2017年高考數(shù)學(xué)考前回扣教材9 概率與統(tǒng)計(jì)

回扣9概率與統(tǒng)計(jì)1.牢記概念與公式(1)概率的計(jì)算公式①古典概型的概率計(jì)算公式P(A)＝eq\f(事件A包含的基本事件數(shù)m,基本事件總數(shù)n)；②互斥事件的概率計(jì)算公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③對(duì)立事件的概率計(jì)算公式P(eq\x\to(A))＝1－P(A)；④幾何概型的概率計(jì)算公式P(A)＝eq\f(構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度面積或體積,試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度面積或體積).(2)抽樣方法簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、分層抽樣、系統(tǒng)抽樣.①?gòu)娜萘繛镹的總體中抽取容量為n的樣本，則每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都為eq\f(n,N)；②分層抽樣實(shí)際上就是按比例抽樣，即按各層個(gè)體數(shù)占總體的比確定各層應(yīng)抽取的樣本容量.(3)統(tǒng)計(jì)中四個(gè)數(shù)據(jù)特征①眾數(shù)：在樣本數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù).②中位數(shù)：在樣本數(shù)據(jù)中，將數(shù)據(jù)按大小排列，位于最中間的數(shù)據(jù).如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，就取中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)作為中位數(shù).③平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，即eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…xn).④方差與標(biāo)準(zhǔn)差方差：s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2].標(biāo)準(zhǔn)差：s＝eq\r(\f(1,n)[x1－\x\to(x)2＋x2－\x\to(x)2＋…＋xn－\x\to(x)2]).(4)八組公式①離散型隨機(jī)變量的分布列的兩個(gè)性質(zhì)Ⅰ.pi≥0(i＝1，2，…，n)；Ⅱ.p1＋p2＋…＋pn＝1.②均值公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.③均值的性質(zhì)Ⅰ.E(aX＋b)＝aE(X)＋b；Ⅱ.若X～B(n，p)，則E(X)＝np；Ⅲ.若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝p.④方差公式D(X)＝[x1－E(X)]2·p1＋[x2－E(X)]2·p2＋…＋[xn－E(X)]2·pn，標(biāo)準(zhǔn)差eq\r(DX).⑤方差的性質(zhì)Ⅰ.D(aX＋b)＝a2D(X)；Ⅱ.若X～B(n，p)，則D(X)＝np(1－p)；Ⅲ.若X服從兩點(diǎn)分布，則D(X)＝p(1－p).⑥獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式P(AB)＝P(A)P(B).⑦獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算公式Pn(k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k.⑧條件概率公式P(B|A)＝eq\f(PAB,PA).2.活用定理與結(jié)論(1)直方圖的三個(gè)結(jié)論①小長(zhǎng)方形的面積＝組距×eq\f(頻率,組距)＝頻率.②各小長(zhǎng)方形的面積之和等于1.③小長(zhǎng)方形的高＝eq\f(頻率,組距)，所有小長(zhǎng)方形高的和為eq\f(1,組距).(2)線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))一定過樣本點(diǎn)的中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y)).(3)利用隨機(jī)變量K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)來判斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn).如果K2的觀測(cè)值k越大，說明“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的可能性越大.(4)如果隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則記為X～N(μ，σ2).滿足正態(tài)分布的三個(gè)基本概率的值是：①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ2)＝0.9544；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974.1.