東北大學(xué)巖石力學(xué)講義第四章 廣義虎克定律

第四章廣義虎克定律在應(yīng)力分析中，已經(jīng)從純力學(xué)的基本定律出發(fā)，引入了9個(gè)應(yīng)力分量，它們滿足三個(gè)運(yùn)動(dòng)或平衡微分方程(由動(dòng)量守恒定理推出)和剪應(yīng)力雙生互等定理(由動(dòng)量矩守恒定理推出)，由此得到應(yīng)力張量對(duì)稱的結(jié)論，因此獨(dú)立的應(yīng)力分量只有六個(gè)。在應(yīng)變分析中，從物體的幾何連續(xù)性觀點(diǎn)出發(fā)，研究物體變形，得到三個(gè)位移分量和九個(gè)應(yīng)變分量，這九個(gè)應(yīng)變分量中只有六個(gè)是獨(dú)立的，位移分量和應(yīng)變分量之間滿足六個(gè)變形協(xié)調(diào)方程，這樣我們總共引入了十五個(gè)變量，它們滿足的方程只有九個(gè)其中是已知的體力。從數(shù)學(xué)分析的角度，上述方程是不封閉的，因此沒有唯一的一組解，必須補(bǔ)充六個(gè)方程，將方程組封閉起來。從力學(xué)的角度，不同的材料，在同樣載荷作用下，其變形是不同的，本構(gòu)方程或者說應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系就是反映不同材料力學(xué)性質(zhì)差異的適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)描述，因此本構(gòu)方程是材料的一種力學(xué)特性。在彈性力學(xué)的發(fā)展史上，一維條件下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是從實(shí)驗(yàn)總結(jié)出來的。均勻各向同性彈性體的三維應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系是根據(jù)一維虎克定理，經(jīng)適當(dāng)推廣得到的。這種來自于經(jīng)驗(yàn)的定理非常實(shí)用，但是它是否具有普遍意義，即對(duì)任何均勻各向同性的彈性體都成立，卻是人們心頭揮之不去的陰影。實(shí)際上這個(gè)問題，在彈性力學(xué)發(fā)展史上曾產(chǎn)生很大爭議，直到格林(1838年)和托馬斯(1855年)從熱力學(xué)出發(fā)，從宏觀的角度證明均勻的極端各向異性的彈性體的彈性常數(shù)有21個(gè)，均勻各向同性彈性體的彈性常數(shù)有2個(gè)，才平息了爭議。因此本章從熱力學(xué)的角度，運(yùn)用熱力學(xué)第一、第二定律，導(dǎo)出彈性體的三維應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。從微觀角度也可以研究彈性體的彈性常數(shù)。雖然Caochy和Poisson用分子論(微觀角度)，對(duì)均勻彈性體彈性常數(shù)的研究是錯(cuò)誤的。這并不表明無法從分子論研究彈性常數(shù)。用近代物質(zhì)構(gòu)造理論，玻恩在1915年，完成了這樣的工作。1941年中國的彭桓武具體地計(jì)算了幾種單晶體的彈性系數(shù)，他們的工作與實(shí)驗(yàn)吻合。第一節(jié)熱力學(xué)基本定律與彈性體應(yīng)變能(函數(shù))彈性體是一種熱力學(xué)物質(zhì)，彈性力學(xué)僅研究宏觀運(yùn)動(dòng)和宏觀變形，只需要了解反映材料物質(zhì)結(jié)構(gòu)差異的總體響應(yīng)的方程，不涉及物質(zhì)結(jié)構(gòu)，因此可以從熱力學(xué)的角度建立彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。熱力學(xué)基本定律與狀態(tài)函數(shù)按照熱力學(xué)，一個(gè)物體任意部分的能量包括宏觀動(dòng)能量和內(nèi)能。從微觀的角度，物體的內(nèi)能無非是物體內(nèi)部所有分子的動(dòng)能和勢能式中N為分子總數(shù)，mi、vi分別是第i個(gè)分子的質(zhì)量與速度。是第i個(gè)分子與第j個(gè)分子相互作用的勢能。在疊加時(shí)，計(jì)算了兩次，因此要乘上。上式右端第一項(xiàng)，其宏觀表現(xiàn)即是物體的溫度，因此較容易度量。右端第二項(xiàng)，往往在宏觀上不表現(xiàn)出來，因此測量和計(jì)算是很困難的。