變換沒有“好”的（即可以構成標架或者正交基）離散形式；Gabor變換沒有快速算法：比如沒有類似于離散Fourier變換之FFT的快速數值算法；

遺憾的是，Gabor變換存在如下局限：局限Gabor變換沒有“好”的（即可以構成標架或者正交基）離18

AppendixAFig.1.

Gabor變換的固定時-頻窗口t00t1t1AppendixAFig.1.

Gabor變換的固定192.2.時-頻分析

(Time-FrequencyAnalysis）時-頻分析本質上是信號描述、分析和處理的一種方法，它給信號的“最優(yōu)描述問題”提供一種解決方案。R.Balian(1981)早在八十年代就清清楚楚地描述了這個問題：在通訊理論中，人們對于在給定的時間內，把一個信號表示成“每一個都同時具有足夠確定的位置及頻率的諧波”的疊加這種信號的描述方法極感興趣

2.2.時-頻分析

(Time-FrequencyAn20最優(yōu)描述問題有用的信息總是同時被所發(fā)射信號的頻率特性與信號的時間結構所傳遞，最好的例子是演奏音樂；把信號表成時間的函數其頻率特征無法突出，而Fourier分析又無法標定各個分量發(fā)射的瞬時位置和持續(xù)時間；“最優(yōu)描述”應該綜合這兩種描述的優(yōu)點，并用一個離散的刻畫來表示，以適應信息理論和計算機處理的需要。

最優(yōu)描述問題有用的信息總是同時被所發(fā)射信號的頻率特性與信號的21Wigner分布函數Wigner分布函數是信號時-頻分析的另一種具體的解決途徑。信號f(x)的Wigner分布函數是著名理論物理學家E.P.Wigner在1932年提出來的，定義是：(24)

顯然，這是一個實的二元函數。Wigner分布函數Wigner分布函數是信號時-頻分析的另22性質Wigner分布函數有如下性質：(25)(26)(27)性質Wigner分布函數有如下性質：(25)(26)(27)23Wigner分布函數的物理意義Wigner分布函數的Plancherel恒等式成立；Wigner分布函數標明信號的瞬時頻率的位置；Wigner分布函數標明信號的瞬時位置的頻率。在能量的意義下，Wigner分布函數的物理意義是：Wigner分布函數的物理意義在能量的意義下，Wigner分24Wigner分布函數理論的局限Wigner分布函數的三個局限：

Wigner分布函數只記憶信號的部分信息；Wigner分布函數沒有有效的重建算法；Wigner分布函數的“瞬時”是漸近意義的。

Wigner分布函數理論的局限Wigner分布函數的三個局限252.3.

小波的時-頻分析

(Wavelet’sTime-FrequencyAnalysis)

小波變換是一種時-頻描述，它的信息記憶是完全的，是一種等價的變換描述，具有獨特的時—頻分析性質。引入記號：

(28)中心半徑(29)2.3.小波的時-頻分析

(Wavelet’sTime-26對于，如果滿足條件:窗口函數及說明則稱之為窗口函數，和分別稱為它的時間中心和時間半徑，而和分別稱為它的譜中心和譜半徑。

說明：中心和半徑是下述分布的期望和均方差對于，如果滿足條27小波的時-頻中心與半徑2.3.2.小波的時-頻半徑2.3.1.小波的時-頻中心（29）（30）小波的時-頻中心與半徑2.3.2.小波的時-頻半徑2.3.282.3.3.小波的時-頻窗

(32)2.3.3.小波的時-頻窗(32)29AppendixBFig.2.

小波在時-頻相平面上的窗t00t12t1AppendixBFig.2.

小波在時-頻相平面上的窗302.3.4.小波的時-頻特性小波時-頻窗的面積恒等于；小波的時-頻窗是時-頻相平面中的可變的矩形；小波時-頻窗的變化規(guī)律：

（1）尺度參數a增大時，小波的時窗變寬，同時，它的主頻變低，頻窗變窄；（2）尺度參數a減小時，小波的時窗變窄，同時，它的主頻變高，頻窗變寬；

2.3.4.小波的時-頻特性小波時-頻窗的面積恒等于31小波的頻率分辨率小波分析具有固定的相對頻率分辨率(33)

