功動(dòng)能定理機(jī)械能守恒

關(guān)于功動(dòng)能定理機(jī)械能守恒第一頁，共四十六頁，2022年，8月28日§

3-1功動(dòng)能定理機(jī)械能守恒定律§3-2動(dòng)量動(dòng)量定理動(dòng)量守恒定律§3-3角動(dòng)量角動(dòng)量定理角動(dòng)量守恒定律§3-4質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理第二頁，共四十六頁，2022年，8月28日一、功與能量物體在力的作用下發(fā)生一無限小的位移(元位移)時(shí)，此力對它做的功定義為可以寫成兩個(gè)矢量的標(biāo)積：功是標(biāo)量，沒有方向，但有正負(fù)。單位：Nm=J(焦耳)功率：單位：J/s(W)（為力與位移的夾角）§3-1功動(dòng)能定理機(jī)械能守恒定律第三頁，共四十六頁，2022年，8月28日能量是反映各種運(yùn)動(dòng)形式共性的物理量，各種運(yùn)動(dòng)形式的相互轉(zhuǎn)化可以用能量來量度。各種運(yùn)動(dòng)形式的相互轉(zhuǎn)化遵守能量守恒定律。與機(jī)械運(yùn)動(dòng)直接相關(guān)的能量是機(jī)械能，它是物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（即位置和速度）的單值函數(shù)，包括動(dòng)能和勢能。能量能量是物體狀態(tài)的單值函數(shù)。物體狀態(tài)發(fā)生變化，它的能量也隨之變化。第四頁，共四十六頁，2022年，8月28日二、動(dòng)能定理設(shè)質(zhì)點(diǎn)在變力的作用下沿曲線從a點(diǎn)移動(dòng)到b點(diǎn)，變力所做的功為：由牛頓第二定律：第五頁，共四十六頁，2022年，8月28日定義質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能（kineticenergy）：則有動(dòng)能定理（theoremofkineticenergy）：合外力對質(zhì)點(diǎn)所做的功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量。

3.功是一個(gè)過程量，而動(dòng)能是一個(gè)狀態(tài)量。1.

與參考系有關(guān)，動(dòng)能定理只在慣性系中成立。2.4.微分形式：第六頁，共四十六頁，2022年，8月28日例3-1裝有貨物的木箱，重量G=980N，要把它運(yùn)上汽車?，F(xiàn)將長l=3m的木板擱在汽車后部，構(gòu)成一斜面，然后把木箱沿斜面拉上汽車。斜面與地面成30°角，木箱與斜面間的滑動(dòng)摩擦因數(shù)=0.20，繩的拉力與斜面成10°角，大小為700N。求：（1）木箱所受各力所做的功；（2）合外力對木箱所做的功；（3）如改用起重機(jī)把木箱直接吊上汽車能不能少做些功？第七頁，共四十六頁，2022年，8月28日木箱所受的力分析如圖所示。拉力F所做的功重力所做的功解：（1）每個(gè)力所做的功：正壓力所做的功第八頁，共四十六頁，2022年，8月28日根據(jù)牛頓第二定律：摩擦力所做的功：（2）合力所做的功：第九頁，共四十六頁，2022年，8月28日（3）如改用起重機(jī)把木箱吊上汽車。所用拉力F'至少要等于重力。這時(shí)拉力所做的功為等于重力所做的功，而符號相反，這時(shí)合外力所做的功為零。與（1）中F做的功相比較，用了起重機(jī)能夠少做功。（1）中推力F所多做的功：其中，435J的功用于克服摩擦力，轉(zhuǎn)變成熱量；余下165J的功將使木箱的動(dòng)能增加。第十頁，共四十六頁，2022年，8月28日例3-2柔軟均質(zhì)物體以初速v0送上平臺(tái)，物體前端在平臺(tái)上滑行s距離后停止。設(shè)滑道上無摩擦，物體與臺(tái)面間的摩擦因數(shù)為，且s＞Ｌ，求初速度v0。解：第十一頁，共四十六頁，2022年，8月28日由動(dòng)能定理：第十二頁，共四十六頁，2022年，8月28日1、保守力與非保守力