從上面的介紹可以看出，物體內(nèi)每個(gè)分子的動(dòng)能和物體整體的動(dòng)能是兩個(gè)概念，物體還可以有宏觀勢能，比如重力場中物體的重力勢能。熱力學(xué)中有兩類變量，一類與過程相關(guān)，比如物體吸收(或放出)的熱量，不僅與物體自身溫度有關(guān)，也與環(huán)境溫度有關(guān)，只有當(dāng)系統(tǒng)與環(huán)境之間存在溫差時(shí)，才有可能與外界交換熱量。這類量不是物體固有的量，不能反映物體的狀態(tài)。物體的固有量可以反映物體的狀態(tài)，這類變量稱為狀態(tài)變量或狀態(tài)函數(shù)。物體的內(nèi)能是狀態(tài)函數(shù)與狀態(tài)改變的路徑無關(guān)。證明如下：按照熱力學(xué)第一定律，物體總能量的變化等于外力對(duì)物體所做的功和物體吸收的熱量。假如在過程中，物體的宏觀動(dòng)能不變化，則內(nèi)能的增量，即是物體總能量的變化，可以表示為(4-1)式中A是初態(tài)，B是終態(tài)，UA和UB分別是狀態(tài)A和狀態(tài)B的內(nèi)能，q是流入物體的熱量，W是外力對(duì)系統(tǒng)所做的功。上式就是這種特殊情況下的能量守恒定律?？紤]物體由兩條不同的路徑從狀態(tài)A變到狀態(tài)B，如下圖所示狀態(tài)A狀態(tài)A狀態(tài)B圖4.1封閉循環(huán)ABA經(jīng)由路徑I，物體內(nèi)能的變化為。經(jīng)由路徑II，物體內(nèi)能的變化為?？紤]物體的封閉循環(huán)，即物體沿路徑I由狀態(tài)A變到狀態(tài)B，再沿路徑II由狀態(tài)B變回狀態(tài)A。顯然，在這個(gè)過程中物體內(nèi)能的變化為。如果內(nèi)能的變化與路徑有關(guān)，則，這樣在這個(gè)封閉循環(huán)中。另一方面，在這樣一個(gè)封閉循環(huán)中，物體的初態(tài)與終態(tài)都是A，則按能量守恒方程(4-1)式。如果，就表明當(dāng)物體回到原來的狀態(tài)時(shí)，內(nèi)能有增加或減小，這違背了以(4-1)式表示的熱力學(xué)第一定律，因而是不可能的。在封閉循環(huán)中，表明從狀態(tài)A到狀態(tài)B，物體內(nèi)能的變化與路徑無關(guān)，即物體的內(nèi)能U是狀態(tài)函數(shù)。凡是與路徑無關(guān)的函數(shù)都滿足沿閉路上的積分為零的條件(4-2)按照狀態(tài)函數(shù)的意義，還可以知道狀態(tài)函數(shù)存在全微分。彈性應(yīng)變能函數(shù)在外力作用下物體一定發(fā)生位移(剛體運(yùn)動(dòng)、變形，兩者兼而有之，或者有其一)，并從一個(gè)平衡態(tài)變到新的平衡態(tài)，在這個(gè)過程中，外力(體力和面力)對(duì)物體做功(如果是純熱力學(xué)過程，則外力不做功，但物體與外界有熱量交換)。同時(shí)，物體的宏觀動(dòng)能和內(nèi)能也發(fā)生相應(yīng)的變化。熱力學(xué)第一定律告訴我們，在平衡態(tài)變化過程中，物體總能量的增加等于外力對(duì)物體施加的功和接受的熱量之和。(4-3)式中K是物體的宏觀動(dòng)能，U是內(nèi)能，A是外力的功，Q是接受的熱量。K和U是狀態(tài)函數(shù)，它們的改變與路徑無關(guān)，存在全微分，因此用“”表示它們的變化，A和Q的變化不僅與狀態(tài)有關(guān)，還與過程有關(guān)，因此用“D”表示它們的變化，以示區(qū)別?，F(xiàn)在我們從物體中取出一個(gè)微元體，計(jì)算它在平衡狀態(tài)變化過程中各種量的變化，設(shè)該微元體的體積為V，表面積為S。在直角坐標(biāo)系中微元體的位移為，位移速度為，位移加速度為，物體所受體力為，面力為。若過程變化的時(shí)間極小，則在平衡狀態(tài)變化過程中，可以認(rèn)為體力和面力不變。因此在單位時(shí)間內(nèi)外力對(duì)物體所做的功為(4-4)式中，A1是體力的功，A2是面力的功。