主頻變低時，頻窗變窄，頻率分辨率提高；主頻變高時，頻窗變寬，頻率分辨率降低；高頻時出現(xiàn)較低的頻率分辨率（難題?。?/p>

小波的頻率分辨率小波分析具有固定的相對頻率分辨率32小波的頻帶特性

(1)小波變換處理頻域的方式完全不同于經典的Fourier變換，任何小波本質上都是以頻帶的形式出現(xiàn)在頻域中，這樣避免了許多理論和計算上的麻煩；(2)二進小波頻域劃分的特色：將參數a按二進方式離散化為選擇二進小波滿足小波的頻帶特性(1)小波變換處理頻域的方式完全不同于經典的33二進小波的主頻是二進小波的分頻特性

(34)所在的頻帶是當k取遍全體整數時，這些頻帶正好分離覆蓋正頻軸，即這就是著名的二進小波頻帶劃分技術。二進小波342.4.正交小波的時-頻分析

OrthonormalWavelet’sTime-FrequencyAnalysis對于正交小波，(35)

其中系數是是一個標準正交基，所以，對于任何信號f(X)，可以展開成小波級數：

(36)2.4.正交小波的時-頻分析

OrthonormalW35正交小波的吸收譜由小波變換的定義可知，正交小波級數的系數正好是信號f(x)的小波變換在二進離散點：(37)上的取值。這說明：對于正交小波來說，任何信號在二進離散點上的小波變換包含了它的小波變換的全部信息，所以正交小波具有優(yōu)美的譜吸收特點。正交小波的吸收譜由小波變換的定義可知，正交小波級數的系數36小波變換與Fourier變換Fourier變換：對于任何信號f(x)，只有當它是時間有限時，它的譜F()(Fourier變換)才是頻率吸收的；反過來，只有當它是頻域有限時，f(x)才是時間吸收的;小波變換:對于正交小波分析來說，任何信號的正交小波譜都是譜吸收的，即二維小波譜所包含的信息完全被二進離散點上的譜吸收。小波變換與Fourier變換Fourier變換：小波變換:37一點評論正交小波變換譜的完全吸收性為小波變換的理論分析、數值計算和各種應用提供了極大的方便。同時，這些離散的小波譜點，本質上意味著時-頻分析中頻譜分析的頻帶（統(tǒng)計意義下的區(qū)間），因此，小波分析成功地實現(xiàn)了人們夢寐以求的“頻帶信息的點處理方式”；在(a,b)-W(a,b)給出的二維小波譜空間，二進離散小波譜點的分布規(guī)律可以用AppendixCFig.3.

加以說明。

一點評論正交小波變換譜的完全吸收性為小波變換的理論分析、數值38AppendixCFig.3.

正交小波的點譜吸收特性0123456789101112131415012345670123010AppendixCFig.3.

正交小波的點譜吸收特性039§3.正交小波和多分辨分析

(OrthonormalWaveletandMultiresolutionAnalysis)多分辨分析：上的一列閉的線性子空間和一個函數共同稱為一個多分辨分析，如果它們滿足如下的五個要求：3.1.多分辨分析(MultiresolutionAnalysis)§3.正交小波和多分辨分析

(OrthonormalWa40多分辨分析2.唯一性公理：3.稠密性公理：4.伸縮性公理：(39)(40)(41)5.構造性公理：(42)生成V0的標準正交基。其中的函數稱為尺度函數(ScaleFunction)。1.單調性公理：(38)多分辨分析2.唯一性公理：3.稠密性公理：4.伸縮性公理：(41圖像的多分辨分析多分辨分析(MultiresolutionAnalysis)方法，在計算機科學和信號處理中，特別是在圖像分析中，通常稱為多尺度分析方法(MultiscaleAnalysis)

，在小波分析建立之前就已經得到了一些理論研究和應用，這推動了小波變換理論的產生和完善。實際上，信號f(x)在子空間Vk上的正交投影fk(x)是圖像的多分辨分析多分辨分析(Multiresolution42圖像的多分辨分析（續(xù)）正交投影fk(x)正好是原象f(x)在一定的分辨率之下的模糊象，公式(40)說明，當分辨率足夠高時，模糊象和原象重合，即

因此，對fk(x)的分析實際是對原象的多種分辨率的分析。多分辨分析的困難在于如何從低分辨率的模糊象有效地添加恰當的細節(jié)，得到正確的高分辨率下的模糊象。這些問題的研究都屬于多分辨分析的范圍。

圖像的多分辨分析（續(xù)）正交投影fk(x)正好是原象f(x)在433.2.