根據(jù)各種力做功的特點(diǎn)，可將力分為保守力和非保守力。保守力（conservativeforce）：如：重力、萬有引力、彈性力以及靜電力等。非保守力（non-conservativeforce）：如：摩擦力、回旋力等。做功與路徑無關(guān)，只與始末位置有關(guān)的力。做功不僅與始末位置有關(guān)，還與路徑有關(guān)的力。三、保守力成對力的功勢能第十三頁，共四十六頁，2022年，8月28日（1）重力的功重力做功只與質(zhì)點(diǎn)的起始和終了位置有關(guān)，而與所經(jīng)過的路徑無關(guān)，重力是保守力！設(shè)物體m從a點(diǎn)沿任一曲線移動(dòng)到b點(diǎn)。在元位移中，重力所做的元功為第十四頁，共四十六頁，2022年，8月28日如果物體沿閉合路徑abcda運(yùn)動(dòng)一周，容易計(jì)算重力所做的功為：討論表明保守力沿任何閉合路徑做功等于零。（L為任意閉合路徑）或第十五頁，共四十六頁，2022年，8月28日（2）彈性力的功彈性力做功只與質(zhì)點(diǎn)的起始和終了位置有關(guān)，而與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑無關(guān)，彈性力是保守力！設(shè)光滑水平桌面一端固定的輕彈簧(k)，另一端連接質(zhì)點(diǎn)m，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)由a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)的過程中：第十六頁，共四十六頁，2022年，8月28日（3）萬有引力的功設(shè)質(zhì)量為m'的質(zhì)點(diǎn)固定，另一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在m'

的引力場中從a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)。萬有引力的功僅由物體的始末位置決定，與路徑無關(guān)，萬有引力是保守力！第十七頁，共四十六頁，2022年，8月28日（4）摩擦力的功摩擦力做功與路徑有關(guān)，摩擦力是非保守力！質(zhì)量為m的物體在桌面上沿曲線路徑從a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)，設(shè)物體與桌面的摩擦因數(shù)為，其中sab為物體經(jīng)過的路程，與物體的運(yùn)動(dòng)路徑有關(guān)。第十八頁，共四十六頁，2022年，8月28日2、成對力的功

設(shè)有兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)m1和m2，存在一對相互作用力和。在dt時(shí)間內(nèi)分別經(jīng)過元位移和，這一對力所做的元功為相對元位移第十九頁，共四十六頁，2022年，8月28日成對力的功：討論(1)成對作用力和反作用力所做的總功只與作用力及相對位移有關(guān)，而與每個(gè)質(zhì)點(diǎn)各自的運(yùn)動(dòng)無關(guān)。(2)質(zhì)點(diǎn)間的相對位移和作用力都是不隨參考系而變化的，因此，任何一對作用力和反作用力所做的總功具有與參考系選擇無關(guān)的不變性質(zhì)。(3)可以由相對位移來分析系統(tǒng)中成對內(nèi)力的功。第二十頁，共四十六頁，2022年，8月28日3、勢能與物體的位置相聯(lián)系的系統(tǒng)能量稱為勢能（potentialenergy），常用Ep表示。保守力的功是勢能變化的量度：物體在保守力場中a、b兩點(diǎn)的勢能Epa、Epb之差等于質(zhì)點(diǎn)由a點(diǎn)移動(dòng)到b點(diǎn)過程中保守力做的功Aab：