(4-5a)(4-5b)按照斜面應(yīng)力公式按Gauss公式，上式變?yōu)橹匦抡砩鲜?4-6)迭加(4-5a)和(4-6)得到外力的功為(4-7)若物體的密度為，物體單位體積的宏觀動(dòng)能為，則利用運(yùn)動(dòng)(平衡)方程，(4-7)可寫為(4-9)另一方面，物體的宏觀動(dòng)能為在時(shí)間內(nèi)物體宏觀動(dòng)能的改變?yōu)?4-10)對(duì)比(4-9)和(4-10)，可得(4-11)從(4-3)式可導(dǎo)出即，(4-12)如果是絕熱過程，則，這相當(dāng)于物體極快地由一個(gè)平衡態(tài)，變化到另一個(gè)平衡態(tài)，因此來不及吸收和釋放熱量。此時(shí)對(duì)比(4-11)和(4-12)，可得(4-13)如果是等溫過程，這相當(dāng)于物體平衡狀態(tài)的變化極慢，如果單位體積中的內(nèi)能是W1，則在全部的體積內(nèi)內(nèi)能為因此(4-14)對(duì)比(4-13)和(4-14)，可得(4-15)也是空間點(diǎn)的函數(shù)，若固定空間點(diǎn)不變，則在dt時(shí)間內(nèi)，內(nèi)能的變化(注意：不是變化率)為(4-16)上面的討論已經(jīng)指出，內(nèi)能是狀態(tài)函數(shù)與路徑無關(guān)，因此將W1對(duì)時(shí)間積分，從t0時(shí)刻積分到t時(shí)刻，其積分值只與初態(tài)和終態(tài)有關(guān)，與積分路徑無關(guān)。(此處是與積分的時(shí)間歷程無關(guān))，如果還有初始狀態(tài)下內(nèi)能W=0，則有(4-17)(注：上面推導(dǎo)的最后一步用到了積分變量的變化，但這個(gè)變換是基于力學(xué)的，而非數(shù)學(xué)的原理。)從(4-17)可以得到(4-18)(4-18)給出了應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系，具有(4-18)這樣性質(zhì)的函數(shù)W稱為應(yīng)變能量函數(shù)，簡稱應(yīng)變能。由(4-18)式確定的應(yīng)力叫廣義應(yīng)力，(4-18)式也稱格林公式。從格林公式的推導(dǎo)過程我們可以看出，W表示為了克服物體內(nèi)質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)變形，應(yīng)力分量在應(yīng)變分量上的功，當(dāng)外力去除后，該能量被釋放出來，使物體恢復(fù)原來的形狀。熱力學(xué)第二定律告訴我們，機(jī)械能總是可以轉(zhuǎn)化為熱能，但如果沒有功的消耗，熱能不會(huì)自動(dòng)地從較冷的物體流向較熱的物體。熱力學(xué)第二定律也可以定量地表示為(4-19)式中S叫做熵，T是絕對(duì)溫標(biāo)。在等溫狀態(tài)，我們有(4-20)等溫過程相當(dāng)于外力十分緩慢地施加于物體上，使得物體的平衡狀態(tài)十分緩慢地由一種狀態(tài)變?yōu)榱硪环N狀態(tài)。從(4-12)式和上式，可以得到(4-21)內(nèi)能W是狀態(tài)函數(shù)，按熱力學(xué)，熵S也是狀態(tài)函數(shù)，而T=const，因此W-TS是狀態(tài)函數(shù)，同時(shí)由(4-11)式知道因此，從上式和(4-21)式可得(4-22)按上面同樣的推導(dǎo)過程，我們也可以證明在等溫條件下應(yīng)變能函數(shù)W/的存在，且廣義應(yīng)力為(4-23)(4-18)和(4-23)是6個(gè)應(yīng)力分量與6個(gè)應(yīng)變分量之間的關(guān)系，對(duì)彈性體而言，這就是所需要的6個(gè)補(bǔ)充方程。一般而言，這6個(gè)方程是非線性的。第二節(jié)線性彈性物質(zhì)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系各向異性彈性體的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系(廣義虎克定律)(4-18)，(4-23)是從熱力學(xué)第一定律和第二定律導(dǎo)出的，除了等溫和絕熱的條件外，沒有其它的限制，因此可以適用于大變形、非均勻和絕對(duì)各向異性。(4-18)或(4-23)是一共是6個(gè)式子，展開后為(4-23)因?yàn)樾∽冃渭僭O(shè)，各個(gè)應(yīng)變分量都遠(yuǎn)小于1，即，因此可將(4-23)在處展開，可以得到，(4-24)式中是應(yīng)變?yōu)榱銜r(shí)的初始應(yīng)力。