小波構造

(Y.MeyerandS.Mallat,1988)稱之為尺度方程。系數列叫低通濾波系數。

如果和函數是一個多分辨分析，那么，必然存在一列系數，使得(43)3.2.小波構造

(Y.MeyerandS.Mall44構造定理

(Y.MeyerandS.Mallat,1988)令，并構造(44)

是L2(R)的標準正交基則有如下結論:(45)

是Vk在Vk+1中的正交補構造定理

(Y.MeyerandS.Mallat,1945構造定理的延伸結果(46)(47)(49)

(48)構造定理的延伸結果(46)(47)(49)(48)46§4.多分辨分析和金字塔算法

(MultiresolutionAnalysisandPyramidAlgorithms)4.0.記號（Notation）：分別表示信號的趨勢和波動或者模糊象和細節(jié)(50)§4.多分辨分析和金字塔算法

(Multiresolut474.1.小波分解算法

(DecompositionAlgorithmsofWavelet)(51)4.1.小波分解算法

(DecompositionAl484.2.小波重建算法

(ReconstructionAlgorithmsofWavelet)(52)

4.2.小波重建算法

(ReconstructionA494.3.金字塔算法

(PyramidAlgorithms)(53)

引入記號:它們的幾何意義分別是原信號在子空間Vk和WK上的正交投影，且它們是相互正交的。由多分辨分析的意義可得

(54)4.3.金字塔算法

(PyramidAlgorith504.3.1.分解金字塔算法

(DecompositionPyramidAlgorithms)信號的分解(DecompositionofSignal)

4.3.1.分解金字塔算法

(Decomposition51空間的分解空間的分解(DecompositionofTheSubspace)

空間的分解空間的分解52系數的分解系數的分解(DecompositionofTheCoefficients)

系數的分解系數的分解534.3.2.重建金字塔算法

(ReconstructionPyramidAlgorithms)信號的重建(ReconstructionofSignal)

4.3.2.重建金字塔算法

(Reconstruction54空間的重建空間的重建(ReconstructionofSubspace)

空間的重建空間的重建55系數的重建

系數的重建(ReconstructionofTheCoeffients)系數的重建

系數的重建56信號的小波分解和合成算法信號的小波分解和合成算法57有限數字信號的高低通濾波器有限數字信號的高低通濾波器58矩陣分解算法矩陣分解算法59矩陣合成算法矩陣合成算法60有限數字信號的小波變換編碼有限數字信號的小波變換編碼61數字信號小波編碼數據量關系數字信號小波編碼數據量關系62小波應用基本模式小波應用基本模式63數字圖像二維小波編碼數字圖像二維小波編碼64數字圖像二維小波重建數字圖像二維小波重建65數字圖像的矩陣小波變換數字圖像的矩陣小波變換66§5.Malvar小波

(H.S.Malvar1987）

（R.CoifmanandY.Meyer1991)5.1Malvar小波(H.S.Malvar1987)

選擇窗口函數滿足如下要求：

時時§5.Malvar小波

(H.S.Malvar1987）

67Malvar小波基構造Malvar小波基是函數族

(55)Malvar小波基構造Malvar小波基是函數族(55)68說明容易驗證，上述函數族構成L2(R)的標準正交基。一般稱這個函數族的小波為Malvar小波。Malvar小波和離散余弦變換(DCT)、離散正弦變換(DST)有許多相似之處，根本的差別在于，Malvar小波是真正局部化了的離散余弦變換和離散正弦變換分析，同時，它還具有變換結果的遞推數值算法。

說明容易驗證，上述函數族構成L2(R)的標準正交基。一般稱這69讓人們驚奇的是，物理學家K.Wilson和數學家I.Daubechies也得到了極其相似的結果。但是，他們兩人和Malvar的工作之間并沒有必然的邏輯的關系。K.Wilson的想法是，對于實數軸的長度是2的等長劃分，按照各個區(qū)間的奇偶變化，分別輪番使用離散余弦變換和離散正弦變換進行信號分析；I.Daubechies的想法是，不僅如此，而且必須加以局部化，局部化因子是同一個函數的2倍整數平移，只不過要求函數和它的Fourier變換都是指數衰減的并使得前述函數族構成的標準正交基。讓人們驚奇的是，物理學家K.Wilson和數學家I.Daub705.2Malvar小波

(R.CoifmanandY.Meyer1991)

選擇和并構造窗口函數列滿足:

5.2Malvar小波

(R.Coifmanand71窗函數的構造實際上，函數本質上是區(qū)間的特征函數的光滑化

窗函數的構造實際上，函數本質上是區(qū)間72AppendixDFig.4.