應(yīng)用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先確定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分別發(fā)生的概率，再求和.2.正確區(qū)別互斥事件與對(duì)立事件的關(guān)系：對(duì)立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情況，但互斥事件不一定是對(duì)立事件，“互斥”是“對(duì)立”的必要不充分條件.3.混淆頻率分布條形圖和頻率分布直方圖，誤把頻率分布直方圖縱軸的幾何意義當(dāng)成頻率，導(dǎo)致樣本數(shù)據(jù)的頻率求錯(cuò).4.要注意概率P(A|B)與P(AB)的區(qū)別(1)在P(A|B)中，事件A，B發(fā)生有時(shí)間上的差異，B先A后；在P(AB)中，事件A，B同時(shí)發(fā)生.(2)樣本空間不同，在P(A|B)中，事件B成為樣本空間；在P(AB)中，樣本空間仍為Ω，因而有P(A|B)≥P(AB).5.易忘判定隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，盲目使用二項(xiàng)分布的均值和方差公式計(jì)算致誤.1.某學(xué)校有男學(xué)生400名，女學(xué)生600名.為了解男女學(xué)生在學(xué)習(xí)興趣與業(yè)余愛好方面是否存在顯著差異，擬從全體學(xué)生中抽取男學(xué)生40名，女學(xué)生60名進(jìn)行調(diào)查，則這種抽樣方法是()A.抽簽法B.隨機(jī)數(shù)法C.系統(tǒng)抽樣法D.分層抽樣法答案D解析總體由男生和女生組成，比例為400∶600＝2∶3，所抽取的比例也是2∶3，故擬從全體學(xué)生中抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，采用的抽樣方法是分層抽樣法，故選D.2.投擲兩顆骰子，得到其向上的點(diǎn)數(shù)分別為m和n，則復(fù)數(shù)(m＋ni)(n－mi)為實(shí)數(shù)的概率是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,12)答案C解析投擲兩顆骰子，得到其向上的點(diǎn)數(shù)分別為m和n，記作(m，n)，共有6×6＝36(種)結(jié)果.(m＋ni)(n－mi)＝2mn＋(n2－m2)i為實(shí)數(shù)，應(yīng)滿足m＝n，有6種情況，所以所求概率為eq\f(6,36)＝eq\f(1,6)，故選C.3.一個(gè)袋子中有5個(gè)大小相同的球，其中3個(gè)白球2個(gè)黑球，現(xiàn)從袋中任意取出一個(gè)球，取出后不放回，然后再?gòu)拇腥我馊〕鲆粋€(gè)球，則第一次為白球、第二次為黑球的概率為()A.eq\f(3,5)B.eq\f(3,10)C.eq\f(1,2)D.eq\f(6,25)答案B解析設(shè)3個(gè)白球分別為a1，a2，a3，2個(gè)黑球分別為b1，b2，則先后從中取出2個(gè)球的所有可能結(jié)果為(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)，(a2，a1)，(a3，a1)，(b1，a1)，(b2，a1)，(a3，a2)，(b1，a2)，(b2，a2)，(b1，a3)，(b2，a3)，(b2，b1)，共20種.其中滿足第一次為白球、第二次為黑球的有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，共6種，故所求概率為eq\f(6,20)＝eq\f(3,10).4.為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭，得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表：收入x(萬(wàn)元)8.28.610.011.311.9支出y(萬(wàn)元)6.27.58.08.59.8根據(jù)上表可得線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝0.76，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).據(jù)此估計(jì)，該社區(qū)一戶年收入為15萬(wàn)元家庭的年支出為()A.11.4萬(wàn)元B.11.8萬(wàn)元C.12.0萬(wàn)元D.12.2萬(wàn)元答案B解析由題意知，eq\x\to(x)＝eq\f(8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.9,5)＝10，eq\x\to(y)＝eq\f(6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.8,5)＝8，∴eq\o(a,\s\up6(^))＝8－0.76×10＝0.4，∴當(dāng)x＝15時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.76×15＋0.4＝11.8(萬(wàn)元).5.