成對保守內(nèi)力的功等于系統(tǒng)勢能的減少。保守力的功只與物體的始末位置有關(guān)，而與參照系無關(guān)。第二十一頁，共四十六頁，2022年，8月28日彈性勢能重力勢能引力勢能如：若選勢能零點(diǎn)第二十二頁，共四十六頁，2022年，8月28日勢能的大小只有相對的意義，相對于勢能零點(diǎn)而言。勢能零點(diǎn)可以任意選取。勢能差有絕對意義。勢能是相互作用有保守力的系統(tǒng)的屬性。說明已知?jiǎng)菽芎瘮?shù)，可以計(jì)算保守力。由又保守力沿某坐標(biāo)軸的分量等于勢能對此坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)的負(fù)值。第二十三頁，共四十六頁，2022年，8月28日勢能曲線（1）根據(jù)勢能曲線的形狀可以討論物體的運(yùn)動(dòng)。（2）利用勢能曲線，可以判斷物體在各個(gè)位置所受保守力的大小和方向。第二十四頁，共四十六頁，2022年，8月28日解：例3-3已知雙原子分子的勢函數(shù)為，a、b為正常數(shù)，函數(shù)曲線如圖所示，如果分子的總能量為零。求：(1)雙原子之間的最小距離；(2)雙原子之間平衡位置的距離；(3)雙原子之間最大引力時(shí)的兩原子距離；(4)畫出與勢能曲線相應(yīng)的原子之間的相互作用力曲線。(1)當(dāng)動(dòng)能Ek=0時(shí)，Ep為最大，兩原子之間有最小距離：第二十五頁，共四十六頁，2022年，8月28日平衡位置的條件為F=0，最大引力的條件為(2)雙原子之間平衡位置的距離(3)雙原子之間最大引力時(shí)的兩原子距離第二十六頁，共四十六頁，2022年，8月28日在位置x1處，保守力F為零。在勢能曲線的拐點(diǎn)位置x2處，保守力F有最小值。(4)畫出與勢能曲線相應(yīng)的原子之間的相互作用力曲線。第二十七頁，共四十六頁，2022年，8月28日1、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理設(shè)系統(tǒng)由兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)m1和m2組成，對質(zhì)點(diǎn)1和2分別應(yīng)用動(dòng)能定理：相加，得系統(tǒng)外力的功Ae系統(tǒng)內(nèi)力的功Ai四、質(zhì)點(diǎn)系的功能原理機(jī)械能守恒定律第二十八頁，共四十六頁，2022年，8月28日質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理：系統(tǒng)的外力和內(nèi)力做功的總和等于系統(tǒng)動(dòng)能的增量。第二十九頁，共四十六頁，2022年，8月28日2、質(zhì)點(diǎn)系的功能原理內(nèi)力的功可分為保守內(nèi)力的功和非保守內(nèi)力的功：質(zhì)點(diǎn)系的功能原理：當(dāng)系統(tǒng)從狀態(tài)1變化到狀態(tài)2時(shí)，它的機(jī)械能的增量等于外力的功與非保守內(nèi)力的功的總和。與動(dòng)能定理比較，運(yùn)用功能原理時(shí)由于保守力所做的功已為系統(tǒng)勢能的變化所代替，因此不必再計(jì)算保守內(nèi)的功。第三十頁，共四十六頁，2022年，8月28日例3-4一汽車的速度v0=36km/h，駛至一斜率為0.010的斜坡時(shí)，關(guān)閉油門。設(shè)車與路面間的摩擦阻力為車重G的0.05倍，問汽車能沖上斜坡多遠(yuǎn)？解法一：取汽車為研究對象。受力分析如圖所示。解：設(shè)汽車能沖上斜坡的距離為s，此時(shí)汽車的末速度為0。根據(jù)動(dòng)能定理：第三十一頁，共四十六頁，2022年，8月28日解法二：取汽車和地球這一系統(tǒng)為研究對象，運(yùn)用系統(tǒng)的功能原理：以下同解法一。第三十二頁，共四十六頁，2022年，8月28日物體受力：重力的作用、摩擦力和正壓力。用功能原理進(jìn)行計(jì)算，把物體和地球作為系統(tǒng)。例3-5