窗函數的形狀示意圖Ak-1AkAk+1Ak+kAk-kAk+1-k+1k(t)k-1(t)AppendixDFig.4.

窗函數的形狀示意圖Ak-73第一類Malvar小波基第一類Malvar小波為：(56)

第一類Malvar小波基第一類Malvar小波為：(56)74第二類Malvar小波基第二類Malvar小波基為(57)

第二類Malvar小波基第二類Malvar小波基為(57)75§6.小波包(WaveletPackets)

(R.CoifmanandY.MeyerandM.V.Wickerhauser1992)

設和是一個多分辨分析且(43)和(44)成立。記6.1正交小波包(OrthonormalWaveletPackets)§6.小波包(WaveletPackets)

(R.C76正交小波包的定義遞推定義的函數族(58)(59)k是整數，m是自然數。稱之為小波包。引入記號正交小波包的定義遞推定義的函數族(58)(59)k是整數，m77正交小波包定理正交小波包定理(CoifmanandMeyerandWickerhauser92’)空間構造是的標準正交基空間關系

(60)特殊空間關系正交小波包定理正交小波包定理78正交小波包的空間分割小波包實現(xiàn)小波空間的再分割正交小波包的空間分割小波包實現(xiàn)小波空間的再分割796.2．小波包和時-頻分析

(WaveletPacketsand

itsTime-FrequencyAnalysis)利用正交小波的構造定理可知，子空間Wk是Vk在Vk+1中的正交補：

同時，根據小波的時-頻分析特性，可得下列關系:

6.2．小波包和時-頻分析

(WaveletPackets80正交小波實現(xiàn)有限頻帶的二進分割正交小波實現(xiàn)有限頻帶的二進分割81正交小波實現(xiàn)全頻域的二進分割正交小波實現(xiàn)全頻域的二進分割82正交小波包對二進頻帶的等分割（62）正交小波包對二進頻帶的等分割（62）83AppendixEFig.5.

小波包的完全頻帶分割特性0123456789101112131415012345670123010AppendixEFig.5.

小波包的完全頻帶分割特性84小波包的Mallat算法數字信號的小波包分解小波包的Mallat算法數字信號的小波包分解85數字信號的小波包分解數字信號的小波包分解86數字圖像的小波包分解數字圖像的小波包分解87AppendixFFig.6.

圖片的小波包分解示意圖AppendixFFig.6.

圖片的小波包分解示意圖88§7.總結和展望將前述小波工具歸納如下：

連續(xù)小波變換分析法二進小波變換分析法;正交小波變換分析法;Malvar類小波分析法;小波包頻域再分割法?！?.總結和展望將前述小波工具歸納如下：連續(xù)小波變換分89最后的幾點說明（一）1.上述工具中，前三種即連續(xù)、二進和正交小波分析，從分析和處理問題的過程來看，與Fourier分析頗為相似，不過在某些方面更加優(yōu)越，比如，正交小波本身具備的多分辨率分析的含義以及連續(xù)頻帶“點”吸收的二進離散化技巧等等但因為它與Fourier分析比較相似，所以在應用中使用得就比后面的兩種方法要多得多；

最后的幾點說明（一）1.上述工具中，前三種即連續(xù)、二進和正交902.Malvar類小波分析完全有別于經典的Fourier分析，真正實現(xiàn)嚴格意義下的局部化，而且，頻率也是嚴格意義下的Fourier頻率或經典的線性頻率，同時，它還具有快速的遞推算法。從理論上突破了統(tǒng)計局部化以及時-頻分析的非線性頻率含義，數值計算的快速算法又奠定了數字信號處理的計算基礎。因此，Malvar類小波分析為數字信號的分析和處理提供了嶄新的分析工具,特別是在信號的最優(yōu)描述的搜索算法方面，Malvar小波分析提供了最優(yōu)算法；最后的幾點說明（二）2.Malvar類小波分析完全有別于經典的Fourier913.小波包工具可以認為是小波分析獨創(chuàng)地為科學研究和工程技術應用研究提供的讓人頗感意外的新鮮工具，它那種統(tǒng)計意義下和嚴格意義下的頻域再分割的巧妙思想和優(yōu)美的遞推計算方法，讓人們幾乎不敢相信

