偏微分課程課件11-數(shù)學(xué)物理方程的變分原理

Ch7數(shù)學(xué)物理方程的變分原理（一）變分問題介紹（二）一維數(shù)學(xué)物理問題的變分問題（三）高維數(shù)學(xué)物理問題的變分問題（四）變分問題的近似計(jì)算（五）權(quán)余量方法以及其他方法Ch7數(shù)學(xué)物理方程的（一）變分問題介紹（一）變分問題介紹例1(最速下降曲線問題)確定一條曲線，它連結(jié)不在同一垂直線上的兩個(gè)已知點(diǎn)A和B，使它具有下列性質(zhì)：任何質(zhì)點(diǎn)沿這條線由A滑到B時(shí)所需時(shí)間為最少。（一）變分問題介紹例1(最速下降曲線問題)確定一條曲線，它偏微分課程課件11_數(shù)學(xué)物理方程的變分原理在集合K中求極小。在集合K中求極小。偏微分課程課件11_數(shù)學(xué)物理方程的變分原理偏微分課程課件11_數(shù)學(xué)物理方程的變分原理2.變分法基本引理2.變分法基本引理3.中的變分問題

（二元函數(shù)極值與線性代數(shù)方程組的關(guān)系）3.中的變分問題

（二元函數(shù)極值與線性代數(shù)方（二）一維數(shù)學(xué)物理問題的變分問題（二）一維數(shù)學(xué)物理問題的變分問題偏微分課程課件11_數(shù)學(xué)物理方程的變分原理分部積分得

分部積分得

雙線性型，對(duì)稱正定雙線性型，對(duì)稱正定取=0取=0變分學(xué)基本引理將代入(1)u滿足微分方程變分學(xué)基本引理將代入(1)u滿足微分方程（1），約束邊界條件（本質(zhì)邊界條件）（2），自然邊界條件（1），約束邊界條件（本質(zhì)邊界條件偏微分課程課件11_數(shù)學(xué)物理方程的變分原理從最小勢能原理出發(fā)，考慮下面的問題

，

可

證對(duì)稱正定則

從最小勢能原理出發(fā)，考慮下面的問題，

可

證對(duì)稱正定則，

力學(xué)平衡方程定解問題對(duì)應(yīng)于（P1）的Galerkin變分問題，來源于力學(xué)虛功原理Ritz變分問題，來源于最小勢能原理，力學(xué)平衡方程定解問題對(duì)應(yīng)于（P1）的Galerkin變分，

要處理二階導(dǎo)數(shù)要求只要求v(a)=0（約束邊界條件，或本質(zhì)邊界條件），對(duì)第二類第三類邊界條件（自然邊界條件）無強(qiáng)制要求。古典解弱解（廣義解），要處理二階導(dǎo)數(shù)要求古典解弱解（廣義解）（三）高維數(shù)學(xué)物理問題的變分問題（1）第一類邊值問題的變分問題（三）高維數(shù)學(xué)物理問題的變分問題（1）第一類邊值問題的變分問

這樣u滿足的Garlerkin變分問題是

這樣u滿足的Garlerkin變分問題是問題（P1）可以理解為固定邊界膜平衡方程的定解問題，問題（P1）可以理解為固定邊界膜平衡方程的定解問題，固定邊界模的平衡問題虛功原理：平衡位置u(x)對(duì)任意滿足齊次邊界約束條件的虛位移、慣性力和外力所做功之和為零。最小勢能原理：處于平衡位置的u(x)一定使J(u)達(dá)到最小。固定邊界模的平衡問題虛功原理：平衡位置u(x)對(duì)任意滿足齊次ii）非齊次及第三類第二類邊界條件

請自學(xué)(Page198,202)ii）非齊次及第三類第二類邊界條件4.重調(diào)和方程邊值問題的變分問題4.重調(diào)和方程邊值問題的變分問題偏微分課程課件11_數(shù)學(xué)物理方程的變分原理偏微分課程課件11_數(shù)學(xué)物理方程的變分原理（四）變分問題的近似計(jì)算（四）變分問題的近似計(jì)算以代替K，得到的近似解為以代替K，得到的近似解為

由于

由于K上對(duì)稱正定的雙線性泛函

K上對(duì)稱正定

把無窮維空間V中的極值問題，近似為有限維空間最后通過求解一個(gè)線性代數(shù)方程組而得出變分問題的近似解。中的極值問題，這就是Ritz方法的基本思想。把無窮維空間V中的極值2.Galerkin方法設(shè)求2.Galerkin方法設(shè)求或者

