線性代數(shù)復(fù)習(xí)題答案

..線性代數(shù)練習(xí)答案練習(xí)一一、1.2.3.D4.C5.二、1.2.3.4.5.三、證：左=練習(xí)二一、1.2.3.4.D5.C二、1.。2.3.4.三、1.方程組有唯一解；2.設(shè)由已知可得求得D=48,D1=96,D2=--240,D3=0,D4=336,則練習(xí)三一、1.A2.D3.D4.A5.C二、1.〔1線性無(wú)關(guān)〔2c=5時(shí),線性相關(guān)設(shè)2.設(shè)存在一組數(shù),使由無(wú)關(guān)得方程有非零解線性相關(guān)3.由于分量組成的行列式不為0,所以線性無(wú)關(guān)。又因?yàn)榫€性相關(guān)〔5個(gè)4維向量一定線性相關(guān)所以一定可由線性表示。設(shè),根據(jù)此向量等式,我們可以得到一個(gè)四個(gè)方程組成的方程組。把看成未知數(shù),解出,就得到由線性表示的表示方式。因?yàn)榈慕馕ㄒ?所以由線性表示的表示方式唯一。4.<1>由于線性無(wú)關(guān),所以也線性無(wú)關(guān)。又因?yàn)榫€性相關(guān),所以可由線性表示。<2>假設(shè)可由線性表示又因?yàn)榭捎删€性表示,所以可由線性表示。則線性相關(guān)。這與已知線性無(wú)關(guān)矛盾。所以假設(shè)不成立。則不可由線性表示。三、證：可由,,,線性表示,存在不全為零的數(shù)：,使得：顯然,否則若,則與不能由,,,線性表示矛盾。故,因此有：即：向量可由,,,,線性表示。練習(xí)四一、1.B2.B3.D4.C5.C二、解法一：分量組成的行列式為0,所以線性相關(guān)。而容易判斷,,也線性相關(guān)。再有線性無(wú)關(guān),所以是的極大無(wú)關(guān)組。解法二：則為向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組三、線性無(wú)關(guān),且,所以線性相關(guān),且秩為2,是的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。由于和有相同的秩,所以線性相關(guān),則又可由線性表示且,所以線性相關(guān)。則,于是四、證：設(shè)是的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組,且是的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。由于可由線性表示,所以是的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。所以的秩也是,而是的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組,所以也是的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組,則可由線性表示,那么就可由線性表示。則與等價(jià)。練習(xí)五一、1.2.C3.C4.C5.D二、1.2.3.原式=4.1或10三、為對(duì)稱矩陣；令則時(shí),練習(xí)六一、1.A2.C3.B4.A5.D二、三、四、；；五、1.,得2.是非奇異矩陣練習(xí)七一、1.D2.B3.A4.A5.B二、1.〔1,〔22.因則3.,因此4.三、1.由,得。從而有：即：所以有：,故：可逆。且：。2.只要證明即可。又因?yàn)椋?；知：故：。所以不可逆。練習(xí)八一、1.A2.B3.C4.B5.A二、1.取基礎(chǔ)解系：方程組通解為,其中為任意實(shí)數(shù)。` 2.≌,對(duì)應(yīng)的方程組為取,得,對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的同解方程組為：,其基礎(chǔ)解系為：所求通解為：,其中為任意實(shí)數(shù)。3.〔1當(dāng)且時(shí),,方程組有唯一解?！?當(dāng)且時(shí),則,方程組有無(wú)窮多解；<3>當(dāng)時(shí),若則,方程組無(wú)解；若則,方程組無(wú)解。三、若是一個(gè)基礎(chǔ)解系,則線性無(wú)關(guān)已知線性無(wú)關(guān)…①,而,即方程組①只有零解四、由線性無(wú)關(guān)及知,且是齊次方程組的基礎(chǔ)解系,又由知是方程組的解,因此非齊次方程組的通解為,其中為任意實(shí)數(shù)。階段自測(cè)題〔一一、1．2.63.,其中為任意實(shí)數(shù)4.25.二、1.D2.C3.D4.D5.D三、1.原式=2.原式3.令,方程組有解,則可由線性表示〔1有唯一解〔2有無(wú)窮個(gè)解無(wú)窮個(gè)解〔3無(wú)解無(wú)解四、設(shè)還有一種表示方式為,兩式相減,則有0=,若線性無(wú)關(guān),則所有,表示法唯一；若線性相關(guān),則存在,表示法不唯一。五、由及有,于是有。練習(xí)九一、1.0,2.正交3.4.,.5.,,二、1．單位化,得：為所求2．由題意知=-1,且有所以3．,故對(duì)應(yīng)于特征值－1的全部特征向量為4．設(shè)特征向量對(duì)應(yīng)的特征值為,則有,可得,a=7,b=8。三、1．則是正交矩陣是正交矩陣,由于都是正交矩陣,所以也是正交矩陣。2．假設(shè)是對(duì)應(yīng)的特征向量,則有,再由,整理可得,由線性無(wú)關(guān)知,矛盾。練習(xí)十一、1．有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量2.63.14.正交矩陣對(duì)角矩陣5.二、1．2．,所以特征值為-3和6對(duì)于特征值-3,特征向量為對(duì)于特征值6,特征向量為,把特征向量正交單位化得,則即可使3．由于A與B相似,因此有相同的特征值,所以B的特征值也為1,0,-1由有,即所以PX為B的特征向量,求之分別為4．令,有5．可逆存在；與相似練習(xí)十一一、1．是,是,否,否2.3.4.,負(fù)定二次型5.0二、1．不是正定的2．正定三、都正定,有：也正定四、由二次型矩陣的各階主子式大于0,可解得〔1〔2五、,,所以特征值為1,4,-5,對(duì)應(yīng)特征向量分別為,單位化后,得到,則,X=PY使階段自測(cè)題〔二一、1.2.且3.34.－4,－6,－12.5.二、1．C2.D3.C.4.B