同時，理解和使用起來也更加困難。這正是小波包分析現(xiàn)在使用得比較少的主要原因。

完最后的幾點說明（三）3.小波包工具可以認為是小波分析獨創(chuàng)地為科學研究和工程技術921.1

小波(Wavelet)小波就是空間L2(R)中滿足下述條件的函數或者信號:這時，也稱為小波母函數，(2)稱為容許性條件。（1）（2）1.1小波(Wavelet)小波就是空間L2(R)中滿93連續(xù)小波函數：為由小波母函數生成的依賴于參數（a,b）的連續(xù)小波，簡稱為小波。

（3）連續(xù)小波函數：為由小波母函數生成的依賴于參數94注釋注釋：如果小波母函數的Fourier

變換在原點是連續(xù)的，那么公式(2)說明，于是這說明函數有波動的特點，公式(1)又說明函數有衰減的特點，因此，稱函數為“小波”。

注釋注釋：如果小波母函數的Fourier于951.2

小波變換(WaveletTransform)對于任意的函數或者信號，其小波變換為（4）1.2小波變換(WaveletTransform)對于任96性質這樣定義的小波變換具有下列性質：Plancherel恒等式：小波變換的逆變換公式：（5）（6）性質這樣定義的小波變換具有下列性質：Plancherel恒等97性質吸收公式：當吸收條件成立時，有吸收的Plancherel恒等式（7）（8）性質吸收公式：當吸收條件成立時，有吸收的Planchere98性質吸收的逆變換公式（9）性質吸收的逆變換公式（9）991.3.二進小波和二進小波變換

(DyadicWaveletTransform)

如果小波函數滿足穩(wěn)定性條件

(10)則稱為二進小波，對于任意的整數k,記(11)1.3.二進小波和二進小波變換

(DyadicWavele100逆變換對于任意的，其二進小波變換為：

這時，逆變換公式是

（12）（13）逆變換對于任意的，101重構小波其中的Fourier變換滿足稱為二進小波的重構小波，比如可?。?/p>

（14）（15）重構小波其中的Fourier變換滿足稱為102設小波為，對于任意的整數k和j，記1.4.正交小波和小波級數

(OrthonormalWavelet)

構成空間的標準正交基，則稱是正交小波。

如果函數族(16)(17)設小波為，對于任意的整數k和j，記1.103小波級數這時，逆變換公式就是小波級數(18)

其中小波系數的算法是(19)小波級數這時，逆變換公式就是小波級數104連續(xù)和離散統(tǒng)一上的取值，因此，小波系數實際上是信號f(x)的離散小波變換。其實，這也是小波變換迷人的風采之一：

小波系數是信號f(x)的小波變換在二進離散點(20)連續(xù)變換和離散變換形式統(tǒng)一；連續(xù)變換和離散變換都適合全體信號；

連續(xù)和離散統(tǒng)一上的取值，因此，小波系數實際上是105§2.小波分析和時-頻分析

(Time-FrequencyAnalysis)2.1窗口Fourier變換和Gabor變換(WindowedFourierTransformandGaborTransform)

D.Gabor在1946年開創(chuàng)時-頻分析的先河提出GaborTransform一般的時-頻分析是WindowedFourierTransformShort-TimeFourierTransform§2.小波分析和時-頻分析

(Time-Frequenc106WindowedFourierTransform稱為信號的窗口Fourier變換，其中的函數稱為窗口函數，一般要求是：具體地(21)WindowedFourierTransform稱為信號107GaborTransformD.Gabor取(22)是Gaussian函數，對應的變換稱為Gabor變換(1946)。對于Gabor變換，存在如下的頻率再分割公式：(23)GaborTransformD.Gabor取(22)是Ga108物理解釋Gabor變換是信號在x=x0點“附近”的頻率為的頻率成分；只要把信號在各個時間點“附近”的頻率為的頻率成分全部累加起來，理所當然就應該是這個信號的頻率為的頻率成分；Gabor變換可以認為是信號f(x)的另一種等價描述(因為Fourier變換是信號的等價描述)物理解釋Gabor變換109局限Gabor變換沒有“好”的（即可以構成標架或者正交基）離散形式；Gabor變換沒有快速算法：比如沒有類似于離散Fourier變換之FFT的快速數值算法；

遺憾的是，Gabor變換存在如下局限：局限Gabor變換沒有“好”的（即可以構成標架或者正交基）離110

AppendixAFig.1.