或者 偏微分課程課件11_數(shù)學(xué)物理方程的變分原理偏微分課程課件11_數(shù)學(xué)物理方程的變分原理偏微分課程課件11_數(shù)學(xué)物理方程的變分原理偏微分課程課件11_數(shù)學(xué)物理方程的變分原理偏微分課程課件11_數(shù)學(xué)物理方程的變分原理偏微分課程課件11_數(shù)學(xué)物理方程的變分原理課堂練習(xí)P2145.微分方程的定解問題其中試推導(dǎo)對(duì)應(yīng)的Ritz形式以及Galerkin形式的變分問題，敘述及證明三個(gè)問題之間的關(guān)系。課堂練習(xí)P214其中試推導(dǎo)對(duì)應(yīng)的Ritz形式以及GalerkCh7數(shù)學(xué)物理方程的變分原理（一）變分問題介紹（二）一維數(shù)學(xué)物理問題的變分問題（三）高維數(shù)學(xué)物理問題的變分問題（四）變分問題的近似計(jì)算（五）權(quán)余量方法以及其他方法Ch7數(shù)學(xué)物理方程的（一）變分問題介紹（一）變分問題介紹例1(最速下降曲線問題)確定一條曲線，它連結(jié)不在同一垂直線上的兩個(gè)已知點(diǎn)A和B，使它具有下列性質(zhì)：任何質(zhì)點(diǎn)沿這條線由A滑到B時(shí)所需時(shí)間為最少。（一）變分問題介紹例1(最速下降曲線問題)確定一條曲線，它偏微分課程課件11_數(shù)學(xué)物理方程的變分原理在集合K中求極小。在集合K中求極小。偏微分課程課件11_數(shù)學(xué)物理方程的變分原理偏微分課程課件11_數(shù)學(xué)物理方程的變分原理2.變分法基本引理2.變分法基本引理3.中的變分問題

（二元函數(shù)極值與線性代數(shù)方程組的關(guān)系）3.中的變分問題

（二元函數(shù)極值與線性代數(shù)方（二）一維數(shù)學(xué)物理問題的變分問題（二）一維數(shù)學(xué)物理問題的變分問題偏微分課程課件11_數(shù)學(xué)物理方程的變分原理分部積分得

分部積分得

雙線性型，對(duì)稱正定雙線性型，對(duì)稱正定取=0取=0變分學(xué)基本引理將代入(1)u滿足微分方程變分學(xué)基本引理將代入(1)u滿足微分方程（1），約束邊界條件（本質(zhì)邊界條件）（2），自然邊界條件（1），約束邊界條件（本質(zhì)邊界條件偏微分課程課件11_數(shù)學(xué)物理方程的變分原理從最小勢能原理出發(fā)，考慮下面的問題

，

可

證對(duì)稱正定則

從最小勢能原理出發(fā)，考慮下面的問題，

可

證對(duì)稱正定則，

力學(xué)平衡方程定解問題對(duì)應(yīng)于（P1）的Galerkin變分問題，來源于力學(xué)虛功原理Ritz變分問題，來源于最小勢能原理，力學(xué)平衡方程定解問題對(duì)應(yīng)于（P1）的Galerkin變分，

要處理二階導(dǎo)數(shù)要求只要求v(a)=0（約束邊界條件，或本質(zhì)邊界條件），對(duì)第二類第三類邊界條件（自然邊界條件）無強(qiáng)制要求。古典解弱解（廣義解），要處理二階導(dǎo)數(shù)要求古典解弱解（廣義解）（三）高維數(shù)學(xué)物理問題的變分問題（1）第一類邊值問題的變分問題（三）高維數(shù)學(xué)物理問題的變分問題（1）第一類邊值問題的變分問

這樣u滿足的Garlerkin變分問題是

這樣u滿足的Garlerkin變分問題是問題（P1）可以理解為固定邊界膜平衡方程的定解問題，問題（P1）可以理解為固定邊界膜平衡方程的定解問題，固定邊界模的平衡問題虛功原理：平衡位置u(x)對(duì)任意滿足齊次邊界約束條件的虛位移、慣性力和外力所做功之和為零。最小勢能原理：處于平衡位置的u(x)一定使J(u)達(dá)到最小。固定邊界模的平衡問題虛功原理：平衡位置u(x)對(duì)任意滿足齊次ii）非齊次及第三類第二類邊界條件

請自學(xué)(Page198,202)ii）非齊次及第三類第二類邊界條件4.重調(diào)和方程邊值問題的變分問題4.重調(diào)和方程邊值問題的變分問題偏微分課程課件11_數(shù)學(xué)物理方程的變分原理偏微分課程課件11_數(shù)學(xué)物理方程的變分原理（四）變分問題的近似計(jì)算（四）變分問題的近似計(jì)算以代替K，得到的近似解為以代替K，得到的近似解為

由于

由于K上對(duì)稱正定的雙線性泛函

K上對(duì)稱正定

把無窮維空間V中的極值問題，近似為有限維空間最后通過求解一個(gè)線性代數(shù)方程組而得出變分問題的近似解。中的極值問題，這就是Ritz方法的基本思想。把無窮維空間V中的極值2.Galerkin方法設(shè)求2.Galerkin方法設(shè)求或者

或者 偏微分課程課件11_數(shù)學(xué)物理方程的變分原理偏微分課程課件11_數(shù)學(xué)物理方程的變分