柱面錐面旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面課件

第四章柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面

主要內(nèi)容1、柱面2、錐面3、旋轉(zhuǎn)曲面4、橢球面5、雙曲面6、拋物面第四章柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面1第一節(jié)柱面定義平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線C叫柱面的準(zhǔn)線，動直線L叫柱面的母線.設(shè)柱面的準(zhǔn)線為母線的方向數(shù)為X,Y,Z。如果M1(x1,y1,z1)為準(zhǔn)線上一點，則過點M1的母線方程為第一節(jié)柱面定義平行于定直線并沿定曲線移動的直線2且有F1(x1,y1,z1)=0,F2(x1,y1,z1)=0(3)從（2）（3）中消去x1,y1,z1得F(x,y,z)=0這就是以（1）為準(zhǔn)線，母線的方向數(shù)為X，Y，Z的柱面的方程。且有F1(x1,y1,z1)=0,F2(x1,y1,z1)=3柱面舉例拋物柱面平面柱面舉例拋物柱面平面4從柱面方程看柱面的特征：（其他類推）實例橢圓柱面母線//軸雙曲柱面母線//軸拋物柱面母線//軸

只含yx,而缺z的方程0),(=yxF，在空間直角坐標(biāo)系中表示母線平行于z軸的柱面，其準(zhǔn)線為xoy面上曲線C.從柱面方程看柱面的特征：（其他類推）實例橢圓柱面母線/5例1、柱面的準(zhǔn)線方程為而母線的方向數(shù)為-1，0，1，求這柱面的方程。例2、已知圓柱面的軸為點（1,-2,1)在此圓柱面上，求這個柱面的方程。例1、柱面的準(zhǔn)線方程為而母線的方向數(shù)為-1，0，1，求這柱面6第二節(jié)錐面一、錐面1、定義在空間，通過一定點且與定曲線相交的一族直線所產(chǎn)生的曲面稱為錐面，這些直線都稱為錐面的母線，定點稱為錐面的頂點，定曲線稱為錐面的準(zhǔn)線。2、錐面的方程設(shè)錐面的準(zhǔn)線為頂點為A(x0,y0,z0)，如果M1(x1,y1,z1)為準(zhǔn)線上任一點，則錐面過點M1的母線為：第二節(jié)錐面一、錐面1、定義在空間，通過一定點且與定曲7且有F1(x1,y1,z1)=0F2(x1,y1,z1)=0（3）從（2）（3）中消去參數(shù)x1,y1,z1得三元方程F(x,y,z)=0這就是以（1）為準(zhǔn)線，以A為頂點的錐面方程。例1、求頂點在原點，準(zhǔn)線為的錐面的方程。答：（二次錐面）且有F1(x1,y1,z1)=0F2(x1,y1,z1)=08定理一個關(guān)于x,y,z的齊次方程總表示頂點在坐標(biāo)原點的錐面。齊次方程：設(shè)λ為實數(shù)，對于函數(shù)f(x,y,z)，如果有f(tx,ty,tz)=tλf(x,y,z)則稱f(x,y,z)為λ的齊次函數(shù)，f(x,y,z)=0稱為齊次方程。例如，方程x2+y2-z2=0圓錐面又如，方程x2+y2+z2=0原點（虛錐面）定理一個關(guān)于x,y,z的齊次方程總表示頂點在坐標(biāo)齊次方程：9第三節(jié)旋轉(zhuǎn)曲面一、.旋轉(zhuǎn)曲面1、定義:以一條平面曲線C繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面,這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸.曲線C稱為放置曲面的母線oC緯線經(jīng)線第三節(jié)旋轉(zhuǎn)曲面一、.旋轉(zhuǎn)曲面1、定義:以一條平面10二、旋轉(zhuǎn)曲面的方程在空間坐標(biāo)系中，設(shè)旋轉(zhuǎn)曲面的母線為：旋轉(zhuǎn)直線為：其中P0(x0,y0,z0)為軸L上一定點，X，Y，Z為旋轉(zhuǎn)軸L的方向數(shù)。設(shè)M1(x1,y1,z1)為母線C上的任意點，則M1的緯圓總可以看成是過M1且垂直于旋轉(zhuǎn)軸L的平面與以P0為中心，|P0M1|為半徑的球面的交線。二、旋轉(zhuǎn)曲面的方程在空間坐標(biāo)系中，設(shè)旋轉(zhuǎn)曲面的母線為：旋轉(zhuǎn)直11所以過M1的緯圓的方程為：當(dāng)點M1跑遍整個母線C時，就得到所有的緯圓，這些緯圓就生成旋轉(zhuǎn)曲面。又由于M1在母線上，所以又有：從（3）（4）的四個等式中消去參數(shù)x1,y1,z1,得到一個三元方程：F(x,y,z)=0這就是以C為母線，L為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面的方程。所以過M1的緯圓的方程為：當(dāng)點M1跑遍整個母線C12例1、求直線繞直線x=y=z旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程。解：設(shè)M1(x1,y1,z1)是母線上的任意點，因為旋轉(zhuǎn)軸通過原點，所以過M1的緯圓方程是：又由于M1在母線上，所以又有：即x1=2y1,z1=1,消去x1,y1,z1得所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程：2(x2+y2+z2)-5(xy+yz+zx)+5(x+y+z)-7=0。例1、求直線繞直線x=y=z旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程。解：設(shè)M13三、母線在坐標(biāo)面而旋轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)曲面：