Gabor變換的固定時-頻窗口t00t1t1AppendixAFig.1.

Gabor變換的固定1112.2.時-頻分析

(Time-FrequencyAnalysis）時-頻分析本質上是信號描述、分析和處理的一種方法，它給信號的“最優(yōu)描述問題”提供一種解決方案。R.Balian(1981)早在八十年代就清清楚楚地描述了這個問題：在通訊理論中，人們對于在給定的時間內，把一個信號表示成“每一個都同時具有足夠確定的位置及頻率的諧波”的疊加這種信號的描述方法極感興趣

2.2.時-頻分析

(Time-FrequencyAn112最優(yōu)描述問題有用的信息總是同時被所發(fā)射信號的頻率特性與信號的時間結構所傳遞，最好的例子是演奏音樂；把信號表成時間的函數其頻率特征無法突出，而Fourier分析又無法標定各個分量發(fā)射的瞬時位置和持續(xù)時間；“最優(yōu)描述”應該綜合這兩種描述的優(yōu)點，并用一個離散的刻畫來表示，以適應信息理論和計算機處理的需要。

最優(yōu)描述問題有用的信息總是同時被所發(fā)射信號的頻率特性與信號的113Wigner分布函數Wigner分布函數是信號時-頻分析的另一種具體的解決途徑。信號f(x)的Wigner分布函數是著名理論物理學家E.P.Wigner在1932年提出來的，定義是：(24)

顯然，這是一個實的二元函數。Wigner分布函數Wigner分布函數是信號時-頻分析的另114性質Wigner分布函數有如下性質：(25)(26)(27)性質Wigner分布函數有如下性質：(25)(26)(27)115Wigner分布函數的物理意義Wigner分布函數的Plancherel恒等式成立；Wigner分布函數標明信號的瞬時頻率的位置；Wigner分布函數標明信號的瞬時位置的頻率。在能量的意義下，Wigner分布函數的物理意義是：Wigner分布函數的物理意義在能量的意義下，Wigner分116Wigner分布函數理論的局限Wigner分布函數的三個局限：

Wigner分布函數只記憶信號的部分信息；Wigner分布函數沒有有效的重建算法；Wigner分布函數的“瞬時”是漸近意義的。

Wigner分布函數理論的局限Wigner分布函數的三個局限1172.3.

小波的時-頻分析

(Wavelet’sTime-FrequencyAnalysis)

小波變換是一種時-頻描述，它的信息記憶是完全的，是一種等價的變換描述，具有獨特的時—頻分析性質。引入記號：

(28)中心半徑(29)2.3.小波的時-頻分析

(Wavelet’sTime-118對于，如果滿足條件:窗口函數及說明則稱之為窗口函數，和分別稱為它的時間中心和時間半徑，而和分別稱為它的譜中心和譜半徑。

說明：中心和半徑是下述分布的期望和均方差對于，如果滿足條119小波的時-頻中心與半徑2.3.2.小波的時-頻半徑2.3.1.小波的時-頻中心（29）（30）小波的時-頻中心與半徑2.3.2.小波的時-頻半徑2.3.1202.3.3.小波的時-頻窗

(32)2.3.3.小波的時-頻窗(32)121AppendixBFig.2.

小波在時-頻相平面上的窗t00t12t1AppendixBFig.2.

小波在時-頻相平面上的窗1222.3.4.小波的時-頻特性小波時-頻窗的面積恒等于；小波的時-頻窗是時-頻相平面中的可變的矩形；小波時-頻窗的變化規(guī)律：

（1）尺度參數a增大時，小波的時窗變寬，同時，它的主頻變低，頻窗變窄；（2）尺度參數a減小時，小波的時窗變窄，同時，它的主頻變高，頻窗變寬；

2.3.4.小波的時-頻特性小波時-頻窗的面積恒等于123小波的頻率分辨率小波分析具有固定的相對頻率分辨率(33)