由于無初應(yīng)力假設(shè)，式中是在處的導(dǎo)數(shù)值，是常量，因此(4-24)可寫為(4-25)，從左式和(4-25)式可得到從(4-18)式和(4-25)式可得到(a)而(b)由于已經(jīng)假設(shè)位移和應(yīng)變有三階以上的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，因此二階交叉導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)順序無關(guān)，這樣從(4-18)式可得到(c)這樣從(a)、(b)和(c)可得到。按類似的方法還可以得到(4-26)這表明(4-25)式中的36個(gè)系數(shù)是對(duì)稱的，因此在(4-25)中，只有21個(gè)參數(shù)是獨(dú)立的。在條件(4-26)下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是絕對(duì)各向異性彈性材料的應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系(或廣義虎克定律)。從(4-18)可以得到(4-27)(4-27)右端是應(yīng)變能密度。如果彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是線性的，如(4-25)所示，在這種情況下(4-26)式變?yōu)?4-28)(4-27)的兩個(gè)指標(biāo)“i”、“j”是重復(fù)的，按愛因斯坦求和約定，對(duì)重復(fù)指標(biāo)需要在所有可能的取值范圍內(nèi)求和，考慮到(4-27)式，疊加(4-28)的6個(gè)式子可以得到。(4-29)(4-29)是實(shí)的齊次二次多項(xiàng)式，按照線性代數(shù)的相關(guān)知識(shí)(4-29)式是一個(gè)二次型，若記這個(gè)二次型為，則=，用矩陣表示為上式可以簡記為=(4-30)從(4-29)、(4-30)、(4-27)和(4-18)可以看出即(4-31a)因此(4-31b)在這種情況下(即線彈性小變形的情況下)，還可以得到(4-18)式對(duì)偶形式(4-32)(4-32)式稱為卡斯提也努公式，它只有在線性彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系(4-25)式成立時(shí)才成立。綜合以上彈性應(yīng)變能的討論，我們得到以下結(jié)論：1、在等溫和絕熱情況下，彈性應(yīng)變能函數(shù)W存在，這種應(yīng)變能是內(nèi)能，因此是狀態(tài)函數(shù)；2、彈性應(yīng)變能函數(shù)W是單值的，其積分與路徑無關(guān)，因此dW是全微分，而3、在小變形假設(shè)下，彈性應(yīng)力應(yīng)變是線性的。4、當(dāng)線性彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系成立時(shí)，彈性應(yīng)變能函數(shù)W是二次型，并且存在彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的對(duì)偶形式各向同性彈性體的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性體彈性性質(zhì)的對(duì)稱性是指在對(duì)稱方向上彈性性質(zhì)是相同的。由于彈性性質(zhì)是用彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系表示的。因此對(duì)稱性就是指在對(duì)稱方向上彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系相同。具有一個(gè)彈性對(duì)稱面的材料。假設(shè)過彈性體中任一點(diǎn)的與oxy面平行的面是對(duì)稱面，則z軸垂直于該對(duì)稱面，假設(shè)在這種情況下沿z軸方向和-z軸方向看彈性關(guān)系不變。