初中數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)第二十八章銳角三角函數(shù)新九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《銳角三角函數(shù)》鞏固與提升張

目標(biāo)CompanyLogo1.進(jìn)一步鞏固銳角三角函數(shù)的定義，熟記特殊銳角的三角函數(shù)值，能解不同條件下的直角三角形，能通過解直角三角形解決生活中數(shù)學(xué)問題;加強(qiáng)與其它知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用并適當(dāng)進(jìn)行拓展提升，提高數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí).

2.銳角三角函數(shù)的定義、解直角三角形和綜合運(yùn)用是重點(diǎn)，綜合運(yùn)用是難點(diǎn).3.經(jīng)歷探索知識(shí)過程，感受數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活；體驗(yàn)成功，建立數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心.三角函數(shù)定義一.定義：銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數(shù)．1.sinA，cosA，tanA是在直角三角形中定義的,∠A是一個(gè)銳角；2.sinA，cosA，tanA中常省去角的符號(hào)“∠”，但∠BAC的正弦、余弦和正切表示為:sin∠BAC，cos∠BAC，tan∠BAC;∠1的正弦、余弦和正切表示為:sin∠1，cos∠1，tan∠1；3.sinA，cosA，tanA沒有單位，它表示一個(gè)比值；4.sinA，cosA，tanA是一個(gè)完整的符號(hào)，不表示“sin”,“cos”,“tan”乘以“A”；5.sinA，cosA，tanA的大小只與∠A的大小有關(guān),而與直角三角形的邊長(zhǎng)沒有必然的關(guān)系.溫馨提示第一部分銳角三角函數(shù)30°45°60°正弦sinα余弦cosα正切tanα圖示法口訣法“一、二、三，三、二、一，三、九、二十七;弦是二，切是三，分子根號(hào)不能刪.特殊銳角值二.特殊銳角的三角函數(shù)值拓展延伸如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°⑴.

sinA=cosB，sinB=cosA⑶.sin2A+cos2A=1

sinA,cosA,tanA是∠A的函數(shù)；在銳角的范圍內(nèi)，∠A的正弦值、正切值隨著角度增大而增大，余弦值隨著角度的增大而減小.⑵.三.拓展延伸1.銳角三角函數(shù)的增減性2.互余角和同角的三角函數(shù)關(guān)系一個(gè)銳角的正弦值等于這個(gè)角余角的余弦值.一個(gè)銳角的正切值等于這個(gè)角的正弦值與其余弦值的商.一個(gè)銳角的正弦值與其余弦值的平方和等于1.常用關(guān)系1.如圖，在Rt△ACB中，∠C=90°;∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別為a、b、c.⑴.三邊之間的關(guān)系：（勾股定理）⑵.兩銳角之間的關(guān)系：（直角三角形兩銳角互余）⑶.邊角之間的關(guān)系：利用上面這些關(guān)系，可以“知二求三”（直角除外，已知中至少要有一條邊）.2.解直角三角形基本類型⑴.已知兩邊：①.已知兩直角邊；②.已知一直角邊和斜邊.⑵.已知一角一邊：①.已知一銳角和一直角邊；②.已知一銳角和斜邊.解答時(shí)請(qǐng)注意“有斜用弦，無斜用切”.

第二部分解直角三角形一.常用關(guān)系基本類型二.列表歸納解直角三角形的基本類型圖示和條件解答路徑參考已知兩邊已知兩直角邊已知一直角邊和一斜邊已知一邊一銳角已知一銳角和一直角邊已知一銳角和一斜邊關(guān)聯(lián)概念◆坡度如圖，斜坡的坡角α（見圖標(biāo)示）對(duì)應(yīng)的鉛直高度h與水平寬度l的比，叫做這個(gè)斜坡的坡度.常記為i=m:n的形式.①.坡度不是坡角的度數(shù)；②.坡度等于坡角的正切值.水平線鉛垂線水平線視線視線仰角俯角從上往下看，視線與水平線的夾角叫做俯角.從下向上看，視線與水平線的夾角叫做仰角；三.應(yīng)用關(guān)聯(lián)概念◆仰角·俯角應(yīng)用步驟◆利用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問題的一般過程1.將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題;(畫出平面圖形,轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題)2.根據(jù)條件的特點(diǎn),適當(dāng)選用銳角三角函數(shù)等去解直角三角形;3.得到數(shù)學(xué)問題的答案;4.得到實(shí)際問題的答案.◆解直角三角形實(shí)際應(yīng)用的常見基本圖形四.應(yīng)用步驟和基本圖形總結(jié)典例1CompanyLogo例1.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6，;試分別求出AC、AB的值.分析：本題是根據(jù)正弦函數(shù)值得出AC、AB之間的關(guān)系，利用勾股定理和已知條件聯(lián)系在一起，再利用方程思想使問題獲得解決.略解：∵∴若設(shè)AC=3x,則AB=5x∴又BC=6∴4x=6,則∴典例2CompanyLogo例2.a、b、c為△ABC的三邊，a、b、c滿足等式;且有5a-3c=0.求sinA+sinB的值分析：本題是從a、b、c滿足等式切入，得出△ABC是直角三角形，在直角三角形中利用勾股定理和“5a-3c=0”與“sinA+sinB”建立起聯(lián)系，從而使問題得以解決.略解：∵∴∴∴△ABC是直角三角形∵5a-3c=0∴若設(shè)a=3k,則c=5k∴∴∴∴典例3CompanyLogo例3.如圖，已知AB是半圓O的直徑，D為弧BC的中點(diǎn)，連接BC、DC；若AB=10，CD=6，求cosC的值.分析：要求一個(gè)銳角的三角函數(shù)通常還是要化歸在直角三角形，本題通過作直徑AB的圓周角∠ADB就可以使問題化歸在Rt△ADB來解決.略解：連接AD、BD∵D為弧BC的中點(diǎn)∴BD=CD=6∵AB是半圓O的直徑∴∠ADB=90°∴

∴

∴∠A=∠C∴

典例4CompanyLogo

例3.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°.⑴.求證：sinA=cosB，sinB=cosA⑶.求證：sin2A+cos2A=1⑵.求證：略證：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°∴⑴.⑵.⑶.