主頻變低時，頻窗變窄，頻率分辨率提高；主頻變高時，頻窗變寬，頻率分辨率降低；高頻時出現(xiàn)較低的頻率分辨率（難題?。?/p>

小波的頻率分辨率小波分析具有固定的相對頻率分辨率124小波的頻帶特性

(1)小波變換處理頻域的方式完全不同于經典的Fourier變換，任何小波本質上都是以頻帶的形式出現(xiàn)在頻域中，這樣避免了許多理論和計算上的麻煩；(2)二進小波頻域劃分的特色：將參數a按二進方式離散化為選擇二進小波滿足小波的頻帶特性(1)小波變換處理頻域的方式完全不同于經典的125二進小波的主頻是二進小波的分頻特性

(34)所在的頻帶是當k取遍全體整數時，這些頻帶正好分離覆蓋正頻軸，即這就是著名的二進小波頻帶劃分技術。二進小波1262.4.正交小波的時-頻分析

OrthonormalWavelet’sTime-FrequencyAnalysis對于正交小波，(35)

其中系數是是一個標準正交基，所以，對于任何信號f(X)，可以展開成小波級數：

(36)2.4.正交小波的時-頻分析

OrthonormalW127正交小波的吸收譜由小波變換的定義可知，正交小波級數的系數正好是信號f(x)的小波變換在二進離散點：(37)上的取值。這說明：對于正交小波來說，任何信號在二進離散點上的小波變換包含了它的小波變換的全部信息，所以正交小波具有優(yōu)美的譜吸收特點。正交小波的吸收譜由小波變換的定義可知，正交小波級數的系數128小波變換與Fourier變換Fourier變換：對于任何信號f(x)，只有當它是時間有限時，它的譜F()(Fourier變換)才是頻率吸收的；反過來，只有當它是頻域有限時，f(x)才是時間吸收的;小波變換:對于正交小波分析來說，任何信號的正交小波譜都是譜吸收的，即二維小波譜所包含的信息完全被二進離散點上的譜吸收。小波變換與Fourier變換Fourier變換：小波變換:129一點評論正交小波變換譜的完全吸收性為小波變換的理論分析、數值計算和各種應用提供了極大的方便。同時，這些離散的小波譜點，本質上意味著時-頻分析中頻譜分析的頻帶（統(tǒng)計意義下的區(qū)間），因此，小波分析成功地實現(xiàn)了人們夢寐以求的“頻帶信息的點處理方式”；在(a,b)-W(a,b)給出的二維小波譜空間，二進離散小波譜點的分布規(guī)律可以用AppendixCFig.3.

加以說明。

一點評論正交小波變換譜的完全吸收性為小波變換的理論分析、數值130AppendixCFig.3.

正交小波的點譜吸收特性0123456789101112131415012345670123010AppendixCFig.3.

正交小波的點譜吸收特性0131§3.正交小波和多分辨分析

(OrthonormalWaveletandMultiresolutionAnalysis)多分辨分析：上的一列閉的線性子空間和一個函數共同稱為一個多分辨分析，如果它們滿足如下的五個要求：3.1.多分辨分析(MultiresolutionAnalysis)§3.正交小波和多分辨分析

(OrthonormalWa132多分辨分析2.唯一性公理：3.稠密性公理：4.伸縮性公理：(39)(40)(41)5.構造性公理：(42)生成V0的標準正交基。其中的函數稱為尺度函數(ScaleFunction)。1.單調性公理：(38)多分辨分析2.唯一性公理：3.稠密性公理：4.伸縮性公理：(133圖像的多分辨分析多分辨分析(MultiresolutionAnalysis)方法，在計算機科學和信號處理中，特別是在圖像分析中，通常稱為多尺度分析方法(MultiscaleAnalysis)

，在小波分析建立之前就已經得到了一些理論研究和應用，這推動了小波變換理論的產生和完善。實際上，信號f(x)在子空間Vk上的正交投影fk(x)是圖像的多分辨分析多分辨分析(Multiresolution134圖像的多分辨分析（續(xù)）正交投影fk(x)正好是原象f(x)在一定的分辨率之下的模糊象，公式(40)說明，當分辨率足夠高時，模糊象和原象重合，即

因此，對fk(x)的分析實際是對原象的多種分辨率的分析。多分辨分析的困難在于如何從低分辨率的模糊象有效地添加恰當的細節(jié)，得到正確的高分辨率下的模糊象。這些問題的研究都屬于多分辨分析的范圍。

圖像的多分辨分析（續(xù)）正交投影fk(x)正好是原象f(x)在1353.2.

