專題四導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

Δ→0Δn*nΔ→0Δn*n專題四

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第節(jié)導(dǎo)的念其算[考情展望]利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線在某點處的切線方.考查導(dǎo)數(shù)的有關(guān)計算．一、導(dǎo)數(shù)的概念．函數(shù)y＝(x)＝x

0

處的導(dǎo)數(shù)：定義：稱函數(shù)＝f(x在＝x0

處的瞬時變化率limΔ→0

f0

＋－x0Δ

Δ＝為數(shù)y＝()在＝x處導(dǎo)數(shù)記fxΔ00

)或x＝x，fx00

Δ)＝lim＝limΔ→0Δ→0

f0

＋－fx0Δ

幾何意義函數(shù)f在點x0

處的導(dǎo)數(shù))的幾何意義是曲線yf(在點(x000

))處的切線斜率(時速度就是位移函數(shù)(對時間t的數(shù))相應(yīng)地，切線方程為－f0－x．0

)＝fx)(0．函數(shù)(x)的導(dǎo)函數(shù)：稱數(shù)fx)＝limΔ→0二、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)f)＝x∈)

fx＋x－xΔ導(dǎo)函數(shù))＝nx

為f)的導(dǎo)函數(shù)．f)＝sinx()＝cos

＝cos_f′(x＝－xf)＝a

f′(x＝a

ln_a＞fx＝

f′(x)＝f)＝a

)＝

xaf)＝ln

f′(x＝

xf2f[x3222223αf2f[x3222223α三、導(dǎo)數(shù)的運算法則．[fx(x＝f)±)；

．[(()]＝fx)x＋))；

f＝

x－x[

x

(()≠0)．導(dǎo)數(shù)的運算法則特例及推廣fx(1)[afx))]＝af)＋x)其中，b為數(shù)．(2)＝

2

(f(x．導(dǎo)數(shù)的加法與減法法則，可由兩個可導(dǎo)函數(shù)推廣任意有限個可導(dǎo)函數(shù)的情形，即[u(x(x…±()]＝uxx…±x)．四、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

設(shè)＝v)在點處導(dǎo)，y＝f(在點u處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)f[v(x)]在點x處導(dǎo)，且f)f′(u)·x)，即y＝′x“分解求導(dǎo)—回代法復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)分解適選定中間變量，正確解復(fù)合關(guān)系，即說明函數(shù)關(guān)y＝u，＝g(x；求導(dǎo)分求導(dǎo)(弄清每一步求導(dǎo)是哪個變量對哪個變量求特注意中變量對自變量求導(dǎo)，即先求′，再求u；ux回代計算′′u

，并把中間變量代回原自變量一般是的數(shù)．．某汽車的路程函數(shù)是()＝2t－gt2＝10)當t＝2s時汽車的加速度是)A14m/s

B2

．10

．－m/s．函數(shù)y＝xcos－x的導(dǎo)數(shù)為)AB．－xsinxCxcos

D．－xcosx．已知(x)＝x，若)2，則x00

等于()Ae

ln2B．C.

D．2．曲線y＝x

＋11在(1,12)的切線與y軸點的縱坐標()A－9B．－3．9D．5江高考)若曲線＝x＋1(α∈R)點1,2)處的切線經(jīng)過坐標原點＝________.233323336(2017·廣高考)若曲線y＝kx＋lnx在點1k)處的切線平行于x軸則k＝________.考向一[036]導(dǎo)的計算求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝sinx；

＝

x＋＋x

；

x＝－sincos2

；考向二[037]導(dǎo)幾何意義的應(yīng)用設(shè)函數(shù)f)＝－，線＝()在，f處切線方為x－y－＝x(1)求f()的解析式；證明：曲線＝上任一點處的切線與直線＝0直線＝x圍成的三角形的面積為定值，并求此定值．易錯易誤之四求線方程在、過兩重天蘭模擬若存在過(1,0)的直線與曲y＝

和y＝2

＋

x－9都相切，則a等于)725A－1或B．－1或．－或4464

D．

或銀模擬已知曲線y＝

上一點P2，

，求過點P的線方程．第節(jié)導(dǎo)的用一)[考情展望]利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值與閉區(qū)間上的最.借助導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的范圍．一、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系

