函數(shù)微分的概念

關(guān)于函數(shù)微分的概念第一頁，共十八頁，2022年，8月28日若給定函數(shù)在點處可導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義有.由定理1.2知，，其中是當(dāng)

時的無窮小量，上式可寫作.(2.4.1)

函數(shù)微分的概念返回1/16上一頁上一頁下一頁下一頁第二頁，共十八頁，2022年，8月28日(2.4.1)式表明函數(shù)的增量可以表示為兩項之和．第一項是的線性函數(shù)，第二項，當(dāng)時是比高階的無窮小量．因此，當(dāng)很小時，我們稱第一項

為的線性主部，并叫做函數(shù)的微分．

函數(shù)微分的概念返回2/16上一頁上一頁下一頁下一頁第三頁，共十八頁，2022年，8月28日

定義2.3

設(shè)函數(shù)在點處有導(dǎo)數(shù)，則稱為在點處的微分，記作，即，(2.4.2)此時，稱在點處是可微的.例如，函數(shù)在點處的微分為．

函數(shù)微分的概念返回3/16上一頁上一頁下一頁下一頁第四頁，共十八頁，2022年，8月28日函數(shù)在任意點的微分，叫做函數(shù)的微分，記作．(2.4.3)如果將自變量當(dāng)作自己的函數(shù)，則有，說明自變量的微分就等于它的改變量，于是函數(shù)的微分可以寫成

函數(shù)微分的概念返回4/16上一頁上一頁下一頁下一頁第五頁，共十八頁，2022年，8月28日，(2.4.4)即，

(2.4.5)也就是說，函數(shù)的微分與自變量的微分之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，因此，導(dǎo)數(shù)又叫微商．

函數(shù)微分的概念返回5/16上一頁上一頁下一頁下一頁第六頁，共十八頁，2022年，8月28日解；.可見.

函數(shù)微分的概念返回6/16上一頁上一頁下一頁下一頁例1

求函數(shù)在，時的改變總量及微分．第七頁，共十八頁，2022年，8月28日

函數(shù)微分的概念返回7/16上一頁上一頁下一頁下一頁曲線坐標(biāo)的改變量微分的幾何意義示意圖動畫演示第八頁，共十八頁，2022年，8月28日函數(shù)微分的幾何意義就是：在曲線上某一點處．當(dāng)自變量取得改變量時，曲線在該點處切線縱坐標(biāo)的改變量．

函數(shù)微分的概念返回8/16上一頁上一頁下一頁下一頁第九頁，共十八頁，2022年，8月28日例2

求下列函數(shù)的微分：(1)；(2)．解(1)所以．(2)，．2.4.2微分的計算返回9/16上一頁上一頁下一頁下一頁第十頁，共十八頁，2022年，8月28日，無論是自變量還是中間變量，的微分總可以用與的乘積來表示．函數(shù)微分的這個性質(zhì)叫做微分形式的不變性．2.4.3微分的形式的不變性返回10/16上一頁上一頁下一頁下一頁以為中間變量的復(fù)合函數(shù)的微分第十一頁，共十八頁，2022年，8月28日利用微分可以進(jìn)行近似計算.這個公式可以直接用來計算函數(shù)增量的近似值．由微分的定義知，當(dāng)很小時，有近似公式．，，2.4.4微分的應(yīng)用返回11/16上一頁上一頁下一頁下一頁第十二頁，共十八頁，2022年，8月28日即．這個公式則可以用來計算函數(shù)在某一點附近的函數(shù)值的近似值．2.4.4微分的應(yīng)用返回12/16上一頁上一頁下一頁下一頁第十三頁，共十八頁，2022年，8月28日解令，，因為相對于較小，可用上面的近似公式來求值．2.4.4微分的應(yīng)用返回13/16上一頁上一頁下一頁下一頁例3

設(shè)某國的國民經(jīng)濟(jì)消費模型為．其中：為總消費(單位：十億元)；為可支配收入單位：十億元).當(dāng)時，問總消費是多少？第十四頁，共十八頁，2022年，8月28日(十億元)．2.4.4微分的應(yīng)用返回14/16上一頁上一頁下一頁下一頁第十五頁，共十八頁，2022年，8月28日2.4.4微分的應(yīng)用例4

1830年代后期，法國生理學(xué)家普瓦澤伊（JeanPoiseuille）發(fā)現(xiàn)了今天我們?nèi)栽谟脕眍A(yù)測必須擴(kuò)張部分受阻塞的動脈半徑多少才能恢復(fù)正常的血液流動．他的公式為

即流體以固定的壓力在單位時間內(nèi)流過的細(xì)管的體積V等于一個常數(shù)乘以管半徑的四次冪．問：半徑r增加10%對V的影響有多大？返回15/16上一頁上一頁下一頁下一頁第十六頁，共十八頁，2022年，8月28日解

因為所以，r的微分和V的微分之間的關(guān)系為V的相對變化為即V的相對變化為4倍的r的相對變化，故10%的r增