小波構造

(Y.MeyerandS.Mallat,1988)稱之為尺度方程。系數列叫低通濾波系數。

如果和函數是一個多分辨分析，那么，必然存在一列系數，使得(43)3.2.小波構造

(Y.MeyerandS.Mall136構造定理

(Y.MeyerandS.Mallat,1988)令，并構造(44)

是L2(R)的標準正交基則有如下結論:(45)

是Vk在Vk+1中的正交補構造定理

(Y.MeyerandS.Mallat,19137構造定理的延伸結果(46)(47)(49)

(48)構造定理的延伸結果(46)(47)(49)(48)138§4.多分辨分析和金字塔算法

(MultiresolutionAnalysisandPyramidAlgorithms)4.0.記號（Notation）：分別表示信號的趨勢和波動或者模糊象和細節(jié)(50)§4.多分辨分析和金字塔算法

(Multiresolut1394.1.小波分解算法

(DecompositionAlgorithmsofWavelet)(51)4.1.小波分解算法

(DecompositionAl1404.2.小波重建算法

(ReconstructionAlgorithmsofWavelet)(52)

4.2.小波重建算法

(ReconstructionA1414.3.金字塔算法

(PyramidAlgorithms)(53)

引入記號:它們的幾何意義分別是原信號在子空間Vk和WK上的正交投影，且它們是相互正交的。由多分辨分析的意義可得

(54)4.3.金字塔算法

(PyramidAlgorith1424.3.1.分解金字塔算法

(DecompositionPyramidAlgorithms)信號的分解(DecompositionofSignal)

4.3.1.分解金字塔算法

(Decomposition143空間的分解空間的分解(DecompositionofTheSubspace)

空間的分解空間的分解144系數的分解系數的分解(DecompositionofTheCoefficients)

系數的分解系數的分解1454.3.2.重建金字塔算法

(ReconstructionPyramidAlgorithms)信號的重建(ReconstructionofSignal)

4.3.2.重建金字塔算法

(Reconstruction146空間的重建空間的重建(ReconstructionofSubspace)

空間的重建空間的重建147系數的重建

系數的重建(ReconstructionofTheCoeffients)系數的重建

系數的重建148信號的小波分解和合成算法信號的小波分解和合成算法149有限數字信號的高低通濾波器有限數字信號的高低通濾波器150矩陣分解算法矩陣分解算法151矩陣合成算法矩陣合成算法152有限數字信號的小波變換編碼有限數字信號的小波變換編碼153數字信號小波編碼數據量關系數字信號小波編碼數據量關系154小波應用基本模式小波應用基本模式155數字圖像二維小波編碼數字圖像二維小波編碼156數字圖像二維小波重建數字圖像二維小波重建157數字圖像的矩陣小波變換數字圖像的矩陣小波變換158§5.Malvar小波

(H.S.Malvar1987）

（R.CoifmanandY.Meyer1991)5.1Malvar小波(H.S.Malvar1987)

選擇窗口函數滿足如下要求：

時時§5.Malvar小波

(H.S.Malvar1987）

159Malvar小波基構造Malvar小波基是函數族

(55)Malvar小波基構造Malvar小波基是函數族(55)160說明容易驗證，上述函數族構成L2(R)的標準正交基。一般稱這個函數族的小波為Malvar小波。Malvar小波和離散余弦變換(DCT)、離散正弦變換(DST)有許多相似之處，根本的差別在于，Malvar小波是真正局部化了的離散余弦變換和離散正弦變換分析，同時，它還具有變換結果的遞推數值算法。

說明容易驗證，上述函數族構成L2(R)的標準正交基。一般稱這161讓人們驚奇的是，物理學家K.Wilson和數學家I.Daubechies也得到了極其相似的結果。但是，他們兩人和Malvar的工作之間并沒有必然的邏輯的關系。K.Wilson的想法是，對于實數軸的長度是2的等長劃分，按照各個區(qū)間的奇偶變化，分別輪番使用離散余弦變換和離散正弦變換進行信號分析；I.Daubechies的想法是，不僅如此，而且必須加以局部化，局部化因子是同一個函數的2倍整數平移，只不過要求函數和它的Fourier變換都是指數衰減的并使得前述函數族構成的標準正交基。讓人們驚奇的是，物理學家K.Wilson和數學家I.Daub1625.2Malvar小波

(R.CoifmanandY.Meyer1991)

選擇和并構造窗口