已知yoz面上一條曲線C,方程為f(y,z)=0,曲線C繞z

軸旋轉(zhuǎn)一周就得一個旋轉(zhuǎn)曲面.設(shè)M1(0,y1`,z1)是C上任意一點,則有f(y1,z1)=0當(dāng)C繞z軸旋轉(zhuǎn)而M1隨之轉(zhuǎn)到M(x,y,z)時,有將z1=z,代入方程F(y1,z1)=0,

三、母線在坐標(biāo)面而旋轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)曲面：已知yoz面上14得旋轉(zhuǎn)曲面的方程:即得旋轉(zhuǎn)曲面的方程:即15規(guī)律：當(dāng)坐標(biāo)平面上的曲線C繞此坐標(biāo)平面的一個坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)時，要求該旋轉(zhuǎn)曲面的方程，只要將曲線C在坐標(biāo)面里的方程保留和旋轉(zhuǎn)軸同名的坐標(biāo)，而以其它兩個坐標(biāo)平方和的平方根來代替方程中的另一坐標(biāo)。規(guī)律：當(dāng)坐標(biāo)平面上的曲線C繞此坐標(biāo)平面的一個坐標(biāo)16解

圓錐面方程解圓錐面方程17例2:求直線z=ay繞z軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面方程.zxyz=ay解:將y用代入直線方程,得平方得:z2=a2(x2+y2)該旋轉(zhuǎn)曲面叫做圓錐面,其頂點在原點.例2:求直線z=ay繞z軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面方18例3

將下列各曲線繞對應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程．旋轉(zhuǎn)雙曲面（單葉）（雙葉）例3將下列各曲線繞對應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求生成的旋轉(zhuǎn)曲面19例4、將圓繞Z軸旋轉(zhuǎn)，求所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程。解：所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程為：即：(x2+y2+z2+b2-a2)2=4b2(x2+y2)該曲面稱為圓環(huán)面。例4、將圓繞Z軸旋轉(zhuǎn)，求所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程。解：所求旋轉(zhuǎn)曲面20旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)拋物面（長形）（短形）旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)拋物面（長形）（短形）21第四節(jié)二次曲面二次曲面的定義：三元二次方程相應(yīng)地平面被稱為一次曲面．討論二次曲面性狀的平面截痕法：用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌．以下用截痕法討論幾種特殊的二次曲面．一、基本內(nèi)容所表示的曲面稱之為二次曲面．a(chǎn)x2+by2+cz2+dxy+exz+

fyz+gx+hy+iz+j=0第四節(jié)二次曲面二次曲面的定義：三元二次方程相應(yīng)地平面被稱22zoxyO2用平面z=k去截割(要求|k|c),得橢圓當(dāng)|k|c

