北理工 概率論 田第3講(2012)課件

§1.7全概率公式與Bayes一.

全概率公式在概率論中常常會(huì)遇到一些較復(fù)雜的事件。這就提出如下問(wèn)題：復(fù)雜事件A的概率如何求？A1A2A3A4A5A6A7A8B定義

設(shè)S為試驗(yàn)E的樣本空間，A1,…An為E的一組事件。若（1）A1,…An互不相容，i=1,…,n

（2）則稱A1,…,An為樣本空間S的一個(gè)劃分，也稱A1,…,An

是完備事件組。定理上式稱為全概率公式

設(shè)S為試驗(yàn)E的樣本空間，B

為E的事件，A1,…,An為S的一個(gè)劃分，且P(Ai)>0,i=1,…,n,則全概率公式可以做如下推廣:A1,…,An互不相容,且P(Ai)>0,i=1,…,n,則有

一個(gè)經(jīng)常使用的全概率公式:設(shè)0<P(A)<1,則有

例1

有三個(gè)箱子，分別編號(hào)為1,2,3，1號(hào)箱裝有1個(gè)紅球4個(gè)白球，2號(hào)箱裝有2紅3白球，3號(hào)箱裝有3紅球.某人從三箱中任取一箱，從中任意摸出一球，求取得紅球的概率.解：記

B={取得紅球}

B=

BA1+BA2+BA3，

且BA1、BA2、BA3兩兩互斥P(B)=P(BA1)+P(BA2)+P(BA3)運(yùn)用加法公式得123Ai={球取自i號(hào)箱},

i=1,2,3;對(duì)求和中的每一項(xiàng)運(yùn)用乘法公式得代入數(shù)據(jù)計(jì)算得：P(B)=8/15P(B)=P(BA1)+P(BA2)+P(BA3)123記

B={取得紅球}Ai={球取自i號(hào)箱}，i=1,2,3例2

發(fā)報(bào)機(jī)發(fā)出“.”的概率為0.60，發(fā)出“—”的概率為0.40；收?qǐng)?bào)機(jī)將“.”收為“.”的概率為0.99，將“—”收為“.”的概率為0.02。求收?qǐng)?bào)機(jī)將任一信號(hào)收為“.”的概率

解：記

B={收?qǐng)?bào)機(jī)收到“.”}且B=

BA1+BA2，BA1與BA2兩兩互斥P(B)=P(BA1)+P(BA2)A1={發(fā)報(bào)機(jī)發(fā)出“.”},A2={發(fā)報(bào)機(jī)發(fā)出“—”},例3.

在調(diào)查家庭暴力所占家庭的比例p

時(shí),被調(diào)查者往往不愿回答真相.為得到實(shí)際的p同時(shí)又不侵犯?jìng)€(gè)人隱私,調(diào)查人員將袋中放入比例是p0的紅球和比例是q0=1p0的白球.被調(diào)查者在袋中任取一球窺視后放回,并承諾取得紅球就講真話,取到白球就講假話.被調(diào)查者只需在匿名調(diào)查表中選“是”(有家庭暴力)或“否”，然后將表放入投票箱.如果聲稱有家庭暴力的家庭比例是p1,求p.解：對(duì)任選的一個(gè)家庭,用B表示回答“是”,用A表示實(shí)際“是”。

利用全概率公式得到于是只要p0q0，則在實(shí)際問(wèn)題中，p1是未知的,需要經(jīng)過(guò)調(diào)查得到.假定調(diào)查了n個(gè)家庭,其中有k個(gè)家庭回答“是”,則可以用近似p1。由此如果袋中裝有30個(gè)紅球，50個(gè)白球，調(diào)查了320個(gè)家庭，其中有195個(gè)家庭回答“是”，則于是

p0=3/8

q0=5/8可以證明|p0-q0|越大,得到的結(jié)論越可靠.但是|p0-q0|越大,調(diào)查方案越不易被被調(diào)查者接受。例4.

據(jù)美國(guó)一份資料報(bào)導(dǎo)，在美國(guó)總的來(lái)說(shuō)患肺癌的概率是0.1%，在人群中有20%是吸煙者，他們患肺癌的概率約為0.4%.求不吸煙者患肺癌的概率.解:

設(shè)A=有肺癌,B=吸煙,則

P(A)=0.001,P(B)=0.20,P(A|B)=0.004,由全概率公式有代入數(shù)據(jù)有于是記Ai={球取自i號(hào)箱},i=1,2,3;

B={取得紅球}求P(A1|B)運(yùn)用全概率公式計(jì)算P(B)將這里得到的公式一般化，就得到1231紅4白?二.貝葉斯公式定理設(shè)S為試驗(yàn)E的樣本空間，B

為E的事件，A1,…An為S的一個(gè)劃分，且P(Ai)>0,i=1,…,n,

P(B)>0，則有Byesian公式可以做如下推廣:A1,…,An互不相容,且P(Ai)>0,i=1,…,n,P(B)>0則有

一個(gè)經(jīng)常使用的全概率公式:設(shè)0<P(A)<1,P(B)>0,則有

在不了解案情細(xì)節(jié)(事件A)之前，偵破人員根據(jù)過(guò)去的前科，對(duì)他們作案的可能性有一個(gè)估計(jì)，設(shè)為原來(lái)認(rèn)為作案可能性較小的某甲，現(xiàn)在可能變成了重點(diǎn)嫌疑犯.例如，某地發(fā)生了一個(gè)案件，懷疑對(duì)象有甲、乙、丙三人.甲乙丙P(B1)P(B2)P(B3)但在知道案情細(xì)節(jié)后,這個(gè)估計(jì)就有了變化.P(B1|A)知道A發(fā)生后P(B2

|A)P(B3|A)最大偏小例6.

對(duì)以往數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明，當(dāng)機(jī)器調(diào)整得良好時(shí)，產(chǎn)品的合格品率為98%。當(dāng)機(jī)器發(fā)生某種故障時(shí)，產(chǎn)品的合格品率為55%。根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，每天早上機(jī)器開動(dòng)時(shí)，機(jī)器調(diào)整良好的概率為95%。這一日早上生產(chǎn)了一件產(chǎn)品，發(fā)現(xiàn)是合格品，問(wèn)該日機(jī)器調(diào)整良好的概率是多少？解：記

A={生產(chǎn)了一件合格品}B1={機(jī)器調(diào)整良好},B2={機(jī)器發(fā)生某種故障},例6.

對(duì)以往數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明，當(dāng)機(jī)器調(diào)整得良好時(shí)，產(chǎn)品的合格品率為98%。當(dāng)機(jī)器發(fā)生某種故障時(shí)，產(chǎn)品的合格品率為55%。根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，每天早上機(jī)器開動(dòng)時(shí)，機(jī)器調(diào)整良好的概率為95%。這一日早上生產(chǎn)了一件產(chǎn)品，發(fā)現(xiàn)是合格品，問(wèn)該日機(jī)器調(diào)整良好的概率是多少？例7.P(B1)=0.0004,P(B2)=0.9996。P

(A|B1)=0.99，P(A|B2)=0.05。求P(B1|A)例8(吸煙與肺癌問(wèn)題)1950年某地區(qū)曾對(duì)50-60歲的男性公民進(jìn)行調(diào)查.肺癌病人中吸煙的比例是99.7,無(wú)肺癌人中吸煙的比例是95.8.如果整個(gè)人群的發(fā)病率是

p=10-4.求吸煙人群中的肺癌發(fā)病率和不吸煙人群中的肺癌發(fā)病率.解:

設(shè)A=有肺癌,B=吸煙,則

P(A)=10-4,P