2022高考數(shù)學(xué)：立意新穎界定明確有效區(qū)分-2022全國新高考1卷數(shù)學(xué)評析

全國新高考1卷數(shù)學(xué)評析向功能。有效區(qū)分，讓不同水平的學(xué)生高低立顯。[1]”這是命題研究組對2022全國新高考12022全國新高考1卷數(shù)學(xué)的試題教學(xué)，這種感觸逐步加深。2022全國數(shù)學(xué)高考落下帷幕，命題研究組通過研題、試講、回顧、反思，對2022年全國新高考1卷數(shù)學(xué)題，深受啟發(fā)，特撰寫此文。立意新穎，不為題海戰(zhàn)術(shù)開方便之門2022全國高考數(shù)學(xué)試題頗具江蘇特色。譬如：選擇題壓軸題第8題，解答題壓軸題第21題等。選擇題第8題及其出題背景研究該題為2016年江蘇高考試題第17效區(qū)分”。命題研究組研究員在給高一學(xué)生講解第8題時，發(fā)現(xiàn)：有高一學(xué)生，采用“極端思想”，求得答案為B。實(shí)則答案為。參考答案：V144(sincos2)2；注意到11sinsin2cos222(sin2cos)2sin4cos2sin2sin22cos2()32234274V144(sincos2)2，故，答案選C，而非。3本題題源是教材習(xí)題，改編自2016年江蘇高考第17題。教材習(xí)題求函數(shù)ysin2cos)的最大值。

(02試題修改對教材習(xí)題進(jìn)行處理，將符號語言轉(zhuǎn)換成圖像語言?？梢杂袃煞N處理1方向：處理成側(cè)棱長為1，高線長未知的正四棱錐的體積；處理成母線長為1，高線長未知的圓錐的體積。為使得處理的情況具有一般性，將側(cè)棱長為1”、母線長為1”均改為長為a”.（1）按處理方向處理，形成1稿.1稿已知一正四棱錐P的高為1BCD111,側(cè)棱長為a(a，記1，求其體積V的最大值及此時1)(012的長。1232提示：Vcos，cosaPO1a32稿現(xiàn)要設(shè)計(jì)一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部分形狀為正四棱錐Pa(a0)AO,下部分形狀為正四1BCD1111棱柱，其底面正方形的中心為O,要求正四棱柱的高OO1BCD1是正四棱111錐的高的k(k倍，求倉庫容積V最大時PO的長.1122稿分析：記A(0)，則V(2k)a3sin2cos；注意到112311sinsin2cos222(sin2cos)2sin4cos2sin2sin22cos2()32234273，當(dāng)且僅當(dāng)sin22cos2，即cos時，等號成立；342232