時,|k|越大,橢圓越小;當(dāng)|k|=c時,橢圓退縮成點.二.幾種常見二次曲面.（一）橢球面1用平面z=0去截割,得橢圓zoxyO2用平面z=k去截割(要求|k|233類似地,依次用平面x=0,平面y=0截割,得橢圓:特別:當(dāng)a=b=c時,方程x2+y2+z2=a2,表示球心在原點o,半徑為a的球面.3類似地,依次用平面x=0,平面y=0截割24（二）雙曲面單葉雙曲面（1）用坐標(biāo)面與曲面相截截得中心在原點的橢圓.（二）雙曲面單葉雙曲面（1）用坐標(biāo)面25與平面的交線為橢圓.當(dāng)變動時，這種橢圓的中心都在軸上.（2）用坐標(biāo)面與曲面相截截得中心在原點的雙曲線.實軸與軸相合，虛軸與軸相合.與平面的交線為橢圓.當(dāng)變動時，26雙曲線的中心都在軸上.與平面的交線為雙曲線.實軸與軸平行,虛軸與軸平行.實軸與軸平行,虛軸與軸平行.截痕為一對相交于點的直線.雙曲線的中心都在軸上.與平面27截痕為一對相交于點的直線.（3）用坐標(biāo)面，與曲面相截均可得雙曲線.截痕為一對相交于點的直線.28單葉雙曲面圖形

xyoz平面的截痕是兩對相交直線.單葉雙曲面圖形xyoz平面的截痕29雙葉雙曲面xyo雙葉雙曲面xyo30（三）拋物面（與同號）橢圓拋物面用截痕法討論：（1）用坐標(biāo)面與曲面相截截得一點，即坐標(biāo)原點設(shè)原點也叫橢圓拋物面的頂點.（三）拋物面（與同號）橢圓拋物面用截痕法討論31與平面的交線為橢圓.當(dāng)變動時，這種橢圓的中心都在軸上.與平面不相交.（2）用坐標(biāo)面與曲面相截截得拋物線與平面的32與平面的交線為拋物線.它的軸平行于軸頂點（3）用坐標(biāo)面，與曲面相截均可得拋物線.同理當(dāng)時可類似討論.與平面的交線為拋物線.它的軸平行于33zxyoxyzo橢圓拋物面的圖形如下：zxyoxyzo橢圓拋物面的圖形如下：34特殊地：當(dāng)時，方程變?yōu)樾D(zhuǎn)拋物面（由面上的拋物線繞它的軸旋轉(zhuǎn)而成的）與平面的交線為圓.當(dāng)變動時，這種圓的中心都在軸上.特殊地：當(dāng)時，方程變?yōu)樾D(zhuǎn)拋物面（由35（與同號）雙曲拋物面（馬鞍面）用截痕法討論：設(shè)圖形如下：xyzo（與同號）雙曲拋物面（馬鞍面）用截痕法討論：36第四章柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面

主要內(nèi)容1、柱面2、錐面3、旋轉(zhuǎn)曲面4、橢球面5、雙曲面6、拋物面第四章柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面37第一節(jié)柱面定義平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線C叫柱面的準(zhǔn)線，動直線L叫柱面的母線.設(shè)柱面的準(zhǔn)線為母線的方向數(shù)為X,Y,Z。如果M1(x1,y1,z1)為準(zhǔn)線上一點，則過點M1的母線方程為第一節(jié)柱面定義平行于定直線并沿定曲線移動的直線38且有F1(x1,y1,z1)=0,F2(x1,y1,z1)=0(3)從（2）（3）中消去x1,y1,z1得F(x,y,z)=0這就是以（1）為準(zhǔn)線，母線的方向數(shù)為X，Y，Z的柱面的方程。且有F1(x1,y1,z1)=0,F2(x1,y1,z1)=39柱面舉例拋物柱面平面柱面舉例拋物柱面平面40從柱面方程看柱面的特征：（其他類推）實例橢圓柱面母線//軸雙曲柱面母線//軸拋物柱面母線//軸

