八年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽講座：第三十五講 應(yīng)用題

第三十五講 應(yīng)用在本講中將介紹各類應(yīng)用題的解法與技巧．生活問(wèn)題，成為各類數(shù)學(xué)競(jìng)賽的一個(gè)熱點(diǎn)．增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)的理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)的信心．將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型．其求解程序如下：表模型等．例題求解一、用數(shù)式模型解決應(yīng)用題因而成為描述和表達(dá)數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要方法．【例1】(2003年安徽中考題)某風(fēng)景區(qū)對(duì)5個(gè)旅游景點(diǎn)的門票價(jià)格進(jìn)行了調(diào)整，據(jù)統(tǒng)計(jì)，調(diào)價(jià)前后各景點(diǎn)的游客人數(shù)基本不變。有關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：景點(diǎn) A B C D E第1頁(yè)（共11頁(yè)）原價(jià)（元） 10 10 15 20 25現(xiàn)價(jià)（元） 5 5 15 25 30平均日人數(shù)（千人） 1 1 2 3 25另一方面，游客認(rèn)為調(diào)整收費(fèi)后風(fēng)景區(qū)的平均日總收入相對(duì)于調(diào)價(jià)前，實(shí)際上增加了約9.4客是怎樣計(jì)算的？思路點(diǎn)撥（1）風(fēng)景區(qū)是這樣計(jì)算的：調(diào)整前的平均價(jià)格：101015202516元，設(shè)整后的平均價(jià)格：5515253016元5 5∵調(diào)整前后的平均價(jià)格不變，平均日人數(shù)不變．∴平均日總收入持平．（2）游客是這樣計(jì)算的：原平均日總收入：10×1+10×1+15×2+20×3+25×2=160（千元）現(xiàn)平均日總收入：5×1+5×1+15×2+25×3+30×2=175（千元）∴平均日總收入增加了1751609.4%160二、用方程模型解應(yīng)用題和相等關(guān)系的角度去認(rèn)識(shí)和理解現(xiàn)實(shí)世界．4844內(nèi)可以通過(guò)560內(nèi)可以通過(guò)800檢查中發(fā)現(xiàn)，緊急情況時(shí)因?qū)W生擁擠，出門的效率降低20％．安全檢查規(guī)定：在緊急情況下全大5min4454思路點(diǎn)撥列方程(組)的關(guān)鍵是找到題中等量關(guān)系：兩種測(cè)試中通過(guò)的學(xué)生數(shù)量．設(shè)未知數(shù)時(shí)一般問(wèn)什么設(shè)什么．“符合安全規(guī)定”之義為最大通過(guò)量不小于學(xué)生總數(shù)．第2頁(yè)（共11頁(yè)）(1)設(shè)平均每分鐘一道正門可以通過(guò)x名學(xué)生，一道側(cè)門可以通過(guò)y名學(xué)生，由題意得：2(x2y)560,解得：x1204(xy)800

y80 (24×8×45=1440擁擠時(shí)5min4道門能通過(guò)．5×2(120+80)(1－20％)=1600(名),1600>14404三、用不等式模型解應(yīng)用題某個(gè)量的變化范圍，即可對(duì)所研究的問(wèn)題有比較清楚的認(rèn)識(shí)．3m／s天，其中日平均風(fēng)速不小于6s的時(shí)間占60天．為了充分利用“風(fēng)能”這種“綠色資源A、B日平均風(fēng)速v(米/秒)

v<3

3≤v<6

v≥6日發(fā)電量(千瓦·時(shí))

