分式線性變換

關(guān)于分式線性變換第一頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日2一分式線性變換及其分解1分式線性變換概念(1)函數(shù)稱為分式線性變換,簡(jiǎn)記為(2)在擴(kuò)充z平面上補(bǔ)充定義第二頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日3(4)由定理7.1注,(7.3)在擴(kuò)充z平面上是保域的第三頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日42分式線性變換的分解第四頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日5(1)線性變換(7.3)可分解為下述簡(jiǎn)單類型變換的復(fù)合(2)(I)(II)型變換的幾何性質(zhì)旋轉(zhuǎn)位似(伸縮)平移第五頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日6旋轉(zhuǎn)與伸長(zhǎng)(或縮短)變換平移映射第六頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日7此變換可進(jìn)一步分解為:關(guān)于單位圓周的對(duì)稱變換;關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱變換....規(guī)定:無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是圓心O.第七頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日8....即:第八頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日9例1試將線性變換分解為簡(jiǎn)單變換的復(fù)合.解因此可分解為的復(fù)合.第九頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日10例2試證:除恒等變換外,一切線性變換(7.3)恒有兩個(gè)相異的或一個(gè)二重的不動(dòng)點(diǎn)證明線性變換(7.3)的不動(dòng)點(diǎn)適合即上面系數(shù)不全為零,第十頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日11這時(shí)(7.3)為有不動(dòng)點(diǎn)第十一頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日12不動(dòng)點(diǎn)二分式線性變換的共形第十二頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日13定義7.3由定義7.3引入兩個(gè)反演變換第十三頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日143定理7.7分式線性變換(7.3)在擴(kuò)充z平面上是共形的.注在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)處,不考慮伸縮性的不變性.第十四頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日15三分式線性變換的保交比性1定義7.4注第十五頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日162定理7.8在分式線性變換下，四點(diǎn)的交比不變。證明因此第十六頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日17注因此只需指定三對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn):且除相差一個(gè)常數(shù)因子外是唯一的.第十七頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日183定理7.9注三對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)唯一確定一分式線性變換.證明先考慮已給各點(diǎn)都是有限點(diǎn)的情形,設(shè)所求分式線性函數(shù)是那么，由第十八頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日19得同理，有因此，有第十九頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日20

由此，我們可以解出分式線性函數(shù)。由此也顯然得這樣的分式線性函數(shù)也是唯一的。那么，由同理有

由此，我們可以解出分式線性函數(shù)。由此也顯然得這樣的分式線性函數(shù)也是唯一的。

其次，如果已給各點(diǎn)除外都是有限點(diǎn)。則所求分式線性函數(shù)有下列的形式：第二十頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日21例3求將分別變?yōu)榈姆质骄€性變換.解所求的分式線性變換為即整理得第二十一頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日22四分式線性變換的保圓周(圓)性對(duì)(I)顯然將圓周(或直線)變?yōu)閳A周(或直線).對(duì)(II)型:因圓周(或直線)可表為它表示圓周或直線.第二十二頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日231定理7.10

分式線性變換將平面上圓周(或直線)變?yōu)閳A周(或直線).注1在擴(kuò)充z平面上,直線可視為過(guò)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的圓周.事實(shí)上,(7.11)可寫成注2同時(shí)圓被共形變換成圓---分式線性變換的保圓性.第二十三頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日24第二十四頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日25............第二十五頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日26注3

在擴(kuò)充z平面上給定區(qū)域K及D,其邊界是的圓周,則K可共形變換成D.注4例4試決定在分式線性變換下實(shí)軸與上半z平面及單位圓周的像.解(1)因系數(shù)為實(shí)數(shù),從而該線性變換把實(shí)軸變?yōu)閷?shí)軸,故將實(shí)軸為邊界的兩個(gè)區(qū)域,即上下兩個(gè)半平面,第二十六頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日27(2)擴(kuò)充z平面上的圓周由三個(gè)點(diǎn)決定,第二十七頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日28五分式線性變換的保對(duì)稱性1定義7.5注證明“必要性”第二十八頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日29則所以“充分性”第二十九頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日30....2定理7.1證明第三十頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日31....第三十一頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日323分式線性變換的保對(duì)稱性定理7.12證明由分式線性變換的保角性,由定理7.11,第三十二頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日33解由定理7.12,例5求線性變換變?yōu)樯习肫矫?使將圓盤第三十三頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日34由線性變換的保交比性,所求的線性變換為即整理后得第三十四頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日35六線性變換的應(yīng)用

由于線性變換具有共形性,保交比性,保圓(圓周)性和保對(duì)稱點(diǎn)性,它在處理邊界為圓弧或直線的區(qū)域變換中,起著重要的作用,下面介紹一些類型.例6第三十五頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日36事實(shí)上,所述變換將實(shí)軸變?yōu)閷?shí)軸,且當(dāng)z為實(shí)數(shù)時(shí)即實(shí)軸變?yōu)閷?shí)軸是同向的,或解第三十六頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日37例7解故第三十七頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日38即故解該方程組得故所的線性變換為第三十八頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日39例8解由線線變換的保對(duì)稱性,第三十九頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日40因此這個(gè)變換應(yīng)具有形式,故可令從而所求的變換為第四十頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日41注1確定變換(7.13)的k,只需再給一對(duì)邊界對(duì)應(yīng)點(diǎn).注2第四十一頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日42例9解由線線變換的保對(duì)稱性,因此所求變換具有形式第四十二頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日43利用單位圓周變?yōu)閱挝粓A周的條件知,因此令從而所求的變換為第四十三頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日44注1確定變換(7.14)的k,只需再給一對(duì)邊界對(duì)應(yīng)點(diǎn).注2第四十四頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日45例10第四十五頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日46解作線線變換復(fù)合上述兩個(gè)變換得整理得第四十六頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日47即由得從而所求的變換為第四十七頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日48例11解(1)先作伸縮變換(2)再作平移變換第四十八頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日49使得于是(4)排列對(duì)應(yīng)點(diǎn)第四十九頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日50(5)將以上線性變換復(fù)合起來(lái),即得所求的線性變換為第五十頁(yè)，共