3aaV(2k)a3(2k)a1.2016年江蘇高考第173273933題為2稿的特例（高考題為ak4的情況，123PO,V4163）（2）按處理方向處理，形成問題變式.變式現(xiàn)要設(shè)計(jì)一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部分形狀是頂點(diǎn)為P,底面圓圓心為Oa(a，下部分形狀是底面圓面積與上部分圓錐1的底面圓面積相等的圓柱，其下底面圓圓心為O，要求圓柱的高O是圓錐的高的k(k0)倍，求倉庫容積V最大時1PO的長.1注：該例為筆者文章“[2]例談高中數(shù)學(xué)教材試題的衍生——以江蘇高考數(shù)學(xué)試題命制為例[J].文理導(dǎo)航(中旬),2017,(02)”2有很多，譬如：《拓展閱讀1：2019江蘇19題第3問及其新解法》解答題第21題及其出題背景研究2022年全國卷第21感熟悉。其出題背景為：“當(dāng)點(diǎn)(,n)(n0)在曲線上時，過點(diǎn)A作兩條斜率互為PPQ這讓筆者聯(lián)想到20092018年江蘇高中聯(lián)賽復(fù)賽解答題第3見《拓展閱讀2》）y原題如下：CA（2009年江蘇高中聯(lián)賽復(fù)賽解答題第3題）如圖，拋物線Py22x及點(diǎn)P1，過點(diǎn)P的不重合的直線l、l與此拋物線分別交12OxDBA，B，C，DA，B，C，D四點(diǎn)共圓的充要條件是l與l的傾斜角互補(bǔ)．122018年江蘇高中聯(lián)賽復(fù)賽解答題第3題）在平面直角坐標(biāo)系圓xy22M:1P(2,2)作直線1,2與橢圓M分別交于,B和C,D63ll1,2率互為相反數(shù).1）證明：；2）記直線AC,的斜率分別為1,k2，求證：kk為定值.12引理過不在曲線上的點(diǎn)P(,n)作兩條直線ll分別與橢圓1,2xy22E:ab0)交于ab223,B和C,D兩點(diǎn)，且直線1,2的傾斜角,互補(bǔ)，則．xmtcos,證明：設(shè)過點(diǎn)P(,n)傾斜角為的直線參數(shù)方程為yntsin,(t為參數(shù))，與橢圓E聯(lián)立方程組，整理得：(abtabtanbmab，2222222222222anbmab222222＝．同理可得a2sin2b2cos2anbmab222222＝，a2sin2b2cos2故成立．sin,互補(bǔ)．加條件“兩條直線傾斜角互補(bǔ)”，橢圓中的“割線定理”才能成立．P在橢圓xy22E:ab0)的內(nèi)部時，即為相交弦定理；ab22P在橢圓xy22E:ab0)的外部時，即為割線定理；ab22P(,n)(nP個交點(diǎn)分別為,C，則直線AC的斜率為定值．（2022年全國1卷第21題出題背景）若曲線為橢圓xy22E:ab0)ab22kACbm2；an2若曲線為橢圓xy22E:ab0)ab22kACbm2；an2若曲線為拋物線E:y22(pkACp；n推論1：過點(diǎn)P(,n)作兩條直線ll分別與橢圓1,2xy22E:ab0)交于,B和ab22C,D兩點(diǎn)，且直線1,2的斜率1,k2互為相反數(shù)，則．2P(,n)作兩條直線1,2分別與雙曲線xy22E:ab0),Bab22與,D兩點(diǎn)，且直線1,2的斜率1,k2互為相反數(shù)，則．3P(,n)作兩條直線1,2ll分別與拋物線E:y22(pA,B與C,D兩點(diǎn)，且直線1,2ll的斜率kk互為相反數(shù)，則．1,24界定明確，對一線教師的教學(xué)有導(dǎo)向功能“基礎(chǔ)題送分到位，中檔題多題把關(guān)，難題有效區(qū)分?！边x擇題第62021~2022年?？季碇谐Ｐ?。參考答案：C類似考題：1216平的學(xué)生。5有效區(qū)分，讓不同水平的學(xué)生高低立顯2022年全國1卷第2211222題取得滿分，實(shí)屬鳳毛麟角了。參考文獻(xiàn)[1]劉蔣巍.一道高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬題的命制與解析[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2018(07):60-61.[2]例談高中數(shù)學(xué)教材試題的衍生——以江蘇高考數(shù)學(xué)試題命制為例[J].文理導(dǎo)航中旬),2017,(02)6拓展閱讀1：《2019江蘇19題第3問及其新解法》設(shè)函數(shù)f(x)(xa)(xb)(xc),a,b,cR、f'(x)為（x）的導(dǎo)函數(shù)．若a0,0c1，且fx）的極大值為M，求證M≤4．（3）ac1，所以f(x)x(xb)(xx3bx2，f'(x)3xbxb．20b1，所以4(b2b(2b230，則f'(x)有2個不同的零點(diǎn)，設(shè)為1,212．由f'(x)0b1bb1b1bb122x,x．1233列表如下：x(,x)1xxx1,21x2(x,)2f'(x)+0–0+fx極大值極小值()f(x)的極大值Mfx．1解法三：注意到：當(dāng))21cos2sin42cos2sin2sin2212cossinsin222(23)34，273當(dāng)且僅當(dāng)sin222cos時，等號成立；3令xcos2(4xx)2；0b1，所以1．4Mf1)xbxx)x(x)．(12111117《拓展閱讀2：2009年、2018年江蘇高中聯(lián)賽復(fù)賽解答題第3題》2009年江蘇高中聯(lián)賽復(fù)賽解答題第3題）如圖，拋物線y22xP1，P的不重合的直線l、l與此拋物線分別交于點(diǎn)A，B，C，DA，B，C，12D四點(diǎn)共圓的充要條件是直線l與l的傾斜角互補(bǔ)．12y解設(shè)l的傾斜角分別為、，由題設(shè)知l、12AC、0,.易知直線l的參數(shù)方程為1PxOx1ty1tsin，DB代入拋物線方程可化得t2sin22sincost10.設(shè)上述方程的兩根為1.sin2t、1t，則21tt.由參數(shù)t的幾何意義，得122sin1CP.sin2若A、B、C、D四點(diǎn)共圓，則APBPCPsin2sin2.因?yàn)椤?,，所以sinsin.l、l不重合，則.所以.12反過來，若，則因、0,sinsin，且0，0.11.sinsin22故A、B、C、D四點(diǎn)共圓.（2018年江蘇高中聯(lián)賽復(fù)賽解答題第3題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓xy22MP(2,作直線1,2與橢圓M分別交于,B和C,Dll的斜率:11,2

63互為相反數(shù).1）證明：；2）記直線AC,的斜率分別為kk，求證：1,2kk為定值.128P(2,2)l的斜率為kl的12斜率為kA(x,y),B(x,y)1122,C(x,y),D(x,y)．3344故直線l的方程為：y2k(xy2k，與橢圓聯(lián)立方程組，整理得：1(2kxk(2k)xkk20，222k(kk16k22xx,xx1221222k12k1k)(x2)(xk)(xx2xx221212