函數(shù)yfx)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則若fx)＞0則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增若fx)＜0則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減若fx)＝0則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)是常數(shù)函．導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系fx)＞0(或fx)＜是f)在ab)內(nèi)單調(diào)遞增或遞減)充分不必要條件；fx或f′(x是f(x)在內(nèi)單調(diào)遞或遞減的必要不充分條(x)＝不恒成立．二、函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)．函數(shù)的極小值與極小值點：若數(shù)f)點x＝a處的函數(shù)值f(a比它在點＝附其他點的函數(shù)值都小，且f)＝0而且在＝a附的左側(cè)fx，側(cè)x)>0，a點叫函數(shù)的極小值點，f)叫函數(shù)的極小值．．函數(shù)的極大值與極大值點：若數(shù)f)點x＝b處的函數(shù)值f(b比它在點＝附其他點的函數(shù)值都大，且f)＝0而且在＝b附的左側(cè)fx，側(cè)x)<0，b點叫函數(shù)的極大值點，f)叫函數(shù)的極大值，極大和極小值統(tǒng)稱為極值．1.fx＝x00

是f()極值點的關(guān)系fx＝0是00

為f)的極值點的非充分非必要件．例如f(x＝xf′(0)＝0但x＝不是極值點；又如fx)，x＝0它的極小值點，但不在．三、函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)函fx)在]上有最值的條件：果在區(qū)間[a]上函數(shù)＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值．22．求y＝f(x)在，b]上的最小值的步驟：①求函數(shù)＝f)在a)內(nèi)的極值．②函數(shù)y＝()的各極值與端點處的函數(shù)值f(a)f)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．極值同最值的關(guān)系

極值只能在定義域內(nèi)取不包括端)，最值卻可以在端點處取得，有極值的不一定有最值有值也未必有極值極有可能成為最值最值只要不在端點處取必定是極值．．函數(shù)f)定義域為開區(qū)間(，b)，導(dǎo)函數(shù)fx在a，b內(nèi)圖象如圖所示，則函數(shù)fx)在開區(qū)間，b)內(nèi)有極小值點()A1個

B．2個

C．

D．．當x＞時，()＝x＋x

的單調(diào)減區(qū)間是)A，＋∞)

B．(0,2)C．(，∞)

D．，2)．函數(shù)(x)＝x

－的小()B．．存在

D．．設(shè)函數(shù)()＝x

，則()A＝1為f()的極大值點C．x－1為f)的極大值點

B＝為f的極小值點D．＝1f()的極小值點．(2017山東）曲y＝x3＋點處的切線與y軸點的縱坐標是)A－9B．－C．D．考向一

利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性(2016·內(nèi)古高考)知函數(shù)fx)＋＋x(∈R)求函數(shù)f)的單調(diào)區(qū)間；x若函數(shù)()在(1，＋上調(diào)遞增，求a的值范圍．考向二

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值(2017·福高考已知函數(shù)fx)－ln(a∈．當＝，求曲線y＝()在點，處的切線方程；(2)函數(shù)fx的極值．．考向三

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值(2015·廣模擬已知函數(shù)fx)ln－(1)＞0試判斷f)其定義域x內(nèi)的單調(diào)性；(2)a－，求f()的最小值；若fx在[，上最小值為，求的值．規(guī)范解答之三利導(dǎo)數(shù)解答函的最值（江西）若f(x)＝－－4lnx，f′(x)>0的集為)A，＋∞)B．(－1,0)(2，＋C．，＋∞)

D(－1,0)22第節(jié)導(dǎo)的用二)[考情展望]利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問導(dǎo)數(shù)與方程數(shù)點等等知識交匯命題合考查分析問題和解決問題的能力．考向一

導(dǎo)數(shù)在方程(數(shù)零點)中的應(yīng)用(2014·長模擬已知函數(shù)fx)ex(x

＋－)其中a是數(shù)．當＝1時求曲線＝f(x)在點1f處的切線方程；若存在實數(shù)，使得關(guān)于的方程fx＝k在[0＋有個不相等的實數(shù)根，求k的值范圍．考向二

導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用(2014·武模擬設(shè)a為數(shù)，函數(shù)f(x)

－2＋2，x∈R.(1)求fx)單調(diào)區(qū)間與極值；求證：當a＞－＞時，＞x－2＋－2－2考向三[043]導(dǎo)數(shù)與生活中的優(yōu)化問題(2013·重高考)已一企業(yè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的年固成本為10萬每生產(chǎn)千件需另投入萬元，設(shè)該企業(yè)年內(nèi)共生產(chǎn)此種產(chǎn)品千件，并且全部銷售完，每千件的銷售收入fx)萬元1x3x

＜xx＞

，