只含yx,而缺z的方程0),(=yxF，在空間直角坐標(biāo)系中表示母線平行于z軸的柱面，其準(zhǔn)線為xoy面上曲線C.從柱面方程看柱面的特征：（其他類推）實例橢圓柱面母線/41例1、柱面的準(zhǔn)線方程為而母線的方向數(shù)為-1，0，1，求這柱面的方程。例2、已知圓柱面的軸為點（1,-2,1)在此圓柱面上，求這個柱面的方程。例1、柱面的準(zhǔn)線方程為而母線的方向數(shù)為-1，0，1，求這柱面42第二節(jié)錐面一、錐面1、定義在空間，通過一定點且與定曲線相交的一族直線所產(chǎn)生的曲面稱為錐面，這些直線都稱為錐面的母線，定點稱為錐面的頂點，定曲線稱為錐面的準(zhǔn)線。2、錐面的方程設(shè)錐面的準(zhǔn)線為頂點為A(x0,y0,z0)，如果M1(x1,y1,z1)為準(zhǔn)線上任一點，則錐面過點M1的母線為：第二節(jié)錐面一、錐面1、定義在空間，通過一定點且與定曲43且有F1(x1,y1,z1)=0F2(x1,y1,z1)=0（3）從（2）（3）中消去參數(shù)x1,y1,z1得三元方程F(x,y,z)=0這就是以（1）為準(zhǔn)線，以A為頂點的錐面方程。例1、求頂點在原點，準(zhǔn)線為的錐面的方程。答：（二次錐面）且有F1(x1,y1,z1)=0F2(x1,y1,z1)=044定理一個關(guān)于x,y,z的齊次方程總表示頂點在坐標(biāo)原點的錐面。齊次方程：設(shè)λ為實數(shù)，對于函數(shù)f(x,y,z)，如果有f(tx,ty,tz)=tλf(x,y,z)則稱f(x,y,z)為λ的齊次函數(shù)，f(x,y,z)=0稱為齊次方程。例如，方程x2+y2-z2=0圓錐面又如，方程x2+y2+z2=0原點（虛錐面）定理一個關(guān)于x,y,z的齊次方程總表示頂點在坐標(biāo)齊次方程：45第三節(jié)旋轉(zhuǎn)曲面一、.旋轉(zhuǎn)曲面1、定義:以一條平面曲線C繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面,這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸.曲線C稱為放置曲面的母線oC緯線經(jīng)線第三節(jié)旋轉(zhuǎn)曲面一、.旋轉(zhuǎn)曲面1、定義:以一條平面46二、旋轉(zhuǎn)曲面的方程在空間坐標(biāo)系中，設(shè)旋轉(zhuǎn)曲面的母線為：旋轉(zhuǎn)直線為：其中P0(x0,y0,z0)為軸L上一定點，X，Y，Z為旋轉(zhuǎn)軸L的方向數(shù)。設(shè)M1(x1,y1,z1)為母線C上的任意點，則M1的緯圓總可以看成是過M1且垂直于旋轉(zhuǎn)軸L的平面與以P0為中心，|P0M1|為半徑的球面的交線。二、旋轉(zhuǎn)曲面的方程在空間坐標(biāo)系中，設(shè)旋轉(zhuǎn)曲面的母線為：旋轉(zhuǎn)直47所以過M1的緯圓的方程為：當(dāng)點M1跑遍整個母線C時，就得到所有的緯圓，這些緯圓就生成旋轉(zhuǎn)曲面。又由于M1在母線上，所以又有：從（3）（4）的四個等式中消去參數(shù)x1,y1,z1,得到一個三元方程：F(x,y,z)=0這就是以C為母線，L為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面的方程。所以過M1的緯圓的方程為：當(dāng)點M1跑遍整個母線C48例1、求直線繞直線x=y=z旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程。解：設(shè)M1(x1,y1,z1)是母線上的任意點，因為旋轉(zhuǎn)軸通過原點，所以過M1的緯圓方程是：又由于M1在母線上，所以又有：即x1=2y1,z1=1,消去x1,y1,z1得所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程：2(x2+y2+z2)-5(xy+yz+zx)+5(x+y+z)-7=0。例1、求直線繞直線x=y=z旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程。解：設(shè)M49三、母線在坐標(biāo)面而旋轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)曲面：