令第一次看的坐標(biāo)系為oxyz，第二次看的坐標(biāo)系為ox/y/z/，則兩個(gè)坐標(biāo)系的關(guān)系如下所示圖4-1圖4-1表4-1表4-1xyzx/100y/010z/00-1按照應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換關(guān)系，在坐標(biāo)系中的應(yīng)力為(4-33a)同理(4-33b)而，(4-33c)按應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換關(guān)系可類似地得到，用舊坐標(biāo)系中的應(yīng)變表示的新坐標(biāo)系中的應(yīng)變分量(4-34a)(4-33b)在新坐標(biāo)系和舊坐標(biāo)系中彈性關(guān)系不變，意味著在新坐標(biāo)系和舊坐標(biāo)系中彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系(4-25)都成立，因此在新坐標(biāo)系中(4-25)式中的第一式為將(4-33a)和(4-34)代入上式得到上式與(4-25)式的第一式應(yīng)完全相同，比較兩式可以得到考慮到對(duì)稱性(4-25)的其它各式，在新坐標(biāo)系中也成立，將(4-33)和(4-34)代入這些方程有將上面5個(gè)方程與(4-25)的其余5個(gè)方程比較，便得出考慮到對(duì)稱性，還有這樣在存在一個(gè)對(duì)稱面的情況下，(4-25)式的36個(gè)系數(shù)中有16個(gè)為零，非零系數(shù)只有20個(gè)?？紤]到對(duì)稱性，在這種情況下，只有13個(gè)獨(dú)立的彈性系數(shù)，用矩陣表示為即(4-25)式變?yōu)?4-35a)(4-35b)(4-35c)(4-35d)(4-35e)(4-35f)具有三個(gè)彈性對(duì)稱面的材料如果彈性體既對(duì)oxy對(duì)稱，同時(shí)也對(duì)oyz對(duì)稱，此時(shí)x軸垂直于對(duì)稱面，沿x方向和-x方向彈性關(guān)系也應(yīng)該相同。設(shè)新系為ox/y/z/，則新舊坐標(biāo)系的關(guān)系如下表所示xyzx/-100y/010z/001圖4-2圖4-2表4-2表4-2按坐標(biāo)變換關(guān)系，在新、舊坐標(biāo)系中應(yīng)力分量之間的關(guān)系為(4-36a)在新、舊坐標(biāo)系中應(yīng)變分量之間的關(guān)系為(4-36b)利用對(duì)稱性和應(yīng)力應(yīng)變的變換關(guān)系(4-36)式，即將(4-36)代入(4-35)中，可以得到此時(shí)獨(dú)立的彈性常數(shù)只有9個(gè)，用矩陣表示為既對(duì)oxy面對(duì)稱，又對(duì)oyz面對(duì)稱的材料，必定對(duì)ozx面對(duì)稱，因此有3個(gè)對(duì)稱面的材料的彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為(4-37a)(4-37b)(4-37c)(4-37d)(4-37e)(4-37f)具有各向同性面的彈性材料假如過彈性體中的任意點(diǎn)都有一個(gè)平面，在這個(gè)平面內(nèi)，從各個(gè)方向看，彈性關(guān)系都相同，我們進(jìn)一步假定oxy面和平行于oxy面的平面就是這樣的各向同性面。z軸垂直于該面，而x、y軸位于該面內(nèi)。討論在這種情況下的彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，最方便的是將x、y軸繞z軸旋轉(zhuǎn)900，得到新的坐標(biāo)系ox/y/z/，新系和舊系之間的關(guān)系如下表4-3圖4-3表4-3圖4-3xyzx/010y/-100z/001在這種情況下新舊坐標(biāo)系之間，應(yīng)力分量和應(yīng)變分量的關(guān)系為(4-38a)(4-38b)利用(4-37)和(4-38)將以上諸式與(4-37)比較可得因此(4-37)變?yōu)?4-38a)(4-38b)(4-38c)(4-38d)(4-38e)(4-38f)獨(dú)立的彈性常數(shù)有6個(gè)，用矩陣表示為然后將坐標(biāo)系oxyz繞z軸轉(zhuǎn)450，得到新坐標(biāo)系ox/y/z/，新舊坐標(biāo)系的關(guān)系如下圖4-4圖4-4xyzx/0y/0z/001表4-4表4-4按照同樣的方法，可以得到因此(4-38)式變?yōu)?4-39a)(4-39b)(4-39c)(4-39d)(4-39e)(4-39f)具有一個(gè)各向同性面的彈性材料稱為橫觀各向同性材料，這種材料的獨(dú)立的彈性常數(shù)有5個(gè)。