AB

O ≥36O ≥24

≥150≥90根據(jù)上面的數(shù)據(jù)回答：xAA瓦·時(shí)；AO.3BO.210臺(tái)，希望購(gòu)機(jī)的費(fèi)用不超過(guò)2.6102000千瓦·你提供符合條件的購(gòu)機(jī)方案．根據(jù)上面的數(shù)據(jù)回答：思路點(diǎn)撥(1)(100×36+60×150)x=12600x；設(shè)購(gòu)A型發(fā)電機(jī)x臺(tái)，則購(gòu)B(10—x解法一根據(jù)題意得： 0.3xx)2.6126007800(10x)102000解得5≤x≤6．故可購(gòu)A5B5臺(tái)；或購(gòu)A6B4四、用函數(shù)知識(shí)解決的應(yīng)用題第3頁(yè)（共11頁(yè)）供的基本模型和初始條件去確定函數(shù)關(guān)系式．【例4】(揚(yáng)州)楊嫂在再就業(yè)中心的扶持下，創(chuàng)辦了“潤(rùn)楊”報(bào)刊零售點(diǎn)．對(duì)經(jīng)營(yíng)的某種晚報(bào)，楊嫂提供丁如下信息：①買進(jìn)每份0.20元，賣出每份0.30元；②一個(gè)月內(nèi)(以30天計(jì))，有20天每天可以賣出200份，其余10天每天只能賣出120份；③一個(gè)月內(nèi)，每天從報(bào)社買進(jìn)的報(bào)紙份數(shù)必須相同．當(dāng)天賣不掉的報(bào)紙，以每份0.10元退回給報(bào)社；填表：一個(gè)月內(nèi)每天買進(jìn)該種晚報(bào)的份數(shù)當(dāng)月利潤(rùn)(單位：元)

100 150設(shè)每天從報(bào)社買進(jìn)該種晚報(bào)x120≤x≤200時(shí)，月利潤(rùn)為y元，試求出yx并求月利潤(rùn)的最大值．思路點(diǎn)撥(1)填表：一個(gè)月內(nèi)每天買進(jìn)該種晚報(bào)的份數(shù)100150當(dāng)月利潤(rùn)(單位：元)300390(2)由題意可知，一個(gè)月內(nèi)的20天可獲利潤(rùn)：20×=2x(元)；其余10天可獲利潤(rùn)：10=240—x(元)；故y=x+240，(120≤x≤200)，當(dāng)x=200時(shí)，月利潤(rùn)y的最大值為440元．注根據(jù)題意，正確列出函數(shù)關(guān)系式，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，這里特別要注意自變量x另外，初三還會(huì)提及統(tǒng)計(jì)型應(yīng)用題，幾何型應(yīng)用題．【例5】(桂林市)某公司需在一月(31天)內(nèi)完成新建辦公樓的裝修工程．如果由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)合做，12天可完成；如果由甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)做，甲隊(duì)比乙隊(duì)少用10天完成．（1）求甲、乙兩工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程所需的天數(shù)．如果請(qǐng)甲工程隊(duì)施工20001400．請(qǐng)乙隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程；C．思路點(diǎn)撥這是一道策略優(yōu)選問(wèn)題．工程問(wèn)題中：工作量=工作效率×工時(shí)．(1)設(shè)乙工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需x天，根據(jù)題意得：第4頁(yè)（共11頁(yè)）1 1 1xx1012,x=30合題意，所以，甲工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需用20天，乙隊(duì)需30天．各種方案所需的費(fèi)用分別為：A．2000×20=40000B．請(qǐng)乙隊(duì)需1400×30=4200元；C．請(qǐng)甲、乙兩隊(duì)合作需(2000+1400)×12=40800元．所隊(duì)單獨(dú)請(qǐng)甲隊(duì)完成此項(xiàng)工程花錢最少．【例】(217km25km的速度返回，在出發(fā)后的第6024km思路點(diǎn)撥挖掘題目中隱藏條件是關(guān)鍵!設(shè)考察隊(duì)到生態(tài)區(qū)去用了x天，返回用了y天，考察用了z天，則x+y+z=60，17x－25y=－1，即25y－17x=1．①這里x、y是正整數(shù)，現(xiàn)設(shè)法求出①的一組合題意的解，然后計(jì)算出z的值．(x，y)，(這里xy0 0 0 025=l×17+8，17=2×8+1，故1=17—2×8=17-2×(25—17)=3×17-2×25．與①的左端比較可知，x=－3，y=－2．0 0下面再求出①的合題意的解．由不定方程的知識(shí)可知，①的一切整數(shù)解可表示為x=－3+25t，y=－2+17t，∴x+y=42t－5，t為整數(shù)．按題意0<x+y<60，故僅當(dāng)t=1時(shí)才合題意，這時(shí)x+y=42—5=37，∴z=60—(x+y)=23．答：考察隊(duì)在生態(tài)區(qū)考察的天數(shù)是23天．注本題涉及到的未知量多，最終轉(zhuǎn)化為二元一次不定方程來(lái)解，希讀者仔細(xì)咀嚼所用方法．【例7】(江蘇省第17屆初中競(jìng)賽題)華鑫超市對(duì)顧客實(shí)行優(yōu)惠購(gòu)物，規(guī)定如下：(1)若一次購(gòu)物少于200元，則不予優(yōu)惠；200500500500500小明兩次去該超市購(gòu)物，分別付款198元與554元．現(xiàn)在小亮決定一次去購(gòu)買小明分兩次購(gòu)買的同樣多第5頁(yè)（共11頁(yè)）的物品，他需付款多少?思路點(diǎn)撥應(yīng)付198元購(gòu)物款討論：第一次付款198元，可是所購(gòu)物品的實(shí)價(jià)，未享受優(yōu)惠；也可能是按九折優(yōu)惠后所付的款．故應(yīng)分兩種情況加以討論．情形1當(dāng)198元為購(gòu)物不打折付的錢時(shí)，所購(gòu)物品的原價(jià)為198元．又554=450+104，其中450元為購(gòu)物500元打九折付的錢，104元為購(gòu)物打八折付的錢；104÷0.8=130(元)．因此，554130+500=630198+630=828品，小亮一次性購(gòu)買應(yīng)付500×0.9+(82500×0.8=712.（元．情形2當(dāng)198元為購(gòu)物打九折付的錢時(shí)，所購(gòu)物品的原價(jià)為198÷0.9=220．仿情形1220+630=850500×0.9+(850－500)×0.8=730綜上所述，小亮一次去超市購(gòu)買小明已購(gòu)的同樣多的物品，應(yīng)付款712.40元或730元8】(200221800005315000061600004 7思路點(diǎn)撥設(shè)甲、乙、丙單獨(dú)承包各需xy、z115x

