波函數(shù)方程一維無(wú)限深勢(shì)阱稿

§17.5

波函數(shù)薛定諤方程一維無(wú)限深勢(shì)阱

二十世紀(jì)20~30年代，經(jīng)過(guò)德布羅意、薛定諤、海森堡、玻恩、狄拉克等科學(xué)家的努力，建立了描述微觀粒子運(yùn)動(dòng)規(guī)律的量子力學(xué)。背景薛定諤海森伯狄拉克德布羅意波恩一、物質(zhì)波波函數(shù)

微觀領(lǐng)域常用實(shí)物粒子在空間出現(xiàn)的概率分布來(lái)描述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，該概率分布函數(shù)稱為物質(zhì)波的波函數(shù)。波函數(shù)記作Ψ

(x,y,z,t)，常用復(fù)數(shù)形式來(lái)表示!A:

稱為該復(fù)數(shù)的模θ

:

稱為該復(fù)數(shù)的幅角例如，沿+x方向傳播的平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程：也可用復(fù)數(shù)形式來(lái)表示：Ψ

(x)

:

該波動(dòng)方程的定態(tài)波函數(shù)，不含時(shí)間變量。如何構(gòu)造物質(zhì)波波函數(shù)Ψ

(x,y,z,t)

②機(jī)械波強(qiáng)度：I∝A2（A為其在該處的振幅）。①用復(fù)數(shù)形式表示。則其振幅為|Ψ

(x,y,z,t)|。仿此關(guān)系，物質(zhì)波的強(qiáng)度∝|Ψ

(x,y,z,t)|2，物質(zhì)波的強(qiáng)度稱作粒子在空間某點(diǎn)(x,y,z)處出現(xiàn)的概率密度，記作w(x,y,z,t)。概率密度w

＝|Ψ

(x,y,z,t

)|2概率密度函數(shù)常寫成：粒子在dv

空間出現(xiàn)的概率：dG=|Ψ

(x,y,z,t

)|2dv若粒子只出現(xiàn)在一維空間，則其在x～x+dx

空間出現(xiàn)的概率為：dG=

wdx=|Ψ

(x,t)|2dx

玻恩(M.Born，1882-1970)德國(guó)物理學(xué)家，1926年首次提出波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義，為此與博特(W.W.GBothe，1891-1957)共享1954年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。③粒子在全空間出現(xiàn)的概率為1，即：對(duì)于一維：（歸一化條件）④Ψ

(x,y,z,t)

必須滿足單值、連續(xù)、有限條件（標(biāo)準(zhǔn)條件）。例構(gòu)造一維自由粒子的物質(zhì)波波函數(shù)Ψ

(x,t)。一維自由粒子：不受任何外力作用、沿+x方向運(yùn)動(dòng)的實(shí)物粒子。設(shè)：一平面簡(jiǎn)諧波沿+x方向傳播，其波函數(shù)：復(fù)數(shù)形式：仿照上式，締合在一維自由粒子上的物質(zhì)波波函數(shù)：而上式可寫成：其中：稱為一維自由粒子的定態(tài)波函數(shù)。二、薛定諤方程(v<<c)對(duì)自由粒子：其定態(tài)波函數(shù)為，則：上式可應(yīng)用到非自由粒子情形。能量：動(dòng)量：對(duì)非自由粒子即：對(duì)非自由粒子稱為一維定態(tài)薛定諤方程。三維定態(tài)薛定諤方程：其中，稱為拉普拉斯算符。

薛定諤（ErwinSchr?dinger，

1887-1961）奧地利物著名理論物理學(xué)家，量子力學(xué)的重要奠基人之一，同時(shí)在固體的比熱、統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)、原子光譜及鐳的放射性等方面的研究都有很大成就。1933年和狄拉克共同榮獲諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。薛定諤還是現(xiàn)代分子生物學(xué)的奠基人。三、一維無(wú)限深勢(shì)阱設(shè)：一粒子被約束在(o,a)一維空間，其勢(shì)能函數(shù)為根據(jù)定態(tài)薛定諤方程，勢(shì)阱中粒子的概率波滿足根據(jù)邊界條件：由于粒子肯定出現(xiàn)在(o,a)之間，A、B不能同時(shí)為零:上式表明：勢(shì)阱中的粒子的能量是量子化的，只能取一組分立值。能量量子化是物質(zhì)波粒二象性的自然結(jié)果。(n=1,2,3,…稱為量子數(shù))粒子波函數(shù)為：由歸一化條件歸納:粒子處于量子數(shù)為n的狀態(tài)：粒子在勢(shì)阱中的概率密度wn

為:極大值：波函數(shù)的駐波特點(diǎn)

處，波函數(shù)的值皆為零。波函數(shù)以駐波形式存在勢(shì)阱中：

處，波函數(shù)的值皆為零。波函數(shù)以駐波形式存在勢(shì)阱中：波函數(shù)的駐波特點(diǎn)勢(shì)阱中粒子能量的量子化從其駐波特點(diǎn)中也可自然地得出。*四、對(duì)應(yīng)原理

經(jīng)典物理的規(guī)律與量子物理的規(guī)律似乎無(wú)共同之處，但在忽略量子效應(yīng)時(shí)，兩者應(yīng)該趨于一致。例如，在一維勢(shì)阱中的粒子，兩相鄰能級(jí)的差為能量可認(rèn)為是連續(xù)的。經(jīng)典物理可以看成是量子物理在量子數(shù)n時(shí)的極限。*五、一維方勢(shì)壘隧道效應(yīng)設(shè)想一維方勢(shì)壘如圖。一粒子處于x<0

的區(qū)域內(nèi)，其能量小于勢(shì)壘高度Ep0。經(jīng)典物理：粒子不可能越過(guò)勢(shì)壘進(jìn)入x>0的區(qū)域。量子物理：粒子波函數(shù)分布如圖，粒子能越過(guò)勢(shì)壘到達(dá)x>0的區(qū)域。稱作隧道效應(yīng)利用STM能夠得到原子表面的三維圖像，可以觀察到單個(gè)原子在材料表面的排列，這對(duì)