完全各向同性的彈性材料將oxyz坐標(biāo)系繞x軸轉(zhuǎn)900，新舊坐標(biāo)系的關(guān)系如下所示xyzx/100y/001z/0-10圖4-5圖4-5表4-5表4-5可以得到此時(shí)(4-39)變?yōu)?4-40a)(4-40b)(4-40c)(4-40d)(4-40e)(4-40f)令，則這種彈性材料具有三個(gè)獨(dú)立的彈性系數(shù)，用矩陣表示為應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為(4-41a)(4-41fb)(4-41c)(4-41d)(4-41e)(4-41)若再將oxyz繞y軸轉(zhuǎn)900，得到ox/y/z/如下圖所示圖4-6圖4-6不再得到新的結(jié)果，這表明由(4-41)確定的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)方向都是彈性主方向。若令則(4-41)式可寫為(4-42)式中現(xiàn)在將坐標(biāo)系oxyz繞某軸(如z軸)旋轉(zhuǎn)任意角度θ，得到新坐標(biāo)系ox/y/z/，新舊坐標(biāo)系的關(guān)系如下表4-6圖4-7表4-6圖4-7xyzx/cosθsinθ0y/-sinθcosθ0z/001利用坐標(biāo)變換關(guān)系可以得到(2-++)(2-++)將(2-++)式和(2-++)式第一式代入(4-42)的第一式，并注意到是不變量，可得整理上式可得(4-43)由于角度可以取任意值，因此上式要求整理上式可得到由于可以取任意值，上式要求上面的結(jié)果與(4-42)的前兩式相同。θ角任意還要求將(4-42)的前兩式相減，可以得到上式，因此上面的結(jié)果與(4-42)式不矛盾。在θ角任意的情況下，下式必須成立將上式與(4-41)式的第6式相比，得到(4-44)這樣我們得到了均勻各向同性的線彈性材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系(4-45)式中 稱為拉梅系數(shù)。我們看到各向同性的線性彈性材料，只有2個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù)。以上是從熱力學(xué)導(dǎo)出的用應(yīng)變表示應(yīng)力的彈性應(yīng)力關(guān)系。從上式可以導(dǎo)出用應(yīng)力表示應(yīng)變的彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系將(4-45)前三式相加，可得(4-46)即(4-47)將(4-47)代入(4-45)的第一式，可得以上各式中是剪切模量，以后我們總是記為G，而記泊松比為，因此考慮到上式，(4-45)變?yōu)?4-48)第三節(jié)各向同性彈性介質(zhì)的彈性常數(shù)在各向同性介質(zhì)中，除了彈性常數(shù)以外，為了便于實(shí)驗(yàn)測定還引入了其它彈性常數(shù)，比如考慮簡單拉伸和純剪切時(shí)的彈性模量(楊氏模量)，剪切模量和泊松比。設(shè)在簡單拉壓試驗(yàn)中，拉伸方向平行于x軸，則此時(shí)物體內(nèi)的應(yīng)力狀態(tài)為從(4-48)式，此時(shí)(4-49a、b)另一方面，簡單拉伸實(shí)驗(yàn)指出，一個(gè)平行六面體(彈性體)單向受拉時(shí)，x方向伸長與成正比，與之垂直方向則成比例縮短，同時(shí)保持直角不變，因此為方便起見，引入以下參數(shù)：(4-50a、b)比較(4-50)與(4-49)可得(4-51a)即(4-51b)由于拉應(yīng)力產(chǎn)生拉應(yīng)變，壓應(yīng)力產(chǎn)生壓應(yīng)變，即方程(4-51a)兩端同號(hào)，因此E>0下面從(4-51a、b)解出，從(4-51b)將上式帶入(4-51a)即因此(4-52b)由和上式可得因此(4-52a)從材料力學(xué)知道，廣義虎克定律為(4-53)將(4-53)的前三式相加，得到由于球應(yīng)力是僅產(chǎn)生體積變形的各向同性的應(yīng)力，引入球應(yīng)力，上式可寫成(4-54)式中是體積應(yīng)變，因此(4-55)是體積模量。K也可以用拉梅系數(shù)表示，從(4-47)可得即因此(4-56)現(xiàn)在考慮純剪試驗(yàn)，設(shè)剪應(yīng)力作用于x、y面，于是物體內(nèi)的應(yīng)力狀態(tài)為同時(shí)，應(yīng)變?yōu)檫@樣由純剪試驗(yàn)給出(4-57)這表明拉梅系數(shù)中的G是剪切模量。