全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽金牌教練 高中奧數(shù)輔導(dǎo)：第一講 集合概念及集合上的運算

PAGEPAGE7全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽金牌教練員講座蘭州一中數(shù)學(xué)組第一講集合概念及集合上的運算知識、方法、技能高中一年級數(shù)學(xué)（上（試驗本）課本中給出了集合的概念；一般地，符合某種條件（具有某種性質(zhì)）的對象集中在一起就成為一個集合.在此基礎(chǔ)上，介紹了集合的元素的確定性、互異性、無序性.無限集，集合的列舉法、描述法和子集、真子集、空集、非空集合、全集、補集、并集等十余個新名詞或概念以及二十幾個新符號..賽題精講Ⅰ．集合中待定元素的確定充分利用集合中元素的性質(zhì)和集合之間的基本關(guān)系，往往能解決某些以集合為背景的高中數(shù)學(xué)競賽題.請看下述幾例.例1：求點集{(x,y)|lg(x3

1y33

1)lgxlgy}中元素的個數(shù).9【思路分析】應(yīng)首先去對數(shù)將之化為代數(shù)方程來解之.x0y0x

1y33

xy,1 1 1 1x

y3 33(x3)( y3)( )xy,3 9 3 9x

1y33

1 1,即x3 ,y9 9

（虛根舍去）時，等號成立.133133【評述】此題解方程中，應(yīng)用了不等式取等號的充要條件，是一種重要解題方法，應(yīng)注意掌握之.2Ay|yx

4x3,xR},B{y|yx2

2x2,xR}.AB.【思路分析】先進(jìn)一步確定集合A、B.y(x2211yx1233∴A={y|y1},B{y|y3},故AB{y|1y3}.【評述】此題應(yīng)避免如下錯誤解法：聯(lián)立方程組yx

4x3,

消去y,2x22x10. 因方程無實根，故AB.yx

2x2.這里的錯因是將B的元素誤解為平面上的點了.這兩條拋物線沒有交點是實數(shù).物線的值域.3A{(x,y)||x||y|aa0},B{(x,y)||xy|1|x||y|}.若AB是平面上正八邊形的頂點所構(gòu)成的集合，則a的值.【思路分析】可作圖，以數(shù)形結(jié)合法來解之.Aa0（0a（－a0（0a的正方形的四條邊構(gòu)成（如圖Ⅰ－1－1－1）.將|xy|1|x||y|，變形為(|x|1)(|y|1)0,Bx1,y1構(gòu)成.ABa2或1a2這兩種情況.2a22，顯然有2a22

2,2故a2 .2當(dāng)1a2l，則22l2lcos45

,l2

2,這時，a1l2

2.2綜上所述，a的值為2 2或 ,2如圖Ⅰ－1－1－1中A( 2,0),B(2

2,0

圖Ⅰ－1－1－1【評述】上述兩題均為1987年全國高中聯(lián)賽試題，題目并不難，讀者應(yīng)從解題過程中體會此類題目的解法.Ⅱ．集合之間的基本關(guān)系充分應(yīng)用集合之間的基本關(guān)系（即子、交、并、補），往往能形成一些頗具技巧的集合綜合題.請看下述幾例.4An2

1|nZ},B{n|nZ},C{n2

n|nZ},D{3

1|nZ},則6在下列關(guān)系中，成立的是A．ABCD C．ABC,CD

（ ）AB,CDD．ABB,CD【思路分析】應(yīng)注意數(shù)的特征，即n1

2n1,n1

2n1,nZ.2 2 3 6 61A{2

|nZ},B{n|nZ},C{n

1 |nZ},D{2 3

1|nZ6ABCCD.C.2、、、D與角的集合相對應(yīng)，令A(yù){n2

|nZ},B{n|nZ},C{n2

n|nZ},D{3

|nZ}.6結(jié)論仍然不變，顯然A′為終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合，B′為終邊在x軸上的角的集合為終邊在y軸上的角的集合，D′為終邊在y軸上及在直線y 3

x上的角的集合，故應(yīng)選（C）.12的角的集合，研究角的終邊，思路清晰易懂，實屬巧思妙解.例5Ax|x2x]2}Bx||x|2},ABAB（其中[x]表示不x之值的最大整數(shù)）.【思路分析】應(yīng)首先確定集合A與B.從而1x2顯然,2A. ∴AB{x|2x2}.若xAB,x2[x]2,[x]{1,0,1,2},從而得出x 3([x]1)或x1([x]1). 于是AB{1, 3}【評述】此題中集合B中元素x滿足“|x|<3”時，會出現(xiàn)什么樣的結(jié)果，讀者試解之.例設(shè)f(x)x2bxc(b,cR),且A{x|xf(x),xR},B{x|xf[f(xR}如果A為只含一個元素的集合，則A=B.Afx)x0有重根來解之.A|Rfx)x0有重根fx)x(x2,f(x)(x)2

x..從而xf[f(x)],即x[(x)2

(x)]2

(x)2

x,整理得(x)2[(x1)21]0, 因x,均為實數(shù)(x1)210,故x. 即B}A.【評述】此類函數(shù)方程問題，應(yīng)注意將之轉(zhuǎn)化為一般方程來解之.例已知M {(x,y)|yx2},N{(x,y)|x2(ya)21}.求MNN成立時需滿足的充要條件.MNNNM.MNNNM.由x2(ya)2得x2yy2(2a1)ya2).于是，若y2(2a1)ya2)0 ①必有yx2,即NM.而①成立的條件是 1

max

4(1a2)(2a1)2 0,4即4a2)(2a1)20, 解得a1.4【評述】此類求參數(shù)范圍的問題，應(yīng)注意利用集合的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為不等式問題來求解.8、BCr