結(jié)論

任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值.典例5CompanyLogo例5如圖，在正方形網(wǎng)格中，圓與網(wǎng)格線相切于格點(diǎn)處，其余的條件見圖，根據(jù)圖示求出∠1的度數(shù).（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位.）分析：要直接求∠1的度的正弦值比較困難，但可以通過“同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等”進(jìn)行轉(zhuǎn)化，在把問題化歸在網(wǎng)格構(gòu)成的直角三角形中，用解直角三角形的思路來解決問題.略解：∴

設(shè)網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為單位1，則AC=3,BC=1.在Rt△ACB中，根據(jù)勾股定理有：∴

∴

還有其它途徑求∠1的度數(shù)嗎？

例6.略解：過D作DE⊥AB于E.∴∠AED=∠BED=90°∴

∵∠A=30°，AD=4∵∠ADE=90°-30°=60°，且∠ADB=105°∴∠EDB=105°-60°=45°∵∵在Rt△DCB中有∴∴∠BDC=60°∴∠DBC=30°∴分析：求DC的長(zhǎng)可以化歸在Rt△DCB中，根據(jù)題中條件需求出一邊長(zhǎng)才能解決問題；過D點(diǎn)作△ABD的邊AB的垂線段，通過直角三角形的邊角關(guān)系可以求出BD，問題便解決了.典例6典例7CompanyLogo分析：本題通過第一個(gè)方程可以求出∠A的正弦值，通過第二個(gè)方程可以求出直角三角形斜邊c的長(zhǎng)度；結(jié)合∠A的正弦值可以求出a邊的值，再利用勾股定理b邊的值.略解：由第一個(gè)方程結(jié)合題意可得：整理配方為：解得：由第二個(gè)方程結(jié)合題意可得：解得：或(不合題意，舍去）根據(jù)題意和前面的解答畫出示意圖.∵∠C=90°∴

∴

∵∴

∴

例7.典例8CompanyLogo例8.已知：如圖，在山腳的C處測(cè)得山頂A的仰角為45°，沿著坡角為30°的斜坡前進(jìn)400米到D處（即∠DCB=30°，CD=400米），測(cè)得A的仰角為60°，求山的高度AB．略解:在Rt△ADE中,∠ADE=60°,設(shè)DE=x.在矩形DEBF中，BE=DF=200米;在Rt△ACB中，∠ACB=45°.∴如圖，作DE⊥AB于E，作DF⊥BC于F，在Rt△CDF中∠DCF=30°，CD=400米.∴∴AB=BC典例9CompanyLogo◆坡度如圖，斜坡的坡角α（見圖標(biāo)示）對(duì)應(yīng)的鉛直高度h與水平寬度l的比，叫做這個(gè)斜坡的坡度.常記為i=m:n的形式.①.坡度不是坡角的度數(shù)；②.坡度等于坡角的正切值.例9.如圖,攔水壩的橫斷面為梯形ABCD,左斜面坡度為i=1:1.5，右斜面的坡度為i=1:3，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)求：⑴.求出坡角α和β的度數(shù)；⑵.斜坡AB的長(zhǎng).⑴.∵∴∴同法可求⑵.∵∴∴∴追問：其余條件不變，若壩頂AD=3m,請(qǐng)同學(xué)們求出壩底BD的寬？

水平線追蹤11.在Rt△ABC中，銳角A的對(duì)邊和斜邊同時(shí)擴(kuò)大30倍，sinA的值（）

A.擴(kuò)大30倍B.縮小C.不變D.不能確定C2.在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，則下列的比不等于sinA的是（）D3.在Rt△ABC中，∠C=90°;若AC=9，cosB=0.8,則AB等于（）A4.在Rt△ABC中∠C=90°，已知a邊及∠A，則斜邊應(yīng)為（??）?B5.等腰三角形底邊與底邊上的高的比是2:3，則底角的余弦值為（??）?D6.有一個(gè)角是30°的直角三角形，斜邊為1cm，則斜邊上的高為（??）?C7.在△ABC中,∠C=

.105°8.在Rt△ABC中,斜邊AB=10，，則S△ABC=

.24追蹤29.計(jì)算：10.根據(jù)圖中標(biāo)示計(jì)算：11.如圖，在□ABCD中，連接BD,AD⊥BD,AB=4，；則□ABCD的面積為

．12.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6，;試分別求出AC、AB的值.略解：∵∴若設(shè)AC=3x,則AB=5x∴又BC=6∴4x=6,則∴追蹤3提升1CompanyLogo能力提升不提供參考解答！提升2CompanyLogo新樓居民樓5.如圖，已知AB是半圓O的直徑，D為弧BC的中點(diǎn)，連接BC、DC；若AB=10，CD=6，求cosC的值.6.如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，tanB=cos∠DAC⑴.求證：AC=BD；⑵.若，BC=12，求AD的長(zhǎng).7.在△ABC中，∠C＝90°，，解這個(gè)直角三角形.

8.在山腳C處測(cè)得山頂A的仰角為45°，沿著水平地面向前300米到達(dá)D點(diǎn)，在D點(diǎn)測(cè)得山頂A的仰角為600,求山高AB.

提升3談收獲！CompanyLogo談?wù)勀愕氖斋@！1.定義：銳角