以上，我們引入了5個(gè)彈性常數(shù)，它們中只有兩個(gè)是獨(dú)立的。除了上面的關(guān)系以外，它們之間還有其它關(guān)系。在剪切試驗(yàn)中，正的剪應(yīng)力產(chǎn)生正的剪應(yīng)變(說明)，因此(4-57)兩端同號(hào)，這要求G>0。而在靜水壓力試驗(yàn)中，各向同性體積應(yīng)力產(chǎn)生各向同性的體積壓縮，此時(shí)，這表明(4-54)的兩端必須同號(hào)，因此K>0。這樣，E、G和K都必須大于零，即由于E>0，上面的式子要求。因此，可以導(dǎo)出，即(4-58)在實(shí)際測試中，還沒有發(fā)現(xiàn)的情況，以后用應(yīng)變能的正負(fù)性可以證明。當(dāng)時(shí)，從(4-55)可以看出，此時(shí)，這意味著體積不可壓縮。因此是體積不可壓縮的條件。第四節(jié)彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的其它表示形式(4-45)是線彈性、小變形體的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，是以應(yīng)變表示應(yīng)力。廣義虎克定律(4-53)也稱逆線性關(guān)系，用應(yīng)力表示應(yīng)變。彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系還有一種常用的表達(dá)方法。廣義虎克定律可以改寫為如下形式，比如從上式兩端同時(shí)減去，并利用(4-54)可得到即同樣可以導(dǎo)出其它兩個(gè)關(guān)系式，這樣廣義虎克定律可表示為(4-59)用張量表示可得(4-60)因?yàn)橐呀?jīng)利用了(4-54)，(4-59)和(4-60)形式上是6個(gè)方程，實(shí)際上只有5個(gè)方程是獨(dú)立的，因此還要補(bǔ)充(4-54)由(4-60)和(4-54)組成的方程是彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的第三種形式。在粘彈性力學(xué)中使用的本構(gòu)方程與上面這組方程類似。第五節(jié)應(yīng)變能的正定性熱力學(xué)第二定律的三種表述(1)、開爾文表述：從單一熱源吸收熱量，使之完全轉(zhuǎn)化為有用功而不產(chǎn)生其它影響的第二類永動(dòng)機(jī)是不可能造成的。(2)、克勞修斯的表述：把熱量從低溫物體傳到高溫物體而不引起其它變化是不可能的。(3)、熵增原理：自然界中發(fā)生的一切熱力學(xué)過程都不會(huì)使熵產(chǎn)減少。即(4-61)式中供熵，產(chǎn)熵(4-62)(4-63)從熱力學(xué)第一定律，得到。而從，可以得到由于熵產(chǎn)，T是絕對(duì)溫標(biāo)，T>0，因此(4-64)等號(hào)僅在時(shí)成立。考慮到熱力學(xué)第一定律上式變?yōu)?4-65)對(duì)于絕熱過程，上式變?yōu)?4.66)對(duì)于等溫過程，自由能為(4-67)注意到等溫過程T=const，則從上式可以得到(4-68)將(4-68)代入(4-65)式得到(4-69)和(4-70)等熵(絕熱)過程中，內(nèi)能U是應(yīng)變能，等溫過程中，自由能F等于應(yīng)變能，因此以上兩個(gè)不等式可以統(tǒng)一地寫為(4-71a、b)此處E是應(yīng)變能，U也指應(yīng)變能。上式表示在可逆過程中，外界的功全部轉(zhuǎn)化為物體的動(dòng)能和應(yīng)變能，而在不可逆過程中，只有一部分轉(zhuǎn)化為應(yīng)變能和動(dòng)能，剩余部分將以熱或聲的方式耗散掉。若將加載前物體所處的熱力學(xué)平衡態(tài)選為無應(yīng)變的自然狀態(tài)(有應(yīng)變也無原則困難)，加載后的平衡態(tài)視為干擾狀態(tài)和變形狀態(tài)，現(xiàn)在來證明，只要自然狀態(tài)(初始狀態(tài))是物體的穩(wěn)定平衡態(tài)，則應(yīng)變能是正定的(即總大于零)。考慮自然狀態(tài)到變形態(tài)的準(zhǔn)靜態(tài)加載過程(這里指等溫過程，不包括絕熱過程或動(dòng)力學(xué)過程)，此時(shí)動(dòng)能dK=0，且過程是可逆的，因此dU=DA。而在這個(gè)過程中，應(yīng)變能作正功DA>0，因此上式要求dU>0。