已知yoz面上一條曲線C,方程為f(y,z)=0,曲線C繞z

軸旋轉(zhuǎn)一周就得一個旋轉(zhuǎn)曲面.設(shè)M1(0,y1`,z1)是C上任意一點,則有f(y1,z1)=0當(dāng)C繞z軸旋轉(zhuǎn)而M1隨之轉(zhuǎn)到M(x,y,z)時,有將z1=z,代入方程F(y1,z1)=0,

三、母線在坐標(biāo)面而旋轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)曲面：已知yoz面上50得旋轉(zhuǎn)曲面的方程:即得旋轉(zhuǎn)曲面的方程:即51規(guī)律：當(dāng)坐標(biāo)平面上的曲線C繞此坐標(biāo)平面的一個坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)時，要求該旋轉(zhuǎn)曲面的方程，只要將曲線C在坐標(biāo)面里的方程保留和旋轉(zhuǎn)軸同名的坐標(biāo)，而以其它兩個坐標(biāo)平方和的平方根來代替方程中的另一坐標(biāo)。規(guī)律：當(dāng)坐標(biāo)平面上的曲線C繞此坐標(biāo)平面的一個坐標(biāo)52解

圓錐面方程解圓錐面方程53例2:求直線z=ay繞z軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面方程.zxyz=ay解:將y用代入直線方程,得平方得:z2=a2(x2+y2)該旋轉(zhuǎn)曲面叫做圓錐面,其頂點在原點.例2:求直線z=ay繞z軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面方54例3

將下列各曲線繞對應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程．旋轉(zhuǎn)雙曲面（單葉）（雙葉）例3將下列各曲線繞對應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求生成的旋轉(zhuǎn)曲面55例4、將圓繞Z軸旋轉(zhuǎn)，求所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程。解：所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程為：即：(x2+y2+z2+b2-a2)2=4b2(x2+y2)該曲面稱為圓環(huán)面。例4、將圓繞Z軸旋轉(zhuǎn)，求所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程。解：所求旋轉(zhuǎn)曲面56旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)拋物面（長形）（短形）旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)拋物面（長形）（短形）57第四節(jié)二次曲面二次曲面的定義：三元二次方程相應(yīng)地平面被稱為一次曲面．討論二次曲面性狀的平面截痕法：用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌．以下用截痕法討論幾種特殊的二次曲面．一、基本內(nèi)容所表示的曲面稱之為二次曲面．a(chǎn)x2+by2+cz2+dxy+exz+

fyz+gx+hy+iz+j=0第四節(jié)二次曲面二次曲面的定義：三元二次方程相應(yīng)地平面被稱58zoxyO2用平面z=k去截割(要求|k|c),得橢圓當(dāng)|k|c

時,|k|越大,橢圓越小;當(dāng)|k|=c時,橢圓退縮成點.二.幾種常見二次曲面.（一）橢球面1用平面z=0去截割,得橢圓zoxyO2用平面z=k去截割(要求|k|593類似地,依次用平面x=0,平面y=0截割,得橢圓:特別:當(dāng)a=b=c時,方程x2+y2+z2=a2,表示球心在原點o,半徑為a的球面.3類似地,依次用平面x=0,平面y=0截割60（二）雙曲面單葉雙曲面（1）用坐標(biāo)面與曲面相截截得中心在原點的橢圓.（二）雙曲面單葉雙曲面（1）用坐標(biāo)面61與平面的交線為橢圓.當(dāng)變動時，這種橢圓的中心都在軸上.（2）用坐標(biāo)面與曲面相截截得中心在原點的雙曲線.實軸與軸相合，虛軸與軸相合.與平面的交線為橢圓.當(dāng)變動時，62雙曲線的中心都在軸上.與平面的交線為雙曲線.實軸與軸平行,虛軸與軸平行.實軸與