《高等數(shù)學(xué)教學(xué)課件-》94～95

第四節(jié)一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則本節(jié)內(nèi)容:一、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分微分法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

第九章第四節(jié)一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則本節(jié)內(nèi)容:一、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則定理.

若函數(shù)處偏導(dǎo)連續(xù),在點(diǎn)t可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)證:設(shè)t

取增量△t,且有一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則定理.若函數(shù)處偏導(dǎo)連續(xù),在點(diǎn)《高等數(shù)學(xué)教學(xué)課件-》94～95推廣:1)中間變量多于兩個(gè)的情形.設(shè)設(shè)下面所涉及的函數(shù)都可微.推廣:1)中間變量多于兩個(gè)的情形.設(shè)設(shè)下面所涉及的函數(shù)都2)中間變量是多元函數(shù)的情形.例如：2)中間變量是多元函數(shù)的情形.例如：又如,當(dāng)它們都具有可微條件時(shí),有注意:這里口訣:分段用乘,分叉用加,單路全導(dǎo),叉路偏導(dǎo)與不同,又如,當(dāng)它們都具有可微條件時(shí),有注意:這里口訣:分段用乘例1.設(shè)解:例1.設(shè)解:例2.解:例2.解:例3.設(shè)求全導(dǎo)數(shù)解:注意：多元抽象復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)在偏微分方程變形與驗(yàn)證解的問(wèn)題中經(jīng)常遇到,下列兩個(gè)例題有助于掌握這方面問(wèn)題的求導(dǎo)技巧與常用導(dǎo)數(shù)符號(hào).例3.設(shè)求全導(dǎo)數(shù)解:注意：多元抽象復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)在偏微分為簡(jiǎn)便起見(jiàn),引入記號(hào)例4.設(shè)f

具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求解:令則為簡(jiǎn)便起見(jiàn),引入記號(hào)例4.設(shè)f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分設(shè)函數(shù)的全微分為則復(fù)合函數(shù)都可微,這性質(zhì)叫做全微分形式不變性.二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分設(shè)函數(shù)的全微分為則復(fù)合函數(shù)都可微,例6.解法1:解法2:例6.解法1:解法2:

第九章第五節(jié)一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)二、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導(dǎo)數(shù)(不要求)隱函數(shù)的求導(dǎo)方法第九章第五節(jié)一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)二、方程組所確定的所確定的函數(shù)為隱函數(shù).接下來(lái)怎么求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)所確定的函數(shù)為隱函數(shù).接下來(lái)怎么求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)定理1.

設(shè)函數(shù)則方程一個(gè)連續(xù)函數(shù)y=f(x),并有連續(xù)(隱函數(shù)求導(dǎo)公式)具本推導(dǎo)如下：①具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù);的某鄰域內(nèi)可唯一確定在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)滿足②③滿足條件導(dǎo)數(shù)1、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)定理1.設(shè)函數(shù)則方程一個(gè)兩邊對(duì)x

求導(dǎo)在的某鄰域內(nèi)則兩邊對(duì)x求導(dǎo)在的某鄰域內(nèi)則若隱函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù),二階導(dǎo)數(shù):則隱函的若隱函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù),二階導(dǎo)數(shù):則隱函的例1.驗(yàn)證方程在點(diǎn)(0,0)某鄰域可確定一個(gè)可導(dǎo)隱函數(shù)解:

令連續(xù),由定理1可知,①導(dǎo)的隱函數(shù)則②③在x=0

的某鄰域內(nèi)方程存在可且并求例1.驗(yàn)證方程在點(diǎn)(0,0)某鄰域可確定一個(gè)可導(dǎo)隱函數(shù)解:《高等數(shù)學(xué)教學(xué)課件-》94～95兩邊對(duì)x求導(dǎo)兩邊再對(duì)

x求導(dǎo)令x=0,導(dǎo)數(shù)的另一求法—利用隱函數(shù)求導(dǎo)兩邊對(duì)x求導(dǎo)兩邊再對(duì)x求導(dǎo)令x=0,導(dǎo)數(shù)的另一求定理2.若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則方程在點(diǎn)并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)定一個(gè)單值連續(xù)函數(shù)z=f(x,y),公式推導(dǎo)如下:滿足①在點(diǎn)滿足:②③某一鄰域內(nèi)可唯一確定理2.若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則方程在點(diǎn)并有兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)同樣可得則兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)同樣可得則《高等數(shù)學(xué)教學(xué)課件-》94～95例3.設(shè)解法1利用隱函數(shù)求導(dǎo)再對(duì)x

求導(dǎo)例3.設(shè)解法1利用隱函數(shù)求導(dǎo)再對(duì)x求導(dǎo)解法2利用公式設(shè)則兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)解法2利用公式設(shè)則兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)第四節(jié)一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則本節(jié)內(nèi)容:一、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分微分法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

第九章第四節(jié)一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則本節(jié)內(nèi)容:一、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則定理.