自然狀態(tài)下彈性體的應(yīng)變能為零，則dU>0表示變形狀態(tài)的應(yīng)變能U總大于零，即應(yīng)變能是正定的。應(yīng)變能的正定性限制了彈性常數(shù)的取值范圍。第六節(jié)各向同性彈性體的應(yīng)變能在前面的討論中，已經(jīng)證明應(yīng)變能函數(shù)為(4-31a，4-32)式中i、j遍歷x、y、z，將其展開為分量形式，有(4-72)(4-31a)、（4-32）和(4-72)和表明，盡管和只有六個(gè)獨(dú)立的分量，但它們實(shí)際是9個(gè)分量組成的整體。因此，在計(jì)算應(yīng)力在應(yīng)變上的功時(shí)，需要將所有的應(yīng)力分量的貢獻(xiàn)都計(jì)算上。(4-31a)、（4-32）和(4-72)是從熱力學(xué)得到的，還可以采用更直觀的方式，從力學(xué)角度導(dǎo)出應(yīng)變能的上述表達(dá)式。討論下圖所示物體，該物體僅受的作用。圖4-8圖4-8設(shè)應(yīng)力在空間上不變化，即物體兩端面的應(yīng)力相同，但在變形過程中應(yīng)力是變化的。研究應(yīng)力在物體變形上的功。由應(yīng)力作用在AD邊上的力為，AD邊的位移為u，按位移分析，在BC邊上的位移為，注意到在x正面上，即BC面上，力與位移方向相同，但在AD邊上，力與位移方向相反。因此，由物體兩端作用的應(yīng)力對(duì)物體的功為式中和可稱為元位移，之所以取元位移是考慮到在位移過程中是變化的，但按無限小分析的思想，可以認(rèn)為只要元位移足夠小，則在元位移上可以視為不變。這樣，由應(yīng)力作用在物體元位移上的總功為還會(huì)引起物體在y方向和z方向上的變形，由于垂直于v和w，因此，對(duì)這兩個(gè)方向的位移，應(yīng)力上不作功。此外，、對(duì)x方向的位移也有貢獻(xiàn)。基于同樣的理由，它們對(duì)x方向上元位移的功也為零。這樣在物體的應(yīng)變從零發(fā)展到的整個(gè)過程中，應(yīng)力的功為(4-73)上式中積分變量是，是的函數(shù)，因此上面的積分可寫為由于只需要考慮x方向的應(yīng)變，可將一維應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系代入上式積分，得到(4-74a)同樣，可以得到(4-74b、c)aa、變形前b、變形后圖4-9下面考慮剪應(yīng)力在物體變形上的功，設(shè)在x正面和負(fù)面上的剪應(yīng)力相同，但在位移過程中是變化的。在AD面和BC面上，剪應(yīng)力產(chǎn)生的作用力為。AD面在y方向的位移為v，按位移分析，BC面在y方向上的位移為，v與y正向相同，因此在AD面上剪應(yīng)力做負(fù)功，在BC面上剪應(yīng)力做正功。這樣在x的正、負(fù)面上，剪應(yīng)力在元位移上的總功為(4-75a)在y的正、負(fù)面上剪應(yīng)力引起的變形如下圖所示圖4-10圖4-10在負(fù)y面上，與位移相反，在正y面上，與位移方向相同。因此，在y的正、負(fù)面上，剪應(yīng)力在元位移上的功為(4-75b)迭加(4-75a、b)可得，在x的正、負(fù)面和y的正、負(fù)面上的一對(duì)剪應(yīng)力和在元位移上的總功為在全部位移(應(yīng)變)上的總功為將，代入上式后可得(4-76a)類似地可以得到(4-76b、c)這樣，所有的應(yīng)力分量，在單位體積上的功為(4-78a)在微元體dV上的功為(4-78b)(4-78a)式與(4-72)式相同，這樣，我們從力學(xué)的角度，再次導(dǎo)出了(4-72)式。W0被稱為應(yīng)變能函數(shù)，也可稱為應(yīng)變能密度，表示在單位體積上，應(yīng)力對(duì)應(yīng)變的功，在全部的體積上，應(yīng)力對(duì)應(yīng)變的功為(4-79)將應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系(4-45)代入(4-72)或(4-78a)，得到(4-80)將(4-53)代入(4-31)，得到(4-81)(4-80)和(4-81)式表明應(yīng)變能密度是應(yīng)力或應(yīng)變的二次齊次式。將(4-80)式兩端對(duì)應(yīng)變求導(dǎo)，可得(4-82)將(4-81)式兩端對(duì)求偏導(dǎo)，得到(4-83)再次得到了應(yīng)力與應(yīng)變之間的對(duì)偶關(guān)系。下面利