設(shè)X～N(1，σ2)，其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，且P(X≥3)＝0.0228，那么向正方形OABC中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為()附：(隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(1，σ2)，則P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝95.44%)()A.6038B.6587C.7028D.7539答案B解析由題意知，P(0<X≤1)＝1－eq\f(1,2)×0.6826＝0.6587，則落入陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為10000×0.6587＝6587.故選B.6.從1，3，5，7，9這五個(gè)數(shù)中，每次取出兩個(gè)不同的數(shù)分別記為a，b，共可得到lga－lgb的不同值的個(gè)數(shù)是()A.9B.10C.18D.20答案C解析由于lga－lgb＝lgeq\f(a,b)(a>0，b>0)，從1，3，5，7，9中任取兩個(gè)作為eq\f(a,b)有Aeq\o\al(2,5)＝20種，又eq\f(1,3)與eq\f(3,9)相同，eq\f(3,1)與eq\f(9,3)相同，∴l(xiāng)ga－lgb的不同值的個(gè)數(shù)有Aeq\o\al(2,5)－2＝20－2＝18，選C.7.甲、乙兩同學(xué)用莖葉圖記錄高三前5次數(shù)學(xué)測(cè)試的成績(jī)，如圖所示，他們?cè)诜治鰧?duì)比成績(jī)變化時(shí)，發(fā)現(xiàn)乙同學(xué)成績(jī)的一個(gè)數(shù)字看不清楚了，若已知乙的平均成績(jī)低于甲的平均成績(jī)，則看不清楚的數(shù)字為()A.0B.3C.6D.9答案A解析設(shè)看不清的數(shù)字為x，甲的平均成績(jī)?yōu)閑q\f(99＋100＋101＋102＋103,5)＝101，所以eq\f(93＋94＋97＋110＋110＋x,5)<101，x<1，所以x＝0.故選A.8.在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直線y＝－eq\f(1,3)x＋2上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本的相關(guān)系數(shù)為()A.－1B.0C.－eq\f(1,3)D.1答案A解析數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散點(diǎn)圖中，樣本點(diǎn)(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直線y＝－eq\f(1,3)x＋2上，說明這組數(shù)據(jù)點(diǎn)完全負(fù)相關(guān)，其相關(guān)系數(shù)為－1，故選A.9.在區(qū)間[1，5]和[2，4]內(nèi)分別取一個(gè)數(shù)，記為a，b，則方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1表示焦點(diǎn)在x軸上且離心率小于eq\f(\r(3),2)的橢圓的概率為________.答案eq\f(15,32)解析當(dāng)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1表示焦點(diǎn)在x軸上且離心率小于eq\f(\r(3),2)的橢圓時(shí)，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2>b2，,e＝\f(c,a)＝\f(\r(a2－b2),a)<\f(\r(3),2)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2>b2，,a2<4b2，))化簡(jiǎn)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>b，,a<2b.))又a∈[1，5]，b∈[2，4]，畫出滿足不等式的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示，求得陰影部分的面積為eq\f(15,4)，故P＝eq\f(S陰影,2×4)＝eq\f(15,32).10.將某班參加社會(huì)實(shí)踐編號(hào)為1，2，3，…，48的48名學(xué)生，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為6的樣本，已知5號(hào)，21號(hào)，29號(hào)，37號(hào)，45號(hào)學(xué)生在樣本中，則樣本中還有一名學(xué)生的編號(hào)是________.答案13解析系統(tǒng)抽樣法取出的樣本編號(hào)成等差數(shù)列，因此還有一個(gè)編號(hào)為5＋8＝21－8＝13.11.某班有學(xué)生60人，現(xiàn)將所有學(xué)生按1，2，3，…，60隨機(jī)編號(hào)，若采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為5的樣本(等距抽樣)，已知編號(hào)為4，a，28，b，52號(hào)學(xué)生在樣本中，則a＋b＝________.