如圖所示，一質(zhì)量m=2kg的物體從靜止開始，沿四分之一的圓周從A滑到B，已知圓的半徑R=4m，設(shè)物體在B處的速度v=6m/s，求在下滑過程中，摩擦力所作的功。解：摩擦力和正壓力都是變力。正壓力不做功。第三十三頁，共四十六頁，2022年，8月28日3、機(jī)械能守恒定律若由質(zhì)點(diǎn)系的功能原理：則機(jī)械能守恒定律（lawofconservationofmechanicalenergy）：如果系統(tǒng)內(nèi)非保守內(nèi)力與外力做的功都為零，則系統(tǒng)內(nèi)各物體的動(dòng)能和勢能可以互相轉(zhuǎn)化，但機(jī)械能的總值保持不變。第三十四頁，共四十六頁，2022年，8月28日4、能量守恒定律對孤立系統(tǒng)：能量守恒定律（lawofconservationofenergy）：一個(gè)孤立系統(tǒng)經(jīng)歷任何變化時(shí)，該系統(tǒng)的所有能量的總和是不變的，能量只能從一種形式變化為另外一種形式，或從系統(tǒng)內(nèi)一個(gè)物體傳給另一個(gè)物體。它是自然界最普遍的定律之一。則由質(zhì)點(diǎn)系的功能原理：第三十五頁，共四十六頁，2022年，8月28日例3-6起重機(jī)用鋼絲繩吊運(yùn)一質(zhì)量為m的物體，以速度v0做勻速下降，如圖所示。當(dāng)起重機(jī)突然剎車時(shí)，物體因慣性進(jìn)行下降，問使鋼絲繩再有多少微小的伸長？(設(shè)鋼絲繩的勁度系數(shù)為k，鋼絲繩的重力忽略不計(jì)。)這樣突然剎車后，鋼絲繩所受的最大拉力將有多大？第三十六頁，共四十六頁，2022年，8月28日研究物體、地球和鋼絲繩所組成的系統(tǒng)。系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。解：首先討論起重機(jī)突然停止的瞬時(shí)位置處的機(jī)械能，設(shè)物體因慣性繼續(xù)下降的微小距離為h，并以這最低位置作為重力勢能的零點(diǎn)，則有設(shè)這時(shí)鋼絲繩的伸長量為x0，則有第三十七頁，共四十六頁，2022年，8月28日再討論物體下降到最低位置時(shí)的機(jī)械能：機(jī)械能守恒：物體做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，鋼絲繩的伸長量x0滿足第三十八頁，共四十六頁，2022年，8月28日最低位置時(shí)相應(yīng)的伸長量x=x0+h是鋼絲繩的最大伸長量，所以鋼絲繩所受的最大拉力第三十九頁，共四十六頁，2022年，8月28日1.第一宇宙速度已知：地球半徑為R，質(zhì)量為mE，人造地球衛(wèi)星質(zhì)量為m。要使衛(wèi)星在距地面h高度繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求其發(fā)射速度。設(shè)發(fā)射速度為v1，繞地球的運(yùn)動(dòng)速度為v。機(jī)械能守恒：萬有引力提供向心力：例3-7討論宇宙速度第四十頁，共四十六頁，2022年，8月28日得第一宇宙速度：第四十一頁，共四十六頁，2022年，8月28日2.第二宇宙速度宇宙飛船脫離地球引力而必須具有的發(fā)射速度。(1)脫離地球引力時(shí)，飛船的動(dòng)能必須大于或等于零。(2)脫離地球引力處，飛船的引力勢能為零。由機(jī)械能守恒：得第四十二頁，共四十六頁，2022年，8月28日3.第三宇宙速度物體相對太陽的速度為物體脫離太陽引力所需的最小速度應(yīng)滿足地球相對太陽的速度：物體相對于地球的發(fā)射速度：第四十三頁，共四十六頁，2022年，8月28日