12 x41 1 4 則 ，解得y6則y z 15 z10117 z x 20再設(shè)甲、乙、丙單獨(dú)工作一天，各需付u、v、w元，12(uv)1800005 u45500則15( )150000，解得 295004 v w v207(wu)

w10500于是，由甲隊(duì)單獨(dú)承包，費(fèi)用是45500×4=182000(元)．由乙隊(duì)單獨(dú)承包，費(fèi)用是29500×6=177000(元)．而丙隊(duì)不能在一周內(nèi)完成．所以由乙隊(duì)承包費(fèi)用最少．學(xué)歷訓(xùn)練（A）第6頁(yè)（共11頁(yè)）1．(河南)在防治“240箱過(guò)氧乙酸消毒液的任601562．(ft東省競(jìng)賽題)某市為鼓勵(lì)節(jié)約用水，對(duì)自來(lái)水妁收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)作如下規(guī)定：每月每戶用水中不超過(guò)0.4510t20t0.820t1.507.103.753．(江蘇省競(jìng)賽題)甲、乙、丙三人共解出100道數(shù)學(xué)題，每人都解出了其中的60道題，將其中只有1人解出的題叫做難題，3人都解出的題叫做容易題．試問(wèn)：難題多還是容易題多?多的比少的多幾道題?某人從A地到B101.281.4（B級(jí)）1．(全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)江堤邊一洼地發(fā)生了管涌，江水不斷地涌出，假定每分鐘涌出的水量相等，如416min10min么至少需要抽水機(jī)臺(tái)．2．(希望杯)有一批影碟機(jī)(VCD)原售價(jià)：800元／臺(tái)．甲商場(chǎng)用如下辦法促銷：購(gòu)買臺(tái)數(shù)每臺(tái)價(jià)格

1~5760

6~10720

11~15臺(tái) 16~20臺(tái)20臺(tái)以上680元 640元 600元1~89~1617~2424（1）請(qǐng)仿照甲商場(chǎng)的促銷列表，列出到乙商場(chǎng)購(gòu)買VCD的購(gòu)買臺(tái)數(shù)與每臺(tái)價(jià)格的對(duì)照表；(2)現(xiàn)在有A、、C10VCD，B16VCD，C20VCD，3．(3.501251502024．從自動(dòng)扶梯上走到二樓(扶梯本身也在行駛)，如果男孩和女孩都做勻速運(yùn)動(dòng)且男孩每分鐘走動(dòng)的級(jí)數(shù)2718踏—級(jí))．問(wèn)：

第7頁(yè)（共11頁(yè)）如果扶梯附近有一從二樓到一樓的樓梯，樓梯