答案56解析∵樣本容量為5，∴樣本間隔為60÷5＝12，∵編號(hào)為4，a，28，b，52號(hào)學(xué)生在樣本中，∴a＝16，b＝40，∴a＋b＝56.12.給出如下四對(duì)事件：①某人射擊1次，“射中7環(huán)”與“射中8環(huán)”；②甲、乙兩人各射擊1次，“至少有1人射中目標(biāo)”與“甲射中，但乙未射中目標(biāo)”；③從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，“至少一個(gè)黑球”與“都是紅球”；④從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，“沒有黑球”與“恰有一個(gè)紅球”.其中屬于互斥事件的是________.(把你認(rèn)為正確的事件的序號(hào)都填上).答案①③④解析①某人射擊1次，“射中7環(huán)”與“射中8環(huán)”兩個(gè)事件不會(huì)同時(shí)發(fā)生，故為互斥事件；②甲、乙兩人各射擊1次，“至少有1人射中目標(biāo)”與“甲射中，但乙未射中目標(biāo)”，前者包含后者，故②不是互斥事件；③“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”不能同時(shí)發(fā)生，但一定會(huì)有一個(gè)發(fā)生，所以這兩個(gè)事件是對(duì)立事件，故是互斥事件；④“沒有黑球”與“恰有一個(gè)紅球”，不可能同時(shí)發(fā)生，故他們屬于互斥事件.13.國(guó)內(nèi)某知名大學(xué)有男生14000人，女生10000人.該校體育學(xué)院想了解本校學(xué)生的運(yùn)動(dòng)狀況，根據(jù)性別采取分層抽樣的方法從全校學(xué)生中抽取120人，統(tǒng)計(jì)他們平均每天運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，如下表：(平均每天運(yùn)動(dòng)的時(shí)間單位：小時(shí)，該校學(xué)生平均每天運(yùn)動(dòng)的時(shí)間范圍是[0，3])男生平均每天運(yùn)動(dòng)的時(shí)間分布情況：平均每天運(yùn)動(dòng)的時(shí)間[0，0.5)[0.5，1)[1，1.5)[1.5，2)[2，2.5)[2.5，3]人數(shù)212231810x女生平均每天運(yùn)動(dòng)的時(shí)間分布情況：平均每天運(yùn)動(dòng)的時(shí)間[0，0.5)[0.5，1)[1，1.5)[1.5，2)[2，2.5)[2.5，3]人數(shù)51218103y(1)請(qǐng)根據(jù)樣本估算該校男生平均每天運(yùn)動(dòng)的時(shí)間(結(jié)果精確到0.1)；(2)若規(guī)定平均每天運(yùn)動(dòng)的時(shí)間不少于2小時(shí)的學(xué)生為“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”，低于2小時(shí)的學(xué)生為“非運(yùn)動(dòng)達(dá)人”.①根據(jù)樣本估算該校“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”的數(shù)量；②請(qǐng)根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面2×2列聯(lián)表，并通過計(jì)算判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“是否為‘運(yùn)動(dòng)達(dá)人’與性別有關(guān)？”運(yùn)動(dòng)達(dá)人非運(yùn)動(dòng)達(dá)人總計(jì)男生女生總計(jì)參考公式：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋ba＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d參考數(shù)據(jù)：P(K2>k0)0.150.100.050.0250.0100.005k02.0722.7063.8415.0246.6357.879解(1)由分層抽樣得：男生抽取的人數(shù)為120×eq\f(14000,14000＋10000)＝70，女生抽取的人數(shù)為120－70＝50，故x＝5，y＝2，則該校男生平均每天運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為eq\f(0.25×2＋0.75×12＋1.25×23＋1.75×18＋2.25×10＋2.75×5,70)≈1.5.故該校男生平均每天運(yùn)動(dòng)的時(shí)間約為1.5小時(shí).(2)①樣本中“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”所占比例是eq\f(20,120)＝eq\f(1,6)，故估計(jì)該?！斑\(yùn)動(dòng)達(dá)人”有eq\f(1,6)×(14000＋10000)＝4000(人).②由表格可知：運(yùn)動(dòng)達(dá)人非運(yùn)動(dòng)達(dá)人總計(jì)男生155570女生54550總計(jì)20100120故K2的觀測(cè)值k＝eq\f(120×15×45－5×552,20×100×50×70)＝e