若函數(shù)處偏導(dǎo)連續(xù),在點(diǎn)t可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)證:設(shè)t

取增量△t,且有一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則定理.若函數(shù)處偏導(dǎo)連續(xù),在點(diǎn)《高等數(shù)學(xué)教學(xué)課件-》94～95推廣:1)中間變量多于兩個(gè)的情形.設(shè)設(shè)下面所涉及的函數(shù)都可微.推廣:1)中間變量多于兩個(gè)的情形.設(shè)設(shè)下面所涉及的函數(shù)都2)中間變量是多元函數(shù)的情形.例如：2)中間變量是多元函數(shù)的情形.例如：又如,當(dāng)它們都具有可微條件時(shí),有注意:這里口訣:分段用乘,分叉用加,單路全導(dǎo),叉路偏導(dǎo)與不同,又如,當(dāng)它們都具有可微條件時(shí),有注意:這里口訣:分段用乘例1.設(shè)解:例1.設(shè)解:例2.解:例2.解:例3.設(shè)求全導(dǎo)數(shù)解:注意：多元抽象復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)在偏微分方程變形與驗(yàn)證解的問(wèn)題中經(jīng)常遇到,下列兩個(gè)例題有助于掌握這方面問(wèn)題的求導(dǎo)技巧與常用導(dǎo)數(shù)符號(hào).例3.設(shè)求全導(dǎo)數(shù)解:注意：多元抽象復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)在偏微分為簡(jiǎn)便起見(jiàn),引入記號(hào)例4.設(shè)f

具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求解:令則為簡(jiǎn)便起見(jiàn),引入記號(hào)例4.設(shè)f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分設(shè)函數(shù)的全微分為則復(fù)合函數(shù)都可微,這性質(zhì)叫做全微分形式不變性.二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分設(shè)函數(shù)的全微分為則復(fù)合函數(shù)都可微,例6.解法1:解法2:例6.解法1:解法2:

第九章第五節(jié)一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)二、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導(dǎo)數(shù)(不要求)隱函數(shù)的求導(dǎo)方法第九章第五節(jié)一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)二、方程組所確定的所確定的函數(shù)為隱函數(shù).接下來(lái)怎么求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)所確定的函數(shù)為隱函數(shù).接下來(lái)怎么求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)定理1.

設(shè)函數(shù)則方程一個(gè)連續(xù)函數(shù)y=f(x),并有連續(xù)(隱函數(shù)求導(dǎo)公式)具本推導(dǎo)如下：①具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù);的某鄰域內(nèi)可唯一確定在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)滿足②③滿足條件導(dǎo)數(shù)1、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)定理1.設(shè)函數(shù)則方程一個(gè)兩邊對(duì)x

求導(dǎo)在的某鄰域內(nèi)則兩邊對(duì)x求導(dǎo)在的某鄰域內(nèi)則若隱函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù),二階導(dǎo)數(shù):則隱函的若隱函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù),二階導(dǎo)數(shù):則隱函的例1.驗(yàn)證方程在點(diǎn)(0,0)某鄰域可確定一個(gè)可導(dǎo)隱函數(shù)解:

令連續(xù),由定理1可知,①導(dǎo)的隱函數(shù)則②③在x=0

的某鄰域內(nèi)方程存在可且并求例1.驗(yàn)證方程在點(diǎn)(0,0)某鄰域可確定一個(gè)可導(dǎo)隱函數(shù)解:《高等數(shù)學(xué)教學(xué)課件-》94～95兩邊對(duì)x求導(dǎo)兩邊再對(duì)

x求導(dǎo)令x=0,導(dǎo)數(shù)的另一求法—利用隱函數(shù)求導(dǎo)兩邊對(duì)x求導(dǎo)兩邊再對(duì)x求導(dǎo)令x=0,導(dǎo)數(shù)的另一求定理2.若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則方程在點(diǎn)并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)定一個(gè)單值連續(xù)函數(shù)z=f(x,y),公式推導(dǎo)如下:滿足①在點(diǎn)滿足:②③某一鄰域內(nèi)可唯一確定理2.若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)