{(x,y)|x2

y

r2}.若對任何r0都有Cr

ACr

BAB.此命題是否正確？【思路分析】要想說明一個命題不正確，只需舉出一個反例即可.【略解】不正確.反例：取A{(x,y)|x2

y

1},B為A去掉（0，0）后的集合.容易看出Cr

ACr

B,但A不包含在B中.【評述】本題這種舉反例判定命題的正確與否的方法十分重要，應(yīng)注意掌握之.Ⅲ．有限集合中元素的個數(shù)有限集合元素的個數(shù)在課本P23介紹了如下性質(zhì)：一般地，對任意兩個有限集合A、B，有card(AB)card(A)card(B)card(AB).我們還可將之推廣為：一般地，對任意n個有限集合A,A, ,A,有1 2 ncard(A A A A A)1 2 3 n1 n[card(A)card(A)card(A) card(A)][card(AA)card(AA)]1 2 3 n 1 2 1 3 card(AA) card(A A)][card(AA A)] card(A A 1 n n1 n 1 2 3 n2 n1 n (1)n1card(A A A 1 3 n應(yīng)用上述結(jié)論，可解決一類求有限集合元素個數(shù)問題.【例9】某班期末對數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三科總評成績有21個優(yōu)秀，物理總評19人優(yōu)秀，化2097人，化學(xué)和數(shù)學(xué)都優(yōu)秀的有8人，試確定全班人數(shù)以及僅數(shù)字、僅物理、僅化學(xué)單科優(yōu)秀的人數(shù)范圍（該班有5名學(xué)生沒有任一科是優(yōu)秀）.【思路分析】應(yīng)首先確定集合，以便進(jìn)行計算.【詳解】設(shè)A={數(shù)學(xué)總評優(yōu)秀的學(xué)生}，B={物理總評優(yōu)秀的學(xué)生}，C={化學(xué)總評優(yōu)秀的學(xué)生}.則card(A)21,card(B)19,card(C)20,card(AB)9,card(BC)7,card(CA)8.∵card(ABC)card(A)card(B)card(C)card(AB)card(BC)card(CA)card(ABC), ∴card(ABC)card(ABC)2119209836.cardABC)cardABC)是這三科全優(yōu)的人數(shù).cardABC)的范圍的問題與估計cardABC)的范圍有關(guān).注意到card(ABC)min{card(AB),card(BC),card(CA)}7，可知0card(ABC)7. 因而可得36cardABC)43又∵card(ABC)card(ABC)card(U),其中card(ABC)5.∴41card(U)48 41~48.cardABC).∴card(ABC)card(ABC)card(BC)card(ABC)card(B)card(C)card(BC)card(ABC)32.可見4card(ABC)11, 同理可知3card(BAC)10,5card(CBA)12.故僅數(shù)學(xué)單科優(yōu)秀的學(xué)生在4~11之間，僅物理單科優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)在3~10之間，僅化學(xué)單科優(yōu)秀的學(xué)生在5~12人之間.【評述】根據(jù)題意，設(shè)計這些具有單一性質(zhì)的集合，列出已知數(shù)據(jù)，并把問題用集合中元素數(shù)目的符號準(zhǔn)確地提出來，在此基礎(chǔ)上引用有關(guān)運算公式計算，這是解本題這類計數(shù)問題的一般過程.針對性練習(xí)題設(shè)為至少含有兩項的、公差為正的等差數(shù)列，其項都在S加S的其他元素于A后均不能構(gòu)成與A有相同公差的等差數(shù)列.求這種A（這里只有兩項的數(shù)列也看做等差數(shù)列）.2．設(shè)集合S={1，2，?，n}，若X是Sn

的子集，把X中的所有數(shù)的和為X的“容量”.（規(guī)定空集的容量為0，若X的容量為奇（偶）數(shù)，則稱X為Sn求證：S的奇子集與偶子集個數(shù)相等.n

的奇（偶）子集.n3時，Sn

的所有奇子集的容量之和與所有偶子集的容量之和相等.n3Sn

的所有奇子集的容量之和.3．設(shè)M={1，2，3，?，1995}，A是M的子集且滿足條件：當(dāng)xA時，15xA，則A中元素的個數(shù)最多是多少個.4．集合x|1

110,xN*}的真子集的個數(shù)是多少個？1 2x5．對于集合